人教版八年级数学下册 第十七章《勾股定理》单元同步检测试题(含答案)

第十七章《勾股定理》单元检测题

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）

A．1 B．﹣1 C．1﹣ D．

2．如图，线段AB＝、CD＝，那么，线段EF的长度为（ ）

A． B． C． D．

3．下列说法：

①若a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；

②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；

③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；

④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1，

其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．ED是BC的垂直平分线，BD平分∠ABC，AD＝3．则CD的长为（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（ ）

A．75 B．100 C．120 D．125

6．若ABC的三边长a、b、c满足222681050abcabc，那么ABC是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．钝角三角形

7．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（ ）

A．3 B．3 C．5 D．3或5

8．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49．其中正确的结论是（ ）

A．①② B．② C．①②③ D．①③

9．如图，笑笑将一张A4纸（A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB）剪去了一个角，量得CF＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）

A．50 mm B．120 mm C．160 mm D．200 mm

10.已知，EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（ ）

A．36 B．9 C．6 D．18

二、填空题(每小题4分，共24分)

11．如图，一架梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米；当梯子顶部A沿墙下移0.4米到A′处时，梯子底部B将会外移0.8米达到B′处，则梯子AB长为_________米．

12．已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC的面积是__________．

13. 已知一个直角三角形的两边长分别为4和3，则它的面积为 _________ ．

14. 如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为________________。

15. 在△ABC，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是_______.

16．等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为 秒．

三、解答题(共66分)

17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3．

（1）求证：BD⊥AC； （2）求AB的长．

18．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13,

求证：△ACD是直角三角形．

19．（10分）如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？

20.(8分)学校要征收一块土地，形状如图所示.已知∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，土地价格为1000元/m2，请你计算学校征收这块地需要多少元？

21.(8分)如图，OB⊥OA，OA＝45cm，OB＝15cm一机器人在B处发现有一个小球自点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从B处出发沿BC方向以相同的速度匀速前进去拦截小球，恰好在点C处截住了小球，求机器人行走的路程BC。

22．(10分) 如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠B=45°,∠C=30°,AD=1,求△ABC的周长.

23．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）当t＝2秒时，求PQ的长；

（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？

（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

参考答案

一、选择题

1．C 2. C 3. C 4. A 5. A 6. B 7. D 8．C 9.D 10.A

二、填空题

11.2.5

12.24

13、 6或 ． 14、 45° 15、 4.8

16. 7秒或25秒．

三、解答题：

17．（1）证明：∵CD＝3，BC＝5，BD＝4，

∴CD2+BD2＝9+16＝25＝BC2，

∴△BCD是直角三角形，

∴BD⊥AC；

（2）解：设AD＝x，则AC＝x+3．

∵AB＝AC，

∴AB＝x+3．

∵∠BDC＝90°，

∴∠ADB＝90°， ∴AB2＝AD2+BD2，

即（x+3）2＝x2+42，

解得：x＝，

∴AB＝+3＝．

18．见解析

【解析】试题分析：首先利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理的逆定理证明90DAC， 可得ACD是直角三角形．

证明：15,9,90ABBCACB，

2215912AC，

22251213，

222ADACCD，

90DAC，

∴△ACD是直角三角形.

19．3h.

【解析】首先根据勾股定理逆定可证明△ABC是直角三角形，然后计算出∠BCD的度数，再根据直角三角形的性质算出DC的长，然后根据速度和路程可计算出多长时间后这人距离B送奶站最近．

解：过B作BD⊥公路于D．

∵82+152=172，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．

∵∠1=30°，

∴∠BCD=180°-90°-30°=60°．

在Rt△BCD中，

∵∠BCD=60°，

∴∠CBD=30°， ∴CD=12BC=12×15=7.5（km）．

∵7.5÷2.5=3（h），

∴3小时后这人距离B送奶站最近．

20.解:连接AC

∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m.

∴由勾股定理得:AC2＝AB2+BC2＝202+152＝625(m2).

∵在△ADC中，∠D＝90°，CD＝7m，

∴由勾股定理得AD＝AC2-CD2＝625一72＝576(m2)

∴AD=24 m

∴四边形ABCD的面积为21AB・BC+21CD・AD＝21×20×15+21×7×24＝234(m2).

234×1000＝234000(元)

答:学校征收这块地需要234000元

21.解:∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等.

∴BC＝CA.设BC＝CA＝xcm，则OC＝(45-x)cm，

由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，

即152+(45-x)2＝x2，解得x＝25

答:机器人行走的路程BC是25cm

22. 解：∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.

在Rt△ADB中,

∵∠B+∠BAD=90°,∠B=45°,

∴∠B=∠BAD=45°,

∴AB=BD=1,AB=2 .

在Rt△ADC中,

∵∠C=30°,∴AC=2AD=2,

∴CD=3 ,BC=BD+CD=1+3 ,

∴AB+AC+BC=2 +3 +3. 23. 【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，

BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，

∵∠B＝90°，

PQ＝＝＝2（cm）；

（2）解：根据题意得：BQ＝BP，

即2t＝8﹣t，

解得：t＝；

即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；

（3）解：分三种情况：

①当CQ＝BQ时，如图1所示：

则∠C＝∠CBQ，

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，

∠A+∠C＝90°，

∴∠A＝∠ABQ

∴BQ＝AQ，

∴CQ＝AQ＝5，

∴BC+CQ＝11，

∴t＝11÷2＝5.5秒．

②当CQ＝BC时，如图2所示：

则BC+CQ＝12

∴t＝12÷2＝6秒．

③当BC＝BQ时，如图3所示：

过B点作BE⊥AC于点E，

则BE＝＝＝4.8（cm）

∴CE＝＝3.6cm，

∴CQ＝2CE＝7.2cm，

∴BC+CQ＝13.2cm，

∴t＝13.2÷2＝6.6秒．