广东省普宁市勤建学校_学年高一数学下学期第一次月考试题【含答案】
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普宁勤建中学2016-2017学年度高一第二学期第一次月考
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴
的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.命题“,sin 1x R x ∀∈>”的否定是
A. ,sin 1x R x ∀∈≤
B. ,sin 1x R x ∃∈≤
C. ,sin 1x R x ∀∈<
D. ,sin 1x R x ∃∈<
2.已知向量()1,2,1a =-，则下列与a 共线的向量
A. ()1,2,1
B. ()1,2,1-
C. ()1,2,1--
D. ()1,2,1---
3.抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为
A. 2
B. 1
C. 12
D.14
4.与双曲线22
:1169
x y C -=有相同的渐近线的双曲线E 的离心率为 A. 53 B. 54 C. 53或54 D. 53或53
5."0,0"a b >>时“22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.平面内到x 轴于与到y 轴的距离之和为1的点的轨迹围成的图形的面积为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7.若""p q ∧⌝为假命题，""p q ⌝∨为真命题，则,p q 的真假为
A. p 假且q 假
B. p 假，q 真或q 假
C. p 真且q 假
D. p 真，q 真或q 假 60，8.如图，已知向量,,PA PB PC 均为单位向量，且两两夹角均为,E F 分别为,AC BC 的中点，则向量PE PF ⋅等于 A. 58 B. 56 C. 54 D. 52
9.已知()()()2,5,3,1,2,1,,4,a b c x z ===，若,,a b c 三向量共面，则x z +的值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.已知12,F F 分别为双曲线22
:145
x y C -=的左、右焦点，P 为C 右支上一点，且122PF PF =，则12PF F ∆外接圆的半径为
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB=4csinC ﹣bcosA ，则cosC= ．
14．当x ∈R 时，一元二次不等式x 2
﹣kx+1＞0恒成立，则k 的取值范围是 ．
15．若△ABC 的内角满足sinA+sinB=2sinC ，则cosC 的最小值是 ．
16．已知实数x ，y 满足，若z=ax+y 有最大值7，则实数a 的值为 ．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点．
（I ）求AD 1与EF 所成角的大小；
（II ）求AF 与平面BEB 1所成角的余弦值．
18．已知数列{a n }满足a 2=，且a n+1=3a n ﹣1（n ∈N *）．
（1）求数列{a n }的通项公式以及数列{a n }的前n 项和S n 的表达式；
（2）若不等式≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=．
（I）求C的值；
（II）若=2，b=4，求△ABC的面积．
20．已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=AB，E是线段CC1的中点，连接AE，B1E，AB1，B1C，BC1，得到的图形如图所示．
（I）证明BC1⊥平面AB1C；
（II）求二面角E﹣AB1﹣C的大小．
21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（，﹣），且离心率为．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C上的亮点，且x1≠x2，点P（1，0），证明：△PAB不可能为等边三角形．
请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分：
22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，且|AB|=，求l的斜率．
23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
数学参考答案
BCDCA BBADD
13．．
14．﹣2＜k＜2．
15．．
16．﹣
17．解：（I）建立如图所示的坐标系，D（0，0，0），A（1，0，0），
E（0，，1），F（，1，1），D1（0，0，1），
=（﹣1，0，1），=（，，0），
设AD1与EF所成角为α，∴cosα=||=，
∴AD1与EF所成角的大小为60°；
（II）=（0，0，1），=（﹣1，﹣，1），
设平面BEB1的法向量为=（x，y，z），则，
取=（1，﹣2，0），
∵=（﹣，1，1），
∴AF与平面BEB1所成角的正弦值为||=，
∴AF与平面BEB1所成角的余弦值为．
18．解：（1）∵a n+1=3a n﹣1（n∈N*），∴a n+1﹣=3（a n﹣），
∴数列是等比数列，首项为3，公比为3．
∴a n﹣=3×3n﹣1=3n，
∴a n=+3n，
∴S n=+=．
（2）不等式≤m，化为：≤m，
∵=单调递减，
∴m≥=．
∴实数m的取值范围是．
19．解：（I）∵=．
∴=，由正弦定理可得：，可得：tanC=，
∴C=．
（II）∵C=， =2，b=4，
∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：（2a）2=a2+（4）2﹣2×，
整理可得：a2+4a﹣16=0，解得：a=2﹣2，
∴S△ABC=absinC=（2﹣2）××=2﹣2．
20．证明：（Ⅰ）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=AB，
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=BC=CC1=AB=1，
则B（0，1，0），C1（0，0，1），A（1，0，0），B1（0，1，1），C（0，0，0），
=（0，﹣1，1），=（﹣1，1，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，1），
∴•=0， =0﹣1+1=0，
∴BC1⊥AC，BC1⊥AB1，
∵AC∩AB1=A，∴BC1⊥平面AB1C．
解：（Ⅱ）∵BC1⊥平面AB1C，∴=（0，﹣1，1）是平面AB1C的法向量，
E（0，，0），=（﹣1，0，），
设平面AB1E的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，﹣1，2），
设二面角E﹣AB1﹣C的大小为θ，
则cosθ===，
∴θ=30°．
∴二面角E﹣AB1﹣C的大小为30°．
21．（I）解：由题意，得，解得．
∴椭圆C的标准方程为；
（II）证明：证明：A（x1，y1），则，且x1∈[﹣，]，
|PA|===，
B（x2，y2），同理可得|PB|=，且x2∈[﹣，]．
y=在[﹣，]上单调，
∴有x1=x2⇔|PA|=|PB|，
∵x1≠x2，∴|PA|≠|PB|，
∴△PAB不可能为等边三角形．
请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分：22．解：（Ⅰ）∵在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25，
∴x2+y2+12x+11=0，
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，
∴C的极坐标方程为ρ2+ρcosθ+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，
∴直线l的直角坐标方程为=0，
∵l与C交于A，B两点，且|AB|=，
∴圆心（﹣6，0）到直线l的距离d==，
解得cosα=，
当cosα=时，l的斜率k=tanα=2；当cosα=﹣时，l的斜率k=tanα=﹣2．
23．解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，
|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，
∴﹣2≤x﹣1≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．
（2）∵g（x）=|2x﹣1|，
∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，
2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，
|x﹣|+|x﹣|≥，
当a≥3时，成立，
当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，
∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，
解得2≤a＜3，
∴a的取值范围是[2，+∞）．。
