位错理论——精选推荐

位错理论

《位错与位错强化机制》杨德庄编著哈尔滨⼯业⼤学出版社1991年8⽉第⼀版1-2 位错的⼏何性质与运动特性

⼀、刃型位错2．运动特性

滑移⾯：由位错线与柏⽒⽮量构成的平⾯叫做滑移⾯。

刃型位错运动时，有固定的滑移⾯，只能平⾯滑移，不能能交叉滑移（交滑移）。

刃型位错有较⼤的滑移可动性。这是由于刃型位错使点阵畸变有⾯对称性所致。

⼆、螺型位错1. ⼏何性质

螺型位错的滑移⾯可以改变，有不唯⼀性。螺型位错能够在通过位错线的任意平⾯上滑移，表现出易于交滑移的特性。

同刃型位错相⽐，螺型位错的易动性较⼩。、

位于螺型位错中⼼区的原⼦都排列在⼀个螺旋线上，⽽不是⼀个原⼦列，使点阵畸变具有轴对称性。2．混合位错

曲线混合位错的结构具有不均⼀性。

混合位错的运动特性取决于两种位错分量的共同作⽤结果。⼀般⽽⾔，混合位错的可动性介于刃型位错和螺型位错之间。随着刃型位错分量增加，使混合位错的可动性提⾼。

混合位错的滑移⾯应由刃型位错分量所决定，具有固定滑移⾯。

四、位错环

⼀条位错的两端不能终⽌于晶体内部，只能终⽌于晶界、相界或晶体的⾃由表⾯，所以位于晶体内部的位错必然趋向于以位错环的形式存在。⼀般位错环有以下两种主要形式：1. 混合型位错环

在外⼒作⽤下，由混合型位错环扩展使晶体变形的效果与⼀对刃型位错运动所造成的效果相同。2. 棱柱型位错环

填充型的棱柱位错环

空位型棱柱位错环

棱柱位错环只能以柏⽒⽮量为轴的棱柱⾯上滑移，⽽不易在其所在的平⾯上向四周扩展。因为后者涉及到原⼦的扩散，因⽽在⼀般条件下（如温度较低时）很难实现。1-3 位错的弹性性质

位错是晶体中的⼀种内应⼒源。——这种内应⼒分布就构成了位错的应⼒场。——位错的弹

性理论的基本问题是对位错周围的弹性应⼒场的计算，进⽽还可以推算位错所具有的能量，位错的线张⼒，位错间的作⽤⼒，以及位错与其他晶体缺陷之间的相互作⽤等⼀些特性。——⼀般采⽤位错的连续介质模型（不能应⽤于位错中⼼区），把晶体作为各向同性的弹性体来处理，直接采⽤胡克定律和连续函数进⾏理论计算。

⼀、复杂应⼒状态下应⼒与应变的关系1. 应⼒和应变分量

直⾓坐标系和圆柱坐标系的转换：x=rcosθy=rsinθ z=z ——直⾓坐标转换为圆柱坐标r=(x2+y2)1/2, θ=arctan(y/x), z=z ——圆柱坐标转换为直⾓坐标

2. ⼴义胡克定律

⼀般来说，⾦属晶体是各向异性的，其弹性参数随晶体⽅向⽽变化，相应有21个独⽴的弹性系数分量（此时，弹性常数作为张量来考虑）。随着晶体的对称性的提⾼，独⽴的弹性系数的分量减少。例如，对六⽅晶体可减少到5个；对⽴⽅晶体，可减少到3个。对于各向同性介质⽽⾔，还可以进⼀步减少到仅有两个弹性系数分量。常⽤到的各向同性的弹性系数有：正弹性模数或杨⽒模量（E）、剪切弹性模数或切变模量（G）、泊松系数（ν）\拉梅常数（λ）和体弹性模量（B）。这五个弹性系数间的相互关系如下：E=G(3λ+2G)/(G+λ)=9GB/(3B+G)=2G(1-ν)

ν=(3B-2G)/2(3B+G)= λ/2(G+λ)=(E-2G)/2G

G=E/2(1+ν)

λ=νE/(1+ν)(1-2ν)=2νG/(1-2ν)

B=-p/e=(3λ+2G)/3

式中，p为内静⽔压⼒，它在数值上与平均正应⼒（三个主应⼒的平均值）相等，⽽⽅向相反。e为体应变，它在数值上等于三个主应变之和。只有正应变才造成体应变，⽽切应变不造成体积的变化。

因此，对于各向同性的弹性体（所有讨论的前提），可以通过以上弹性系数中的某两个加以联系，建⽴应⼒-应变关系：

ζ11=（λ+2G）+ε11+λε22+λε33

ζ22=λε11+(λ+2G)ε22+λε33

ζ33=λε11+λε22+λε33

ζ23=2Gε23

ζ31=2Gε31

ζ12=2Gε12

或者：

ε11=1/E[ζ11-ν(ζ22+ζ33)]

ε22=1/E[ζ22-ν(ζ11+ζ33)]

ε33=1/E[ζ33-ν(ζ11+ζ22)]

ε23=ζ23/2G

ε31=ζ31/2G

ε12=ζ12/2G

⼆、位错的应⼒场1. 螺型位错的应⼒场

连续弹性介质模型——可由位错所引起的相对位移出发求得应变——借助胡克定律求得位错的应⼒场。（即应变——胡克定律——应⼒）————连续弹性介质模型

1）⽆限⼤弹性介质中的螺型位错的应⼒场

螺型位错的应⼒场中不存在正应⼒分量。只有两个切应⼒分量，ζ

θz 和ζz θ：

0=====zr r zz rr σσσσσθθθ采⽤直⾓坐标系时，则

螺型位错的应⼒场是平⾯应⼒状态，具有轴对称性。采⽤直⾓坐标时，则螺型位错的应⼒场可表达为：

0=====yx xy zz yy xx σσσσσ

r →0时，则上述结果⽆意义。⼀般将线弹性解不成⽴的区域叫做位错中⼼，其半径r 0常在b 到4b 之间。

2）位于有限⼤圆柱体中⼼的螺型位错的应⼒场

当模型中的圆柱体有限时，其圆柱⾯与两端⾯均为⾃由表⾯，相应的应⼒分量为零。所以，计算为错在有限⼤弹性介质中所产⽣的应⼒场时，还要考虑到边界条件的影响。实际上，位于有限⼤圆柱体中⼼的螺型位错的应⼒场应是⽆限⼤圆柱体内螺型位错的应⼒场与为满⾜边界条件⽽得到的应⼒场⼆者之和，即：)21(22''R r r Gb Z Z T z -=+=πσσσθθθ

2. 刃型位错的应⼒场

1）⽆限⼤介质中直线刃型位错的应⼒场在直⾓坐标系中，

0====zy yz zx xz

其中)1(2νπ-=Gb

D在圆柱坐标系中，

刃型位错周围的应⼒场中，同时存在正应⼒分量和切应⼒分量。刃型位错的应⼒分布具有明显的⾯对称性。在滑移⾯以上部分，即0=θθσσrr ）。当θ=0或θ=π时，0==θθσσrr ，⽽θσr 达到最⼤，即最⼤切应⼒是在滑移⾯（y=0）上。在位错线附近区域，有效⽔静压⼒为：

2) 位于有限圆柱体中⼼处的直刃型位错的应⼒场

近似得出在有限⼤的圆柱体中，由直线刃位错引起的应⼒场为：)1(sin 3202R r R r r D rr ---=θσ

)31

(sin 3202r r R r r D ---=θσθθ

)1(cos 20r r R r r D r -+=θσθ

)(θθσσνσ+=rr zz

3. 混合位错的应⼒场

对于⼀个直线混合型位错可以分别按以上⽅法求出螺型位错应⼒场分量和刃型位错的应⼒场分量，再将两者相加。

虽然其计算⽐较复杂，但总的特点仍是：r 1

∝σ

由于曲线混合位错各线段的位错结构不同，所以曲线位错的应⼒场在分布上是不均匀的。

三、位错的弹性应变能1. 直线位错的弹性应变能

位错的能量，⼜称为位错的⾃能，是对位错周围的原⼦离开平衡位置⽽具有较⾼势能总和的反映。⼀般以单位长度所储存的能量来表征。⼀般⽽⾔，位错线的总能量由位错中⼼的能量和其周围区域的弹性应变能两部分组成。位错中⼼的能量难于准确加以估算，⼀般认为，位错中⼼的能量约占位错总能量的1/5和1/10。故常忽略不计，

⽽以弹性应变能代表位错的⾃

能。

按弹性理论，已知弹性体变形时，单位体积内的应变能或应变能密度是应⼒和应变乘积的⼀半。（应⼒，应变→应变能）

单位长度螺型位错的应变能为： ??==??? ???022ln 440r R Gb r dr Gb L W Rr S ππ

形成单位长度刃型位错线所做的总功为： ??-=-=??? ???022ln )1(4)1(40r R Gb x dx Gb L W R r νπνπ

对于直线混合位错，由于两个位错分量的柏⽒⽮量相互垂直，在这两个分量之间没有弹性交互作⽤，所以整个位错的应变能就是两个位错分量的⾃能之和。如果直线混合位错的柏⽒⽮量与位错线夹⾓为θ，则该混合位错的刃型分量强度是bsin θ,螺型分量强度是bcos θ。

故直线混合型位错单位长度的应变能是： ??--= +-=??? ??022202222ln )1(4sin )cos 1(ln 4cos )1(4sin r R Gb r R Gb Gb L W m νπθθνπθνπθ

其中r 0为位错中⼼半径，R 为晶体尺⼨，位错的弹性应变能与这两个呈对数关系，其敏感性较⼩。但当R →0或r 0→0时，W/L会出现奇异现象，所以很难说位错具有⼀定的特征能量。 R 和r 0的取值：

在晶体中有⼀个位错的情况下，可取R 约为到表⾯的最短距离。当晶体中含有很多混乱分布位错时，位错易于形成彼此的长程应⼒场相互抵消的组态，使各位错的能量减少，故可取R 约等于位错间平均距离的⼀半。通常将r 0取为5b 左右。

在相同的r 0和R 值⽐较时，刃型位错的应变能约为螺型位错的3/2倍。

⼀般⽽⾔，位错的弹性应变能对位错的性质不⼗分敏感。在对R 和r 0的合理取值的条件下，可将位错的应变能写成：

式中α≈0.5~1.0。

应变能分布具有不均匀性，离位错中⼼愈近，应变能密度越⾼；离位错中⼼愈远，则应变能密度愈低。2. ⼀对异号位错的应变能

⼀个单独位错的应变能随着到位错距离的增⼤⽽按对数规律增加。但⼀对平⾏的异号位错在

远处两者的应⼒场⼤体上彼此抵消，结果使应⼒场和应变场被局限在位错附近。 可以证明，两个平⾏的异号位错所构成的应⼒场与到位错距离的平⽅成反⽐。

假如有两根符号相反的螺型位错，都平⾏于Z 轴，相互间距为d 。将⼀根的坐标取为x=d/2，y=0；另⼀根的坐标取为x=-d/2，y=0。则沿x 轴距位错较远处的复合切应⼒便为：

??+-??? ??-±=--11222d x d x Gb z πσθ

将此式近似简化便得到：22x Gbd

z πσθ±=

3. 位错环的应变能

位错环的应⼒场随距离下降的趋势要⽐⼀对异号平⾏位错更加剧烈。距位错环稍远处，其应⼒场便显著减少，可以忽略不计。⼀般⽽⾔，位错环的应变能⼩于直线位错。

位错环在单位长度上的应变能可以近似地表达如下：002ln 4r R Gb L W π±=

位错环的应变能对其本⾝的尺⼨不敏感，⽽主要取决于柏⽒⽮量。

四、 位错的线张⼒位错同任何热⼒学系统⼀样，有降低⾃⾝势能的趋势。这主要表现在位错线的能量随其长度缩短⽽减⼩。故可将位错线张⼒定义为：l W

T δδ=

式中，δl 为位错线长度增量，δW 为由δl 长度增量引起位错线能量的增量。和液体的表⾯张⼒相似，位错的线张⼒是⼀种组态的作⽤⼒，作⽤⽅向是沿着位错线的⽅向。 弯曲位错的线张⼒为：02ln 4r K Gb T λπ=

K 为与位错性质有关的系数，（1-ν）

这个数值常作为线张⼒的粗略估计值。R Gb 2=σ ——取2

21Gb T ≈时

位错在切应⼒作⽤下弯曲时，其曲率半径R 与外加切应⼒ζ成反⽐。对任意形状的曲线位错，可由下式求出线张⼒作⽤于单位长度位错线上的回复⼒：

为位错线上任意⼀点的径向坐标。

在实际晶体中，位错线可呈任意曲线状。但在线张⼒作⽤下有拉直的趋势，故可以把位错线看成是拉紧的橡⽪条，以其两端的直线距离近似代表位错线的长度。这样可使问题⼤⼤简化，

给理论处理带来很⼤⽅便。另外，也不难证明，在线张⼒与外加切应⼒的共同作⽤下，曲线位错易形成直线、圆形位错圈以及螺旋曲线等稳定形状。1-4 作⽤在位错上的⼒

位错不是⼀个具有⼀定质量的物质实体，所以不可能有⼀种⼒作⽤在位错上。含有位错的系统的能量与位错的位置有关，所以作⽤在位错上的⼒是⼀种组态⼒。