2015年高中数学新课标一轮复习上册3-4

高三第一轮复习资料（注意保密）引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。

选修4—8：统筹法与图论初步。

选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点第一章：集合与函数概念 §1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

基础巩固强化一、选择题1．(文)设π2<θ<π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为( ) A.105 B ．－105 C ．－155 D.155[答案] D[解析] ∵π2<θ<π，∴cos θ<0，∴cos θ＝－15. ∵π4<θ2<π2，∴sin θ2>0，又cos θ＝1－2sin 2θ2，∴sin 2θ2＝1－cos θ2＝35，∴sin θ2＝155.(理)已知x ∈(π2，π)，cos2x ＝a ，则cos x ＝( ) A.1－a2 B ．－1－a 2 C.1＋a 2D ．－1＋a 2[答案] D[解析] a ＝cos2x ＝2cos 2x －1， ∵x ∈(π2，π)，∴cos x <0，∴cos x ＝－a ＋12.2．(2013·山西诊断)已知sin(π2＋θ)＝35，则cos(π－2θ)＝( ) A.1225 B ．－1225 C ．－725 D.725[答案] D[解析] 依题意得sin(θ＋π2)＝cos θ＝35，cos(π－2θ)＝－cos2θ＝1－2cos 2θ＝1－2×(35)2＝725，选D.3．(文)在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C2＋3tan A 2·tan C 2的值是( )A ．±3B ．－ 3 C. 3 D.33 [答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3， ∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2·tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝3，故选C.(理)(2013·兰州名校检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4[答案] A[解析] 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A＝π4.4．(文)若cos(x ＋y )cos(x －y )＝13，则cos 2x －sin 2y 等于( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.23[答案] B[解析] ∵cos(x ＋y )cos(x －y )＝(cos x cos y －sin x sin y )·(cos x cos y ＋sin x sin y )＝cos 2x cos 2y －sin 2x sin 2y ＝cos 2x (1－sin 2y )－(1－cos 2x )·sin 2y ＝cos 2x －cos 2x sin 2y －sin 2y ＋cos 2x sin 2y ＝cos 2x －sin 2y ，∴选B.(理)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则sin(x ＋y )的值是( )A ．1B ．－1 C.13 D.12 [答案] A[解析] 两式相加得sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋π4， ∵x 、y 为锐角，且sin x －sin y <0，∴x <y ， ∴x ＋π4＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋π4，∴x ＋y ＝π2，∴sin(x ＋y )＝1.5．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos α＝45，则tan2α等于( )A ．－247 B.247 C ．－724 D.724[答案] A[解析] ∵－π2<α<0，cos α＝45，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－34，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故选A.6．若α、β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32[答案] B[解析] 由α、β∈(0，π2)得， α－β2∈(－π4，π2)，α2－β∈(－π2，π4)．又cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12， ∴α－β2＝±π6，α2－β＝－π6， ∵α，β∈(0，π2)，∴α＝β＝π3， ∴cos(α＋β)＝－12. 二、填空题7．已知sin α·cos α<0，sin αtan α>0，化简 cos α2·1－sin α21＋sin α2＋sin α2·1＋cos α21－cos α2＝________. [答案] ±2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4[解析] ∵sin α·cos α<0，∴α为第二或第四象限角， 又∵sin α·tan α>0，∴α为第四象限角， ∴α2为第二或四象限角．∴原式＝cos α2·1－sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2·1＋cos α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α2＋cos α2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第二象限角，－sin α2－cos α2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第四象限角.∴原式＝±2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4.8．已知sin α＝35，cos β＝35，其中α、β∈(0，π2)，则α＋β＝________.[答案] π2[解析] ∵α，β∈(0，π2)，sin α＝35，cos β＝35， ∴cos α＝45，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×35－35×45＝0， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π2.9．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________． [答案] 17250[解析] 本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考查学生运算能力，∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3， 又cos(α＋π6)＝45， ∴sin(α＋π6)＝1－cos 2(α＋π6)＝35，∴sin2(α＋π6)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6) ＝2×35×45＝2425，cos2(α＋π6)＝2cos 2(α＋π6)－1 ＝2×(45)2－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin2(α＋π6)cos π4－cos2(α＋π6)sin π4 ＝2425×22－725×22＝17250.[点评] 已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．三、解答题10．(文)已知函数f (x )＝sin x (1＋sin x )＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[－π6，2π3]上的最大值和最小值． [解析] (1)f (x )＝sin x ＋sin 2x ＋cos 2x ＝sin x ＋1， ∴f (x )的最小正周期为2π.(2)f (x )在[－π6，π2]上为增函数，在[π2，2π3]上为减函数，又f (－π6)<f (2π3)，∴x ＝－π6时，f (x )有最小值f (－π6)＝sin(－π6)＋1＝12； x ＝π2时，f (x )有最大值f (π2)＝sin π2＋1＝2. (理)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)． (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2α，求α的大小．[解析] (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α得，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 所以2α＝π6，即α＝π12.能力拓展提升一、选择题11．(2013·东北三省四市联考)已知复数z 1＝cos23°＋isin23°，复数z 2＝cos37°＋isin37°，则z 1·z 2为( )A.12＋32iB.32＋12i C.12－32i D.32－12i[答案] A[解析] 由已知条件可得z 1z 2＝cos(23°＋37°)＋isin(23°＋37°)＝cos60°＋isin60°＝12＋32i ，故应选A.12．(2013·沈阳、大连联考)已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且B ＝π4，则cos A －cos C 的值为( )A ．±2 B. 2 C.42 D ．±42[答案] D[解析] 由三边成等差数列得2b ＝a ＋c ，据正弦定理将边化角得2sin B ＝2＝sin A ＋sin C ①，令cos A －cos C ＝x ②，将两式两边平方并相加可得2＋2(sin A sin C －cos A cos C )＝2－2cos(A ＋C )＝2＋x 2，由已知A ＋C ＝3π4得2＝x 2，解得x ＝±42，故选D.13．(文)设α为△ABC 的内角，且tan α＝－34，则sin2α的值为( ) A.2425 B ．－2425 C ．－916 D.916[答案] B[解析] ∵tan α＝－34， ∴sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×(－34)(－34)2＋1＝－2425. (理)(2014·樟树中学月考)已知tan α2＝3，则cos α＝( ) A.45 B ．－45 C.415 D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2 ＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B. 二、填空题14．(2013·南京调研二)计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.[答案]2[解析] cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos (10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 15．(文)(2013·江苏苏锡常镇调研)已知钝角α满足cos α＝－35，则tan(α2＋π4)的值为________．[答案] －3[解析] ∵cos α＝－35，α为钝角，∴sin α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝45－35＝－43，由二倍角公式得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝－43，且tan α2>0， 解得tan α2＝2，故tan(α2＋π4)＝tan α2＋11－tan α2＝－3.(理)已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)等于________．[答案] －255[解析] 由已知得tan α＋11－tan α＝12，解得tan α＝－13， 即sin αcos α＝－13，cos α＝－3sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，结合－π2<α<0，可得sin α＝－1010，所以2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝22sin α(sin α＋cos α)sin α＋cos α＝22sin α ＝22×(－1010)＝－255.三、解答题16．(文)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值．[解析] (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32， 因为C 为锐角，所以C ＝π3，在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝223×12＋13×32＝22＋36. (理)(2013·山东实验中学三诊)设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a .(1)写出函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求f (x )的解析式；(3)将满足(2)的函数f (x )的图象向右平移π12个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向下平移12个单位，得到函数g (x )的图象，求g (x )的图象与x 轴的正半轴、直线x ＝π2所围成图形的面积．[解析] (1)f (x )＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12，∴最小正周期T ＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .故函数f (x )的单调递减区间是[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．(2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6.∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1.当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值最小值的和(1＋a ＋12)＋(－12＋a ＋12)＝32，∴a ＝0，∴f (x )＝sin(2x ＋π6)＋12.考纲要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．补充说明1．函数与方程的思想[例1] 已知sin x ＋sin y ＝13，求sin x －cos 2y 的最大、最小值．[分析] 令u ＝sin x －cos 2y ，消去sin x 得u ＝13－sin y －cos 2y 可转化为二次函数求最值，关键是消元后sin x 的范围，同时要转化为sin y 的取值范围．[解析] 由sin x ＝13－sin y 及－1≤sin x ≤1得，－23≤sin y ≤1.而sin x －cos 2y ＝sin 2y －sin y －23 ＝(sin y －12)2－1112，所以当sin y ＝12时，最小值为－1112，当sin y ＝－23时，最大值为49.[点评] 求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而sin x ＝13－sin y 能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出sin y 的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤sin y ≤1.2．角的构造技巧与公式的灵活运用[例2] 求sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°的值．[解析] 解法1：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10°·32cos10°－12sin10°＝34(sin 210°＋cos 210°)＝34.解法2：令sin10°＝a ＋b ，cos40°＝a －b ，则a ＝12(sin10°＋cos40°)＝12(sin10°＋sin50°)＝sin30°cos20°＝12cos20°，b ＝12(sin10°－cos40°)＝12(sin10°－sin50°)＝cos30°sin(－20°)＝－32sin20°.原式＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋(a ＋b )(a －b )＝3a 2＋b 2 ＝34cos 220°＋34sin 220°＝34.解法3：设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°.则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x ＝32，x ＝34.[点评] 解法1：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法2：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．解法3：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．你能解决下列问题吗？(1)求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值；求cos 273°＋cos 247°＋cos47°cos73°的值；(2)求sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)的值；求cos 2α＋sin 2(α＋30°)－cos αsin(α＋30°)的值；(3)求sin 2α＋cos 2(α＋60°)＋3sin αcos(α＋60°)的值；求cos 2α＋sin 2(α＋60°)－3cos a sin(α＋60°)的值；(4)若x ＋y ＝2k π＋π3(k ∈Z )，则sin 2x ＋sin 2y ＋sin x sin y 为定值34；若x ＋y ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，则sin 2x ＋sin 2y －sin x sin y 为定值34.3．三角恒等式的证明三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式是根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择恰当途径对条件等式进行变形，直到得到所证等式，或者将欲证等式及条件进行变形，创造机会代入条件，最终推导出所证等式．备选习题1．已知函数f (x )＝2cos 2x 2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f (α－π3)＝13，求cos2α1＋cos2α－sin2α的值．[解析] (1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos(x ＋π3)，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1,3]．(2)因为f (α－π3)＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角，所以sin α＝223.所以cos2α1＋cos2α－sin2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)2cos α(cos α－sin α)＝cos α＋sin α2cos α ＝－13＋223－23＝1－222.2．(2013·池州期末)已知α，β∈(0，π)，f (α)＝3－2cos2α4sin α.(1)用sin α表示f (α)；(2)若f (α)＝sin β，求α及β的值．[解析] (1)f (α)＝3－2(1－2sin 2α)4sin α＝1＋4sin 2α4sin α. (2)∵0<α<π，∴sin α>0.∴f (α)＝sin α＋14sin α≥214＝1，又f (α)＝sin β≤1，∴f (α)＝1，此时sin α＝14sin α，即sin α＝12，∴α＝π6或5π6.又∵0<β<π，0<sin β≤1，f (α)≥1，所以f (α)＝sin β＝1，所以β＝π2.综上可知α＝π6或5π6，β＝π2.。

2015年高考文科数学第一轮复习：集合主编：宁永辉 主编单位：永辉中学生教育学习中心第一部分：集合的知识点讲解一、集合的定义：1、集合的定义：若干具有形同属性的数据总体。

例如：{所有的北京人}这个集合中的元素属性都满足籍贯为北京；{所有的等腰三角形}这个集合中的元素属性都满足为等腰三角形；2、元素：集合中每一个数据称为集合的元素。

3、高考数学中常见的两种集合：（1）、数集：由数字组成的集合；例如：集合}3,2,1{；集合}23|{x x x >-（2）、点集：由平面直角坐标系中点的坐标组成的集合；例如：}12|),{(-=x y y x ，这个集合表示直线12-=x y 上所有点组成的集合。

4、高中数学中常见的几种特殊集合：（1）、实数集：所有实数组成的集合，用字母R 表示；（2）、整数集：所有整数组成的集合，用字母Z 表示；（3）、自然数集：所有的自然数组成的集合，用字母N 来表示；（4）、有理数集：所有的有理数组成的集合，用字母Q 来表示；二、集合的表示：1、集合的第一种表示方法：列举法。

列举法就是把集合中的所有元素放在大括号中，元素与元素之间用“，”隔开；例如：集合}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{=A 。

2、集合的第二种表示方法：描述法。

把集合中所有元素相同的属性放在括号中。

例如：}032|{>-x x ；}02|),{(=-y x y x ；几种特殊的描述法集合：第一种：函数的定义域组成的集合。

例如：}1)(|{-==x x f x A ；根据偶次根号下的数要大于等于0得到：}01|{≥-=x x A 。

第二种：函数的值域组成的集合。

例如：}12|{2--==x x y y A ；函数122--=x x y 的值域),2[+∞-∈y 得到：}2|{-≥=y y A 。

第三种：不等式的解组成的集合。

例如：}032|{2<--=x x x A ；不等式)3,1(0322-∈⇒<--x x x 得到：}31|{<<-=x x A 。

1．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ等于( )A.13B.23C.43D ．2[答案] B[解析] BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →2，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23.故选B.2．已知正三角形ABC 的边长为1，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，且AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，则BQ →·CP →的最大值为( )A. 32B. －32C. 38D. －38[答案] D[解析] BQ →·CP →＝(BA →＋AQ →)·(CA →＋AP →)＝[BA →＋(1－λ)AC →]·(CA →＋λAB →)＝AB →·AC →－λAB →＋(λ－1)AC →2＋λ(1－λ)AB →·AC →＝(λ－λ2＋1)×1×1×cos 60°－λ＋λ－1＝12(－λ2＋λ)－12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122－38(λ∈R )． 当λ＝12时，则BQ →·CP →的最大值为－38.故选D.———————————————(2014·广东梅州一模)已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上存在一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)[答案] C[解析] 设点P 坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1.∴点P 坐标为(3,0)，故选C.———————————————(2013·江西(理))设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．[答案] 52[解析] ∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12×cos π3＝5，∴a 在b 上的射影为a ·b |b |＝52.3．(2013·山东(理))已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．[答案] 712[解析] ∵AP →＝λAB →＋AC →，AP →⊥BC →，又BC →＝AC →－AB →，∴(AC →－AB →)·(AC →＋λAB →)＝0.∴AC →2＋λAB →·AC →－AB →·AC →－λAB →2＝0，即4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－9λ＝0， 即7－12λ＝0，∴λ＝712.4．(2013·课标全国Ⅱ(理))已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] 2[解析] 以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)，所以AE →·BD →＝2.1．已知函数f (x )＝32sin πx ＋12cos πx ，x ∈R ，如图，函数f (x )在[－1,1]上的图象与x 从左到右分别为M ，N ，图象的最高点为P ，则PM →与PN →的夹角的余弦值是( )x A.14 B.25C.34D.35[答案] D [解析] 依题意，得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，求得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，0，PM →与PN →的夹角为θ，则有PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，|PM →|＝|PN →|＝52，PM →·PN →＝34，∴cos θ＝PM →·PN →|PM →||PN →|＝35，选D. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0.(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值．[解析] (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0， 所以a b ＝cos B cos A ≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b .因为A ，B ∈(0，π)，且A ≠B ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2且A ≠B .所以△ABC 是非等腰的直角三角形．(2)由m ⊥n ，得m ·n ＝0，所以2a 2－3b 2＝0.①由(m ＋n )·(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14，所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14，即－3a 2＋8b 2＝14.②联立①②，解得a ＝6，b ＝2.所以c ＝a 2＋b 2＝10.故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10.。

1．(2014·福州质检)设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ∈Q ，－1，x ∈∁RQ ，g (x )＝e x －1e x ＋1，则函数h (x )＝f (x )·g (x )( ) A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是偶函数也不是奇函数[答案] A[解析] (1)当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴ f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴ f (－x )＝f (x )＝－1.综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．∵ g (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－e x －11＋e x＝－g (x )， ∴ 函数g (x )为奇函数．∴ h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )＝－h (x )，∴ 函数h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数．∵ h (1)＝f (1)·g (1)＝e －1e ＋1， h (－1)＝f (－1)·g (－1)＝1×e －1－1e －1＋1＝1－e 1＋e， ∴ h (－1)≠h (1)，∴ 函数h (x )不是偶函数．综上，应选A.2．函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A. y ＝1－xB ． y ＝|x －2| C. y ＝2x －1 D ． y ＝log 22x[答案] A[解析] 由f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点(1,1)，则点A 的坐标是(1,1)，又0＝1－1，知A (1,1)不在y ＝1－x 的图象上．故选A.3．(2012·四川(文))函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )[答案] C[解析] 函数y ＝a x －a 恒过定点(1,0)，观察选项图象可知，选C.4．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}[答案] D[解析] 由题意知－1<10x <12，所以x <lg 12＝－lg 2，故选D.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵x ∈[－1,1]，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .∴h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设存在m ，n 满足题意．∵m >n >3，h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数， 又∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，∴⎩⎨⎧12－6m ＝n 2， ①12－6n ＝m 2， ② ②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，即m ＋n ＝6，与m >n >3矛盾，∴满足题意的m ，n 不存在．。

1．(2013·课标全国)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 解法一：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， ∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m (m －1)2＝0， ①(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2＝－2. ②由①得a 1＝1－m2，代入②可得m ＝5.解法二：∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5.经检验为原方程的解． 故应选C.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则2a 1，22a 2，…，29a 9中最大的是( )A.2a 1 B.25a 5 C.26a 6D.29a 9[答案] B[解析] ∵S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5>0，∴a 5>0.又∵S 10＝102(a 1＋a 10)＝5(a 5＋a 6)<0，∴a 5＋a 6<0，即得a 6<0，且|a 6|>a 5，则数列{a n }的前5项均为正数，从第6项开始均为负数，则当n ≤5时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n 是递增的正数项数列，其最大项为25a 5，当n >6时，各项均为负数，即可得25a 5最大，故应选B.3．(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n . 已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． [答案] －49[解析] 由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ， 得⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝0，15a 1＋105d ＝25， 解得a 1＝－3，d ＝23，则S n ＝－3n ＋n (n －1)2·23＝13(n 2－10n )， 所以nS n ＝13(n 3－10n 2)， 令f (x )＝13(x 3－10x 2)，则f ′(x )＝x 2－203x ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －203，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，203时，f (x )递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞时，f (x )递增，又6<203<7，f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以nS n 的最小值为－49.4. 已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为________．[答案] －32[解析] 由题意可知x 1＝π2，x 2＝3π2，作出图象如图所示．∵x ∈(0,2π)，而x 2－x 1＝π， ∴x 3，x 4只可能分布在x 1，x 2之间． ∴x 3＝5π6，x 4＝7π6，m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝cos 5π6＝－32.5．(2014·广东中山二模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使a n ≥S n .[解析] (1)设公差为d ，则由S 2 009＝0，得 2 009a 1＋2 009×2 0082d ＝0，则a 1＋1 004d ＝0，d ＝－11 004a 1，a 1＋a n ＝2 009－n 1 004a 1， ∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 009－n 1 004a 1＝a 12 008(2 009n －n 2)． ∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 004或1 005时，S n 取最小值1 0052a 1. (2)由(1)得a n ＝1 005－n1 004a 1，由S n ≤a n ，得a 12 008(2 009n －n 2)≤1 005－n 1 004a 1. ∵a 1<0，∴n 2－2 011n ＋2 010≤0， 即(n －1)(n －2 010)≤0， 解得1≤n ≤2 010.故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 010，n ∈N *}．教师用书独具———————————————某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S .则S 最小时，电梯所停的楼层是( )A ．7层B ．8层C ．9层D ．10层[答案] C[解析] 设电梯停靠在第x 层时，其余10人的“不满意度”之和为S ，向上步行的有(12－x )人，这(12－x )人“不满意度”之和为S 1＝2＋4＋6＋…＋2(12－x )＝(12－x )[2＋2(12－x )]2＝x 2－25x ＋156；向下步行的有10－(12－x )＝x －2(人)，这(x －2)人“不满意度”之和为S 2＝1＋2＋…＋(x －2)＝(x －2)[1＋(x －2)]2＝12x2－32x ＋1；所以S ＝S 1＋S 2＝(x 2－25x ＋156)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－32x ＋1＝32x 2－532x ＋157＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5362＋95924，由于x ∈N,2≤x ≤12，所以，当x ＝9时，S 取最小值，即S 最小时，电梯所停的楼层是9层．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .[命题立意] 知识：考查等差数列通项公式、前n 项和公式，数列通项公式与前n 项和的关系，即b n ＝⎩⎨⎧T 1， n ＝1，T n －T n －1， n ≥2，等比数列前n 项和公式．能力：本题涉及数列中的知识点比较多，考查学生综合运用知识的能力，错位相减法的应用，要求学生有较高的代数式的变形能力．第(1)问对学生的运算能力也有一定的要求．试题难度：中等．[思路点拨] (1)利用等差数列的通项公式、前n 项和公式，建立方程组求解． (2)由已知求T n ，进而求b n ，c n ，用错位相减法求{c n }的前n 项和R n . [解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得 ⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋(2n －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＋1. 解得a 1＝1，d ＝2. 因此a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由题意知T n ＝λ－n2n －1，所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，n ∈N *.所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，两式相减，得34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n， 整理得R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1. 所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1. 2．已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和S n 满足2S n ＝a 2n ＋a n (n ∈N *)．(1)证明：{a n }为等差数列；(2)令b n ＝ln a na 2n ，记{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ≤2n 2－n －14(n ＋1).[证明] (1)∵2S n ＝a 2n ＋a n ， ∴2S n －1＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2)，两式相减，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1.整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝1(常数)．又2S 1＝a 21＋a 1，即a 21－a 1＝0，解得a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)证法一：由(1)知a n ＝n ，b n ＝ln a n a 2n ＝ln n n 2，即证T n ＝ln 222＋ln 332＋ln 442＋…＋ln n n 2≤2n 2－n －14(n ＋1).设f (x )＝ln x －x ＋1(x >0)， 则f ′(x )＝1x －1＝1－x x .当x ∈(0,1)，f ′(x )>0，f (x )为单调递增函数， 当x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数， ∴在x ＝1处f (x )取得极大值，也取得最大值． ∴f (x )≤f (1)＝0，即ln x －x ＋1≤0， ∴ln x ≤x －1⇒ln x x ≤x －1x ＝1－1x . n ∈N *，n ≥2时，令x ＝n 2，得 ln n 2n 2≤1－1n 2， ∴ln n n 2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2，∴ln 222＋ln 332＋…＋ln nn 2 ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋1－132＋…＋1－1n 2 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋132＋…＋1n 2<12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＝2n 2－n －14(n ＋1)，∴当n ＝1时，有T n ＝2n 2－n －14(n ＋1)＝0.故结论成立．证法二：由(1)知a n ＝n ，b n ＝ln a n a 2n ＝ln nn 2，当n ＝1时，T 1＝2×12－1－14(1＋1)＝0成立．当n ≥2时，即证：T n ＝ln 222＋ln 332＋ln 442＋…＋ln n n 2≤2n 2－n －14(n ＋1).令A n ＝ln 222＋ln 332＋ln 442＋…＋ln n n 2－2n 2－n －14(n ＋1)，即证：A n ≤0.A n －A n －1＝ln n n 2－2n 2－n －14(n ＋1)＋2(n －1)2－(n －1)－14n＝ln n n 2－n 2＋n －12n (n ＋1)＝－n －1＋1n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ·ln n n2(n ＋1)(n ≥3)，当x ≥e 时，容易证明f (x )＝ln xx 单调递减， ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ·ln n n ≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13·ln 33 ＝89ln 3 <89ln e 2 ＝169，－n －1＋1n ≤－3－1＋13＝－339＜0， ∴A n －A n －1<0，∴{A n }单调递减， ∴A n <A 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－53<0.∴结论成立．友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。