圆锥曲线极坐标方程的应用

1 浅谈极坐标及极坐标方程的应用

摘要

极坐标法是一种重要的解题方法，虽然高中数学教材已经删去极坐标的内容，但这一思想和方法对解决平面几何问题和高等数学问题都有很重要的作用，有必要加以深入研究。

本文首先对极坐标的基础知识进行阐述，给出了极坐标的相关概念，以及求曲线极坐标方程的方法与步骤，并求出了三种圆锥曲线统一的极坐标方程，然后讨论了极坐标在平面解析几何中的应用，最后探讨了极坐标在解决高等数学问题的应用。通过对极坐标在数学各方面的应用的探讨，我们能够发现极坐标有很大的优越性。通过探讨研究，使我们对极坐标这一思想和方法有更深的了解，并使学生对高中平面几何内容有完整的把握，有更深层次的掌握。同时，这种对知识的深入掌握可以使教育者更好的完成对其的教学任务。

关键词：极坐标；应用；优越性

前言

第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。瑞士数学家J.贝努利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由滴应用极坐标去研究曲线。

在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标系表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变得极其简单。通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比直角坐标系具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。

国内外研究动态，不仅在数学理论反面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。由此看来，极 2 坐标已经应用到各个领域。

文数专题复习----极坐标与参数方程

- 1 - 圆锥曲线------ 极坐标系与参数方程

【目标】:1、掌握点的极坐标与直角坐标的互化；2、掌握曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、会把极坐标系的问题转化为直角坐标系的问题解决；4、掌握曲线的参数方程与普通（直角坐标）方程的互化；5、会参数方程解决曲线的交点与最值问题。

坐标系

一、知识要点

1. 对于极坐标系内任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从Ox到OM的角度，则叫做点M的 ，叫做点M的 ，点M的极坐标是 。

2. 极坐标与直角坐标的互化公式：x= ，y= ，2 = ， tan= 。

3. 特殊的圆的极坐标方程: r,2cos,2sin,cossinaaab

4. 特殊的直线的极坐标方程：sin,cos,(R),aa

二、例题与练习

1. 点M的直角坐标是 (1,3)，则M点的极坐标为（ ）

2.(2,).(2,).(2,).(2,2),()3333ABCDkkZ

2. 曲线的极坐标方程sin4化为直角坐标方程为 .

3. 在极坐标系中，过点22,4作圆4sin的切线，则切线的极坐标方程是 ．

4. 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3，则直线的极坐标方程为______________.

5. 在极坐标系中，圆C的极坐标方程是π4cos6。现以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则圆C的半径是 ，圆心的直角坐标是 。

6. 极坐标内曲线2sin的中心O与点D1,的距离为 ．

２　中学数学研究　

圆锥曲线的极坐标方程及其应用　

安徽省砀山中学（２３５３００）　盖传敏　

在历年高考试题及模拟试题中，经常出现涉及圆锥曲线　

焦点弦、焦半径等有关试题，在直角坐标系中，解决此类问题　

常常是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，或解方程　

组，或用韦达定理或用弦长公式，都会带来繁琐的运算，致使　

部分同学望而生畏，而通过建立极坐标系，使用圆锥曲线的　

极坐标方程来求解，可以回避复杂运算，轻松解题．　

１圆锥曲线的极坐标方程　

（１）Ｐ＝＿　，＿　表示极点在左焦点的椭圆、极点为焦　

点开口向右的抛物线、极点在右焦点的双曲线；　

（２）Ｐ＝＿　表示极点在右焦点的椭圆、极点为焦　

点开口向左的抛物线、极点在左焦点的双曲线：　

（３）Ｐ：＿　！，一　表示极点在下焦点的椭圆、极点为焦　点开口向上的抛物线、极点在上焦点的双曲线：　

（４）ｐ　表示极点在上焦点的椭圆、极点为焦　点开口向下的抛物线、极点在下焦点的双曲线．　

注ｅ为圆锥曲线离心率，ｐ为焦点到相应准线的距离，ｐ　

为极径，０为极径与Ｘ轴正半轴的夹角．　２圆锥曲线极坐标方程的应用　

应用１求直线斜率或直线方程　

例ｌ（２０１０年全国卷ＩＩ理科第ｌ２题）已知椭圆Ｃ：　＋　ｙ２＝１（。＞６＞０）的离心率为　，过右焦Ｆ且斜率　

为ｋ（ｋ＞０）的直线与ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，若Ａ　＝３Ｆ百，　

则ｋ＝（）　

Ａ．１　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．２　

定理４若Ｆ　（ｚ）、Ｆ　（　）、Ｆ　（　）在【０，＋。。）都有意　

义，Ｆ（ｏ）＝０，Ｆ　ｘ）≤０，则对于任意　≥０，都有　

Ｆ（ｘ）≤去Ｆ　（０）ｚ　叵成立（当且仅当　＝０取等号）．　二　１　证明设ｃ（ｘ）＝Ｆ（ｚ）一去Ｆ　（０）　。（　≥０），则Ｇ（ｏ）：０，　

Ｇ　ｘ）＝Ｆ　（　）一Ｆ　（Ｏ）ｚ，Ｇ　（０）＝Ｆ　（Ｏ），Ｇ　（ｚ）＝Ｆ　（ｚ）一　

Ｆ　（０），Ｇ　（Ｏ）＝０，Ｇ　（　）＝Ｆ　ｘ）≤０，Ｇ　（ｚ）单调递　

减，Ｇ　ｘ）≤Ｏ（当且仅当Ｘ：０取等号），Ｇ　（　）单调递减，　

２０１４年第２期　数学教育研究　·４３·　

圆锥曲线极坐标方程的妙用　

魏　欣　邓春梅（ｆ－东省雷州市豪八中学５２４２３２）　

椭圆、双曲线和抛物线可以统一定义为：与一个定　点（焦点）和一条直线（准线）的距离之比等于常数（离　心率）的点的轨迹．由于它们的离心率不同，所以这三　种曲线的方程在直角坐标系下很难统一，给研究有关　问题（如焦半径问题）带来不便．极坐标系作为一种研　究问题的方法，研究直线、圆、圆锥曲线、螺线、玫瑰线、　圆柱面等方程形式极其简化，为此课标课程教材中专　门用一章介绍极坐标系及其应用，由于多种原因，这部　分选修内容中没有圆锥曲线极坐标方程，而高考中考　查圆锥曲线性质是一个重点，其中有一些问题若用了　极坐标方程求解极为便捷．本文介绍圆锥曲线极坐标　方程，研究其若干性质，并用这些性质简捷、快速地解　决与焦点弦、焦半径有关的问题．　１圆锥曲线极坐标方程　１．１　圆锥曲线极坐标方程定义及推导　定义：以圆锥曲线的焦点为极点，过该焦点相应准　线的垂线，垂足与焦点连线的延长线为极轴，建立极坐　标系．则圆锥曲线方程统一的极坐标形式为Ｐ—　ｅｌ　）　其中ＩＤ为极径（焦半径），０为极角，Ｐ为焦点　到相应准线间的距离，ｅ为离心率．　其推导过程如下：　如图１所示，设Ｍ为曲　线上任一点，Ｆ为焦点，￡为　相应准线，过点Ｆ作ＦＫ上ｌ　于Ｋ，作ＭＢ上ｚ轴于Ｂ点，　设ＩＦＭ　Ｊ＝．Ｄ，　ＭＦＢ一０，在　Ｒｔ　ＡＭＦＢ，ｌ　ＢＦ　Ｉ—ｐｃｏｓＯ，　ＩＭＡｌ—Ｐ－４－ｐｃｏｓ０．则由圆锥　曲线的统一定义得：　ｆ　

Ｆ　Ｂ　ｘ　

图１　

～即　一所以１０一　，①．　说明：　（１）当Ｏ＜　＜１，曲线方程①表示椭圆，此时点Ｆ　表示左焦点，ｚ表示左准线；　（２）当ｅ＞１，曲线方程①表示双曲线的右支，此时　点Ｆ表示右焦点，ｚ表示右准线；若允许ｐ＜０，曲线方程　①表示整个双曲线　（３）当　一１，曲线方程①表示开口向右的抛物线，　此时点Ｆ表示焦点，ｚ表示　准线．　１．２　圆锥曲线极坐标方程　定义及推导在高考中的应用　例１　（２０１２·江苏）如　图２，在平面直角坐标系ｘＯｙ　中，￣ｌ￥１ｚ－ｎ　＋２Ｄ一１（口＞６＞　图２　Ｏ）的左、右焦点分别为Ｆ１（一ｃ，０），Ｆｚ（Ｃ，０）．已知点（１，　ｅ）和（　，雩）都在椭圆上，其中ｅ为椭圆的离心率．　（Ｉ）求椭圆的方程　（Ｉ１）设Ａ、Ｂ是椭圆上位于ｚ轴上方的两点，且直　线ＡＦ　与直线ＢＦ２平行，ＡＦ２和ＢＦ　交于点Ｐ．　①若ＡＦ１一ＢＦ２一　，求直线ＡＦ１的斜率；　②求证：ＰＦ　＋ＰＦｚ是定值．　解：（Ｉ）所求椭圆的方程是　＋　。一１（过程略）．　（ＩＩ）①由（Ｉ）知，设　ＯＦ。Ａ一０，点Ｂ　为点Ｂ关　于原点的对称点，设椭圆的极坐标方程为ｌＤ　ｉ＿二　ｅｐ　面，　其中　一　，ｐ＝Ｊ　－ｃ一譬