固体物理学讲义5.2
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§5-3 导体、半导体和绝缘体的能带论解释
本节将从能带理论的角度对存在大量电子的固体为什么有导体、半导体和绝缘体之分。
一、满带电子不导电
由)()(k E k E n n -=及0
0)(1k k
k E v
∇=可以得到同一能带中k
态
和k -态具有大小相等方向相反的速度：)()(k v k v
--=。
因此在一
个完全为电子所充满的能带中尽管就每一个电子运动来讲，都对电流有一定贡献，但-k 和k 态的电子电流（因为每个态都有电子占据）正好相抵消，总的电流为零。
在存在外当场或者外磁场时同样改变不了这种状态，如下图
在外电场的作用下，所有电子所处的状态都按：
F dt k d =
变化，即k 轴上各点均以完全相同的速度运动，因此并不改变均匀填充各k 态的情况（因为各态都填充满），结合上面的分析，
同样不产生电流（这里忽略电场足够强时隧穿效应的影响）。
这也是满壳的内层电子对电流没有贡献的原因。
二、导体和非导体的模型
对于导体，存在处于部分填充的能带上的电子，在无外场时对称地填充一对对正负的k态上，总电流抵消。
但存在外场时，情况就截然不同。
在外场所施加的作用力的影响下，整个电子分布将向一个方向移动，从而破坏了原来的对称分布，这时电子电流部分抵消，产生一定的宏观电流。
对于非导体，电子恰好填充满一系列低能级的能带，而高能级能带没有电子，由于满带电子不产生电流，因此不导电。
对于非导
体如果存在一定数量的施主或者受主杂质，或者能级最高的满带和上面能带的带隙宽度较小，容易使得电子受到热激发迁跃导较高能带从而能够具有一定的导电性，这部分固体称为半导体；
在金属和半导体之间还存在一种中间情况：导带底和价带顶或发生交叠或具有相同的能量，在此情况下通常同时在导带中存在一定量的电子，而在价带存在一定数量的空穴，其导带电子的密度比普通金属少几个数量级，这种情形称为半金属。
§5－4 在恒定磁场中电子的运动 一、恒定磁场中的准经典运动
准经典运动的基本方程：
)(1)(k E k v k
∇=，B
k v e dt
k d
⨯-=)()(
由此得到：k 空间的速度无外场分量；由于洛伦兹力的方向始终和速度方向正交而不做功，因此电子的能量E(k)不随时间变化。
如下图
若外磁场沿着z 方向，对于自由电子：m
k k E 2)(2
2 =，代入上
述方程有：0,
,
==
-
=dt dk k m eB dt
dk k m eB dt
dk
z x y
y x
,
,
==
-
=dt
dv v m
eB dt
dv v m
eB dt
dv z x y y x
二、自由电子情况的量子理论
设外磁场方向为z 轴方向，则系统的哈密顿量为：
]ˆˆ)ˆ[(21ˆ222z y y x p
p eB p m
H ++-= 注意到哈密顿量和x 、y 无关，因此波函数可以表示为：
)()
(y e
z k x k i z x ϕψ+=
代入薛定鄂方程可以得到：
)]([)(00)
(2
02
00
y y H e y y n y y n -≅---
ωϕω
0)2
1(ωε +
=n n
其中：m
k E k eB
y m
eB z n x 2,,2
200
+
==
=
εω
三、晶体中电子的有效质量近似
把周期场的影响有有效质量的变化表示，称为有效质量近似。
