排列组合应用举例

习题六

1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？

2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？

3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？

4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？

5.如右图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？

6.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.

如何应用排列组合解决实际问题

排列组合是组合数学中重要的一个分支，可以用来解决各种实际问题。它主要研究的是对事物进行选择、排序或分组的方式和方法。本文将介绍如何应用排列组合解决实际问题，并通过一些例子来说明其应用。

一、排列的应用

排列是指从一组事物中按照一定的顺序选取若干个进行排列。它在实际问题中经常用于确定事件的顺序或次序，如赛车比赛名次的确定、球队比赛对阵的安排等。

例子1：某校有10名学生，要选出3名代表参加比赛。问有多少种选法？

解析：由于选出的代表有顺序之分，所以这是一个排列问题。根据排列的计算公式，可以得出答案为10P3=10×9×8=720种选法。

例子2：某公司要从5名员工中选取3名代表参加会议，其中一人必须是经理。问有多少种选法？

解析：由于选出的代表有顺序之分，并且经理必须选中，所以这又是一个排列问题。首先确定经理的选择，只有1种可能；然后从剩余的4名员工中选取2名，共有4P2=12种选法。因此，总的选择方式为1×12=12种。

二、组合的应用 组合是指从一组事物中选取若干个不考虑其顺序的组合方式。它在实际问题中广泛应用于确定事件的组合、分组等情况，如选课、分组旅行等。

例子3：某班有10名学生，要从中选取5名学生组成一个团队。问有多少种选法？

解析：由于选出的团队不考虑顺序，所以这是一个组合问题。根据组合的计算公式，可以得出答案为10C5=252种选法。

例子4：某城市有8个景点，旅行团要从中选择3个景点进行游览。问有多少种选法？

解析：由于选出的景点不考虑顺序，所以这又是一个组合问题。根据组合的计算公式，可以得出答案为8C3=56种选法。

三、排列组合综合应用

在实际问题中，有些情况既包含了排列又包含了组合，需要综合运用排列组合的知识来解决。

例子5：某超市有8种水果，要从中选购5种水果放入购物篮中，问有多少种选法？

解析：由于选出的水果不考虑顺序，所以这是一个组合问题。根据组合的计算公式，可以得出答案为8C5=56种选法。

1.一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求推出一个节目单：

（1）前4个节目中要有舞蹈；

（2）3个舞蹈节目要排在一起；

（3）3个舞蹈节目彼此隔开；

（4）现要加进2个相声节目，且相声前面要是舞蹈，后面是唱歌；

2.一次活动奖品是最新的书：

（1）6本不同的书分给5个人；

（2）5本不同的书分给6个人，每人至多1本；

（3）5本相同的书分给6个人，每人至多1本；

3.从0,1,2,3,4,5,6这7个数字组成的无重复数字的自然数，求：

（1）六位偶数；（1）不重复六位偶数

（2）三个偶数互不相邻的6位数；

（3）恰有两个偶数相邻；

（4）有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数；

（5）有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数；

（6）能被3整除的数；

（7）比455555大的6六位数；

4.有6名男医生，4名女医生

（1）选3名男医生，2名女医生，去五个不同的地方出诊；

（2）10人分成两组，每组都要有女医生；

（3）10人分成两组，每组都要有女医生，两组分到两个不同的地方，且每组选出正副组长两人；

（4）10人分成四组，去4个地方出诊，其中两个地方需要3人，两个地方需要2人；

5.有4名男生，5名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：

（1）选其中5人排成一列； （2）全体排成一排，甲不在排头也不在排尾；

（3）全体排成一排，女生必须站在一起； （4）全体排成一排，男生互不相邻；

（5）全体排成一排，甲乙两人中间恰好有3人； （6）全体排成一排，且甲乙丙三人顺序不变；

（7）排成前后两排，前排3人，后排4人； （8）排成前后两排，甲不能在前，乙不能在后；

（9）排成前后两排，前排4人，后排5人，甲乙不能相邻，且不能站在前排中间；

（10）全体排成一圈

6.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如等.显然两位回文数有9个：

,三位回文数有90个：.则

（1）四位回文数有_________个； （2）中间大于两边的4位回文有_________个；

高三数学(理一轮复习——

10.3排列与组合的综合应用

教学目标:1. 进一步加深对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综合题的基本解

法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想.

2. 使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法。

教学重点:排列组合综合题的解法。 教学过程:

一.主要知识:

解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系, 还要考虑“是有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定 义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法:

1.特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东 西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。

2.科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行 3.分配、分组(堆问题的解法:

4. 插空法 :解决一些不相邻问题时, 可以先排一些元素然后插入其余元素, 使问题得以解决。 5.捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个” 6.排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 . 7.剪截法(隔板法 :n 个 相同小球放入 m(m≤ n 个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球

的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪成 m 段 (插入 m

-1块隔板 , 有 11

--m n C 种方法 .

8. 错位法:编号为 1至 n 的 n 个小球放入编号为 1到 n的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 . 要求小球与盒子的编号都不同 , 这种排列称为错位排列 . 特别当

n=2,3,4,5时的错位数各为

1,2,9,44.2个、 3个、 4个元素的错位排列容易计算。关于 5个元素的错位排列的计算,可以用剔 除法转化为 2个、 3个、 4个元素的错位排列的问题: