2020版高考数学(理)新增分大一轮人教通用版讲义：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.7 含解析

§2.1函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域函数y＝f(x)，x∈A中，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y|y ＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则．2．设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为：f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．函数的表示法(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法．(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编 2．函数f (x )＝4－xx －1的定义域是________． 答案 (－∞，1)∪(1,4]3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列各对应关系f 不能表示从P 到Q 的函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .答案 ③解析 对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是从P 到Q 的函数．5．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝____________.答案 x 2－1(x ≥0)解析 令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为___________．答案 (－∞，－2]∪[0,10]解析 ∵f (x )是分段函数，∴f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0，∴x ≤－2或0≤x <1.当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1，即x －1≤3，∴1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10，即x ∈(－∞，－2]∪[0,10].题型一 函数的定义域命题点1 求函数的定义域例1 (1)(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 {x |x ≥2}解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2， 满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)函数f (x )＝1x ln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________．答案 [－4,0)∪(0,1) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)．(3)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 020]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2 019]B ．[－1,1)∪(1,2 019]C ．[0,2 020]D ．[－1,1)∪(1,2 020]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 020，解得－1≤x ≤2 019，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 019]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 019，x －1≠0， 解得－1≤x <1或1<x ≤2 019.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 019]． 引申探究本例(3)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 020]”，改为“函数f (x －1)的定义域为 [0,2 020]”，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 018]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 020]， 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 019]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 019，x ≠1， 则－2≤x ≤2 018且x ≠1. 所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]． 命题点2 已知定义域求参数的值或范围例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a ,1＋a ]∩[－a ,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. 思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域． (3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练1 (1)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.(2)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1＋1x >0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.(3)记函数f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________________． 答案 (－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1解析 由已知得A ＝{x |x <－1或x ≥1}，B ＝{x |(x －a －1)(x －2a )<0}，由a <1得a ＋1>2a ，∴B ＝{x |2a <x <a ＋1}．∵B ⊆A ，∴a ＋1≤－1或2a ≥1，∴a ≤－2或12≤a <1.∴a 的取值范围为a ≤－2或12≤a <1.题型二 求函数的解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝________________. 答案 23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1)解析 当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 将x 换成－x ，则－x 换成x ，得 2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1)．思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 题型三 常见函数的值域求下列函数的值域： (1)y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]； (2)y ＝3x ＋1x －2；(3)y ＝x ＋41－x ； (4)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12. 解 (1)(配方法)因为y ＝3x 2－x ＋2＝3⎝⎛⎭⎫x －162＋2312， 所以函数y ＝3x 2－x ＋2在[1,3]上单调递增． 当x ＝1时，原函数取得最小值4； 当x ＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y ＝3x 2－x ＋2(x ∈[1,3])的值域为[4,26]． (2)(分离常数法)y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ≠3}．(3)(换元法)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5， 所以原函数的值域为(－∞，5]． (4)(均值不等式法) y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.思维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用均值不等式求解．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值例3 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (2＋log 32)的值为________．答案154解析 ∵2＋log 31<2＋log 32<2＋log 33，即2<2＋log 32<3，∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)，又3<3＋log 32<4，∴f (3＋log 32)＝33log 213⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝⎝⎛⎭⎫133×3log 213⎛⎫⎪⎝⎭＝127×3log 21(3)－＝127×3log 23－＝127×31log 23＝127×12＝154，∴f (2＋log 32)＝154. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题例4 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x ＝122-.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22. (2)已知函数f (x )＝13log ,02,0xx x x ⎧⎪⎨⎪⎩＞，≤，若f (a )>12，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，33解析 当a ≤0时，令2a >12，解得－1<a ≤0；当a >0时，令13log a >12，解得0<a <33.∴a ∈(－1,0]∪⎝⎛⎭⎫0，33，即a ∈⎝⎛⎭⎫－1，33. 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．答案 －34解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得 －(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ， 解得a ＝－34，符合题意．综上，a ＝－34.(2)(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)答案 D解析 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x . 此时x ≤－1.当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )． 此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)． 故选D.1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不满足，B 选项中的定义域不满足，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin 2x2cos x，g (x )＝sin xD ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2答案 D解析 A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D. 3．函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(2,3) D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3x －x 2>0，解得2<x <3， 则该函数的定义域为(2,3)，故选C.4．(2018·营口联考)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2] 答案 C解析 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应关系，所以1≤lg x ≤2，故10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C.5．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74 B.74 C.43 D ．－43答案 B解析 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件．7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x1＋x 2(x ≠－1)B ．f (x )＝－2x1＋x 2(x ≠－1) C ．f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)D ．f (x )＝－x1＋x 2(x ≠－1) 答案 C解析 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝(1＋t )2－(1－t )2(1＋t )2＋(1－t )2＝2t 1＋t 2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)，故选C.8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127 D.1243答案 B解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×12(1)t －＝6，∴t ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x，x ≥0， ∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0， f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×22log 92＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 答案 2x ＋7解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ，所以ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17对任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7. 10．函数y ＝x 2x 2－x ＋1的值域是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，43解析 若x ＝0，则y ＝0；若x ≠0，则y ＝1⎝⎛⎭⎫1x 2－⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝1⎝⎛⎭⎫1x －122＋34∈⎝⎛⎦⎤0，43. 故所求值域为⎣⎡⎦⎤0，43. 11．(2018·呼和浩特模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，则不等式f (x )≤5的解集为________．答案 [－2,4]解析 由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，当x >0时，令3＋log 2x ≤5， 即log 2x ≤2＝log 24，解得0<x ≤4； 当x ≤0时，令x 2－x －1≤5， 即(x －3)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤3，∴－2≤x ≤0.∴不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]．12．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________． 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0，若f (f (－2))>f (t )，则实数t 的取值范围是____________．答案 (－4,4)解析 f (－2)＝4，f (4)＝8，不等式f (f (－2))>f (t )可化为f (t )<8.当t <0时，－2t <8，得－4<t <0；当t ≥0时，t 2－2t <8，即(t －1)2<9，得0≤t <4.综上所述，t 的取值范围是(－4,4)．14．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是____________．(填序号) 答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上，满足“倒负”变换的函数是①③.15．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ()1＋x ＋f ()1－x ＝4成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫38＋…＋f ⎝⎛⎭⎫158＝________. 答案 30解析 由f ()1＋x ＋f ()1－x ＝4， 得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫158＝4，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫148＝4， …，f ⎝⎛⎭⎫78＋f ⎝⎛⎭⎫98＝4， 又f ⎝⎛⎭⎫88＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫38＋…＋f ⎝⎛⎭⎫158 ＝4×7＋2＝30.16.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4 m 2，设用x 表示y 的表达式为f (x )，则f (x )＝______________.答案 4x －x4(0<x <4)解析 由已知x ·y ＋12·x ·12x ＝4，∴y ＝4x －14x ，即f (x )＝4x －x 4.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x －x 4>0，得0<x <4.。

§函数的奇偶性与周期性考情考向分析以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以填空题为主，中等偏上难度．．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数()的定义域内任意一个，都有(－)＝()，那么函数()就叫做偶函数关于轴对称奇函数一般地，如果对于函数()的定义域内任意一个，都有(－)＝－()，那么函数()就叫做奇函数关于原点对称.周期性()周期函数：对于函数＝()，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有(＋)＝()，那么就称函数＝()为周期函数，称为这个函数的周期．()最小正周期：如果在周期函数()的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()的最小正周期．概念方法微思考．如果已知函数()，()的奇偶性，那么函数()±()，()·()的奇偶性有什么结论？提示在函数()，()公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．．已知函数()满足下列条件，你能得到什么结论？()(＋)＝－()(≠)．()(＋)＝(≠)．()(＋)＝(＋)(≠)．提示()＝()＝()＝－题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()函数＝，∈(，＋∞)是偶函数．(×)()偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)()若函数＝(＋)是偶函数，则函数＝()关于直线＝对称．(√)()若是函数的一个周期，则(∈，≠)也是函数的周期．(√)题组二教材改编．[习题]已知函数()是定义在上的奇函数，且当>时，()＝(＋)，则(－)＝. 答案－解析()＝×＝，又()为奇函数，∴(－)＝－()＝－.．[练习]函数＝()为(－∞，＋∞)上的偶函数，且()＝，则(－)＝.答案解析若≥，则(－)＝()＝()＝；若<，则(－)＝()＝.故对∈，总有(－)＝.。

§2.1函数及其表示最新考纲1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．(√) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×) 题组二教材改编 2．函数f (x )＝4－xx －1的定义域是________． 答案(－∞，1)∪(1,4]3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5] 题组三易错自纠4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列各对应关系f 不能表示从P 到Q 的函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x.答案③解析对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是从P 到Q 的函数．5．已知f (x)＝x －1，则f (x )＝____________. 答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x≥0，2x ，x<0，则f (f (－2))＝________.答案12解析因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12.题型一函数的定义域命题点1求函数的定义域例1(1)(2018·江苏)函数f (x )＝log2x －1的定义域为________． 答案{x |x ≥2}解析由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2， 满足x >0，所以函数f (x )＝log2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)函数f (x )＝1x ln x2－3x ＋2＋－x2－3x ＋4的定义域为________________．答案[－4,0)∪(0,1) 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x≠0，x2－3x ＋2>0，－x2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)．(3)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 020]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是()A ．[－1,2 019]B ．[－1,1)∪(1,2 019]C ．[0,2 020]D ．[－1,1)∪(1,2 020] 答案B解析使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2020，解得－1≤x ≤2019，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 019]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤2019，x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2019.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 019]． 引申探究本例(3)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 020]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 020]”，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案[－2,1)∪(1,2 018]解析由函数f (x －1)的定义域为[0,2 020]，得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 019]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2019，x≠1，则－2≤x ≤2018且x ≠1. 所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]． 命题点2已知定义域求参数的值或范围例2(1)若函数f (x )＝ax2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a<0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________． 答案⎣⎡⎦⎤－12，12 解析函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. 思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍． (2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域． (3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解． 跟踪训练1(1)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x2的定义域为________． 答案(0,1]解析函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x≠0，1＋1x >0，1－x2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x>0或x<－1，－1≤x≤1，∴0<x ≤1.(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是()A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案A解析函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.(3)若函数f (x )＝mx2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案[0,4]解析由题意知，mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m>0，m2－4m≤0，得0<m ≤4，综上，m 的取值范围是[0,4]． 题型二求函数的解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于() A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 答案B解析f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案12x 2－32x ＋2解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝3x·f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1，则f (x )＝______________. 答案－38x －18(x >0)解析在f (x )＝3x·f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝31x·f (x )＋1，将该方程代入已知方程消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得f (x )＝－38x －18(x >0)． 思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型三分段函数命题点1求分段函数的函数值例3(1)已知f (x )＝⎩⎨⎧log3x ，x>0，ax ＋b ，x≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于()A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案B解析由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (2＋log 32)的值为________．答案154解析∵2＋log 31<2＋log 32<2＋log 33，即2<2＋log 32<3，∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)，又3<3＋log 32<4，∴f (3＋log 32)＝⎝⎛⎭⎫1333log 2＋＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫13＝127×(3－1)＝127×3log 23－＝127×31log 23＝127×12＝154，∴f (2＋log 32)＝154.命题点2分段函数与方程、不等式问题例4(1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x≤0，|log2x|，x>0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x ＝.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22. (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13log x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )>12，则实数a 的取值范围是__________．答案⎝⎛⎭⎫－1，33 解析当a ≤0时，令2a >12，解得－1<a ≤0；当a >0时，令13log a >12，解得0<a <33. ∴a ∈(－1,0]∪⎝⎛⎭⎫0，33，即a ∈⎝⎛⎭⎫－1，33. 思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log2(3－x )，x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则a 等于()A ．－2B ．－1C ．－1或－12D ．2答案B解析当2－a ≥2，即a ≤0时，令22－a －2－1＝1，解得a ＝－1；当2－a <2，即a >0时，令－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－12，不符合，舍去．所以a ＝－1.(2)(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x≤0，1，x>0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案D解析方法一①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x>0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x>0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.方法二∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x≤0，1，x>0，∴函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x .此时x ≤－1. 当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )．此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)． 故选D.1．下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案B解析图象①关于x 轴对称，x >0时，每一个x 对应2个y ，图象②中x 0对应2个y ，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象．2．下列各组函数中，表示同一函数的是() A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin2x2cosx，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x2答案D解析A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D. 3．(2018·郑州调研)函数f (x )＝ln x x －1＋12x 的定义域为()A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答案B解析要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，xx －1>0，x≥0，解得x >1，故函数f (x )＝lnxx －1＋12x 的定义域为(1，＋∞)． 4．(2018·湖南五市十校联考)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为() A ．[－1,1]B ．[1,2] C ．[10,100]D ．[0，lg 2] 答案C解析因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应关系，所以1≤lg x ≤2，故10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于() A ．－74B.74C.43D ．－43答案B解析令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.6．已知f ⎝⎛⎭⎫1－x 1＋x ＝1－x21＋x2，则f (x )的解析式为() A ．f (x )＝x 1＋x2(x ≠－1) B ．f (x )＝－2x 1＋x2(x ≠－1)C ．f (x )＝2x 1＋x2(x ≠－1)D ．f (x )＝－x1＋x2(x ≠－1)答案C解析令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝(1＋t )2－(1－t )2(1＋t )2＋(1－t )2＝2t 1＋t2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)，故选C.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为()A ．27B ．243 C.127D.1243 答案B解析∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×(t －1)12＝6，∴t ＝5， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2(x 2＋5)，x <0，3×4x，x ≥0， ∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0，f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×22log 92＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.8.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQ D )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是()答案A解析观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件．9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 答案2x ＋7解析设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ，所以ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17对任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.10．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝(x )的定义域是__________．答案(2,8]解析要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．(2018·河南南阳一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3＋log2x ，x>0，x2－x －1，x≤0，则不等式f (x )≤5的解集为________． 答案[－2,4]解析由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log2x ，x>0，x2－x －1，x≤0， 当x >0时，令3＋log 2x ≤5，即log 2x ≤2＝log 24，解得0<x ≤4；当x ≤0时，令x 2－x －1≤5，即(x －3)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤3，∴－2≤x ≤0.∴不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]．12．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________．答案[－2,0]∪(4,60]解析由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x3－4，x ∈(2，4]， 当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．(2018·菏泽模拟)记[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x<1，x －[x]，x≥1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 2解析∵52>1，∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52－⎣⎡⎦⎤52＝12. 又∵12<1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2，即f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫52＝ 2. 14.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4m 2，设用x 表示y 的表达式为f (x )，则f (x )＝______________.答案4x －x 4(0<x <4) 解析由已知x ·y ＋12·x ·12x ＝4， ∴y ＝4x －14x ，即f (x )＝4x －x 4. 由⎩⎪⎨⎪⎧x>0，4x －x 4>0，得0<x <4.15．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ()1＋x ＋f ()1－x ＝4成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫38＋…＋f ⎝⎛⎭⎫158＝________.答案30解析由f ()1＋x ＋f ()1－x ＝4，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫158＝4，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫148＝4， …，f ⎝⎛⎭⎫78＋f ⎝⎛⎭⎫98＝4，又f ⎝⎛⎭⎫88＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫38＋…＋f ⎝⎛⎭⎫158 ＝4×7＋2＝30.16．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ； ③f (x )＝⎩⎨⎧ x ，0<x<1，0，x ＝1，－1x ，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是____________．(填序号)答案①③ 解析对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x>1，0，x ＝1，－x ，0<x<1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上，满足“倒负”变换的函数是①③.。

§2.8　函数与方程最新考纲　1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210概念方法微思考函数f (x )的图象连续不断，是否可得到函数f (x )只有一个零点？提示　不能．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．(　×　)(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.(　×　)(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．(　√　)(4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x )．(　√　)题组二　教材改编2．函数f (x )＝ln x －的零点所在的大致区间是( )2x A ．(1,2) B ．(2,3)C.和(3,4) D ．(4，＋∞)(1e，1)答案　B解析　∵f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－>023且函数f (x )的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (x )为增函数，∴f (x )的零点在区间(2,3)内．3．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案　B解析　由f ′(x )＝e x ＋3>0，得f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝－3<0，f (0)＝1>0，因此函1e 数f (x )有且只有一个零点．题组三　易错自纠4．函数f (x )＝ln 2x －3ln x ＋2的零点是( )A ．(e,0)或(e 2，0) B ．(1,0)或(e 2，0)C ．(e 2，0) D ．e 或e 2答案　D解析　f (x )＝ln 2x －3ln x ＋2＝(ln x －1)(ln x －2)，由f (x )＝0得x ＝e 或x ＝e 2.5．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0,4)上存在零点，则实数m 的取值范围是．答案　(－8,1]解析　m ＝－x 2＋2x 在(0,4)上有解，又－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，∴y ＝－x 2＋2x 在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－8<m ≤1.6．已知函数f (x )＝x －(x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则( )x A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 2<x 1<x 3C ．x 2<x 3<x 1 D ．x 3<x 1<x 2答案　C解析　作出y ＝x 与y ＝(x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示，可知选C.x题型一　函数零点所在区间的判定1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)答案　B解析　∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象在(0，＋∞)上是连续的，且为增函数，∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．2．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案　A解析　∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.3．已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝.答案　2解析　对于函数y＝log a x，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.思维升华 判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．题型二　函数零点个数的判断例1 (1)函数f (x )＝Error!的零点个数是 ．答案　2解析　当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f (x )有一个2零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．1x又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)(2018·天津河东区模拟)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案　C解析　由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.(3)函数f (x )＝－cos x 在[0，＋∞)内( )x A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点答案　B解析　当x ∈时，因为f ′(x )＝＋sin x ，>0，sin x >0，所以f ′(x )>0，故f (x )在[0,1](0，1]12xx 上单调递增，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1－cos 1>0，所以f (x )在[0,1]内有唯一零点．当x >1时，f (x )＝－cos x >0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.x 思维升华 函数零点个数的判断方法(1)直接求零点．(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数．(3)利用函数图象的交点个数判断．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝Error!则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1 B ．2C ．3 D ．4答案　C解析　g (x )＝f (1－x )－1＝Error!＝Error!易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x <1时，函数g (x )有2个零点，所以函数g (x )的零点共有3个，故选C.(2)函数f (x )＝4cos 2·cos －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为．x 2(π2－x )答案　2解析　f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin 2x (x >－1)与y 2＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点．题型三　函数零点的应用命题点1　根据函数零点个数求参数例2　(1)(2018·石景山模拟)已知函数f(x)＝Error!若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则k的取值范围是__________．答案　(0,1)解析　作出f(x)＝Error!的函数图象如图所示：方程f(x)＝k有两个不同零点，即y＝k和f(x)＝Error!的图象有两个交点，由图可得k的取值范围是(0,1)．(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．答案　(0,1)∪(9，＋∞)解析　由题意知a>0.在同一直角坐标系中作出y＝|x2＋3x|，y＝a|x－1|的图象如图所示．由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y＝|x2＋3x|与y＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以Error!有两组不同解，消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0，解得a <1或a >9.又a >0，∴0<a <1或a >9.引申探究本例(2)中，若f (x )＝a 恰有四个互异的实数根，则a 的取值范围是________________．答案　(0，94)解析　作出y ＝|x 2＋3x |，y ＝a 的图象如图所示．由图象易知，当y ＝|x 2＋3x |和y ＝a 的图象有四个交点时，0<a <.94命题点2　根据函数零点的范围求参数例3 若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是 ．答案　(14，12)解析　依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足Error!即Error!解得<m <.1412思维升华 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练2 (1)方程(a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为．12log 答案　1解析　若方程(a －2x )＝2＋x 有解，则2＋x ＝a －2x 有解，即x ＋2x ＝a 有解，因为12log (12)14(12)14x ＋2x≥1，故a 的最小值为1.(12)(2)已知函数f (x )＝Error!若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是．答案　(－14，0]解析　作出函数f (x )的图象如图所示．当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝2－≥－，若函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，(x ＋12)1414则－<m ≤0，即实数m 的取值范围是.14(－14，0]利用转化思想求解函数零点问题在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．例(1)若函数f(x)＝|log a x|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则( )A．mn＝1 B．mn>1C．0<mn<1 D．以上都不对答案　C(12)(12)解析　由题设可得|log a x|＝x，不妨设a>1，m<n，画出函数y＝|log a x|，y＝x的图象如图(12)(12)所示，结合图象可知0<m<1，n>1，且－log a m＝m，log a n＝n，以上两式两边相减可得(12)(12)log a(mn)＝n－m<0，所以0<mn<1，故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝Error!g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )A.[－1,0)B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)答案　C解析　令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x).在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意.综上，a 的取值范围为[－1，＋∞).故选C.(3)若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为 ．答案　(－∞，2－2]2解析　由方程，解得a ＝－，设t ＝2x (t >0)，22x ＋12x ＋1则a ＝－＝－t 2＋1t ＋1(t ＋2t ＋1－1)＝2－，其中t ＋1>1，[(t ＋1)＋2t ＋1]由基本不等式，得(t ＋1)＋≥2，2t ＋12当且仅当t ＝－1时取等号，故a ≤2－2.221．已知函数f (x )＝－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )6x A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,4) D ．(4，＋∞)答案　C解析　因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝－log 24＝－<0，所以函数f (x )3212的零点所在区间为(2,4)．2．函数f (x )＝－x的零点个数为( )12x (12)A ．0B ．1C ．2D ．3答案　B解析　函数f (x )＝－x 的零点个数是方程－x ＝0的解的个数，即方程＝x 的12x (12)12x (12)12x (12)解的个数，也就是函数y ＝与y ＝x的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数12x (12)的图象如图所示，可得交点个数为1.3．函数f (x )＝2x －－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )2x A ．(1,3) B ．(1,2)C ．(0,3) D ．(0,2)答案　C解析　因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3，故选C.4．已知函数f (x )＝Error!则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A ．(1,2) B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案　D解析　当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋＝m ，1x 解得m ≥2，即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.5．已知函数f (x )＝Error!(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1) B ．(－∞，0)C ．(－1,0) D ．[－1,0)答案　D解析　当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根13即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1，0)，故选D.6．已知函数f (x )＝Error!若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．答案　3解析　依题意得Error!解得Error!令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①Error!或②Error!解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是 ．答案　Error!解析　∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知Error!∴Error!∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为Error!.8．已知函数f (x )＝Error!若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是．答案　(－∞，0)∪(1，＋∞)解析　令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．9．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 019x ＋log 2 019x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为 ．答案　3解析　因为函数f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 019x ＋log 2 019x 在区间内存在一个零点，又f (x )为(0，12 019)增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，从而函数f (x )在R 上的零点个数为3.10．已知函数f (x )＝x，g (x )＝x ，记函数h (x )＝Error!则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有(12)12log 零点的和为 ．答案　5解析　由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以＝5－，所以x 1＋x 2x 1＋x 22x 1＋x 22＝5.11．函数f (x )＝Error!a ∈R ，当0≤x <1时，f (x )＝1－x ，则f (x )的零点个数为________．答案　1解析　当x <0时，必存在x 0＝－e －a <0，使得f (x 0)＝0，因此对任意实数a ，f (x )在(－∞，0)内必有一个零点；当x ≥0时，f (x )是周期为1的周期函数，且0≤x <1时，f (x )＝1－x .因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f (x )的零点个数为1.12．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．解　显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解，0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋，1x又∵y ＝x ＋在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，1x ∴y ＝x ＋在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，1x ∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1]．13．已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A. B.1418C ．－D ．－7838答案　C解析　依题意，方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有1个解，故f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)有1个实数解，∴2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0有两相等实数解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C.7814．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝Error!则函数F (x )＝f (x )－的所有零点之1π和为．答案　11－2π解析　由题意知，当x <0时，f (x )＝Error!作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝交点的横坐标从左到1π右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－＝，解得x 3＝，所以函数F (x )＝f (x )－的所有零点之和为.2x 1－x 1π11－2π1π11－2π15．(2018·济南模拟)设x 1，x 2分别是函数f (x )＝x －a －x 和g (x )＝x log a x －1的零点(其中a >1)，求x 1＋4x 2的取值范围．解　f (x )＝x －a －x 的零点x 1是方程x ＝a －x ，即＝a x 的解，g (x )＝x log a x －1的零点x 2是方程1x x log a x －1＝0，即＝log a x 的解，即x 1，x 2是y ＝a x 与y ＝log a x 与y ＝交点A ，B 的横坐标，1x 1x可得0<x 1<1，x 2>1，∵y ＝a x 的图象与y ＝log a x 关于y ＝x 对称，y ＝的图象也关于y ＝x 对称，∴A ，B1x 关于y ＝x 对称，设A ，B ，∴A 关于y ＝x 的对称点A ′与B 重合，＝x 1，(x 1，1x 1)(x 2，1x 2)(1x 1，x1)1x 2即x 2x 1＝1，x 1＋4x 2＝x 1＋x 2＋3x 2>2＋3x 2>2＋3＝5，x 1＋4x 2的取值范围是(5，＋∞)．x 1x 216．已知函数f (x )是偶函数，f (0)＝0，且x >0时，f (x )是增函数，f (3)＝0，则函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点个数为 ．答案　3解析　画出函数y ＝f (x )和y ＝－lg|x ＋1|的大致图象，如图所示．∴由图象知，函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为3.17．已知函数f (x )＝Error!若f (x )＝m 有四个零点a ，b ，c ，d ，求abcd 的取值范围．解　作出函数f (x )的图象，不妨设a <b <c <d ，则－log 2a ＝log 2b ，∴ab ＝1.又根据二次函数的对称性，可知c ＋d ＝7，∴cd ＝c (7－c )＝7c －c 2(2<c <3)，∴10<cd <12，∴abcd 的取值范围是(10,12)．。

§2.7　函数的图象最新考纲　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )y ＝－f (x )；――――――→关于x 轴对称②y ＝f (x )y ＝f (－x )；――――――→关于y 轴对称③y ＝f (x )y ＝－f (－x )；―――――→关于原点对称 ④y ＝a x (a >0且a ≠1)y ＝log a x (a >0且a ≠1)．――――――→关于y ＝x 对称(3)伸缩变换①y ＝f (x )y ＝f (ax )．―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变 0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变②y ＝f (x )y ＝af (x )．――――――――――――――――――――→a>1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变(4)翻折变换①y ＝f (x )y ＝|f (x )|.――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去②y ＝f (x )y ＝f (|x |)．―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象概念方法微思考1．函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，你能得到f (x )解析式满足什么条件？提示　f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )．2．若函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )对称，求f (x )，g (x )的关系．提示　g (x )＝2b －f (2a －x)题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．(　×　)(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(　×　)(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．(　×　)(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．(　×　)题组二　教材改编2．[P35例5(3)]函数f (x )＝x ＋的图象关于( )1x A ．y 轴对称 B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案　C解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.3．[P32T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是．(填序号)答案　③解析　小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是．答案　(－1,1]解析　在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三　易错自纠5．下列图象是函数y ＝Error!的图象的是( )答案　C6．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案　y ＝ln (12x )解析　根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝ln .(12x )7．(2018·太原调研)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是__________．答案　(0，＋∞)解析　在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知，当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．题型一　作函数的图象分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝.2x －1x －1解　(1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝Error!其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋，故函数的图象可由y ＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得1x －11x到，如图④所示．思维升华 图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋的函数．1x(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二　函数图象的辨识例1 (1)函数y ＝的图象大致是( )x 2ln|x ||x |答案　D解析　从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋lnx ，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由此可知应选D.(0，1e )(1e ，＋∞)(2)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝－|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)答案　C 解析　题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C.思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝x 在同一直角坐标系下的图象大致是( )(12)答案　B解析　因为函数g (x )＝x 为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x (12)的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B.(2)函数y ＝的部分图象大致为( )1ln|e x －e －x |答案　D解析　令f (x )＝，则f (－x )＝＝＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关1ln|e x －e －x |1ln|e －x －e x |1ln|e x －e －x |于y 轴对称，排除B ，C.当x >1时，y ＝＝，显然y >0且函数单调递减，1ln|e x －e －x |1ln (e x －e －x )故D 正确．题型三　函数图象的应用命题点1　研究函数的性质例2 (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案　C解析　将函数f (x )＝x |x |－2x去掉绝对值，得f (x )＝Error!画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________．答案　(4，＋∞)解析　画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2(由于a <b ，故取不到等号)，所以ab ab >4.命题点2　解不等式例3 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0f (x )cos x的解集为 ．答案　∪(－π2，－1)(1，π2)解析　当x ∈时，y ＝cos x >0.(0，π2)当x ∈时，y ＝cos x <0.(π2，4)结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <时，<0.又函数y ＝为偶函数，π2f (x )cos x f (x )cos x所以在[－4,0]上，<0的解集为，f (x )cos x (－π2，－1)所以<0的解集为∪.f (x )cos x (－π2，－1)(1，π2)命题点3　求参数的取值范围例4 (1)已知函数f (x )＝Error!若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．答案　(0,1]解析　作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ．答案　(12，1)解析　先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围12为.(12，1)思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2 (1)(2018·昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值答案　C解析　画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是 ．答案　[－1，＋∞)解析　如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1 (1)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA 运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )答案　B解析　当x ∈时，f (x )＝tan x ＋，图象不会是直线段，从而排除A ，C ；[0，π4]4＋tan 2x 当x ∈时，f ＝f ＝1＋，[π4，3π4](π4)(3π4)5f ＝2.∵2<1＋，(π2)225∴f <f ＝f ，从而排除D ，故选B.(π2)(π4)(3π4)(2)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝－11x2D ．f (x )＝x －1x答案　A解析　由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －，则x →＋∞时，1xf (x )→＋∞，排除D ，故选A.(3)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝的图象大致为( )e x －e －xx 2答案　B解析　∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．e x －e －xx 2当x ＝1时，f (1)＝＝e －>0，排除D 选项．e －e －111e 又e>2，∴<，∴e －>，排除C 选项．1e 121e 32故选B.二、函数图象的变换问题例2 已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案　D解析　方法一　先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法二　先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法三　当x ＝0时，y ＝－f (2－0)＝－f (2)＝－4.故选D.三、函数图象的应用例3 (1)已知函数f (x )＝Error!其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 ．答案　(3，＋∞)解析　在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.(2)不等式3sin －x <0的整数解的个数为 ．(π2x )12log 答案　2解析　不等式3sin －x <0，即3sin <x .设f (x )＝3sin ，g (x )＝x ，在(π2x )12log (π2x )12log (π2x )12log 同一坐标系中分别作出函数f (x )与g (x )的图象，由图象可知，当x 为整数3或7时，有f (x )<g (x )，所以不等式3sin －x <0的整数解的个数为2.(π2x )12log(3)已知函数f (x )＝Error!若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是．答案　(2,2 021)解析　函数f (x )＝Error!的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2 020，所以2<a ＋b ＋c <2 021.1．(2018·浙江)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )答案　D解析　由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B.令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝(k ∈Z )，k π2∴当k ＝1时，x ＝，故排除C.π2故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )答案　C解析　当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.3．已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为( )答案　A解析　先作出函数f (x )＝log a x (0<a <1)的图象，当x >0时，y ＝f (|x |＋1)＝f (x ＋1)，其图象由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，又函数y ＝f (|x |＋1)为偶函数，所以再将函数y ＝f (x ＋1)(x >0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x <0时的图象，故选A.4.若函数f (x )＝Error! 的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－B ．－1254C ．－1D ．－2答案　C 解析　由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝Error!故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5．函数f (x )的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e －x －1答案　D解析　与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.6．(2018·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝Error!若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(0,1) D．(－∞，＋∞)答案　A解析　当x≤0时，f(x)＝2－x－1，当0<x≤1时，－1<x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.类推有f(x)＝f(x－1)＝22－x－1，x∈(1,2]，…，也就是说，x>0的部分是将x∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．7．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为．答案　{x|x≤0或1<x≤2}解析　画出f(x)的大致图象如图所示．不等式(x－1)f(x)≤0可化为Error!或Error!由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1<x≤2}．8．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则实数a ＝ .答案　－2解析　由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.9．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是 ．答案　(－13，0)解析　由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝＝－，∴－<k <0.0－12－(－1)131310．给定min{a ，b }＝Error!已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为 ．答案　(4,5)解析　作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )＝Error!的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是 ．答案　[1，]3解析　先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f ()＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤.3312．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解　(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个实数解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，(t ＋12)14所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知函数f (x )＝Error!则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0答案　D解析　函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.14．已知函数f (x )＝，g (x )＝1＋，若f (x )<g (x )，则实数x 的取值范围x |x －1|x ＋|x |2是 ．答案　∪(－∞，－1＋52)(1＋52，＋∞)解析　f (x )＝Error!g (x )＝Error!作出两函数的图象如图所示．当0≤x <1时，由－1＋＝x ＋1，11－x解得x ＝；当x >1时，由1＋＝x ＋1，解得x ＝.结合图象可知，满足f (x )<g (x )5－121x －15＋12的x 的取值范围是∪.(－∞，5－12)(1＋52，＋∞)15．已知函数f (x )＝Error!g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为____________．答案　∪(－∞，74][94，＋∞)解析　对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )＝Error!的图象可知，当x ＝时，函数f (x )max ＝.1214因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥，14解得k ≤或k ≥.7494故实数k 的取值范围是∪.(－∞，74][94，＋∞)16．已知函数f (x )＝Error!若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x 1，x 2，x 3，使得＝f (x 1)x1＝＝k ，求实数k 的取值范围．f (x 2)x 2f (x 3)x3解　由题意知，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )(x ∈[0,6])的图象至少有3个公共点．函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图知k 的取值范围是.(0，16]。