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高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知数列{}n a 满足211=
a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。 变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….
（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 11+=
+，求n a 。 例2:已知31=a ，n n a n n a 2
3131
+-=+ )1(≥n ，求n a 。 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1
___n a ⎧=⎨⎩
12n n =≥
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:（2006，重庆,文,14）
在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________ 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{b n }滿足121
11
*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明：数列{b n }是等差数列；
（Ⅲ）证明：
*122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +-<+++<∈ 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1
+n q ，得：
q q a q p q a n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n
b （其中n
n n q a b =），得：q b q p b n n 1
1+=+再待定系数法解决。
例:已知数列{}n a 中，651=
a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。 变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=
-⨯+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n
n n T S =，1,2,3,n =
，证明：1
32n
i i T =<∑
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨
⎧-==+q
st p
t s
解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1
211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。
解法一（待定系数——迭加法）:
数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++，求n a 。 变式:
1.已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式； （III ）若数列{}n b 满足121
11
*44...4(1)(),n
n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列
2.已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
13
212+=++，求n a
3.已知数列
{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ，
⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n
，求证：数列{}n b 是等比数列；
⑵设数列),2,1(,2
==
n a c n n
n
，求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)
2()
1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消
去n a 进行求解。
例：已知数列{}n a 前n 项和2
214--
-=n n n a S .
（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .
（2）应用类型4（n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边同乘以1
2+n 得：222
11
+=++n n n n a a
由1214121111=⇒-
-==-a a S a .于是数列{}
n
n
a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n 2)1(222=-+=1
2-=⇒n n n a 变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)
已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分）
已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,2
3
,1),3()
2
1(211
-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公式.
类型7 b an pa a n n ++=+1)001
(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为
{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。
