高中数学：2.1.4函数的奇偶性

鸡西市第十九中学高一数学组

1 鸡西市第十九中学学案

2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 奇偶性

学习

目标 1．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，

2．会判断简单三角函数的奇偶性．

重点

难点 正弦函数、余弦函数奇（偶）函数的图像特征

【奇函数】一般地，对于函数()fx的定义域的任意一个x，都有()()fxfx，那么()fx就叫做奇函数．奇函数的图象关于 对称.反过来,如果一个函数的图象

关于 对称,那么这个函数为奇函数.

【偶函数】一般地，对于函数()fx的定义域内的任意一个x，都有()()fxfx，那么()fx就叫做偶函数．偶函数的图象关于 对称. 反过来,如果一个函数的图象

关于 对称,那么这个函数为偶函数.

【正、余弦函数的奇偶性】

在下图中利用平移画出正弦曲线

在下图中利用平移画出余弦曲线

观察图像填下列各空：

从函数图象看，正弦函数y＝sin x的图象关于 对称，余弦函数y＝cos x的图象

关于 对称；从诱导公式看，sin (－x)＝ ，cos(－x)＝ 均对一切x∈R恒成立．所以说，正弦函数是R上的 函数，余弦函数是R上的 函数． 鸡西市第十九中学高一数学组

2 【注意】判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看它是否关于原点对称，一些函数的定义域比较容易观察，直接判断f(－x)与f(x)的关系即可；一些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错.

例1 判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sin－12x＋π2； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝1＋sin x－cos2x1＋sin x.

判断函数奇偶性应注意的问题

代红芳

一般地，如果对于函数xf的定义域内的任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为这一定义域内的偶函数，一般地，如果对于函数xf的定义域内的任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为这一定义域内的奇函数。

为理解定义，在学习时应注意以下两点：

1. 定义中要求“对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf或xfxf”成立，可见xf必有意义，即x也必属于xf的定义域，于是奇偶函数的定义域应是一个在数轴上表示为关于原点对称的点集，也就是说，若一个函数的定义域不关于原点对称，则此函数一定不是奇函数也不是偶函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇偶函数的必要不充分条件。

2. 定义中的等式xfxf（或xfxf）是定义域上的恒等式，即对定义域内所有的x成立而不是仅对部分x成立。如函数,1|x|1x,1|x|1xf当1|x|时，都有xfxf，但它并不是偶函数，显然2x时，3xf，而当2x时，1xf，两者并不相等。

由上可知利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，关键看两点：（1）定义域是否关于原点对称；（2）关系式xfxf，xfxf哪个成立。

判断函数奇偶性具体步骤如下：先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则有成为奇偶函数的可能，此时，若xfxf成立，则为偶函数；若xfxf成立，则为奇函数；若xfxf成立，则既是奇函数也是偶函数；若xfxf和xfxf都不成立，则为非奇非偶函数。

下面就判断函数奇偶性应注意的问题，列举几个方面。

一、忽视定义域出错。

例1. 判断下列各函数是否具有奇偶性。

1 对数与对数运算（二）

【课前预习导读】

一、 学习目标：

1、 灵活运用对数的运算公式进行化简，求值

2、 掌握对数换底公式的应用

二、教学重难点：

重点：对数运算公式的应用

难点：利用对数运算公式进行化简求值

三、知识回顾：

1、对数的概念：

2、对数的基本性质

【课堂自主导学】

1、对数的运算性质：

2、对数的换底公式

【导学检测】

aaaaaa1.a0,1,0,0,,logloglog()logloglog()loglogloglog()loglog.0.1.2.3aaaaaaaxyxyxyxyxyxyxxyyxyxyABCD若下列式子中正确的个数有（ ）（1）（2）（3）（4）

aa22a22a2.0,1,Mloglog(2)loglog,;(3)loglog,;loglog.A.(1)BCDaaaaaaMNMNMNMNMNMN对于下列说法中，正确的是（ ）(1)若=N,则；若则若则(4)若M=N,则与（3） .（2）与（4） .（2） .(1)(2)(3)（4）

2 3、5100lg=

22log94.log3的值为

【知识运用导练】

例1. 计算

1）5lg2lg = 2）)24(log572=

3）eln= 4）00001.0lg=

5）31log3log55= 6）15log5log33=

变式：

22lg5lg8lg5lg20lg32（1）（2）

1324lglg8lg2452493（2）

请独立完成课本74P 第3题

xyz111.2361xyz例2已知 ，求证：

例3、已知a2lg，b3lg，用ba,表示下列各式的值

1）6lg 2）4log3

1．函数的奇偶性

(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)

义奇偶性定义图象特点

偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝

f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称

奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝

－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称

(2)函数奇偶性常用结论

结论1：如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，那么f(0)＝0．

结论2：如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．

结论3：若函数y＝f(x＋b)是定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．

结论4：若函数y＝f(x＋a)是定义在R上的偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．

结论5：已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，

若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0．

推论1：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c．

推论2：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)max＋g(x)min＝2c．

结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(奇＝偶，偶)(偶

＝偶，奇)(偶＝奇．

结论7：若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.

记g(x)＝1

2[f(x)＋f(－x)]，h(x)＝1

2[f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x)．

结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关

于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．

结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相

反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．