课件4：2.1.4 函数的奇偶性

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2.1.4 函数的奇偶性(二)

【学习要求】

1.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解；

2.会推断奇偶函数的性质．

【学法指导】

通过函数奇偶性的应用，加深对概念的理解，提高分析问题和解决问题的能力，培养知识的迁移能力及数形结合的应用意识．培养利用数学概念进行判断、推理的能力及加强化归与转化能力的训练.

填一填：知识要点、记下疑难点

1.定义在R上的奇函数，必有f(0)＝_0_.

2.若奇函数f(x)在[a，b]上是_增_函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是_增_函数，且有最小值－M.

3.若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是_增_函数.

研一研：问题探究、课堂更高效

探究点一 利用奇偶性求函数解析式

例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．

解： 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，

又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，

∴当x<0时，f(x)＝－x－1.

小结： 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．

跟踪训练1 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝1x－1，求函数f(x)，g(x)的解析式．

解： ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

∴f (－x)＝f(x)，g(－x)＝ －g(x)，

由f(x)＋g(x)＝1x－1 ①

用－x代换x得f(－x)＋g(－x) ＝1－x－1，

∴f(x)－g(x)＝1－x－1， ②

(①＋②)÷2，得f(x)＝1x2－1；

(①－②)÷2, 得g(x)＝xx2－1.

探究点二 函数的奇偶性与单调性的关系

鸡西市第十九中学高一数学组

1 鸡西市第十九中学学案

2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 奇偶性

学习

目标 1．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，

2．会判断简单三角函数的奇偶性．

重点

难点 正弦函数、余弦函数奇（偶）函数的图像特征

【奇函数】一般地，对于函数()fx的定义域的任意一个x，都有()()fxfx，那么()fx就叫做奇函数．奇函数的图象关于 对称.反过来,如果一个函数的图象

关于 对称,那么这个函数为奇函数.

【偶函数】一般地，对于函数()fx的定义域内的任意一个x，都有()()fxfx，那么()fx就叫做偶函数．偶函数的图象关于 对称. 反过来,如果一个函数的图象

关于 对称,那么这个函数为偶函数.

【正、余弦函数的奇偶性】

在下图中利用平移画出正弦曲线

在下图中利用平移画出余弦曲线

观察图像填下列各空：

从函数图象看，正弦函数y＝sin x的图象关于 对称，余弦函数y＝cos x的图象

关于 对称；从诱导公式看，sin (－x)＝ ，cos(－x)＝ 均对一切x∈R恒成立．所以说，正弦函数是R上的 函数，余弦函数是R上的 函数． 鸡西市第十九中学高一数学组

2 【注意】判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看它是否关于原点对称，一些函数的定义域比较容易观察，直接判断f(－x)与f(x)的关系即可；一些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错.

例1 判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sin－12x＋π2； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝1＋sin x－cos2x1＋sin x.

1 2.1.4函数的奇偶性（1）

【学习目标】

1. 结合具体函数，明确函数奇偶性的含义；

2. 明确奇偶函数的图象特征；

3. 能运用定义判断函数的奇偶性

【自学指导】

1. 奇函数的定义？

2. 偶函数的定义？

3. 奇函数的图象特征？举例。

4. 偶函数的图象特征？举例。

5. 如何用定义法证明或判断函数的奇偶性？步骤是什么？

【自学检测】

1．函数xxxf2)(的奇偶性是 （ ）

A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

2．函数)(xfy是奇函数，图象上有一点为))(,(afa，则图象必过点（ ）

A． ))(,(afa B. ))(,(afa C. ))(,(afa D. ))(1,(afa

3. 下面四个结论①偶函数的图像一定与y轴相交.②奇函数的图像一定过原点.③偶函数的图像关于y轴对称.④没有一个函数既是奇函数又是偶函数,其中正确的结论个数是

( )

A 1 B 2 C 3 D 4

4. 若函数bxbxaxxf3)(2是偶函数，其定义域为aa2,3，则a ，b

5. 设f(x)=ax5+bx3+cx－5(a,b,c是常数)且(7)7f,则f（7）= ______.

6．判断函数的奇偶性

3)()1(xxxf 21)()2(xxf 2)()3(xxf

1)()4(2xxf 3,1x 0)()5(xf 331)()6(2xxxf

【能力提升】

1. 已知)(xf是区间(-∞,+∞)上的奇函数, 1)3(,2)1(ff,则( ) 2 A )1()3(ff B )1()3(ff C )1()3(ff D )1()3(ff与无法比较

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2.1.4 函数的奇偶性(一)

【学习要求】

1.理解函数的奇偶性及其几何意义；

2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤．

【学法指导】

通过学习函数奇偶性概念的形成过程，加深对函数的奇偶性概念的理解；通过从代数的角度给予函数奇偶性严密的代数形式表达，培养严谨、认真、科学的探究精神，并渗透数形结合的数学思想方法.

填一填：知识要点、记下疑难点

1.奇函数的定义：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且 f(－x)＝－f(x) ，则这个函数叫做奇函数．

2.奇函数的性质：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 坐标原点 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 坐标原点 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

3.偶函数的定义：设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且 g(－x)＝g(x)

，则这个函数叫做偶函数．

4.偶函数的性质：如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 y轴 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴 对称，则这个函数为偶函数.

研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境] 美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的美. 这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习．

探究点一 奇函数的概念

问题1 观察函数f(x)＝x和f(x)＝1x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？

答： 通过观察，得出两函数图象的共同特征为：定义域关于原点对称，图象关于原点对称．

问题2 求当x分别取－3，－2，－1,1,2,3时，函数f(x)＝x的值，及当x分别取－3，－2，－1,1,2,3时，函数f(x)＝1x的函数值，从中你能发现什么规律吗？