2020届高三数学一轮复习学案：数列的应用
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2020届高三数学一轮复
习学案：数列的应用
一、知识回忆
1. 等差、等比数列模型的应用题；
2. 递推数列的模型；3. 分期付款咨询题。
二、差不多训练
1. 某种产品平均每三年降低价格14，目前售价640元，那么9年后此产品的价格
是。
2. 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余
钢管的根数是。
3. 夏季高山的温度从山脚起每升高100m，降低0.7℃。某山山顶温度是14.8℃，山脚温度
是26℃，那么此山的相对高度是m。
4. 中国人民银行规定3年期的整存整取定期储蓄的年利率为2.7%，不计复利。按这种方式
存入5000元，存期3年，3年到期时必须按利息的20%缴纳利息税，到期最后取出的总金
额是
元。〔结果保留到1元〕
5. 某林场去年底木材存量为a m3，假设森林以每年25%的增长率生长，每年年底要砍伐的
木材为xm3。设通过n年林场木材存量为()fn(*)nN，那么
()fn。
三、例题分析例1某企业2004年的纯利润为500万元，因设备老化等缘故，企业的生产能力将逐年下降。
假设不能进行技术改造，推测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，推测在未扣除技术改造资金的情形下，第n年〔今年
为第一年〕的利润为500(1+n21)万元〔n为正整数〕。
〔1〕设从今年起的前n年，假设该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元〔须扣除技术改造资金〕，求An、Bn的表达式；〔2〕依上述推测，从今年起该企业至少通过多青年，进行技术改造后的累计纯利润超过
不进行技术改造的累计纯利润？
例2某市2004年底有住房面积1200万平方米，打算从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. 〔1〕分不求2005年底和2006年底的住房面积；
〔2〕求2024年底的住房面积.〔运算结果以万平方米为单位，且精确到0.01〕
例3 用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每
月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%，假设首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，咨询分期付款的第10个月应对多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？
例4 下面是一个运算机程序的操作讲明：〔1〕初始值1,1,0,0xyzn；
〔2〕1nn〔将当前1n的值给予新的n〕；〔3〕2xx〔将当前2x的值给予新的x〕；〔4〕2yy〔将当前2y的值给予新的y〕；〔5〕zzxy〔将当前zxy的值给予新的z〕；
〔6〕假如7000z，那么执行语句〔7〕，否那么回语句〔2〕连续进行；〔7〕打印,nz；
〔8〕程序终止。由语句〔7〕打印出的数值为，。
例5. 〔05湖南卷〕自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为连续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的阻碍. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁育量及捕捞量都与xn成
正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
〔Ⅰ〕求xn+1与xn的关系式；〔Ⅱ〕推测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？〔不要求证明〕〔Ⅱ〕设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈〔0,2〕，都有xn＞0，n∈N*，那么捕捞强度b
的
最大承诺值是多少？证明你的结论.
四、作业同步练习数列的应用
1. 某商品降价10%，欲复原原价，应提价〔〕
A.10% B.9% C.11% D.100
9%
2、〔2000全国卷〕?中华人民共和国个人所得税法?规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分不累进运算.
全月应纳税所得额税率
不超过500元的部分5%
超过500元至2000元的部分10%
超过2000元至5000元的部分15%
……
某人一月份应交纳此项税款26.78元，那么他的当月工资、薪金所得介于
〔A〕800～900元〔B〕900～1200元〔C〕1200～1500元〔D〕1500～2800
元
3、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元
(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 估量该地区自2004年起的5 年内，农
民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。依照以上数据，
2018年该地区农民人均收入介于〕
A．4200元~4400元B．4400元~4600元C．4600元~4800元D．4800元~5000元
4、一种设备的价格为450000元，假设爱护费第一年为1000元，以后每年增加1000元，
当此设备的平均费用为最小时为最正确更新年限，那么此设备的最正确更新年限
为。
5、一个球从100m高处落下，每次着地后又跳回原先高度的一半，再落下，当它第10次
着地时，共通过了m。〔精确到1m〕
6、某人从1998年起，每年7月1日到银行新存入a元一年定期，假设年利率r保持不变，
且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2005年7月1日，将所有的存款及利息全部取
回，他可取回的总金额是元。
7、将正奇数按下表排成5列：
第1列第2列第3列第4列第5列第1行1 3 5 7
第2行15 13 11 9 第3行17 19 21 23
……27 25
那么，2005应该在第行，第列。
8、某纺织厂的一个车间有n〔n>7，n∈N〕台织布机，编号分不为1，2，3，……，n，该
车间有技术工人n名，编号分不为1，2，3，……，n。定义记号ija，假如第i名工人操作
了第j号织布机，现在规定1ija，否那么0ija.假设第7号织布机有且仅有一人操作，那
么17273747aaaa7na；假设3132333432naaaaa，讲
明。
9、从社会效益和经济效益动身，某地投入资金进行生态环境建设，并以此进展旅行产业．依
照规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15．本年度当地旅行业收入估量
为400万元，由于该项建设对旅行业的促进作用，估量今后的旅行业收入每年会比上年增加
14．
〔I〕设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅行业总收入为bn万元．写出an,bn的表达
式；
〔II〕至少通过几年旅行业的总收入才能超过总投入？
10、孙老师年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的年利率为
10%，按复利运算〔即本年的利息计入次年的本金生息〕，假设这笔贷款要求10次等额还清，
每年一次，10年还清，同时从贷款后次年年初开始归还，咨询每年应还多少元？〔精确到1
元，参考数据：101.12.5937〕
答案：
差不多训练：
1、270元2、103、17004、53245、*5(4)()4,4naxxnN
例题分析：
例1、〔1〕249010nAnn，5005001002nnBn〔2〕4年例2、〔1〕2005
年1240万平方米，2006年1282万平方米〔2〕2522.64平方米例3、〔1〕111万元
〔2〕2510万元例4、8；7682 例5解〔I〕从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁育量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
.(**)*),1(.(*)*,,
1212
NncxbaxxNncxbxaxxxcx
nnnnnnnnn即因此
〔II〕假设每年年初鱼群总量保持不变，那么xn恒等于x1，n∈N*，从而由〔*〕式得
..0*,,0)(11cbaxcxbaNncxbaxnn即所以恒等于
因为x1>0，因此a>b.
推测：当且仅当a>b，且cbax1时，每年年初鱼群的总量保持不变.
〔Ⅲ〕假设b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0 而x1∈(0, 2)，因此]1,0(b 由此推测b的最大承诺值是1. 下证当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N* ①当n=1时，结论明显成立. ②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2), 那么当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0. 又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 因此xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，关于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2). 综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0，n∈N*，那么捕捞强度b的最大承诺值是1. 作业： 1—3、DCB4、30年5、3006、8(1)(1)rrar7、251；48、1；第 3名工人操作了2台织布机 9、〔1〕454000[1()];1600[()1]54nnnnab〔2〕至少通过5年10、3255 元
