高一数学(人教A版必修4)课件：《任意角的三角函数》

习题 1.2 A组
第 1、2、3、4、5、8 题
习题 1.2
A组
1. 用定义法、公式一以及计算器等求下列角的
三个三角函数的值:
(1)
-
17
3
;
(2)
21
4
;
解: (1) 定义法:
(3)
-
23
6
;
(4) 1500.
yp
因为 与 的终边相同, 如图:
取终边上一点P, x =1,
则 r =2.
得
o1 x
(2) tan193 ;
(4)
tan(
-
31
4
).
解: (1) cos1109= cos(29+3360)
= cos29 ≈0.8746.
(2)
练习: (课本15页)
7. 求下列三角函数值(可用计算器):
(1) cos1109; (3) sin(-1050);
(2) tan193 ;
(4)
tan(
o
x
(-) (-) (-) (+) (+) (-)
sina
cosa
tana
请同学们归纳后记住各象限角的符号:
正弦上正下负, 余弦右正左负, 正切一三正二四负.
例3. 求证: 当且仅当下列不等式组成立时, 角q 为
第三象限角.
stainnqq
0, 0.
证明: 若 sinq <0 q 是三、四象限的角,
5. 根据下列条件求函数
f
(x)
=
sin(
x
+
4
)+
2sin(
x
-

思考6:在弧度制中，这三个三角函数的定义域 分别是什么？
正、余弦函数的定义域为R，
正切函数的定义域是 |2k,k
人教版数学必修四1.2.1《任意角的三 角函数 》讲授 课件( 共23张P PT)
人教版数学必修四1.2.1《任意角的三 角函数 》讲授 课件( 共23张P PT)
的正 :si 弦 ny
1.2.1 任意角的三角函数
第一课时
本节课以锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数 值的函数引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的 终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数 的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域 以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段 进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
y
OMP∽ O M P
P
P(a,b)
sin MP M P
OP OP
cos OM
OP
OM OP
O
M
M
x
tan M任意角的三 角函数 》讲授 课件( 共23张P PT)
人教版数学必修四1.2.1《任意角的三 角函数 》讲授 课件( 共23张P PT)
思考3：为了使sinα ，cosα的表示式更简单， 你认为点P的位置选在何处最好？
若OPr1，则
以原点为圆心,以单位长 度为半径的圆叫做单位 圆.
Y
P(a,b)
O
M
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sin MPb OP
cos OOMPa
X tan MP b OM a
O
y
a
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引入已有知识和经验，利于学生对新知识 的理解 和记忆。同时，培养学生的逻辑思维 能力和扩展思维能力。
初中锐角的三角函数是如何定义的？
y
r
o
P ( x, y )
M
x
对边 y sin 斜边 r 邻边 x cos 斜边 r 对边 y t an 邻边 x
（ 让 学 生 回 答 ）
y y 那么① 叫做 的正弦，即 sin r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y x 0 tan ③ x 叫做 的正切，即 x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
练习巩固
练习一 （口答）
sin 45
y
5 3
AOB 3000 , 如图所示它的的终边与单位圆的
5 解：在直角坐标系中，作AOB 易知 3
1 3 M﹒ 交点坐标为( , ) 2 2 o A x 5 5 3 5 1 ﹒B tan 3 cos 所以 sin 3 2 3 2 3
意图：加强学生对定义的理 解，让学生学会计算任意角 的三角函数
问题 1.在直角坐标系中如何用坐标表示
锐角三角函数？
y
P
y
O

x
M
x
前面我们学了角的概念推广后，下面我们要把 “定义媒介”从直角三角形改为平面直角坐标系。
在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中: OM x, MP y OP r x 2 y 2
y
﹒Px, y

MP y sin OP r
y
﹒ Px, y

O
A1,0 x
学生讨论填表

反思与感悟
利用诱导公式一可把负角的三角函数
化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三
角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化
正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
明目标、知重点
跟踪训练3
求下列各式的值：
23π
(1)cos－ 3 ＋tan


解
17π
4 ；
π

π

原式＝cos3＋－4×2π＋tan4＋2×2π
角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广
后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角
函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
明目标、知重点
探究点一 锐角三角函数的定义
思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知
a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，
反思与感悟
准确确定三角函数值中角所在象限是基
础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问
题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、
四余弦”来记忆.
明目标、知重点
跟踪训练2
已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( C )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
明目标、知重点

； 叫做α的正切，记作

②终边定义法：
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则



2
2


x
＋y

有sin α＝
，cos α＝
，tan α＝

OP r
tan MP b
OM a
锐角三角函数可以用
其终边与圆的交点的坐标 来表示
二、基础知识讲解
1、任意角三角函数定义
设α是一个任意角，它的终边与圆O交于P(x,y)，则
r x2 y2
y
y 叫做α的正弦，记作 sin
r
即sin y
P(x, y)
α
x
r 叫做α的余弦，记作
r
即cos x
y
付出就要赢得回报，这是永恒的真理，自古以来很少有人能突破它。然而，如果有人能够超越它的限制，付出而不求回报，那么他一定会得 到得更多。 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。
二、基础知识讲解 单位圆
在平面直角坐标系中，我们称以原点O为圆心， 以单位长度为半径的圆为单位圆。
y
A
R=1
O
x
二、基础知识讲解 1、任意角三角函数定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆O交于P(x,y)，则
y
y叫α的正弦 sin α y
P(x, y)
x叫α的余弦 cos x
α
y 叫α的正切
四、课时小结
1、任意角的三角函数的定义
sin α y , cos α x ,
r
r
tan α y x
2、三个三角函数的在各象限的符号
记法：
一全正 二正弦
三正切 四余弦
作业：P20 习题1.2
2 3(1) (3) 4(2) (4)
锐角三角函数定义
设α是一个锐角，它的终边与单位圆交于P(a,b)，则
sin =- 4 ,
5
O
x

书P20 1、2 《同步训练》
M M1 O
x
12 2
tan y 3 3
x 1
【例1】：如图已知角α的终边与单位圆的交点是
P( 1 , 3 ) ，求角α的正弦、余弦和正切值。
22
y
解：根据任意角的三角函数定义：
sin 3
2
cos 1
2
P( 1 , 3 ) 22
tan 3
O
x
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可 直接利用定义求三角函数值。
解：设角的终边与单位圆交于点P（x,y），
y 分别过点P，P0作x轴的垂线MP，M0P0，则
OMP OM 0P0 OP0 5
M0 M
O
A(1,x0) 则：M0P0 OP0 OM0
P(x, y)
MP OP OM
即 4 =5= 3 MP 1 OM
P0 (3, 4)
sin y 4
5
MP 4 5
【例2】：求角2 的正弦、余弦和正切值。
3
分析：解RtΔOMP可得点
y
P( 1 , 3 ) ，故 22
P（x，y） 2
3
sin 2 3 cos 2 － 1
MO
x
32
32
tan 2 3
3
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位 圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。
各象限角的三角函数值的符号
O 1x
sin y
cos x
tan y
x
同样的，怎样利用单位圆来定义任 意角的三角函数呢？
y
P(x,y)
O
x
y
y
P(x,y)
O
x

y sin α r x cos r y tan
x
的终边
P(ｘ，ｙ)
y
r (
r
o
x
x2 y2
)
三角函数的定义域： 三角函数 定义域 R
| k , k Z 2
sin cos
tan
R
函数值在各象限的符号
( +) ( ) （ + ） ( ) ( )
y P . .P
1 （x1，y1）
.P
O
M2
2（x2，y2）
M1
x
对于任意角 的每一个确定值，比值都是惟一确定 的，不会随点P在终边上的移动而变化。
点P在终边上的位置可以是任意的，能否找到一个特殊 的位置，使得三个三角函数值的等式更简洁？ y P(ｘ，ｙ) o

x
y sin α r x cos r y tan x
角ɑ(角度) 角ɑ(弧度)
0
0 1 0

2

0 -1 0
3 2
2
1 0
不存在
-1 0
不存在
0 1 0
例1 正切的值.
解：
5 求 3
的正弦、余弦、
y
5 3 O
5 在直角坐标系中，作 AOB 3
1 2
易知AOB的终边与单位圆的 1 3 交点坐标为 ( ， ) 2 2
5 3 sin 3 2
o
P α的终边
(Ⅲ )
x
o
P (Ⅳ ) T
x α的终边
与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别称为正弦线、 余弦线、正切线，统称为三角函数线。

sin>0,则a的取值范围是 -2<a<。3
归纳 总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.
1.2.1任意角的三角函数 （第2课时）
探究：1.三角函数的定义域
三角函数
定义域
sin
cos
tan
R
R
k
2
,k
Z
y 2.三角函数值在y各象限的符号 y
（）
（ ） （ ） （ ） （ ）
o
x
o
x
o
x
（ ）（ ）
sin
（ ） （ ）
cos
（ ）tan（ ）
1、若tan<0,则为第 象限的角. 2、若是第三象限角，则点A(sin,cos )
课堂 练习
1、cos 0是为第二象限角B
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2、函数y
sin x sin x
cos x cos x
tan x tan x
cot x cot x
的值域是 B
A、2，4B、2，0，4C、2，0，2，4D、4，-2，0，4
课堂 练习
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数1
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin、csc cos、sec tan、cot
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”

o
x
p
α终边
T
例7：不查表，比较大小。
⑴ sin 2
3
和
sin 4
5
解：
y 1
由图形得到
sin 2π > sin 4π
3
5
o 1x
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
y 1
o 1x
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
tan 2π < tan 4π
sinθ < 0 tanθ > 0
探究
根据三角函数的定义:
终边相同的角的同一三角函数值 是否相等？
∵终边相同的角的集合为：
{ k2 , k Z }
∴
终边相同
点的坐标相同
同一三角函数值
诱导公式
终边相同的角的同一三角函数值相 等，由此得到（公式一）：
sin(α + k 2π) = sinα;
示角α的正弦值和余弦值吗？
y
| MP |= y = sinα
P（x，y）
| OM |= x = cosα
OM x
思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆 的交点为P（x，y），则 sin y ，
cos x都是负数，此时角α的正弦值和余弦
值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin
| OM | x cos
p
Mo
y
M
o
p
y α终边
p(x , y)
x
oM x
正弦线
余弦线

r 13
tan y 5
x 12
方法小结：已知终边上任意一点P（x,y），先 计算OP=r，再用三个比值求出。
• 1.已知 P( 3，y) 为角的终边上的一点，且 sin 13 则 y
值为（ A ）
13
A. 1 2
B. 1 2
C. 1 2
B. 1 4
• 2.已知角终边上一点 p x,3 x 0 ，且 cos 10 x ，求
sin 7 1 , cos 7 3 , tan 7 3
﹒6
2
6
2
63
x A
﹒
方法小结：作出图形，利用终边与单
B 位圆相交，找出交点的坐标，再利用三角
函数的定义求出相应的值。
例2 已知角 的终边经过点 P0(3,4)，求角 的正弦、余
弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3)2 (4)2 5
sin , tan
10
•
3（．1）求下0；列各角（的2三）个；三角函数（值3：）3 ．
2
归纳 总结
1. 内容总结： 任意角的三角函数的概念. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 化归的思想，数形结合的思想.
作业：
课本第20页 习题1.2A组 1、2题.
y
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P 、P0 作 x 轴的垂线 MP、M 0 P0 M0 M
M0P0 4
OM x
O
x
OM0 3
MP y
OMP ∽ OM 0P0
Px, y P0 3,4
于是，sin y y | MP | M0P0 4 ;
1 OP

公式作用：可以把求任意角的三角函数值，
转化为求 0 到 2 或 0 到 角3 的三 6 角函0数值 .
例3 求下列三角函数值：
（1） cos9
4
（2） tan( 11)
6
解：（1）co 9 4 sco 4 s 2 ( ) co 4 s2 2
（2）ta 1 n )1 ( ta n 2 ) (ta n ta n 3
A.4 3
B.4 3
C.4 3
D. 3
例2、已知角 的终边经过点P0(3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解：由已知可得：
rx2y2 3 2 ( 4 )2 5
于是，sin y 4 r5
cosx 3 r5
tan y 4 x3
合作 演练
变式1、已知角 的终边过点 P1,2 5 ，
求 的三个三角函数值.
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(67)2（3）sin
4
解：（1）因为 250是第三象限角，所以co 2s5 0 0；
（2）因为 tan(67)2= ta 2 n 3 ( 6 4 ) 0 8 ta 4 ，n 8
r
第 二 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 r x 为 负 值 ； o
x
第 三 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 负 值 ； r
第 四 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 正 值 ； r
三角函数在各象限内的符号：
交叉正负
第 3一 、 象 正 限 切 ： 函 x 数 0 ,值 y t0 a,n 故 y 为 x y 正 值 ； y x

点出发的线段,以三角函数线与坐标轴的交点为起点.
一 二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
(3)三角函数线的画法:
①作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交
点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余 弦线.
②作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交α的终边(α为第
一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限 角)于点T,即可得到正切线AT. (4)三角函数线的主要作用:
解析:
因为角-π的终边与单位圆交于点 P 1 ,- 3 ,
3
22
所以 sin α=- 23,cos α=12,tan α=- 3.
一 二 三四
知识精要 典题例解 迁移应用
(2) 解:r= (-3������)2 + (4������)2=5|a|,
①若 a>0,则 r=5a,角 α 在第二象限.
sin α=������ = 4������ = 4,cos α=������ = -3������=-3,
一 二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
ππ
(1)4如果 2 <α< ,那么下列不等式成立的是( )
A.cosα<sin α<tan α
B.tanα<sin α<cosα
C.sinα<cosα<tan α
D.cosα<tan α<sin α
①sin23π(与2)利sin用45π三; 角函数线比较下列各组数的大小: ②tan23π与 tan45π. (1)答案:A
一 二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
解析:如图,在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、 正切线AT,很容易地观察出OM<MP<AT,即cos α<sin α<tan α.

概念拓展
课堂小结
类比
当r=1
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念再探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
单位圆：
r=1
直角坐标系中，以原点为圆
O
x
心，以单位长为半径的圆。
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念形成】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
O
x
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念复习】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
直角三角形中 线段比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念初探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
y
O
x
线段比--坐标比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
类比
？
演示，观察 相应的坐标比值。
人教A版必修四第一章
《任意角的三角函数》
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
O r=1 P
x
〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰 〰〰 〰〰〰
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】

4. 诱导公式
4. 诱导公式
终边相同嘚角三角函数值相同
sin( 2k ) sin , cos( 2k ) cos , 其 中k Z . tan( 2k ) tan ,
例题与练习
例5. 求下列三角函数嘚值：
(1) cos 9 ;
4
(2) tan( 11 ).
6
例题与练习 例6. 求函数 嘚值域.
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例3. 已知角 嘚终边过点(a, 2a)(a≠0)， 求 嘚三个三角函数值．
3. 三角函数嘚符号
练习.确定下列三角函数值嘚符号：
(1) cos 250o; (3) tan( 672o );
(2) sin( );
4
(4) tan 11 .
3
例题与练习
例4. 求证：若sin ＜0且tan ＞0 ，则 角 是第三象限角，反之也成立.
2
2. 三角函数嘚定义域、值域
函数
定义域
值域
R
[1, 1]
R
[1, 1]
{ | k , k Z } R
2
例题与练习 例1. 求下列各角嘚三个三角函数值：
(1) 0; (2) ; (3) 3 .
2
例题与练习
例2. 已知角 嘚终边经过点P(2,－3)， 求 嘚三个三角函数值．
例题与练习
y cos x tan x cos x tan x
课堂小结
1．任意角嘚三角函数嘚定义； 2．三角函数嘚定义域、值域； 3．三角函数嘚符号及诱导公式.
课后作业
1. 阅读教材P.11-P.17； 2. 《习案》第三课时.
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