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(第03讲) 第二章 拉氏变换与传递函数

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《拉氏变换详解》课件

《拉氏变换详解》课件

积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用

拉普拉斯变换以及传递函数

拉普拉斯变换以及传递函数

2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
例2-5
求例2-2机械系统与电路系统的传递函数 Xc和(s) Uc (s)
解：
Xr (s)
U r (s)
•
•
(B1 B2 ) X c (K1 K 2 ) X c B1 X c K1 X r
(B1 B2 )SXc (s) (K1 K2 ) X c (s) B1SX r (s) K1X r (s)
性质 传递函数与微分方程之间有关系。
6
G(s) C(s) R(s)
如果将 S d 置换 传递函数 微分方程
dt
10
性质 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)
7
脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单 位脉冲输入
时的输出响应。
R(s) L[ (t)] 1
c(t) L1[C(s)] L1[C(s)R(s)]
延迟定理
L[ f (t )] es F (s)
终值定理
lim f (t) lim sF (s)
3
t
s 0
数学工具－拉普拉斯变换与反变换续
初值定理 微分定理
lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
于是，由定义得系统传递函数为：

第03讲 传递函数

第03讲 传递函数
在零初始条件下，线性定常系统输出量的 拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比， 定义为线性定常系统的传递函数。 即，
2020/7/27
第3讲 传递函数
3
若已知线性定常系统的微分方程为
式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。
设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式) 取拉氏变换，得
2020/7/27
（2）极点的位置决定模态的敛散性，即决定稳定 性、快速性。
2020/7/27
第3讲 传递函数
13
（3）零点决定各运动模态的比重。其本身并不形 成自由运动的模态，但它们却影响各模态在响应 中所占的比重。
➢零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所 占比重越大 ➢零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所 占比重越小 ➢如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因 为分子分母相互抵消。
其传递函数为
式中 T—— 惯性环节的时间常数 K—— 惯性环节的增益或放大系数
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第3讲 传递函数
20
当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 单位阶跃响应曲线
1)(is 1)
1)(Tjs 1)
式中，分子和分母中的一次因子对应于实数零点和极点；二次 因式对应于共轭的复数零点和极点；τi和Tj称为时间常数；K为 系统的传递系数或称静态增益；ξ或ζ为阻尼比。
由该表达式可以看出：系统可以分解为一些比较典型的环节。
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第3讲 传递函数
16
传递系数
前面介绍了两种传递系数K和Kg： 其中： Kg=b0/a0为分子与分母多项式中最高次项系
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第3讲 传递函数
8
6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为

二章2拉氏变换ppt课件

二章2拉氏变换ppt课件

五、拉氏变换求解线性微分方程
➢将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； ➢解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； ➢应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
A1 A2 A3 S S2 S3
A1
S S
1
2S
3
S
S 0
1 6
A2
S S
1
2S
3 S
2
S 2
1 2
A3
S S
1
2S
3 S
3
S 3
1 3
1
Y(S) 6
1 2
1 3
S S2 S3
yt 1 1 e2t 1 e3t
62 3
1 e2t 1 e3t
2
3
1
S 0.5
0.57 0.866
S S 0.52 0.8662 S 0.52 0.8662
f t 1 e0.5t cos 0.866 t 0.57e0.5t sin 0.866 t
３、A(S)=0有重极点
设A(S)=0有r个重极点，将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
P0 r
1 !
例3：求
F
S
S
S 3
22 S
1
的反变换
将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
22
A02
S 2
A3
S 1
A01
S
S 3
22 S
1 S
22
S 2
1
A02
d
ds
S
S 3
22 S
1 S
22
S
2
2

[自动控制原理][课件][第03讲][传递函数]

[自动控制原理][课件][第03讲][传递函数]

(2)关于传递函数的几点说明 关于传递函数的几点说明 传递函数与微分方程有相通性. 传递函数与微分方程有相通性.传递函数分子 多项式系数及分母多项式系数, 多项式系数及分母多项式系数,分别与相应微分方 程的右端及左端微分算符多项式系数相对应. 程的右端及左端微分算符多项式系数相对应.故在 零初始条件下,将微分方程的算符d/dt用复数 零初始条件下,将微分方程的算符d/dt用复数s置换 用复数s 便得到传递函数. 便得到传递函数.
2. 传递函数
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型 之一.利用传递函数,可以: 之一.利用传递函数,可以: 不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在 输入作用下的动态过程. 输入作用下的动态过程. 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影 响——分析 分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要 求——综合 综合
(四)振荡环节 时域方程: 时域方程: a2 y '' (t ) + a1 y ' (t ) + a0 y (t ) = b0 x(t ) 传递函数: 传递函数:G ( s ) =
b0 a0 1 =k =k 2 2 a2 s 2 + a1s + a0 a2 s 2 + a1s + a0 T s + 2ζTs + 1
∏ (s z ) ∏ (s p )
j =1 j i =1 n i
m
式中: 称为传递函数的零点, 式中:-Zi 称为传递函数的零点,-pj称为传递函数的 极点. 极点.
b0 K = a0
*
——传递系数或根轨迹增益 ——传递系数或根轨迹增益
3. 典型环节及其传递函数
典型环节有比例,积分,惯性,振荡, 典型环节有比例,积分,惯性,振荡,微分和延 迟环节等多种. 迟环节等多种.以下分别讨论典型环节的时域特征和 复域( 特征. 复域(s域)特征.

第二节 传递函数讲解

第二节 传递函数讲解
L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—象函数。f(t)—原函数
拉氏反变换的定义
将象函数 F(s) 变换成与之相对应 的原函数 f(t) 的过程
? f (t) ? L?1[F(s)] ? 1 ? ? jw F(s)estds
2? j ? ? jw
拉氏变换的性质
线
性
若 有 常 数 k1 ， k2, 函 数
第二节 传递函数
拉氏变换与拉氏变换的定义
拉普拉斯变换
拉氏变换是控制工程中的一个基本数 学方法，其优点是能将时间函数的导 数经拉氏变换后，变成复变量 S的乘积， 将时间表示的微分方程，变成以 S表示 的代数方程。
拉氏变换的定义
设有时间函数 f(t) ，其中，t ? 0 则f(t)的拉氏变换记作：
? L[f (t)] ? F(s) ? ? f (t)e?st dt 0
理
其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)
延迟时间a.
复
数
域
的
位
移
若f(t) 的拉氏变换为 F(s), 对于任一
定
常数 a,有
理
L[e ? at f (t)] ? F(s ? a)
微 分 定
理
设f(t)的拉氏变换为 F(s),
则 L[df (t)] ? L[f ' (t)] ? sF (s) ? f (0? )
G(s) ?
U c (s) U (s)
?
1 R1C1R2C2s 2 ? (R1C1 ?
R2C2
?
R1C2 )s ? 1
传递函数的基本形式 零点、极点表示形式：
? zi (i ? 1, 2, , m)
? p j ( j ? 1, 2, , m)

拉氏变换、传递函数、数学模型

拉普拉斯变换的数学方法一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。

f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。

2)当时，，M，a为实常数。

2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。

—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。

二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。

1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。

2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。

证：同理可推广到n阶：当初始条件为0时，即则有4、积分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则，其中时的值。

证明：同理可得n阶积分的拉氏变换：当初始条件为0时，f(t)的各重积分在时，均为0，则有]5、初值定理设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为：证明：由微分定理知：对等式两边取极限：则有例：已知，求f(0+)由初值定理知：6、终值定理：若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为：证明：由微分定理知：令，对上式两边取极限，这个定理在稳态误差中常用。

第二章附录-拉氏变换


例3 : y(3) 3y 3y y 1, y(0) y(0) y(0) 0 求微分方程.
F (s)
1 s(s 1)3
b3 (s 1)3
b2 (s 1)2
b1 s 1
c4 s
b3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
b2
d
ds
[
s(s
1 1)3
(s
1)3
]
s1
[d ds
(
1 s
一.拉氏变换
1.定义：设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积
分
F (s) f (t)est dt
0
存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
简称拉氏变换。记为 F (s) L[ f (t)]
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f (t) L1[F (s)]
2.常用函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t) f(t)
ci是常数
M (s) ci [ D(s) (s pi )]s pi
例1: F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
1)]s 1
1 6
1
1
c2
[ (s
1)(s
2)(s
3)
(s
2)]s2
15
c3
[ (s
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
0
(8)卷积定理

74-学习手册-单元二知识点二拉氏变换和知识点三传递函数


例题分析：用复阻抗法求 RLC 串联电路的传递函数
解：将 RLC 串联电路中的电压和电流各量用对应的象函数表示，根据电工基础所学 知识，有：
课堂讨论
已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
c(t)
=
1-
2 3
e-t
-
1 3
e-4t
试求：系统的传递函数。
解：
C(s)
=
1 s
-
2 3
�s 1+1
-
1 3
�s +1
t
s0
知识点三 传递函数
学习重点：
1、理解传递函数的定义
2、控制系统传递函数的求取方法
3、直接求取法和复阻抗法能够传递函数
学习内容：
一、传递函数的定义
当初始条件为零时，输出量 c(t)的拉氏变换式 C(s)与输入量 r(t)的拉氏变换式 R(s)的 之比。
零初始条件有两方面含义：
一是指输入量在 t≥0 时才作用于系统，因此，在 t≤0 时，输入量及其各阶导数均为
s( s 2
+
1 a1s +
a2 )
（3）L-1变换
y t = L-1 Y (s)
（四）小结
1 拉氏变换的定义
ﾥ F (s) = ﾥ f (t) ﾥe-tsdt 0
2 常见函数L变换
f (t)
（1）单位脉冲
(t)
（2）单位阶跃
1(t )
（3）单位斜坡
t
（4）单位加速度
t2 2
e -at
（5）指数函数
L f t = s F s - f 0
L
f tdt
=
1 s
F

拉普拉斯变换与传递函数


2、微分性质
3、积分性质
4、终值定理
5、初值定理
6、位移定理
7、卷积定理
传递函数
以 RC 网络为例。
duc RC uc ur，设 uc (0) dt
R
0
ur
i
C
1 U c ( s) U r ( s )。 其中 U r ( s )随 ur (t ) 形式而变， RCs 1
1 1 C ( s) s(Ts 1) s 1
c(t )
T
2T
3T
4T
t
t T
1 s T
c( t ) 1 e
如RC网络、LR回路。
R
R
ur
C
uc
ur
L
i为out
（四）微分环节：
dr ( t ) 1．微方： c( t ) dt
2．传函： G( s ) s ，只有一个零值零点。
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
（4）一般表示法： 系统可能还会有零值极点，若为 个，则有：
1 3．响应： r ( t ) 1( t ), R( s ) ，则 s
c( s )
s
s
—脉冲函数, c(t ) (t )
若r (t ) t 1(t ) 则 c( t ) ——阶跃函数
因此微分环节能预示
r (t )
r ( t )的变化趋势。
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1

x (0 )
n 1
2

( n 1) 2
(0 )

s n x (0 ) s
n
s
（2）在零初始条件下
L [ x ( t )( dt ) ]
X (s) s
n
at 4 衰减定理 L[e x ( t )] X ( s a ) (复域中的延时定理)
5 延时定理
1 t0s
1 1 -t0s ] lim [ - e ] t0 0 t s s 0
2
1
t0 0
[1 - (1 - t 0 s
e
x
2!
(t 0 s ) - )] 1
1 2! x
2
注意：指数函数的展开
06-7-20
1 x
1 n!
x
n

x
10
控制系统系统的动态数学模型
n
1
3 积分定理
式中
06-7-20
L x ( t ) dt
1
X (s) s

x (0) s
x ( t ) x ( t ) dt
控制系统系统的动态数学模型 7
推论：
（1）
L[

x ( t )( d t ) ]
n
X (s) s x
n

x (0 ) s
n
X (s) B (s) A(s) b 0 s b1 s
m m 1
b m 1 s b m
s a1 s
n
n 1
a n 1 s a n
(n m )
A(s) 0 B (s) 0
得极点： p 1 , p 2 , p n 得零点： z 1 , z 2 , z m
L [1( t )]
0
e

1( t ) e
st
dt
1 s
e
st
0

1 s
2 指数函数
06-7-20
at
t) 1(
控制系统系统的动态数学模型 3
L[e
at
t )] 1(
( s a )t


e
0
at
t )e 1(
st
dt
0



e
dt
1 s a
5
n0 n 1
L [1 ( t )] L[t ] 1 s
2
1 s
n 2
L [1 ( t )] L[t ]
n
2 s n!
3
s
n 1
2.3.3 拉氏变换的性质
1 叠加定理（线性定理） 若 则
L [ x1 ( t )] X 1 ( s ) L [ x 2 ( t )] X 2 ( s )
dX ( s ) ds
11
控制系统系统的动态数学模型
10
x (t ) t
的拉氏变换
L[
x (t ) t
]


X ( s )ds
s
11 周期函数的象函数
L [ x ( t )] 1 1 e
sT
x (t T ) x (t )

T
x ( t )e
st
dt
0
12 卷积分的象函数
L [ x ( t ) y ( t )] X ( s )Y ( s )
解： X ( s )
s
s3
2
3s 2
a 1 X ( s ) ( s 1)
2
a 2 X ( s ) ( s 2 )
x (t ) ( 2 e
t
s 2
1
e
2 t
) t ) 1(
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
15
2. 含有共扼复数极点时
2.3.4 拉氏反变换
拉氏反变换定义：

x (t )
1 2 j

a j
a j
X ( s )e
st
ds
简写为： x ( t ) L 1 [ X ( s )] 例4 求
X (s) s s
2
2s 5

拉氏反变换。
s s 1 ( s 1) 2
2 2
解： X ( s )
s
1 2
j
3 2
e
( s a )t

1 s a
0
1( 1( 3 正弦函数 sin t t ) 和余弦函数 c o s t t )
根据欧拉公式： e
e
j
cos j sin cos j sin
e
j
j
sin
e 2 j
j
cos
e
j
n
n 1
x (0 ) s
( n 1)
n2
x (0 )

s x
(n2)
(0 ) x
2
(0 )
'
二阶导数的拉氏变换 L [ （2）在零初始条件下
d x (t ) dt
L[
2
] s X ( s ) sx ( 0 ) x ( 0 )
2
n n
d dt
x ( t )] s X ( s )
3 2
例 6 试求
X (s)
s 1
拉氏反变换 。
X ( s ) 的极点
X ( s )( s
s 1 s
06-7-20
s 1 2 j
s1 , 2
1 2
1 2
j
3 2
s3 0
s 1 2 j 3 2
2
s 1)
s
j
3 2
a1 s a 2
3 2
a1 s a 2
X (s) B (s) A(s) b 0 s b1 s
m m 1
b m 1 s b m
s a1 s
n m
n 1 m 1
a n 1 s a n b m 1 s b m
(n m )
b 0 s b1 s
m m 1
1.只含不同单极点的情况
X (s)
a1 s p1
B (s) A(s)


b 0 s b1 s
b m 1 s b m
( s p 1 )( s p 2 ) ( s p n )
an s pn
a2 s p2
x ( t ) y ( t ) 的卷积分的数学表示为：
x (t ) y (t ) x (t ) y (t )
06-7-20

t 0
t
x ( t ) y ( ) d
0

x ( ) y ( t ) d y ( t ) x ( t )
控制系统系统的动态数学模型 12
对于函数 x (t ) 满足， x （1）当t<0时， ( t ) 0
x (t 当t>0时， )
在每个有限区间上是分段连续的。
（2）

x (t ) e
t
dt
0
其中 是正实数，即 ) x (t
为指
x 数级的；则(t ) 的拉氏变换存在，其表达式记作 :
06-7-20 控制系统系统的动态数学模型 2
6 初值定理
7 终值定理
lim x ) ( t
t 0
lim
s
sX ) s (
lim x ( t ) lim sX ( s )
t s 0
注意:运用终值定理的前提
t
lim x ( t )是存在的。
8 时间比例尺改变的象函数 L [ x ( 例3：求 L [ f (at b ) 1(at
L [ a x1 ( t ) bx 2 ( t )] a X 1 ( s ) bX 2 ( s )
d x (t ) dt ] sX ( s ) x (0 )
2 微分定理
L[
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控制系统系统的动态数学模型
6
推论： （1）
L[ d dt
n n
x ( t )] s X ( s ) s
X ( s ) L [ x ( t )]



x (t )e
st
dt
0
式中，s是复变数； s
x (t ) 为原函数； X ( s )
j
Re( s )
为象函数。
2.3.2 简单函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 1( t )
0, t 0 1( t ) 1, t 0
a k 是 X ( s ) 在 s p 点的留数。 k
ak [
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B (s) A(s)
( s p k )] s p k
控制系统系统的动态数学模型 14
例5 试求
X (s) s
s 3
2
3s 2 a1 s 1
s 1
拉氏反变换。
a2 s 2
a 3 至 a n 与单极点的算法一样。
06-7-20 控制系统系统的动态数学模型 16
a1 s a 2 s cs d
2
可通过配方，化成正弦、余弦象函数的形式，
然后求其拉氏反变换 。
s s s a3 s 1 a1 s a 2 解：X ( s ) 2 3 2 s s s s s 1 s