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初等数学研究初等数学研究是数学研究的一个重要分支，主要研究基础数学概念和计算方法。
它涉及到数学的各个方面，包括数的性质、代数、几何、概率统计等内容。
初等数学研究在我们日常生活中起着重要作用，它帮助我们理解和解决各种实际问题。
初等数学研究的一个重要方面是数的性质研究。
数的性质是指数的分类和特点，包括自然数、整数、有理数和实数等。
通过研究数的性质，我们可以了解数的大小关系、运算规则等，进而应用到实际问题中。
例如，在商场购物时，我们需要计算折扣和打折后的价格，这就需要对数的性质有所了解。
代数是初等数学研究的另一个重要方面。
代数研究的是各种数的关系和运算。
代数中的基本概念包括变量、方程、不等式等。
通过代数的应用，我们可以解决一些实际问题。
例如，在计算面积时，我们可以通过建立各种代数方程来求解。
此外，代数还可以帮助我们分析和解决复杂问题，如解析几何和线性方程组。
几何是初等数学研究的又一个重要方面。
几何研究的是空间和形状的关系。
几何通过图形的形状、大小和位置等特征来研究几何关系和计算几何问题。
在日常生活中，几何广泛应用于建筑设计、地图测量等领域。
例如，在建筑设计中，几何可以帮助我们计算房子的面积和体积，以及确定各个部分的位置和关系。
概率统计是初等数学研究的最后一个方面。
概率统计研究的是事件发生的可能性和规律性。
概率统计在我们的生活中无处不在，从赛马比赛的胜算到天气预报的准确度等。
通过研究概率统计，我们可以用统计方法来了解和分析事件的发生规律，并做出相应的决策。
总之，初等数学研究是数学研究的重要分支，涉及到数的性质、代数、几何和概率统计等各个方面。
初等数学研究帮助我们理解数学概念和计算方法，并应用于实际问题中。
它在我们的日常生活中起着重要作用，帮助我们解决各种实际问题，提高我们的数学水平和思维能力。
初等数学研究习题二答案初等数学研究习题二答案在学习数学的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以巩固知识，提高解题能力。
初等数学是数学的基础，掌握好初等数学的知识对于后续数学学习的顺利进行至关重要。
在这篇文章中，我将为大家提供初等数学研究习题二的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 问题：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。
解答：将x = 4代入函数f(x)中，得到f(4) = 2(4) + 3 = 11。
所以f(4)的值为11。
2. 问题：已知函数g(x) = 3x^2 + 2x - 1，求g(-2)的值。
解答：将x = -2代入函数g(x)中，得到g(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 1 = 12。
所以g(-2)的值为12。
3. 问题：已知函数h(x) = x^3 - 2x^2 + x，求h(1)的值。
解答：将x = 1代入函数h(x)中，得到h(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 = 0。
所以h(1)的值为0。
4. 问题：已知函数k(x) = 2x^2 + 3x - 4，求k(2)的值。
解答：将x = 2代入函数k(x)中，得到k(2) = 2(2)^2 + 3(2) - 4 = 14。
所以k(2)的值为14。
5. 问题：已知函数m(x) = x^2 - 5x + 6，求m(3)的值。
解答：将x = 3代入函数m(x)中，得到m(3) = (3)^2 - 5(3) + 6 = 0。
所以m(3)的值为0。
通过以上习题的解答，我们可以看到初等数学中函数的运算和值的求解方法。
这些习题涉及到了一次函数、二次函数和三次函数的运算，通过解答这些习题，我们可以更好地理解函数的性质和特点。
除了函数的运算和值的求解，初等数学还包括了其他的知识点，如代数方程、几何图形等。
通过解答习题，我们可以巩固这些知识点，提高自己的解题能力。
在学习初等数学的过程中，我们还可以通过参加数学竞赛来提高自己的数学水平。
习题解答第一讲自然数的基数理论与序数理论1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律证明：对于 A B 二｛(a,b)|a A,b B｝与 B B 二｛(b,a) |b B,a A｝，定义Ax B 到 B x A 的映射为：(a,b) —厶(b,a),(a, b) A決B,(b,a)^ B汉A显然这个映射是A B到B A的 ------ 映射，所以A B = B A，于是按定义有：A B A，即乘法满足交换律。
2、利用最小数原理证明定理14.定理14的内容是：设p(n)是一个与自然数有关的命题，如果：(1)命题p(n)对无穷多个自然数成立；(2)假如命题对n = k (k_n0)成立时，能够推出命题对n二k -1也成立，那么对一切自然数不小于n o的自然数n，命题p(n)必然成立。
证明：如果命题不真，设使命题不成立的自然数构成集合M，那么M非空，因此, M中必有一个最小数r0(ro - %)。
此时，由于不大于r0的自然数只有有限个，按照条件(1)，至少有一个自然数r(r>r°)，命题在r处成立；于是由条件(2)，命题对r-1也成立，连锁应用条件(2),那么命题在r,r-1,r- 2,…，r-k,…处都成立，而这个序列是递减的，因此r o必然出现在这个序列中，这与r o的假定不符，这个矛盾说明定理14成立。
3、用序数理论证明3+4=7证明：3 1 =3：=4,3 2 =3 1 =(3 T)：= 4：=5,3 3=32 =(3 2) =5 = 6,3 4 =3 3 =(3 3)= 6=74、设平面内两两相交的n个圆中，任何三个不共点，试问这n个圆将所在的平面分割成多少个互不相通的区域？，证明你的结论。
解：设这n个圆将所在平面分割成f(n)个部分，显然f(1) = 2,f(2) = 4 ；如果满足条件的n个圆把平面分割成f(n)个部分，那么对于满足条件的n+1个圆来说，其中的n个圆一定已经把平面分割成f(n)个部分，而最后一个圆由于与前面的每个圆都相交，并且由于任何三个圆不共点，所以这最后的圆与前面的n个圆必然产生2n个交点，这2n个交点必然把这最后一个圆分割成2n段圆弧，这些圆弧每一段都把自己所在的一个区域一分为二，从而f(n 1) - f (n^ 2n，于是得：f( 2)- f(1)= 2, f( 3) —f( 2 )= 4,, f (n) — f (n —1) = 2(n 一1)将这n-1 个等式相加得：f(n) — f(1) = 2・4，—2(n—1) = n(n 一1)即 f ( n( n 1 ) 2 =2n - n25、设平面上的n条直线最多可以把平面分割成 f (n )个互不相通的区域，证明：f(nr 1 MLY2证明：显然f(1)= 2=「(「° 1成立；假将设平面上的k条直线最多可以把平面分割成 f (k ) = 1 • k(k 1)个互不相通2的区域，那么对于平面上的k+1条直线来说，其中的任意k条直线最多把平面分割成二1「也D个互不相通的区域，对于最后的直线来说，它如果与前面的每2条直线都相交，那么在这条直线上最多可以产生k个交点，这k个交点可以把最后的这条直线分割成k+1段，每一段都将自己所在的区域一分为二，从而f (k 1) - f (k) =k 1所以：f(k 1) - f (k) k 1=1 9 k 12k(k 1) 2(k 1)才(k 1)(k 2)2 2所以公式f (n) =1 n(； °在n = k 1时也成立，于是公式对一切自然数n都成立。
第1篇摘要：随着新课程改革的深入推进，初中数学教学逐渐从注重知识传授转向关注学生能力培养。
解题能力作为数学核心素养的重要组成部分，对于学生数学思维的培养和数学应用能力的提升具有重要意义。
本文旨在通过对初中数学解题策略的研究，探讨如何有效提高学生的解题能力，为初中数学教学提供参考。
一、引言数学解题是数学学习的重要组成部分，它不仅能够帮助学生巩固所学知识，还能够培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
然而，在实际教学中，部分学生解题能力较弱，解题过程中存在诸多问题，如审题不清、思路混乱、计算错误等。
因此，研究初中数学解题策略，提高学生解题能力，成为当前数学教学的重要课题。
二、初中数学解题策略研究1. 提高审题能力（1）明确题意：在解题过程中，首先要明确题目要求，理解题目的背景、条件、结论等，确保对题目的正确把握。
（2）梳理条件：将题目中的条件进行梳理，找出其中的关键信息，为解题提供依据。
（3）分析题型：根据题目的特点，判断题目属于哪种题型，以便选择合适的解题方法。
2. 培养逻辑思维能力（1）分析题目：对题目进行深入分析，找出其中的规律、联系和区别。
（2）构建模型：根据题目的特点，构建相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题。
（3）推理证明：运用数学知识，对题目进行推理证明，得出正确答案。
3. 提高计算能力（1）掌握运算技巧：熟练掌握各种运算技巧，提高计算速度和准确性。
（2）规范书写格式：养成良好的书写习惯，确保解题过程的规范性和可读性。
（3）检查验算：在解题过程中，及时检查验算，避免因计算错误导致答案错误。
4. 培养创新思维（1）逆向思维：从题目的反面进行思考，寻找解题的新思路。
（2）类比思维：将已知的解题方法类比到新题目中，寻找解题的突破口。
（3）发散思维：从多个角度思考问题，寻找多种解题方法。
三、初中数学解题策略应用1. 课堂教学中的应用（1）创设情境，激发兴趣：在课堂教学中，结合实际生活情境，激发学生学习数学的兴趣。
知识背景在初等数学解题研究中的作用篇一：初等数学解题研究中,知识背景是非常重要的因素。
知识背景是指学习者先前所学的数学知识,包括基本概念、技能、方法和技巧等方面。
在初等数学解题研究中,知识背景能够帮助我们理解问题,发现解决问题的途径,同时也能够帮助我们更好地运用已有的知识来解决问题。
下面将介绍知识背景在初等数学解题研究中的作用。
1. 理解问题在初等数学解题研究中,我们需要理解问题的本质和背景。
知识背景能够帮助我们更好地理解问题,包括问题的来源、目的、特点和范围等方面。
理解问题有助于我们更好地分析问题,寻找解决问题的途径。
2. 发现解决问题的途径在初等数学解题研究中,我们需要利用已有的知识和技能来解决问题。
知识背景能够帮助我们更好地运用已有的知识和技能来解决问题。
例如,在解决一个方程时,我们可能需要运用代数知识,函数知识,或者几何知识等。
知识背景能够帮助我们更好地选择合适的方法和技巧来解决问题。
3. 更好地运用已有的知识在初等数学解题研究中,我们需要运用已有的知识来解决问题。
知识背景能够帮助我们更好地理解已有的知识,并更好地运用已有的知识来解决问题。
例如,在解决一个函数问题时,我们可能需要运用函数的性质和定义,以及函数的图像和性质来解决问题。
知识背景能够帮助我们更好地理解和运用已有的知识。
4. 提高解题能力在初等数学解题研究中,知识背景能够帮助我们提高解题能力。
通过了解和掌握知识背景,我们可以更好地理解和运用数学知识,从而提高我们的解题能力和解决问题的能力。
知识背景在初等数学解题研究中的作用非常重要。
通过了解和掌握知识背景,我们可以更好地理解问题,发现解决问题的途径,更好地运用已有的知识来解决问题,并提高我们的解题能力。
因此,在初等数学解题研究中,我们应该注重知识背景的学习和研究。
篇二：初等数学解题研究需要大量的知识背景,因为初等数学问题通常涉及到基本的数学概念、原理和定理。
如果缺乏相关的知识背景,那么难以理解问题,也无法找到正确的解决方法。
大学数学之初等数学研究 ,李长明 ,周焕山版 ,高等教育出版社 习题一1答：原那么：〔1〕A ⊂B〔2〕A 的元素间所定义的一些运算或根本关系 ,在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说 ,重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
〔3〕在A 中不是总能施行的某种运算 ,在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原那么的最小扩展,而且由A 唯一确定。
方式：〔1〕添加元素法；〔2〕构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。
a=b ,M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假设bc ac M c =∈，即 ,那么M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ,所以命题对任意自然数c 成立。
〔2〕假设a <b ,那么bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 那么ac<bc 。
〔3〕假设a>b ,那么ac mc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 那么ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：假设b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时 ,由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时 ,由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
那么a=b 。
〔2〕用反证法：假设b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b 时 ,由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时 ,由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
那么a <b 。
〔3〕用反证法：假设b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b 时 ,由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时 ,由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
初等数学解题研究西南师大附中戴宇时间：二○○九年四月初等数学解题研究前言恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”这就是说，数学是研究数与形的关系的一门学科，它是以解决客观世界的事物的内在逻辑联系的“问题”为主要目的．在这个意义上来讲，探索解决数学问题的解题规律及解题方法就是十分重要的．通过对数学形态的内在基本结构的分析和研究，从而顺利地解决问题，对提高我们的数学思维方式及解决问题的能力都有十分重要的意义．数学的内容就是由一种形态与另一种形态的对比和关系的转化．要解决好一个数学问题，我认为首要的是要对一个数学问题构成的结构要先有充分的认识，再熟知一些推演关系的基本手段及方法．其次，要善于把问题的假设和结论沟通起来，借助已有的（尽可能多的）数学知识和数学理论，从而顺利地解决问题．解决问题有“通法”和“巧技”，但我们一定要知道“巧”不是解题的大道，只是一条捷径，而捷径不是处处都有的．只有练好解题的基本功，则解题的捷径也就不难找到．要掌握解题的通法，必须要知道一些数学形态的“通性”，即它的内部结构及这些结构的逻辑联系、演化规律．每一种典型的基本结构在数学形态中的作用以及处理它的一些常见的数学方法和数学知识．解题能力的大小，就是你拥有的这种数学知识的体现．它就像要给人治病，必须先了解人体的各部分组成的器官和构成器官的细胞和它们的生命作用．只有这样练好了基本功，就会得到解题的通法，找到处理数学问题的“大道”．这里还有一个数学能力的问题，具体点说，还有人通过对数学问题的研究和学习得到处理数学问题的有效程度的大小和解题能力．能力是一种稳定的个性心理特征，它影响人们的数学学习活动能否顺利完成；影响数学学习活动的效果．正如瑞典心理学家魏德林（I·Werdelin）指出的“数学能力是理解数学的问题、符号、方法和证明的本质的能力；是学会它，在记忆中保持和再现它们，在解数学（或类似的）课题时运用它们的能力．”总之，通过对数学问题的基本结构进行深入的分析，对各种基本结构彼此关联的本质进行探索，掌握好处理数学问题的一般的数学思维方式和方法，才能达到掌握解决问题的本领．把初等数学作为一个系统，用“结构”的观点来进行分析研究，就是本文的目的。
一、简化规则在数学形态转化中的应用认识一个数学问题，对它进行处理，有一个最基本的思想，那就是将这个数学问题简单化，从而发掘出此问题的内在的演化规律，以及它与已有的数学结论之间的联系，从而达到使用最优的逻辑演算和推理方法来解决问题，这就是人们通常说的简单化原则．不管问题的形态多么复杂，但它都由一些基本结构组成，就像一个生命体，它由各种各样的细胞构成，正是这些细胞的相互关联的生命运动，才使生命充满了活力．要认识生命，就必须认识这些细胞．同样地，要解决数学问题，也必须认识数学的一些基本结构，以及这些结构在数学中的作用．按自然辩证法的观点，数学的简单化原理也应该有规律可循．对用数和式组成的数学形态的处理，探求简化规则，就是对规律的一种分析方法．规律是一个抽象的概念，规律往往隐藏在大量复杂的表象后面，它似乎离我们很近，但又很远．需要我们对大量同类问题全方位、多层次的分析比较，才能拨开迷雾，找出它们具有本质的属性．下面我们就对数学最基本的对象：即元的认识开始来展开我们的研究．第一讲元的认识内容简介：代数一个主要内容是对数符、字符和运算符组合成的代数式进行研究，通过运算、恒等变形、转换形式及数理的逻辑推演，从而达到对客观世界的自然形态的认识和变化规律的认知，使人类改造世界的目标得以实现；初等数学中，代数的基本内容主要是对数的认识、式子的恒等变形的技巧训练、方程的求解、函数观点的确定、不等量的比较等；它对学者有一个最基本的要求就是要建立对“基元”的认识．下面举例说明：例1化简：)2(24224222222<<⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+--+-aaaaaaaaaa解：令ax-=2，ay+=2∴)(2122xya-=，)(21222xy+=∴原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-=222222222222)(2xyxyxyyxyxxyxyxyxyxyyxyxyx1-=+-⋅-+=xyyxxyyx1．观察整个式子，主要为2． 把式子用基元x 、y 表示时，要注意a 和1的表示：对称和次数的认识及分析． 3． 注意与常规的有理化解法比较．例2 化简：17173217325154+-++解：令5=x ，32=y ，17=z ∴222z y x =+∴ 原式5)(222==+--+=+-++-+=+-++=x z y z y x z y zy x z y x z y zy x xy1．、2．2xy x y z++转化时注意分子、分母次数的统一．例3 化简：2536101528-+--+解：令5=x ，3=y ，2=z ∴ 222z y x +=原式35))(()()(2222+=+=-+-++=-++-+=-+--++=y x zy x z y x y x zy x y x z y x zy x yzxz xy y x例4 解方程：14)347()347(=-++x x解：令xa )347(+=，xb )347(-= ∴ 1=ab 且14=+b a∴ a 、b 是01142=+-y y 的两根，故⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=347347347347b a b a 或即有221212-==⇒-==x x x x 或或，检验满足原方程．1． 式子在左边两项为共轭，是为基本结构． 2． 解法为构造方程求解．例5 解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x y x解：令yx a 1+=，3-+=y x b∴ 3363122=-=-+++=+y x yx b a∴ 原方程变为⎪⎩⎪⎨⎧=+-⇒=+=-32)(33222ab b a ba b a∴ 0=ab 即⎪⎩⎪⎨⎧-==30b a （舍）⎪⎩⎪⎨⎧==03b a∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1412331y x y x y x y x 或1． 确定元后，注意两元的关系，并用其表示第二个方程．2． 注意有意义的范围．例6 求：100237⎪⎭⎫⎝⎛·2004200420042004735153++解：令10027=x ，10023=y ，10025=z∴ 原式122222222=⋅=⋅=++⋅=xy yx xy yx xz x zy yyx此式的元由质因子及方幂确定，故71002、31002、51002分别为元． 例7 对一切不为0的实数x ，总有2)1(3)(2x x f x f x =+⋅成立，求)(x f ．解：由于2)1(3)(2x xf x xf =+ ① 将x 换成x1得：x x f x f x xx f x x f 1)1(2)(31)1(2)(32=+⋅⇒=+② 22⨯-⨯①②得 223)(5xx x f x -=⋅ 即x xx f 5253)(2-=1． 式中有二个元，即1()()f x f x和，但只有一个方程则需转化为二个方程．2． 注意元的任意性的代换．例8 分解因式：333)()()(cz ax cz by by ax ---+-解：令by ax m -=，cz by n -= ∴cz ax n m -=+故原式322333)())(()(n m n mn m n m n m n m +-+-+=+-+= )3)(()2)((2222mn n m mn n m n mn m n m -+=---+-+= ))()((3cz ax cz by by ax ----= 换元使问题简化，从而可知其内在规律．例9 分解因式：3723222-+---b a b ab a解：原式)3)(12()13(2372)13(2222b b a b a b b a b a --++-=-+-+-= )32)(12(-++-=b a b a1． 多字母认定主元后，其余字母作常数，且字母次数低的应作主元． 2． 此法可用作不超过二次式的分解的运算．例10 已知：521332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++．解：令1-=a x ，2-=b y ，3-=c z得：a x =+12，b y =+22，c z =+32 条件式变为：5)3(213423222-+-=--++z z y x y x29321)44()12(222=+-++-++-⇒z z y y x x 22211(1)(2)(3)0223x x yz y z =⎧⎪⇒-+-+-=⇒=⎨⎪=⎩∴ 2069416222=+++=+++=++z y x c b a 将根式作元，则无理式可变化成整式的运算．例11 已知：x ，y ，z R +∈且1222x y z xyz++=+++。
求证：2221222xyzxyz++≥+++。
证（一）：令2 + x = a ，2 + y = b ，2 + z = c由由已知：2221a b c abc ---++=即1111abc++=则2111()()(111)9a b c a b c ab c++=++++≥++=，即9a b c ++≥故222222(2)(2)(2)222xyza b c xyzabc---++=+++++1114()1294121a b c abc=+++++-≥+-=证（二）：设2x ax=+，则21a x a=-（a > 0，1a ≠）再设2y by=+，2zcz=+，得21b y b=-，21c z c=-则1a b c ++=（a ，b ，c R +∈）222222222222111xyzabcA xyzabc=++=+++++---由221(1)212aa a a+-≥-，即2251122aa a ≥--同理：2251122bb b≥--，2251122cc c ≥--故5353()12222A a b c ≥++-=-=此题2xx+，2y y+，2z z+作元也是好的注意：1．分母为单项式比多项式简单，故选2 + x ，2 + y ，2 + z 作元，使式子变简单。
2．变换后由于有a + b + c ，而条件为111abc++，故考虑用柯西不等式。
例12≤a 的范围．解：由a ≥+u =v =∵ 221u v +=（00u v ≥≥，）又令sin u θ=，cos v θ=（[0]2πθ∈，）∴sin cos ()4t u v πθθθ=+=+=+∴max t = 故所求a的范围是a ≥在不能观察出最本质的元时，可以分次逐步取元．解13 已知：(0)2x π∈，，求()tan cot sec csc f x x x x x =+++的最小值．解：令sin cos t x x =+ ∵ (0)2x π∈，∴(1t ∈ ∴ 22sin cos 1x x t =-∴ 22sin cos 11sin cos sin cos ()cos sin cos sin sin cos x x x x x xf x x x xxx x+++=+++=21211(1)2t t t +==--∴t =min [()]2(1)f x =+1． 有正、余弦的和与积，一般将和作元． 2． 也可用tan2x 作元，用万能公式．3． 更一般没有n 个数和、平方和、积……等等时，以和或积作元．例14 设a 0为常数，且1123n n n a a --=-+（n N +∈）。
