高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》解析含答案

新数学高考《计数原理与概率统计》复习资料

一、选择题

1．设1021001210(2)xaaxaxaxL，那么220210139)aaaaaaLL的值为（ ）

A．0 B．1 C．1 D．10(21)

【答案】C

【解析】

【分析】

令1x和1x得到012310aaaaaL，012310aaaaaL，再整体代入可得；

【详解】

解：因为10210012102xaaxaxaxL，

令1x得1001231021aaaaaL，

令1x得1001231021aaaaaL，

所以220210139)aaaaaaLL

012310012310aaaaaaaaaaLL

10102121

102121

1011

故选：C

【点睛】

本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．

2．在区间[1,1]上随机取一个数k，使直线(3)ykx与圆221xy相交的概率为（ ）

A．12 B．13 C．24 D．23

【答案】C

【解析】

【分析】

根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.

【详解】

因为圆心(0,0)，半径1r，直线与圆相交，所以 2|3|11kdk，解得2244k

所以相交的概率22224P,故选C.

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.

3．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ）

A．100种 B．60种 C．42种 D．25种

【答案】C

【解析】

【分析】

给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数.

【详解】

甲可有3种安排方法，

若甲先安排第1社区，

则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1343CC；

第2社区2个、第3社区安排2个，共2242CC；

第2社区3个，第3社区安排1个，共1141CC；

故所有安排总数为1322114342413()42CCCCCC.

故选：C.

【点睛】

本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

4．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种．

A．2267AA B．3247AA C．322367AAA D．362467AAA

【答案】D

【解析】

【分析】

采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是34A种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可.

【详解】 采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是34A种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是66A种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是27A种．综上所述，不同的排法共有362467AAA种.

故选D.

【点睛】

解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．

5．下列等式不正确的是（ ）

A．111mmnnmCCn B．12111mmmnnnAAnA

C．11mmnnAnA D．1(1)kkknnnnCkCkC

【答案】A

【解析】

【分析】

根据排列和组合公式求解即可.

【详解】

根据组合公式得11!1(1)!1!()!1(1)!()!1mmnnnmnmCCmnmnmnmn，则A错误；

根据排列公式得

122111(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!mmmnnnnnnnAAnnnAnmnmnmnm，则B正确；

根据排列公式得11!(1)!()!()!mmnnnnAnnAnmnm，则C正确；

根据组合公式得1!!(1)(1)(1)!1!!1!knnnkCkknkknk

!!()!()!!(1)!kknnnnnCkCnkknkknk

即1(1)kkknnnnCkCkC，则D正确；

故选:A

【点睛】

本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.

6．在区间0,1内随机取两个数m､n，则关于x的方程20xnxm有实数根的概率为（

）

A．18 B．17 C．16 D．15

【答案】A

【解析】

【分析】

根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果.

【详解】

若方程20xnxm有实数根，则40nm.

如图，400101nmmn表示的平面区域与正方形0101mn的面积之比即为所求的概率，

即111124118SPS阴影正方形.

故选：A.

【点睛】

本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.

7．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用（万元）

4

2

3

5

销售额（万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程ˆˆˆybxa中的ˆb为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：4235492639543.5,4244xyQ，

∵数据的样本中心点在线性回归直线上，

回归方程ˆˆˆybxa中的ˆb为9.4，

∴42=9．4×3．5+a，

∴ˆa=9．1，

∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，

∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5

考点：线性回归方程

8．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ）

A．18 B．28 C．38 D．42

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．

【详解】

根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，

先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，

则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，

将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有2887282C种不同的放法，

即有28个不同的符合题意的放法；

故选B．

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．

9．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ）

A．18

B．35 C．58 D．78

【答案】C

【解析】

【分析】

设1路车到达时间为x和2路到达时间为y．（x，y）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果.

【详解】

设1路车到达时间为x和2路到达时间为y．（x，y）可以看做平面中的点，

试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|0≤x≤10且0≤y≤20}，这是一个长方形区域，面积为S＝10×20＝200

A表示某生等车时间不超过5分钟，

所构成的区域为a＝{（x，y）|0≤x≤5或0≤y≤5}，

即图中的阴影部分，面积为S′＝125，

代入几何概型概率公式，可得

P（A）'12552008SS

故选C

【点睛】

解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．

10．已知ac，随机变量，的分布列如表所示.

 1 2 3

P a b c

 1 2 3

P c b a

命题p：=EE，命题q：DD，则( )

A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假

【答案】C

【解析】

【分析】

首先分别求E和E，然后比较，利用公式22DEE，利用公式1abc，计算DD的值.

【详解】

12323Eabcabc

12332Ecbaabc ，

2EEca acQ，

EE，所以命题p是假命题，

249Eabc，2223Eabc，

所以24923Dabcabc

294Eabc，2232Eabc，

2229432DEEabcabc ，

2283223DDcaabcabc

822444caacabc ，

1abcQ ，

所以880DDcaac，

即DD,所以命题q是真命题.

综上可知p假q真.

故选：C

【点睛】