七年级数学下册14.4全等三角形的判定教案1沪教版五四制
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1 全等三角形的判定
知识精要
全等形
能够重合的两个图形叫做全等形
全等三角形
（1）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。
（2）两个全等三角形，经过运动后一定能够重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。
注：（1）全等三角形并一定是两个图形之间的关系，还可能是多个图形之间的关系。
（2）全等图形也可以看作是把图形翻折，旋转、平移等变换而得到的图形，与原图形相比，它们只是位置发生了变化，而形状、大小都没有变；反过来说，两个全等图形经过这样的变换一定能够重合。
3.确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况
（1）两角及夹边（2）两边及其夹角（3）三边（4）两角及其中一角的对边
注：知道两边及其中一边的对角时，一般不能确定三角形的形状，大小。
4．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
5．全等三角形的判定
判定1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等地，那么这两个三角形全等（SAS）
判定2：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等地，那么这两个三角形全等。（ASA）
判定3：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（AAS）
判定4 ：在两个三角形中，如果有三条边对应相等地，那么这两个三角形全等（SSS）
热身练习
一．选择
1、如图1，ΔABD≌ΔCDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是：（ C ）
A、ΔABD和ΔCDB的面积相等
B、ΔABD和ΔCDB的周长相等
C、∠A+∠ABD =∠C+∠CBD
D、AD//BC，且AD = BC
2．下列命题正确的是( D )
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形是指面积相同的两个三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形
D．全等三角形的周长、面积分别相等
3、若△ABC和△A'B'C'的三边对应比值为1 , 则不正确的结论是（ D ）
A．△ABC≌△A'B'C' B．三边对应相等
C．三对硬应角对应相等 D．△ABC与△A'B'C'不全等
4、如图,已知:EA⊥AB,BC⊥AB,D为AB的中点,BD=BC,EA=AB,则下面结论错误
2 的
（ D ）
A.AC=ED B.AC⊥ED C.∠C+∠E=90° D.∠D+∠C=90°
5、在△ABC和△A'B'C'中 , 若∠A∶∠B∶∠C＝∠A'∶∠B'∶∠C' , 且AB＝A'B'下面的结论不成立的是（ C ）
A．△ABC≌△A'B'C' B．∠A＝∠A ', ∠B＝∠B' , ∠C＝∠C'
C．AC≠A'C' D．AC＝A'C', BC＝B'C'．
6、已知：如图 , AC=CD , ∠B=∠E=90° , AC⊥CD , 则不正确的结论是（ D ）
A.∠A与∠D互为余角 B.∠A=∠2 C.△ABC≌△CED D.∠1=∠2
7．两个三角形的两边及其中一边所对的角相等，那么这两个三角形（ B ）
A．一定不全等 B．不一定全等 C．一定全等 D．不能确定
8.两个三角形全等，下列说法不正确的是（ A ）
A.它们的形状、大小、位置都相等 B.它们的对应角相等，对应边相等
C.它们的周长相等 D.它们经过运动变换后一定能重合
9．如图，△ACE≌△DBF，若∠E =∠F，AD = 8，BC = 2，则AB等于( C )
A．6
B．5
C．3
D．不能确定
10. 如图，ΔABC≌ΔADE，∠B = 70º，∠C = 26º，∠DAC = 30º，则∠EAC = ( B )
A．27º B．54º
C．30º D．55º
二．解答题
AC与BD交于点O，且AB∥CD，AO=CO，OB=OD,AB=CD
写出图中的全等三角形
写出（1）中全等三角形的对应顶点，对应角和对应边。
3
ODCBA
解：(1)△AOB≌△COD (2)对应顶点A、C,B、D
对应角∠A、∠C,∠B、∠D,∠AOB、∠COD； 对应边AB、CD,AO、OC,OB、OD
已知△ABD≌△ACE，AD=3cm，BD=1cm,BC=6cm,求△ADE的周长。
EDCBA
解：∵△ABD≌△ACE ∴AD=AE=3cm,BD=EC=1cm
又∵BC=6cm ∴DE=4cm ∴△ADE的周长为10 cm
精解名题
例1.如图5，已知ΔACF≌ΔDBE，∠E =∠F，AD = 9cm，BC = 5cm；求AB的长．
分析：AB不是全等三角形的对应边，但它通过对应边转化为AB = CD，而使AB+CD = AD−BC，可利用已知的AD与BC求得．
解：∵ΔACF≌ΔDBE，∠E =∠F
∴AC−BC = DB−BC，即AB = CD
∴AB+CD = 2AB = AD−BC = 9−5 = 4(cm)
∴AB = 2(cm)
说明：解决本题的关键是利用三角形全等的性质，得到对应边相等
例2. △ABC≌△DEF，∠A=30°,∠B=50°,BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。
EDFCBA
解：∵∠A=30°,∠B=50° ∴∠ACB=100°
∵△ABC≌△DEF ∴∠ACB=∠DFE=100°,BC=EF
4 ∵BC=BF+CF,EF=EC+CF ∴EC=BF=2
例3. 在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，且∠ABD=∠ACD，请再增加一个条件，使BE=CE成立。
DECBA
解：∠BAD=∠CAD ∵∠BAD=∠CAD, ∠ABD=∠ACD,AD=AD
∴△ABD≌△ACD ∴AB=AC 又∵∠BAD=∠CAD,AE=AE
∴△ABE≌△ACE ∴BE=CE
例4.已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AC=DB,AE=DF,EA⊥AD,FD⊥AD,垂足分别是A、D.求证:BE∥CF
证明:∵AC=BD,∴AB=DC ∵AE=DF,EA⊥AD,FD⊥AD ∴∠A=∠D=90°
∴在△ABE和△DCF中 AB=DC,∠A=∠D,AE=DF
∴△ABE≌△DCF(SAS) ∴∠ABE=∠DCF ∴∠EBD=∠FCA ∴BE∥CF
备选例题
已知BD,CE是△ABC的高，点P在BD延长线上，BP=AC,点Q在CE上，CQ=AB，试证：AP=AQ且AP⊥AQ.
QFDPEACB
证明：∵ BD,CE是△ABC的高 ∴∠BDC=∠BEC=90°
∴∠DCE+∠ECB+∠DBC=∠ECB+∠DBC+∠ABD
∴∠DCE=∠ABD 又∵AC=BP,AQ=AP ∴△ACQ≌△PBA
∴AP=AQ,∠CAQ=∠P 又∵∠P+∠PAD=90° ∴∠CAQ+∠PAD=90° ∴AP⊥AQ.
例2.已知：如图，在AB、AC上各取一点，E、D，使AE=AD，连结BD，CE，BD与CE交于O，
5 连结AO，∠1=∠2，求证：∠B=∠C
证明：在△AOE和△AOD中，
∵AE=AD，∠1=∠2，AO=AO ∴△AOE≌△AOD(SAS)
∴OE=OD，∠AEO=∠ADO ∴∠BEO=∠CDO，∠EOB=∠DOC
∴△OEB≌△ODC(ASA) ∴∠B=∠C
巩固练习
一．填空
1、三角形全等的四种判定方法是：①__SAS__ _②___ASA____③___AAS_ _④ _SSS__．
2、已知:如图,△ABC≌△FED,且BC=DE.则∠A=__∠F_____,AD=__CF_____．
3、已知:如图,△ABC≌△DFE,BC∥ EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是 AB和
__DF,AC和DE _,另外两组对应角是__∠B和∠F,∠ACB和∠DEF___．
4、能够完全重合的两个图形叫做___全等形______．
5、△ABC以点B为旋转中心，A旋转到E，C旋转到D,这表明△ ABC ≌△ EBD
EDCAB
6.已知在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个．．条件，这个条件可以是 ∠B=∠B1 .
7.如图，BACABD，请你添加一个条件： AD=BC ，使OCOD（只添一个即可）．
6 ABCDEFD
O C
B A
8、完成下面的证明．
已知：如图AB=CD , BE=CF , AF=DE．求证：△ABE≌△DCF
证明：∵AF=DE(已知) ∴AF-EF=DE-EF(
等式性质 ) 即AE=DF
在△ABE和 △DCF中 ∵AB=CD , BE=CF( 已知 ) AE=DF( 已证 )
∴△ABE≌△DCF( SSS )
自我测试
一．选择
1、 如图，有两个三角锥ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示ABC、ACD、 EFG、EGH。若ACB=CAD=EFG=EGH=70，BAC=ACD=EGF=EHG =50，则下列叙述何者正确？ ( B )
(A)甲、乙全等，丙、丁全等 (B) 甲、乙全等，丙、丁不全等
(C) 甲、乙不全等，丙、丁全等 (D) 甲、乙不全等，丙、丁不全等
2． 如图，OAB△绕点O逆时针旋转80到OCD△的位置，已知45AOB，则AOD等于（ D ）
A．55 B．45 C．40 D．35
3．如图, Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,BE平 分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（ A ）
A.AB=BF B.AE=ED C.AD=DC D.∠ABE=∠DFE，
4.AD,BE,CF是△ABC的高，沿AD翻折，点F与点E，点B与点重合，那么图中全等的三角形有（ C ）
