第六节 定积分应用

第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。

06第六节定积分的几何应用第六节定积分的几何应用分布图示★面积表为定积分的步骤★定积分的微元法★直角坐标情形★例1★例2★例3★例4★参数方程情形★例5★极坐标情形★例6★例7★例8★圆锥★圆柱★旋转体★旋转体的体积★例9★例 10★例 11 ★例 12★例 13★平行截面面积为已知的立体的体积★例 14 ★例 15★内容小结★课堂练习★习题5-6内容要点：一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量«Skip Record If...»（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如«Skip Record If...»为积分变量，并确定它的变化区间«Skip Record If...»，任取«Skip Record If...»的一个区间微元«Skip Record If...»，求出相应于这个区间微元上部分量«Skip Record If...»的近似值，即求出所求总量«Skip Record If...»的微元«Skip Record If...»；(2) 由微元写出积分根据«Skip Record If...»写出表示总量«Skip Record If...»的定积分«Skip Record If...»微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量«Skip Record If...»关于区间«Skip Record If...»应具有可加性，即如果把区间«Skip Record If...»分成许多部分区间, 则«Skip Record If...»相应地分成许多部分量, 而«Skip Record If...»等于所有部分量«Skip Record If...»之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量«Skip Record If...»的近似表达式«Skip Record If...»，即使得«Skip Record If...». 在通常情况下，要检验«Skip Record If...»是否为«Skip Record If...»的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意«Skip Record If...»的合理性.二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 «Skip Record If...»所求曲边扇形的面积 «Skip Record If...»三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 «Skip Record If...»所求旋转体的体积 «Skip Record If...»四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 «Skip Record If...»所求立体的体积 «Skip Record If...»例题选讲：直角坐标系下平面图形的面积例1（E01）求由«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.解面积微元: «Skip Record If...»所求面积: «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2（E02）求由抛物线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»所围成的面积.解如图,并由方程组«Skip Record If...»解得它们的交点为«Skip Record If...»选«Skip Record If...»为积分变量, 则«Skip Record If...»的变化范围是«Skip Record If...»任取其上的一个区间微元«Skip Record If...»则可得到相应面积微元«Skip Record If...»从而所求面积«Skip Record If...»例3（E03）求由«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.解面积微元:«Skip Record If...»所求面积: «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例4计算由曲线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.解面积微元:(1) «Skip Record If...»«Skip Record If...»(2) «Skip Record If...»«Skip Record If...»所求面积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例5求椭圆«Skip Record If...»所围成的面积.解椭圆面积: «Skip Record If...»面积微元: «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例6（E04）求双纽线«Skip Record If...»所围平面图形的面积.解面积微元:«Skip Record If...»所求面积:«Skip Record If...»例7（E05）求心形线«Skip Record If...»所围平面图形的面积«Skip Record If...»解面积微元:«Skip Record If...»所求面积:«Skip Record If...»例8求出«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的图形的公共部分的面积（其中«Skip Record If...»）.解如图(见系统演示)，由对称性可知，所求面积为阴影部分面积的8倍，且线段«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»上. 令«Skip Record If...»代入方程«Skip Record If...»得其极坐标方程为«Skip Record If...»于是所求面积可表示为«Skip Record If...»«Skip Record If...»例9（E06）连接坐标原点«Skip Record If...»及点«Skip Record If...»的直线、直线«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴围成一个直角三角形. 将它绕«Skip Record If...»轴旋转构成一个底半径为«Skip Record If...»高为«Skip Record If...»的圆锥体, 计算圆锥体的体积.解体积微元:«Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例10（E07）计算由椭圆«Skip Record If...»围成的平面图形绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴所围成的图形绕«Skip Record If...»轴旋转而成的立体 .取«Skip Record If...»为自变量，其变化区间为«Skip Record If...»任取其上一区间微元«Skip Record If...»相应于该区间微元的小薄片的体积，近似等于底半径为«Skip Record If...»高为«Skip Record If...»的扁圆柱体的体积，即体积微元«Skip Record If...»故所求旋转椭球体的体积为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«SkipRecord If...»特别地，当«Skip Record If...»时，可得半径为«Skip Record If...»的球体的体积«Skip Record If...»例11求星行线«Skip Record If...»绕«Skip Record If...»轴旋构成旋转体的体积.解体积微元 :«Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»例12计算由连续曲线«Skip Record If...»、直线«Skip Record If...»、«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴所围成的曲边梯形绕«Skip Record If...»轴旋转一周而成的立体的体积.解体积微元:«Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»例13（E08）求由曲线«Skip Record If...» «Skip Record If...»所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积.解画出草图,并由方程组«Skip Record If...»解得交点为«Skip Record If...»及«Skip Record If...»于是,所求绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体的体积«Skip Record If...»所求绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体的体积«Skip Record If...»例14（E09）一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角«Skip Record If...»（图5-6-18），计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解截面面积:«Skip Record If...»体积微元: «Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»例15求以半径为«Skip Record If...»的圆为底、平行且等于的圆直径的线段为顶、高为«Skip Record If...»的正劈锥体的体积.解取底圆所在的平面为«Skip Record If...»平面，圆心«Skip Record If...»为原点,并使«Skip Record If...»轴与正劈锥的顶平行.底圆的方程为 «Skip Record If...»过«Skip Record If...»轴上的点«Skip Record If...»作垂直于«Skip Record If...»轴的平面,截正劈锥体得等腰三角形.这截面的面积为«Skip Record If...»于是所求正劈锥体的体积为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»即正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半.课堂练习1.求正弦曲线«Skip Record If...»和直线«Skip Record If...»及x轴所围成的平面图形的面积.2.求由曲线«Skip Record If...»及直线«Skip Record If...»所围成的平面图形的面积.3.求由抛物线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»围成的图形,绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体的体积.。