第二章 微积分模型

R 曲率是零, 而半径为 的圆弧的曲率是
如果直1道/ R,
与圆弧直接相切, 则在切点处曲率有一跳跃度. 只有
R 当 充分大, 列车在转弯时才显得比较平稳. 但这并不
符合实际. 故需要在直道和弯道之间加一段称作缓和曲
线的弯道, 才使得铁轨的曲率连续地从零过度到
1/ R.
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y B
R 圆弧道（主弯道）
大的差异.
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M3
但是, 转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度.
例如在下图中, 两段弧
与M1M2 有相M同1M的切2 线转
角, 但曲线的弯曲程度则是不同的.
M1
M1
M 2
M2
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2.曲率的概念
设平面曲线 是光C滑的, 在 上取一C点
度的基点, 设点 是曲M线上任意一点, 弧
为 s,点 M是曲 线 上的C另外一点, 弧
作为度量M弧 0 的弧长M 0 M
的弧M长为0M
s s, 点 M处切线的倾
y
角为 , M处切线的倾角为
, 则 MM的弧长为 s, 切线的转角为 ,
M
M
s
O
x
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称 为弧段
s
M的M平均曲率, 记为 即
K,
K .
s
s 0 若当
例4 计算抛物线 y ax2 b上x任意一c点处的曲
率, 并求出曲率最大处的位置.
解 因 y 2ax b, y 代2入a公.式⑵得
2a
K
,
1
2ax
b
2
3
/
2
由于在上式中, 分子为常数, 故当
2a时x,曲b率 0

3!
3! 5!
相应的误差分别为
R4x5 1!x5,R6x7 1!x7.
y
P1 x x
P5xx31!x351!x5
y sin x
O
x
P3
x
x
1 3!
x3
利用Mathematica可以做出函数y sin x与其近似多 项式的图形. 从图中可以看到, y sin x与其泰勒多项
式 Pn x 随着 n 的增大而越来越贴近.
y P1 x
y P5 x y P13 x y P9 x y P17 x
y sin x
y P3 x y P11 x
y P19 x
y P7 x
y P15 x
常见函数的麦克劳林展开式:
co sx11x21x4 2 ! 4 !
2 m 1 m !x2mR 2m 1x,
其中
R2m1xcos2 xm m 2!1πx2m2.
f nn!x0xx0n.
⑶
上式称为函数 f x 的 n 阶泰勒多项式.
例1 求 f x ex 在 x 0 处的1阶和2阶泰勒多项式.
解 因 f0 1 ,f0 1 ,f0 1
故而1阶泰勒多项式为:
P 1 x f0 f0 x 1 x .
2阶泰勒多项式为:
P 2 x f0 f0 x f2 0 x 2 1 x x 2 2 .
lim x3
lim3!x3
, 6
故原极限为
1
lim
x0
sin x
x
x2
1
e 6.
知识回顾 Knowledge Review
x1 x1
y
x
1
12
,
y21,y22,

曲线有水平切线. 若记点 C y
的横坐标为 , 则有
C
y f x
f ( ) 0.
A
B
Oa
bx
进一步观察, 当 f a f b 时, 又看到在曲线弧 AB
上, 至少有一点 C, 弧 AB在该点处的切线 CT 平行于弦
AB, 又切线CT 的斜率是 f (b) f (a) , 以 记C 的横坐
例3 设函数 y x 4 , 画出曲线在 0,100,10中的图
x
形, 在同一平面上作出过点 1,5,8,8.5的割线, 并作
相应的切线.
割线的斜率为: k 0.5. 所以, 割线方程:
y 0.5x 4.5. 为求切点的x 坐标, 求解方程:
4 1 0.5.
π 2

上连续,
可导,
且
g x 1 sin x 0 x 0, π / 2, 即满足定理的条
件, 现求 0,π / 2, 使得
f π / 2 f 0 f g π / 2 g 0 g .
因
f g

π π
/ /
2 2
当 x 0 时,
f (x0 x) f (x0 ) 0; x
由函数 f (x) 在点 x0处的可导性及极限的保号性, 得
f (x0 )
f(x0 )

lim
x 0
f (x0 x) x
f (x0 ) 0,
f (x0)
f(x0 )

lim
x 0
f ( ) 0.
证 因 f Ca,b,故f x必在a,b上取到最大值 M 与 最小值 m.若 M m, f C a,b, 有

dC 利用微分法，令 0 dT
，不难求得 （4）
2c1 r c2
T
2c1 rc 2
再根据（1）有，
Q
（5）
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Q
2c1 r c2
（5）
这就是经济理论中著名的经济订货批量公式（EOQ公式） 货物本身的价格可不考虑，这是因为若记每吨货 的价格为k，则一周期的总费用 C 中应添加kQ，由于
Q rT
（1）
订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮 存量为q，则q(t)的变化规律可以用图1表示
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座 q
Q A r T 图1 t
0
考察一个订货周期的总费用：订货费为c1;贮存费是
c2 q(t )dt 其中积分恰等于图中三角形的面积为A，显然
0 T
1 A QT 2
实例十一、森林救火数学模型
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贮存模型 背景 不允许缺货的贮存数学模型 知识 工厂要定期地订购各种原料，在仓库里供生产
之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以 备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。 无论是原料、商品还是水的贮存，都有贮存多少的 问题。原料、商品贮存得太多，贮存费用高；贮存 得太少，则无法满足需求。水库雨季蓄水过量，更 可能危及安全。当影响贮存量的因素包含随机性时， 如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响，需要建 立贮存模型。
Q rT 所以公式（3）中增加一常数项kr，对求解结果
式（4）、（5）没有影响。 （5）式表明，订货费c1越高，需求量越大，订货批量 Q应越大；贮存费c2越高，订货批量Q应越小，这些关系 当然是符合常识的，不过公式在定量上表明的平方关系 却是凭常识方法得到的