「精品」高考数学一轮复习课时规范练62离散型随机变量的均值与方差理新人教B版

第6讲 离散型随机变量的均值与方差[最新考纲]1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.知 识 梳 理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n (1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．(2)方差：称D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差均值 方差变量X 服从两点分布E (X )＝p D (X )＝p (1－p )X ～B (n ，p ) E (X )＝np D (X )＝np (1－p )辨 析 感 悟1．离散型随机变量的均值与方差(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(×)(2)(教材习题改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7，方差是0.21.(√) 2．均值与方差的性质(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(√) (4)已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为73.(√)(5)(2013·上海卷改编)设等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 19的公差为1，若随机变量X 等可能地取值x 1，x 2，x 3，…，x 19，则方差D (X )＝30.(√) [感悟·提升]1．对均值(或数学期望)的理解(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均，如(1)． (2)E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 取值的平均状态．(3)公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 直接给出了E (X )的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加，由此可知，求E (X )的关键在于写出随机变量的分布列． 2．方差的意义D (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度，D (X )越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．在E(X)附近，统计中常用D X来描述X的分散程度，如(5).考点一离散型随机变量的均值与方差【例1】(2013·浙江卷)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X为取出此2球所得分数之和，求X 的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y为取出此球所得分数．若E(Y)＝53，D(Y)＝59，求a∶b∶c.审题路线(1)对取出球的颜色进行分类以确定得分值，进而确定随机变量X的取值，计算相应的概率，再列出分布列．(2)用a，b，c 表示出Y取值的概率，列出随机变量Y的分布列，求出均值和方差，转化为关于a，b，c的方程求解．解(1)由题意得X＝2,3,4,5,6.故P(X＝2)＝3×36×6＝14，P(X＝3)＝2×3×26×6＝13，P(X＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P(X＝5)＝2×2×16×6＝19，P(X＝6)＝1×16×6＝136.所以X的分布列为X 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知Y 的分布列为Y 1 2 3Paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (Y )＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (Y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3c ，b ＝2c .故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.学生用书第196页规律方法 求解该类问题，首先要理解问题的关键，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，也就是要过“三关”：①阅读理解关；②概率计算关；③公式应用关，如方差、均值公式要准确理解、记忆．【训练1】 (2014·南昌质检)如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0)． (1)求V ＝0的概率；(2)求V 的分布列及数学期望E (V )．解 (1)从6个点中随机选取3个点总共有C 36＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C 13C 34＝12(种)，因此V ＝0的概率为P (V ＝0)＝1220＝35.(2)V 的所有可能取值为0，16，13，23，43，又P (V ＝16)＝120，P (V ＝13)＝C 13C 36＝320，P (V ＝23)＝C 23C 36＝320，P (V ＝43)＝120，因此V 的分布列为V 0 16 13 23 43 P35120320320120由V 的分布列可得E (V )＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940. 考点二 与二项分布有关的均值、方差【例2】 (2013·福建卷)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？审题路线 (1)易知X ＝0,2,3,5，则“X ≤3”与“X ＝5”为对立事件，根据相互独立事件与对立事件公式计算．(2)每种方案的得分与中奖次数有关，且中奖次数服从二项分布，运用均值的性质求解． 解 (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)法一 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝⎛⎭⎪⎫2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，因此E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y 1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y 2，则Y 1，Y 2的分布列为：Y 1 0 2 4 P194949Y 2 0 3 6 P9251225425∴E (Y 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (Y 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125，因为E (Y 1)>E (Y 2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大．规律方法 求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解．(2)若随机变量X ～B (n ，p )，则可直接使用公式E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求解．【训练2】 某人投弹命中目标的概率p ＝0.8. (1)求投弹一次，命中次数X 的均值和方差； (2)求重复10次投弹时命中次数Y 的均值和方差．解 (1)随机变量X 的分布列为X 0 1 P0.20.8因为X 服从两点分布，故E (X )＝p ＝0.8，D (X )＝p (1－p )＝0.8×0.2＝0.16.(2)由题意知，命中次数Y 服从二项分布， 即Y ～B (10,0.8)，∴E (Y )＝np ＝10×0.8＝8，D (Y )＝np (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6.学生用书第197页考点三 均值与方差在决策中的应用【例3】 某投资公司在2014年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解 (1)若按“项目一”投资，设获利为X 1万元．则X 1的分布列为X 1 300 －150 P7929∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利X 2万元， 则X 2的分布列为：X 2 500 －300 0 P3513115∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．D (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140000.所以E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． (2)假设n 年后总资产可以翻一番，依题意，1 000×⎝⎛⎭⎪⎫1＋2001 000n＝2 000，即1.2n ＝2， 两边取对数得：n ＝lg 22lg 2＋lg 3－1＝0.301 02×0.301 0＋0.477 1－1≈3.805 3. 所以大约4年后，即在2017年年底总资产可以翻一番．规律方法 (1)解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，列出分布列．(2)随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．【训练3】受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X112 3P 125350910X2的分布列为X2 1.8 2.9P 110910(3)由(2)得E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2．86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．1．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．(2)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(3)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．求离散型随机变量均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．学生用书第198页易错辨析12——不能正确理解题目条件致误【典例】 (2014·石家庄调研)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：降水量X X <300 300≤X <700 700≤X <900 X ≥900 工期延误天数Y2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求： (1)工程延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． [错解] (1)由条件和概率的加法有：P (X <300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X ＜900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2， P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为：Y 0 2 6 10P 0.3 0.4 0.2 0.1于是，E (Y )＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由(1)知，在降水量X 至少是300 mm 条件下，工期不超过6天的概率为P ＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝6)＝0.4＋0.2＝0.6.[错因] 第(2)问中，在降水量X 至少是300 mm 的条件下，这一条件说明是在延误工期的条件下，求工期延误不超过6天的概率，错解中没有在这条件下求概率． [正解] (1)同上述解法．(2)由概率加法， 得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P XP X＝0.60.7＝67. 故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67. [防范措施] (1)求某事件概率，首先理解题意，分清概率模型，恰当选择概率计算公式，本题是条件概率，应利用条件概率公式计算． (2)解决均值和方差问题时，认真计算，正确利用均值和方差公式，避免失误． 【自主体验】(2013·北京卷)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝4 13 .P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝4 13 .P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝513.所以X的分布列为X 01 2P 513413413故X的数学期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．对应学生用书P375基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·广东卷)已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )＝( )． A.32 B ．2 C.52D ．3 解析E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案 A2．已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为( ).X 4 a 9P 0.5 0.1 bA.5 B ．6 C ．7 D ．8解析 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4. ∴E (X )＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a ＝7. 答案 C3．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( )．A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.答案 B4．若p 为非负实数，随机变量X 的分布列为X 0 1 2P12－p p 12则E (X )的最大值为( )． A ．1 B.32 C.23D ．2解析 由p ≥0，12－p ≥0，则0≤p ≤12，E (X )＝p ＋1≤32.答案 B5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球．否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 X 的可能取值为1,2,3， ∵P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2，∴E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，由E (X )>1.75，即p 2－3p ＋3>1.75，得p <12或p >52(舍)．∴0<p <12.答案 C 二、填空题6．(2014·长沙调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X 表示取到次品的次数，则D (X )＝________. 解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品(试验)取得次品(成功)的概率为14，从中取3次(做3次试验)X 为取得次品(成功)的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，14，∴D (X )＝3×14×34＝916.答案 9167．马老师从课本上抄录一个随机变量X 的概率分布列如下表：x 1 2 3P (X ＝x ) ？ ！ ？请小牛同学计算X 的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (X )＝________. 解析 设P (X ＝1)＝x ，则P (X ＝3)＝x ， 由分布列性质，∴P (X ＝2)＝1－2x ， 因此E (X )＝1·x ＋2·(1－2x )＋3·x ＝2. 答案 28．(2014·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元．解析 由概率分布性质a 1＋2a 1＋4a 1＝1∴a 1＝17，从而2a 1＝27，4a 1＝47.因此获得资金X 的分布列为X 700 560 420 P172747∴E (X )＝700×17＋560×27＋420×47＝500(元)答案 500 三、解答题9．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．解 (1)P ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为427.(2)6场胜3场的情况有C 36种，∴P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝20×127×827＝160729. 所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160729.(3)由于X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，13，∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝43.所以在6场比赛中这支篮球队胜场的均值为2，方差为43.10．(2014·汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、数学期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1212011032015∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2. 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为( )．A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4解析X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为X 3210P 0.60.240.0960.064∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.答案 C2．(2014·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )．A．100 B．200 C．300 D．400解析记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1 000,0.1)，∴E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200. 答案 B二、填空题3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.解析由题意知P(X＝0)＝13(1－p)2＝112，∴p＝12.随机变量X的分布列为：X 012 3P 1121351216E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案5 3三、解答题4．如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．解(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X 012 3P 0.7290.2430.0270.001X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.X的方差为D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.步骤规范练——概率、随机变量及其分布(对应学生用书P377)(建议用时：90分钟)一、选择题1．某射手射击所得环数X的分布列为X 45678910P 0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )．A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51解析P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案 C2．(2014·西安调研)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(X<0)＝( )．A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84解析∵P(X≤4)＝0.84，μ＝2，∴P(X<0)＝P(X>4)＝1－0.84＝0.16. 答案 A3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )． A ．[0.4,1] B ．(0,0.4] C ．(0,0.6] D ．[0.6,1]解析 设事件A 发生的概率为p ，则C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A.答案 A4．已知X 的分布列为( ).X －1 0 1 P121316则在下列式子中：①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 E (X )＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．答案 C5．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170”，根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为( )．A ．21B ．35C ．42D ．70解析 设参加面试的人数为n ，依题意有C 22C 1n －2C 3n ＝n －n n －n －＝6n n －＝170，即n 2－n －420＝(n ＋20)(n －21)＝0，解得n ＝21或n ＝－20(舍去)． 答案 A6．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )． A ．5 B ．5.25 C ．5.8 D ．4.6 解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25. 答案 B7．盒子中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，共取2次，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是( )． A.310 B.35 C.12 D.25解析 设“第二次取得一等品”为事件A ，“第一次取得二等品”为事件B ，则P (AB )＝C 12C 14C 16C 15＝415，P (A )＝C 14C 13＋C 12C 14C 16C 15＝23，∴P (B |A )＝P AB P A＝41523＝25. 答案 D8．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差D (X )的值为( )．A.125B.2425C.85D.265解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，35，∴D (X )＝4×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.答案 B9．如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )．A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576解析 法一 由题意知K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0.9，P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.8，∵K ，A 1，A 2相互独立，∴A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2)＋P (A 1A 2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.∴系统正常工作的概率为P(K)[P(A1A2)＋P(A1A2)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.法二A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(A1A2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为P(K)[1－P(A1 A2)]＝0.9×0.96＝0.864.答案 B10．(2014·惠州调研)节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：X 200300400500P 0.20.350.30.15若进这种鲜花500束，则期望利润是( )．A．706元 B．690元 C．754元 D．720元解析依题意，若进这种鲜花500束，利润应为Y＝(5－2.5)X－(2.5－1.5)×(500－X)＝3.5X－500.则E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．所以E(Y)＝E(3.5X－500)＝3.5E(X)－500＝3.5×340－500＝690元．答案 B二、填空题11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________.解析 从n 个数中任取两个不同的数，有C 2n 种取法， 其中取出的两数之和等于5共有2种情况， ∴P ＝2C 2n ＝114，∴n ＝8.答案 812．设随机变量X 服从正态分布N (－1，σ2)，P (X >0)＝0.1，则P (－1<X <0)等于________．解析 正态分布密度曲线的对称轴为X ＝－1，且P (X >0)＝P (X <－2)＝0.1，∴P (－1＜X ＜0)＝P (－2<X <－1)＝ 1－P X －P X <－2＝1－0.1－0.12＝0.4.答案 0.413．设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________.解析 ∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59，解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927. 答案 192714．(2012·新课标全国卷)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1 000小时的概率为________．解析 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB )C ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38. 答案 38三、解答题15．某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率．解 X 的取值分别为1,2,3,4.X ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P (X ＝1)＝0.6.X ＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P (X ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X ＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P (X ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. ∴李明实际参加考试次数X的分布列为X 123 4P 0.60.280.0960.024李明在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.16．从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束．(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．解(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A，则P(A)＝C12C16C28＝37.(2)由题知X的可能取值为1,2,3,4.则P(X＝1)＝C12C16＋C22C28＝1328，P(X＝2)＝C26C28·C14C12＋C22C26＝928，P(X＝3)＝C26C28·C24C26·C12C12＋C22C24＝528，P(X＝4)＝C26C28·C24C26·C22C24＝128.X的分布列为X 123 4P 1328 928 528 128 E (X )＝1×1328＋2×928＋3×528＋4×128＝2514. 17．为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲：8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3；乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5.(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为X ，求X 的分布列及均值E (X )、方差D (X )．解 (1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图：(2)因为x 甲＝x 乙＝8.5，又s 2甲＝0.27，s 2乙＝0.405，得s 2甲<s 2乙，所以选派甲合适． (3)依题意得，乙不低于8.5分的频率为12，X 的可能取值为0,1,2,3.则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，12， ∴P (X ＝k )＝C k3⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123－k ＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫123，k ＝0,1,2,3. 所以X 的分布列为X 0 1 2 3P 18383818∴E(X)＝np＝3×12＝32，D(X)＝np(1－p)＝3×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝34.18．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)1234 5频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y 1234 5P 0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个、第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)·P(Y＝2) ＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为X 01 2P 0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.学生用书第199页好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。

离散型随机变量的均值与方差双基自测1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A.65 B.65C. 2 D ．2 解析 由题意知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1. s 2＝(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)25＝2.答案 D2．已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )．A.73 B ．4 C ．－1 D ．1解析 E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73. 3．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.②由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4.4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )．A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45 解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6，D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎨⎧n ＝8，p ＝0.2.5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：该随机变量ξ的均值是________解析 由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.★★考向一 离散型随机变量的均值和方差【例1】►A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：X ，Y (1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．[审题视点] 首先理解X ，Y 的取值对应的事件的意义，再求X ，Y 取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望． 解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0.P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875， P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25，P (X ＝0)＝13×35×35＝325； 根据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875， P(Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325. X 的分布列为Y 的分布列为(2)E(X)＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215；因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝23 15.【训练1】(2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．解(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为5 16.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.P(ξ＝0)＝14×12＝18；P(ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P(ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516；P(ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P(ξ＝8)＝14×14＝116.甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.考向二均值与方差性质的应用【例2】►设随机变量X具有分布P(X＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，D(X－1).[审题视点] 利用期望与方差的性质求解．解 ∵E (X )＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3. E (X 2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11.D (X )＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2. ∴E (X ＋2)2＝E (X 2＋4X ＋4)＝E (X 2)＋4E (X )＋4＝11＋12＋4＝27.D (2X －1)＝4D (X )＝8，D (X －1)＝D (X )＝ 2.若X 是随机变量，则η＝f (X )一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)X 的分布列为∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75. (2)由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2.当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求． 考向三 均值与方差的实际应用【例3】►(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准． (1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)＝6，求a ，b (2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望．(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由． 注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．[审题视点] (1)利用分布列的性质P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1及E (X 1)＝6求a ，b 值． (2)先求X 2的分布列，再求E (X 2)，(3)利用提示信息判断．解 (1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2. 又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5. 由⎩⎨⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎨⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．。

2019版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率课时达标62 离散型随机变量的均值与方差编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率课时达标62 离散型随机变量的均值与方差）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率课时达标62 离散型随机变量的均值与方差的全部内容。

第62讲离散型随机变量的均值与方差［解密考纲]离散型随机变量及其分布列、均值与方差在高考中一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及超几何分布相结合,以实际问题为背景呈现在三种题型中,难度中等或较大，正态分布一般以选择题或填空题进行考查．一、选择题1．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ〉1)＝p,则P（－1<ξ〈0)＝（D）A．错误!＋p B．1－pC．1－2p D．12－p解析由正态分布的概念可知，当P（ξ〉1)＝p时,P（0〈ξ<1）＝错误!－p，而正态分布曲线关于y轴对称，所以P（－1〈ξ<0）＝P(0〈ξ〈1）＝错误!－p，故选D．2．某运动员投篮命中率为0。

6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X,得分为Y，则E(X）,D（Y）分别为( C）A．0.6,60 B．3,12C．3，120 D．3，1。

2解析X～B（5,0。

6）,Y＝10X,∴E（X）＝5×0。

6＝3，D(X）＝5×0。

6×0。

4＝1。

2，D（Y）＝100D（X)＝120.3．若离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X）＝A．2 B．2或错误!C．错误!D．1解析因为分布列中概率和为1，所以错误!＋错误!＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2（舍去）或a＝1，所以E（X)＝错误!.4．(2018·山东潍坊质检）已知随机变量X服从正态分布N（3,σ2)，且P(X〈5)＝0.8，则P(1〈X〈3）＝( C）A．0。

课时规范练62 离散型随机变量的均值与方差基础巩固组1.已知X的分布列如下表,设Y=2X+3,则E(Y)的值为()A. B.4 C.-1 D.12.已知随机变量X+η=8,若X~B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是()A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.63.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为()A.3·2-2B.2-4C.3·2-10D.2-84.已知随机变量ξ的分布列为若E(ξ)=,则D(ξ)等于()A. B. C. D.〚导学号21500785〛5.袋中有6个红球,4个白球,这些球除颜色外完全相同.从中任取1球,记住颜色后再放回,连续摸取4次,设X为取得红球的次数,则X的方差D(X)的值为()A. B. C. D.6.将两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中,则A邮箱的信件数ξ的均值为.7.袋中有4个红球,3个黑球,这些球除颜色外完全相同.今从袋中随机取出4个球,设取到1个红球记2分,取到1个黑球记1分,则得分ξ的均值为.8.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.9.某运动员的投篮命中率为p=0.6,则投篮一次命中次数ξ的均值为;若重复投篮5次,命中次数η的均值为.10.有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.综合提升组11.(2017北京东城模拟二,理17)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次,三次正面均朝上的概率为.(1)求抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率;(2)抛掷这样的硬币三次后,抛掷一枚质地均匀的硬币一次,记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).〚导学号21500786〛12.(2018河北邯郸大名一中月考)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目,是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目.某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关,对某校的100名大学生进行了问卷调查,得到如下列联表:已知在这100人中随机抽取1人,抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4.(1)请将上述列联表补充完整,判断是否有99%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关,并说明理由;(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生,其中3名喜欢《最强大脑》,现从这5名大一学生中随机抽取2人,抽到喜欢《最强大脑》的人数为X,求X的分布列及数学期望.附:χ2=,P(χ2>k) 0.050 0.010k3.841 6.63513.(2017河北衡水中学三调,理18)某同学在研究性学习中收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示:(1)该同学为了求出y关于x的线性回归方程x+,根据表中数据已经正确计算出=0.6,试求出的值,并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数;(2)若某药店现有该制药厂今年2月份生产的甲胶囊4盒和3月份生产的甲胶囊5盒,小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年2月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.〚导学号21500787〛创新应用组14.某次假期即将到来,喜爱旅游的小陈准备去厦门游玩,初步打算去鼓浪屿、南普陀寺、白城浴场三个景点,每个景点有可能去的概率都是,且是否游览某个景点互不影响,设ξ表示小陈离开厦门时游览的景点数.(1)求ξ的分布列、数学期望及其方差;(2)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[2,+∞)内单调递增”为事件A,求事件A的概率.〚导学号21500788〛参考答案课时规范练62离散型随机变量的均值与方差1.A E(X)=-=-,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=.2.B由已知随机变量X+η=8,所以有η=8-X.因此,求得E(η)=8-E(X)=8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.3.C∵E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,∴p=,n=12,∴P(X=1)==3·2-10.4.B由分布列的性质得x+y=,又E(ξ)=,所以+2x+3y=,解得x=,y=.故D(ξ)=.5.B因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为,连续摸4次(做4次试验),X为取得红球(成功)的次数,则X~B,故D(X)=4×.6.ξ的所有可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,故ξ的分布列为E(ξ)=0×+1×+2×.7.取出4个球,颜色分布情况是:4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得6分,1红3黑得5分,相应的概率为P(ξ=5)=,P(ξ=6)=,P(ξ=7)=,P(ξ=8)=.则E(ξ)=5×+6×+7×+8×.8.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为1-.所以在2次试验中成功次数X的取值为0,1,2,其中P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以在2次试验中成功次数X的均值是E(X)=0×+1×+2×.9.0.63投篮一次,命中次数ξ的分布列为ξ0 1P0.4 0.6则E(ξ)=0×0.4+1×0.6=0.6.重复投篮5次,命中的次数η服从二项分布B(5,0.6),则E(η)=np=5×0.6=3.10.解E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4;E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9,D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8.由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)<D(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料.11.解 (1)设抛掷硬币一次正面朝上的概率为p,则p3=,得p=.所以抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率为P=.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P(ξ=0)=;P(ξ=1)=;P(ξ=2)=;P(ξ=3)=;P(ξ=4)=.所以ξ的分布列为E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×.12.解 (1)由题意知列联表为χ2=≈14.063>6.635,故有99%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关.(2)X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,故X的分布列为E(X)=0×+1×+2×.13.解 (1)(1+2+3+4+5)=3,(4+4+5+6+6)=5.∵回归直线x+过点(),∴=5-0.6×3=3.2,∴6月份生产的甲胶囊的产量数=0.6×6+3.2=6.8(万盒).(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,ξ的分布列为:所以E(ξ)=×0+×1+×2+×3=.14.解 (1)依题意,得ξ的所有可能取值分别为0,1,2,3.因为ξ~B,所以P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.所以ξ的分布列为:所以ξ的数学期望为E(ξ)=3×=1,ξ的方差为D(ξ)=3×.(2)因为f(x)=+1-ξ2的图象的对称轴方程为x=ξ,又函数f(x)=x2-3ξx+1在[2,+∞)内单调递增,所以ξ≤2,即ξ≤.所以事件A的概率P(A)=P=P(ξ=0)+P(ξ=1)=.。

第4课时离散型随机变量的均值与方差、正态分布1. 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)均值:称日X)= _____________________ 为随机变量X的均值或_________ ,它反映了离散型随机变量取值的⑵方差：称D(X)=_______ 为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的___________ ,其算术平方根为随机变量X的_________ .2. 均值与方差的性质⑴ E(aX+b= _______ ；⑵ D( aX+b = ______ (a, b 为实数).3. 两点分布、二项分布的均值和方差若随机变量X服从参数为p的两点分布，则巳X)= __________ ,QX)= ______ .若随机变量X服从参数为n,p 的二项分布，即X〜B n, P),则E(X)= ______ , D X) = _______ .4. 正态分布(1)正态曲线：如果连续型随机变量X的概率密度函数为0卩,。

(x) =, x € (- g,+x),其中口，6为参数,则称0" ,。

(X)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线•⑵正态分布：一般地,如果对于任何实数a, b( avb),随机变量X满足P( a<X< b)=0…(x)d x, 则称随机变量X服从正态分布•(3)正态分布的性质：①曲线位于 __________ 轴的上方,与x轴不相交；②曲线是单峰的,关于对称；③曲线在X="时达到峰值___________ ;④当口一定时,曲线的形状由6确定• 6越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越___________ ；6越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越________ ;⑤曲线与x轴之间的面积为__________ .1. 已知随机变量E服从正态分布N2, 6 2),且P( E<4) =0. 8,则P(0 < E<2)等于()•A. 0 .6B. 0 .4C. 0 .3D. 0 .22.某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( ).A. 10%B. 20%C. 30%D. 40%3.设随机变量 E 〜B(n, p),且E( E )=1.6, D( E )=1.28,则().A. n=8, p=0. 2B. n=4, p=0. 4C. n=5, p=0. 32D. n=7, p=0. 454.已知离散型随机变量X的分布如下表.若E( X =0, D( X)=1,则a ____________ , b= ______5. 随机变量E的概率分布列由下表给出则随机变量E的均值是___________♦样本的方差与随机变量的方差的区别样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量；而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量.♦参数口, (T在正态分布中的实际意义参数口是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计；(T是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.考向一离散型随机变量的均值例1某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须只需选修1门选修课.对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：(1) 求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(2) 求某一选修课被3名学生选修的人数的数学期望.【审题视点】先求出其分布列，再运用公式计算数学期望.【方法总结】1.求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型分布列，可直接套用公式E(X)=为卩1+比卩2+…+X n p n求其数学期望(均值).随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算.2.若X是随机变量，且Y=aX+b其中a, b为常数，则Y也是随机变量，且巳Y)=a^X)+b.1. (2013 •天津)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4 .从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1) 求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2) 在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X求随机变量X的分布列和数学期望.考向二离散型随机变量的方差例2 袋中有20个大小相同的球，其中标号为0号的有10个，标号为n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、期望和方差；⑵若n =aX+b? E( n ) =1, Q n)=ll,试求a, b 的值.【审题视点】先求出其分布列，再求出数学期望，最后求出方差.【方法总结】均值仅体现了随机变量取值的平均水平•如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化，方差大，说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中.变式训练2. (2013 •浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分, 取出一个黄球得2分,取出一个篮球得3分.(1) 当a=3, b=2, c=1时,从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量E为取出此2球所得分数之和，求E的分布列；(2) 从袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量n为取出此球所得分数•若求a : b : c.考向三二项分布的均值与方差例3 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物•某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与是否相互独立的，成活率为p,设E为成活沙柳的株数，数学期7W为草.望E E ) =3,标准差“.(1) 求n，p的值并写出E的分布列；(2) 若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率•【审题视点】运用公式E(X)= np，口为=np(1-p)，求出n与p是解题的关键•【方法总结】1.若X服从两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(1 -p);2.若X〜B n，p)，则E(X)= np，D(X) = np(1 -p) •3. (2014 •浙江)随机变量E 的取值为0,1,2.若 P ( E=0)=，日E ) =1,则D (E ) = ______ .考向四正态分布及其应用 例4在某项测量中,测量结果E 服从正态分布N (1,(T2)(a>0).若E 在(0,1)内取值的概率为0. 4,则E 在(2, +R )上取值的概率为 ____________ .【方法总结】1.若连续型随机变量E 服从正态分布，即E 〜N 口，疔2),则 日E ) = 口，口 E )=疔2,这里口 ,(T 的意义是期望和标准差，口在正态分布曲线中确定曲线的 位置,而(T 确定曲线的形状.如果给出两条正态分布曲线 ，我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判别相应的口和厅的大小关系.2. 正态曲线关于直线 x= 口对称,从而在关于x= 口对称的区间上概率相等.正态曲线与x 轴 之间的面积为1. 变式训练4. 设两个正态分布 ( ).(第4题)A. 口1< 口2,(T 1< 疔2B. 口1< 口2,d 1> 2C. 口1> 口2,d 1< d 2D. 口1> [12,d 1> d 2N 1 1,)( d 1>0)和N ( 1 2,)( d 2>0)的密度函数图象如图所示,则有M(V5 L0~匚每人且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品•(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计分为X，求X W 3的概率；⑵若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？P(A)= 1 —P(X)【解题指南】(1)先求出X < 3的对立事件的概率，再运用公式" ■ 即可；(2)分别求出两种方案的数学期望，再进行比较•【解】(1)由已知猖•小胡中奖的概率为羊•小红中奖的概率为上由且两人屮奖与否互不册响.记亠这2人的累计得分XW彗的事件为A.则事件A的对览事件为“X —5J, 2 2 4因为A =5)=X -z~ = —»3 51D即这2人的累计待分XW3的槪率为lo(2)设小明、小红都这样方棄甲抽奖中奖次数为X-都这样 方案乙抽奖中奖次盘为兀*则这两人这样方案甲抽奖累计 得分的報学期望为E(2X!)-这样方案乙抽奖累计4?分的數 学期望为E(3X 2).听以 £?( ?Cj 1 = E X -^- = -^- * E( ) = 2 X = -^- *3 d 0 bQ1 9从而陀MIEg*亍玖3&IEW2宁因而 E(2X 1)>E(3X 2).所以他们都选择方案甲进行抽奖时+累什得分的数学再望 较俎真题体验1. (2014 •黑龙江模拟)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,E 表示所取球的标号•若n =a E -2, E (n )=1,则a 的 值为( ).A. 2B. -2C. 1. 5 D. 32. (2014 •浙江模拟)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 E 表示，据统计，随机变量E 的概率分布如下图，则E 的数学期望为 __________ .E12 3P0. 1 0.3 2aa3. (2014 •黑龙江模拟)商场每月售出的某种商品的件数 X 是一个随机变量，其分布列如下 表.每售出一件可获利 300元，如果销售不出去，每件每月需要保养费 100元.该商场月 初进货9件这种商品，则销售该商品获利的期望为所以 P(A)=1-PCX=5)11由已鼬可知识梳理1. (1) X1P1+X2P2+…+X i p i+…+X n p n 数学期望E—E( X) )?內(2)p ■】平均偏离程度标准差22. (1) aE(X)+b (2) aD(X)3. P P(1 -P) np np(1 -p)基础自测5 ]TI T3. A4.5. 8.2【例1】(1)3名学生这样的选修课瓦不相同的概率:A： 3所以F的分布列为0123P27279164646464数学期望EQU0X訂十IX訂十2X乔十從石=【例2] (1) X的分布列是参考答案与解析(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为&则6=0. 1P<f=0)=4-I^(e=i>=CiX3Z-274$ 64c?X2 9 q 1F(e=2)=-^=-,p(5=3)=^=-436443平均水平4. (3) x x= 集中分散11. C2. D考点透析X 01234P111312U2010205-E(XUOX* 十IX 法十2X 寺十3X 备+4X*=]5D(X) = (0 - L 5)£X -^- + (1 - L 5)莖X 寺+ (2 — 1. 52 X1 3 1「+ (3-1. 5)2X—+(4-]< 5)2X—=2. 75.10 20 5⑵由D(7)=a z D(X)T得疋X2* 75= 11,BP a=±2.又E(r})=uE(X)+b.当^ = 2时，由1 = 2X1. 5 +乩得*=一佥当a—— 2时，由1 = —2XL5+6,得右=4.A(心.或1/?=-3 1 6=4.3〔1)由E(?)=tip = 3.D(?} = np( I —p) = ~•得而n = ^.p= —W的分布列为0123456P 1615201561 64646464646464(2)i£-需冬补种沙柳抒为爭件A・则P(A) = P<eC3>，WP(A) = 1 十十加或f(A) = l-P(?>3) = l- 15^+132'【例4] 0* I解析：由正态分布的持征易得F(f>2) = ^X[l-2P(O <£<1 )] = + >< (1 —0. 81=0. 1变式训练【例3]1. (1)设“取出的4张卡片中•含有编号为3的卡片”为事件A•则P(A) _g+g_ 6- ci —〒所以取出的4张卡片中•含有编号为3的卡片的概率为导.(2)随机变量X的所有町能取值为1.2.3-4. P(X=1)=字鲁'P(X=2) =字碁. P(X = 3)=^|= ^-.P(X = 4) = ^|=-^-. 所以随机变量X的分布列是X1234p1424 353577随机变量X的数学期望E(X) = 1X占+2x£+3X弓-+4X*172. (1)由题意得$=2,3,4,5,6.故陀="鬆=+,所以w的分布列的A c23456p 1丄511 4318936p(e=3)=2X3X26X6P(c=4) =2X3X1+2X26X6518P(?=5) =2X2X16X6P(f=6) =1X16X6130(2〉由题賈创y的分布列为7i23r a b ca +b+c a +^+r a +b+f所以E(沪屛+器+倍=字血计=(1_寻厂笄 +(2_寻「•乔歸 - 「_ 5 *U T/J+T"9 *2a —b—4c=Q9 a-H46一11<= 0,化简得解a = 3cd>=2c.故& 10 - c= 3 - 2 ;23* -^- 4. A。

第8节离散型随机变量的均值与方差最新考纲了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念口归敦材，夯实:基础IS础诊断知识梳理i. 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称E (X)= X]p]+ X?02+…+ X]p i+…+ X n P n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差n称D (X)=£_(x i — E (X)) 2p丄为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与i = 1其均值E (X)的平均偏离程度，其算术平方根 D (X)为随机变量X的标准差.2. 均值与方差的性质(1) E (aX+ b)= aE (X)+ b.(2) D (aX+ b)= a2D (X) (a, b 为常数).3. 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E (X)= p, D (X)= p (1 —p).(2)若X〜B (n, p)，则 E (X)= np，D (X)= np (1 —p).[常用结论与微点提醒]1. 已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数丫= aX+ b的均值、方差和标准差，可用均值、方差的性质求解；2. 如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.诊断自测1•思考辨析（在括号内打“/或“ X”） （1） 期望值就是算术平均数，与概率无关•（）（2）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 .（）（3） 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度， 方差 或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.（）（4） 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事 （ ） 解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散 型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故（1）（4）均 不正确.答案（1）X （2）V2. （选修2-3P68T1改编）设丫二2X + 3,则E (丫)的值为( )A.3B.4C.-1D.111 1 解析 E (x )= — 2+ g =-3，（3）V（4）X4. (2017全国U 卷)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则 D (X )= _____________ 解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，则 X 〜B (100，0.02)，所以 D (X )= np (1 — p )= 100X 0.02X 0.98=1.96.答案 1.96则a= _________ ，数学期望E (X )= _____________49 25 9 1 65E (X )=1X 84+ 2X 84+ 3X 84+ 4X 84=42. 答案25 65答案 84 42 6. (2018湖州调研)甲、乙两人被随机分配到 A ，B ，C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位).记分配到A 岗位的人数为随机变量X ,则随机变量X 的数 学期望E (X )= _____________ ，方差D (X )= _____________ .0 OA解析 由题意可得X 的可能取值有0，1, 2，P (X = 0)= 亍 =9 P (X = 1)3X 3 9C 2X 2 4 11^44 12 =3X 3 = 9,P (X= 2) = 3X 3=9，则数学期望 E (X )= 0X 9+ 1X9+ 2X 9= 3,已知随机变量X 的分布列如下: 5. (2018金华十校联考)解析 由分布列的性质可得:49 9 1 84+ a + 84+ 84= 1,解得a = 2584.考克突破分类讲竦，以例求试考点一 一般分布列的均值与方差方差D (X )224=0—3 X 9+21-3X 4+ 2-22 43 X9=9.【例3】(3)(2038浙江三市联考)已知某口袋中有3个白球和a 个黑球(a € N ), 现从中随机取出一球，再放回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一 个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是 E若 E (— 3,则 D (5 = ( )3 3 A.|B.3C.|D.2(2) (2038浙江五校联考)从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中，不 放回地每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束，则第一次 试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是 ___________________ ;若记试验次数为X ，则X 的 数学期望E (X )= ___________ .3a解析(3)由题意，知 5= 2 或 4，P ( 5= 2)=， P ( 5= 4)= ，则 E a + 3 a + 3 3 a (5 = 2X ------- + 4X ------ = 3,解得 a = 3，a + 3a + 33 3 22••• P ( 5= 2)= P ( = 4)= 2,则 D (5 = $ (2-3) 2+(4-3) 2] = 3. c !c 3 3(2)第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是p=-c£=2；若记试验次数为X ,则X = 3, 2, 3, 4,于是c l c 4 C 2C 3+ C 2 93P ( x =3)= C 9C 4—^1 二 84二 l8，P(X = 4) = C l C 4 C |=需,则 X 的数学期望 E(X ) = 3 X -32+ I X 84+ 3x 18+ 4X 84 65 =4I .答案(3) B (I ) 3 45P (X = 3)c 3c 3 + c i 7 —c —=32,P (X = 2)2629c 「c25一规律方法(3)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能(2) (2018温州九校联考)将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲 班级至少有一位同学的概率是 _________________ ，用随机变量a 表示分到丙班级 的人数，则E ( a = _____________ .1 1 1 解析 (1)由已知，得1+3+ p = 1,所以p =6, 且 E (X ) — 2X 1+ O X 1+ 1X 1一 6, ••• E (Y )= E (2X + 3)= 2E (X ) + 3 = 2X 1 + 1 + C 4 + C 4 + C 4 16 =81,所以甲班级至少有一位同学的概率为1-81=H •随机变量a 的可能取值为【例2】(1)已知随机变量X 服从二项分布B (n , p ),若E (X )= 30, D (X ) =20」p = (2)(一题多解)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时, 就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 _____________ 解析 (1)依题意可得 E (X )= np = 30,且 D (X )= np (1 — p )= 20,解得 p4- 3 --3+(2 )甲班级没有分到同学的概率为0, 1, 2, 3, 4,则 P (E=0)=話 P ( E= 1)=C 4 ( 1 + 1 + C 3+ C 3)32= P 81’ P(V 2)=C 2 (1 + 1+ 2)3 24 C 4X 2 8 21, P (= 3)= 丁=81, P (片4)24 8 1 4 +2X 81+3X 81+4X 81=3. 答案(1) 1 3(2) 8? 4考点二与二项分布有关的均值、方差=扛81,于是E (a =0X 暮+1X 32值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算则 p = ________ ;若 Y = 2X + 3,贝U E (Y )= __________ .1=3.1 3(2)法一由题意可知每次试验不成功的概率为4,成功的概率为4,在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1, 2,则1 1 1 3 3P (X=o)= 16, P(x= 1)= C2X4X4二8,29P(X= 1 2 = 4 =所以在2次试验中成功次数X的分布列为则在2次试验中成功次数X的均值为1 3 9 3E (X)二o x 16+ 1X8+2X—=^.3法二此试验满足二项分布，其中p= 4,所以在2次试验中成功次数X的均值为3 3E (X)= np= 2X4 = 21 3答案(1) 3 (2) 3规律方法二项分布的期望与方差(1)如果E〜B (n, p),则用公式E (B = np；D ( $ = np (1 —p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E (a& b)= aE ( $ + b以及E ( $ = np求出 E (a& b),同样还可求出D (a& b).【训练2】(1)有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.1已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为-.假设每题答对与否相互独立，记E为该考生答对的题数，n为该考生的得分，则P (E= 9)= ________ , E ( n) = _________ .(2) (2018杭州学军中学模拟)商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖•每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出1个球.在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，则顾客抽奖1次能获奖的概率是 __________ ;若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,贝U E (X)= ____________ .2解析(1) P ( 9)= C3x 1 x 1 —£= |.由题意可得：E 7，8，9，10，n= 4g 且(E—7)〜B$, 3 4j.3P ( &7)= C3x 1—3 二27，2P ( &8)= C1X3X 1—3 二9，22 Q 2 2P ( E9)= C3X 3 x3二9，31、 1P( 10)= c3x 3 = 27.••• E的分布列为：8 4 2 1E ( 0 = 7X27+ 8X9+ 9X9+ 10X27 = 8.E (n) = E (4 0 = 4E (0 = 32.2 3(2 )由题得，在甲箱中抽中红球、白球的概率分别为5，5,在乙箱中抽中红球、3 7 2 1 13 1 3 13白球的概率分别为2 2.抽奖一次不获奖的概率为£x?=10，所以其(对立事件)获奖的概率为1-10二缶.因为每次获得一等奖的概率为2x 1 = 1, 3次抽奖相互独、” 1 3立，故 E (X)= np= 3x5= 5.2 7 3答案(1)9 32 (2)和 5I课乍业另层训练，提升能右基础巩固题组一、选择题1.已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D (X) = ( )A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5+ m+ 0.2= 1 得m= 0.3,二 E (X)= 1 x 0.5+ 3X 0.3+ 5X 0.2= 2.4,2 2 2••• D (X) = ( 1-2.4) X 0.5+( 3-2.4) X 0.3+( 5-2.4) X 0.2= 2.44.答案C2. (2018稽阳联谊学校联考)随机变量E的分布列如下，且满足E ( $ = 2,则E (a + b)的值为( )A.0B.1C.2D.无法确定，与a, b有关解析E ( $) = 2,贝U a + 2b+ 3c= 2,又a+ b+ c= 1,由两式可得a= c, 2a + b=1,二 E (a $+ b)= aE ( $ + b = 2a + b= 1.答案B2 13. (2018绍兴检测)设X是离散型随机变量，P (X= X1)=彳P (X= X2) = 3,4 2且X1V X2，若 E (X)= 3, D (X)= 9，则X1 + X2=( )2 1 43x1 + 3x2=3,由已知得12( 4、2 1( 4、2 23x1 3 + 3x2 3 _9,答案 D4•已知随机变量X + n= 8,若X 〜B (10, 0.6),则E ( n, D ( n 分别是( )A.6, 2.4 C.2, 5.6解析 由已知随机变量X + n= 8,所以有n= 8— X. 因此，求得 E ( n) = 8— E (X )= 8— 10X 0.6 = 2, D ( n) = (— 1) 2D (X )= 10X 0.6X 0.4= 2.4. 答案 B5. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子， 每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为( )A.100B.200C.300D.400解析 设没有发芽的种子有E 粒，则 〜B (1 000, 0.1)，且X = 2E, ••• E (X )= E (2$ = 2E ( 5 = 2X 1 000 X 0.1 = 200. 答案 B6. 口袋中有5只球，编号分别为1, 2, 3, 4, 5,从中任取3只球，以X 表示取 出的球的最大号码，贝U X 的数学期望E (X )的值是( )A.4B.4.5C.4.75D.51 1 解析 由题意知，X 可以取3, 4, 5, P (X = 3) = & = 10,A ・| D.3解析 |xi = 1, 解得 1x2= 2 LX 1 = 或 X 2 = 5 3,2 3, x1 =1,因为X 1V X 2，所以所以X 1 + x 2= 1 + 2= 3. X 2二 2,B.2, 2.4 D.6, 5.6C s 3 C2 6 3 P (X= 4) = C3= 10，P (X= 5) = C5= 10=5，13 3所以 E (X )= 3X 10 + 4X 10+ 5X 5= 4.5. 答案 B7. (2017浙江卷)已知随机变量&满足P (E = 1)= P i , 1P (&= 0)= 1 — p i , i = 1, 2.若 0v p i <p 2V 2，则( )A. E ( gi)v E (切，D ( &)< D (切B. E ( &)< E ( £>) , D ( 8)> D ( ^2)C. E ( gi)> E (切，D ( &)< D (动D. E ( &)> E (切，D( 8)> D ( ®解析 由题设可知E ( gi)= p 1， E ( $)= p 2，从而 E (8)< E (色)，而 D ($)= p 1 (1 — p 1)，D (&) =p 2 ( 1 — P 2)，所以 D (&)— D (&)<0，即 D (@)< D (切.答案 A甲、乙两人轮流从袋中取球，甲先取，个球，取后不放回，直到其中有一人取出白球时终止•用X 表示取球终止时取球的 总次数，则X 的数学期望E (X ) = ( )A.9B.学C^6 2 3X 6 1 3X 2X 6 1 3X 2X 1 X 6="=9 = 3；P ( X =5 6 = 9X 8 = 4；P ( X = 7= 9^X7=X = 8= 9X 8X 7X 65 2 1 1 1 10 =84所以 E (X )= 1X 3+2X 4+3X 初+4X 84=〒. 答案 B 二、填空题9. (2018湖州调研)设X 为随机变量，X 〜Bn , 3，若随机变量X 的数学期望=(P 1 — P 2)( 1 — P 1 —)9个，从中任取2个都是白球的概率为寻.现 乙后取，然后甲再取，……，每次取出 8.袋中装有大小相同的黑球和白球共 ‘ 12 D.〒解析 易得袋中白球的个数为6•则由题意得, X 的可能取值为1, 2，3, 4.P (XE (X)= 2,则P (X = 2)= ____________ ; D (X)= ___________ .解析由X〜B n, 3 , E (X)= 2,得np=罗=2, •••n = 6,则P (X= 2)=43 二243, D（X）二np（—P）二6x卜3二4.10. 某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的4- 3概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是_________ 元.1 1 解析由题意知a+ 2a + 4a= 1, • a = 7, •获得一、二、三等奖的概率分别为7,2 4 1 2 47, 7，•所获奖金的期望是E（ X）二7X 7 000+ 7X 5 600+7X 4 200= 5 000 （元）答案 5 00011. （2018嘉兴测试）已知随机变量E的分布列如下.$ 012P b 2 a1a22则E （ $的最小值为___________ ，此时b= __________ .解析由题意得E （ $ = 0X b+ 1 X a2+ 2X号一2 = a2-a+ 1 = g —舟了+弓，所以E （$的最小值为4，此时a = 2，又因为b+ a2+1—1,所以b= —a2+1+舟=12.3 1答案3112. （2018杭州高级中学模拟）已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数为$则随机变量$的均值是________________________ ;方差是___________ .解析由题可得，$的所有可能取值分别为0, 1, 2.且P （ $= 0）= 2Q=5,2 1 1 2八C4C2 12 3 , / " c、C4C2 4 1 比「、十八升知斗P （$=1）=CCT=12=5, P （= 2）= "CT二20=1.所以其分布列为$ 0 1 2 P1 3 1 555”、「 1 3 1 2 1 2 3 所以 E ( o = O X 5+ 1X 5+ 2X 5 = 1； D ( $ = ( 0— 1) X 5+( 1- 1) X-5 +2 1 2(2-1) X厲2 答案1 2 513.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢 玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p (p M 0)，射击次数为 Y ,若Y 的数学期望E (Y ) #，则p 的取值范围是 ______________ . 解析 由已知得 P (丫= 1)= p ， P (丫= 2) = ( 1 — p ) p ， P (Y = 3) = ( 1 — p ) 2，227则 E (Y )= p + 2 (1 — p ) p + 3 (1 — p ) = p — 3p + 3>4又 E (X )= = 3,二 m = 2,m + 3答案 BA.5解析 由题X 〜B 5,3、m + 3 /i 3、则 X 〜B 5, 5，故 D (X )642-X3- 5X15. 袋中装有大小完全相同，标号分别为 1, 2, 3,…，9的九个球.现从袋中随机 取出3个球.设E 为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为 3, 4, 3, 4和4, 5,此时9的值是2),则随机变量9的均值解析 依题意得，9的所有可能取值是0, 1, 2.口 C 7 5且 P (片 o )= &= 12, P (E = 1) c j 丄P (E 2)= C 9=12，… 5 1 1 2 因此 E ( 9 = o x 12+1 x 2+ 2x 12= 3. 答案 D16. (2018北京海淀区模拟)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是：参与者从 标有5, 6, 7, 8, 9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小 球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将 两个小球上数字之差的绝对值的 2倍作为其奖金(单位：元).若随机变量X 和Y 分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赎金与奖金，则 E (X )— E (Y )=元.1解析 根据题意可得P (X = k )= 5 (k = 5, 6, 7, 8, 9), 1 一可得 E (X )= 5X (5+ 6+ 7 + 8+ 9)= 7 (兀).丫的取值可能为2, 4, 6, 8,其中23115,则有两组相邻的标号A.61- 2 --P (Y = 4)= P (Y = 6)= P (Y = 8)=310155丄10 - - -- 3&2& 注)P (Y = 2)所以E (丫)= 2x5+ 4X10 + 6X5 + 8X —= 4 (元) 故E (X)—E (Y)= 7—4= 3 (元)答案 317. (2018衢州质检)一个袋中装有质地均匀、大小相同的 2个黑球和3个白球, 从袋中一次任意摸出2个球，则恰有1个是白球的概率为 ____________;从袋中一 次任意摸出3个球，摸出白球个数的数学期望 E ( 0 = _____________ . 解析 由题意得从5个小球中任意摸出2个共有C 2= 10种取法，其中满足恰有 一个白球的取法有c 2c 3=6种，所以恰有一个白球的概率为10=&.任意摸出3个C 2C 1 小球，设其中白球的个数为 0贝U 0的可能取值为1, 2, 3,且P ( 0= 1)=-(育 3 c 2c 2 3 c 3 1 十“3 3=10； P ( 0= 2)= c 3 = 5； P ( 0= 3)=况=10,所以 E ( 0 = 1 X 1o + 2X 5 +27E (Y )= E (2X + 3)= 2E (X ) + 3= — 3+ 3=?. 答案 A13X10 18. (2018金华一中模拟)有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有 3个小球，乙盒子 中装有5个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球，则甲盒子中的球被取完 时，乙盒子中恰剩下2个球的概率为 _____________ ;当取完一个盒子中的球时，另一 个盒子恰剩下0个球，则0的期望为 _________ . 解析 甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下 2个球的概率P =1-221-1 52 = 32；由题意，知曲勺可能取值为1, 2, 3, 4, 5,因为7 7 P ( & 1)= C 6 2 + C 62 二 64, 1- 22^-1164--4526 -743 2lQ 3⑴」P (E= 4)= C 3 2 = 16，P (E 5)= 2 = 8,所以 E ( 0二 1X65 + 2X 64+ 3X 32 + 4X 老 + 5X 基器答案5 17532 643. _______ 设随机变量X的分布列为P (X= k)= 5 (k= 2, 4, 6, 8，10)，则D (X)等于 ____ .1解析••• E (X)= 5 (2+ 4+ 6+ 8+ 10)= 6，••• D (X)= |[ (- 4) 2+(- 2 ) 2+ 02+ 22+ 42] = 8.答案85 1解得p>2或p<2，又p€ (0，1)，所以p€ 0, 2 .答案0, 1能力提升题组14. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X,已知E (X)= 3,则D (X)=。

第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 离散型随机变量的均值与方差 1．若离散型随机变量X 的分布列为x p(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) (3)两点分布与二项分布的均值、方差考点2正态分布1．正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．2．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.[必会结论]均值与方差的作用均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )(2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(3)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )(4)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．[2018·九江模拟]已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (ξ>k )＝P (ξ<k －4)，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 ∵(k －4)＋k 2＝5，∴k ＝7.故选B. 3．马老师从课本上抄录的一个随机变量X 的概率分布列如下表：3 ？且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E (X )＝________.答案 2解析 令“？”为a ，“！”为b ，则2a ＋b ＝1.又E (X )＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2.4．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望与方差分别为________．答案 20，2003解析 记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y 分，则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23，Y ＝10X ，∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×23＝20，D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝2003.5．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝答案 12 34解析 由分布列的性质得：⎩⎪⎨⎪⎧0≤q 2≤1，①0≤1－q ≤1，②0≤5q2－1≤1，③q 2＋(1－q )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5q 2－1＝1，④由①②③，得25≤q ≤45.由④，得q 2＋32q －1＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫q －12(q ＋2)＝0，解得q ＝12或q ＝－2(舍去)．故q ＝12.由分布列可知X 的可能取值只有1,2,3，故P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝q 2＋(1－q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝34. 板块二 典例探究·考向突破 考向离散型随机变量的均值与方差例 1 [2016·天津高考]某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.所以，事件A 发生的概率为13. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1. 触类旁通求离散型随机变量的均值与方差的方法(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解；(2)若随机变量X ～B (n ，p )，则可直接使用公式E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求解．【变式训练1】 设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23，若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．(1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列与期望．解 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2， A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (A k )＝13，k ＝1,2,3,4,5. (1)解法一：他前两发子弹只命中一发的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝23×13＋13×23＝49.解法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率P (1)＝C 12×23×13＝49.(2)X 的所有可能值为2,3,4,5.则P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2)＝23×23＋13×13＝59；P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝29；P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3 A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝1081；P (X ＝5)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝881.综上知，X 的分布列为从而有E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.考向均值与方差的实际应用例 2 [2017·北京高考]为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“ *”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)解 (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3.(2)由题图可知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝C22C24＝16，P(ξ＝1)＝C12C12C24＝23，P(ξ＝2)＝C22C24＝16.所以ξ的分布列为2错故ξ的期望E(ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．触类旁通均值与方差的实际应用(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用D(X)来描述X的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【变式训练2】[2018·福建模拟]为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. ②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为6错所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)． (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为8错X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.考向正态分布例3 (1)[2018·广东佛山模拟]已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤ξ≤4)＝0.6826，则P (ξ>4)＝( )A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585答案 B解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x ＝3对称，∴P (ξ>4)＝1－P (2≤ξ≤4)2＝0.5－12×0.6826＝0.1587.故选B. (2)[2015·山东高考]已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%答案B解析由正态分布N(0,32)，可知ξ落在(3,6)内的概率为P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ<μ＋σ)2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.触类旁通关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【变式训练3】(1)若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝()A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.975答案C解析由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.(2)[2018·河南安阳专项训练]已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为() A．0.3% B．0.23%C ．1.5%D ．0.15%答案 D 解析 依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.7%2＝0.15%.故选D.核心规律均值、方差和正态分布问题的求解方法(1)①若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )；②X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )；③若X 服从超几何分布，则E (X )＝n M N .(2)正态总体在某个区间内取值的概率的求法：一要熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值，二要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.满分策略均值、方差和正态分布问题求解中注意的事项(1)在记忆D (aX ＋b )＝a 2D (X )时要注意：D (aX ＋b )≠aD (X )＋b ，D (aX ＋b )≠aD (X )．(2)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果服从X ～B (n ，p )，那么用公式E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．(3)在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x ＝μ(μ≠0)，而不是x ＝0.板块三 启智培优·破译高考创新交汇系列10——高考中频出的“冷点”—正态分布[2018·陕西模拟]从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544.解题视点(1)利用频率分布直方图计算平均数及方差．(2)①利用样本估计总体进行概率计算；②利用二项分布的期望公式代入求解即可．解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.②由①，知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.答题启示本题考查正态分布、概率统计问题的综合，是在知识网络的交汇处命制的一道较为新颖的试题.正态分布与统计案例有些知识点是所谓的高考“冷点”，由于考生对这些“冷点”的内容重视不够，复习不全面，一旦这些“冷点”知识出了考题，虽然简单但也做错，甚至根本不会做，因而错误率相当高.此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点.跟踪训练[2017·全国卷Ⅰ]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：＝116(∑i ＝116x 2i －16x 2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X ～B (16,0.0026)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X 的数学期望E (X )＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此σ的估计值为0.008≈0.09.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4答案 C解析 X ＝k 表示第(4－k )次命中目标，P (X ＝3)＝0.6，P (X ＝2)＝0.4×0.6，P (X ＝1)＝0.42×0.6，P (X ＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，∴E (X )＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＝2.376.2．[2018·长沙检测]已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>2)＝0.15，则P (0≤ξ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15 答案 C解析 P (0≤ξ≤1)＝P (1≤ξ≤2)＝0.5－P (ξ>2)＝0.35.故选C.3．随机变量X 的分布列如下：1c其中a ，b ，c 成等差数列．若E (X )＝13，则D (X )的值是( )A.49B.59C.23D.95 答案 B解析 a ＋b ＋c ＝1.又∵2b ＝a ＋c ，故b ＝13，a ＋c ＝23.由E (X )＝13，得13＝－a ＋c ，故a ＝16，c ＝12.D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59.故选B.4．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6答案 B解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320， P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12. ∴E (X )＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12，得E (X )＝5.25.5．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态曲线如图所示．若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1000名男生中体重属于正常情况的人数是( )A ．997B ．954C ．819D ．683答案 D解析 由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5<X ≤62.5)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，从而体重属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.6．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝μ)＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于________．答案 0解析 由13＋a ＝1，得a ＝23，又E (ξ)＝2，∴m 3＋2μ3＝2，m ＝6－2μD (ξ)＝13(m －2)2＋23(μ－2)2＝2μ2－8μ＋8＝2(μ－2)2，∴μ＝2时，D (ξ)最小值＝0.7．[2018·南宁模拟]某高校进行自主招生的面试程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分(每道题都必须答，但相互不影响)，设某学生答对每道题的概率为23，则该学生在面试时得分的期望值为________．答案 15解析 记学生面试的得分为随机变量η，则η的可能取值为－15,0,15,30，则有P (η＝－15)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，P (η＝0)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝627，P (η＝15)＝C 23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1227，P (η＝30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.所以该学生面试得分的数学期望E (η)＝(－15)×127＋0×627＋15×1227＋30×827＝15.8．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图象，可以看出，图象关于直线x ＝100对称．显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)．又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．9．[2018·江西师大附中模拟]已知某校的数学专业开设了A ，B ，C ，D 四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门．(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(2)若甲和乙要选同一门课，求选修课A 被这3名学生选修的人数X 的分布列和数学期望．解 (1)3名学生选择的选修课所有不同选法有43＝64种；各人互不相同的选法有A 34种，故互不相同的概率P ＝A 3443＝38.(2)选修课A 被这3名学生选修的人数X 的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝3242＝916，P(X＝1)＝342＝316，P(X＝2)＝342＝316，P(X＝3)＝142＝116.所以X的分布列为数学期望E(X)＝0×916＋1×316＋2×316＋3×116＝34.10．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止．记取球次数为ξ.(1)求ξ的概率分布；(2)求ξ的数学期望及方差．解(1)ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，并且有P(ξ＝1)＝15＝0.2，P(ξ＝2)＝45×14＝0.2，P(ξ＝3)＝45×34×13＝0.2，P(ξ＝4)＝45×34×23×12＝0.2，P(ξ＝5)＝45×34×23×12×11＝0.2.因此ξ的分布列是(2)E(ξ)＝1×0.2＝3，D(ξ)＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝2.[B级知能提升]1．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X ，则E (X )为( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5答案 B解析 X 可取0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 36×C 36＝120，P (X ＝1)＝C 16×C 25×C 23C 36×C 36＝920，P (X ＝2)＝C 26×C 14×C 13C 36×C 36＝920，P (X ＝3)＝C 36C 36×C 36＝120，故E (X )＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝1.5.2．[2018·山东聊城联考]已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套答案 B解析 P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则D (X )＝________.答案 1318解析 由题意，知13×(1－p )2＝112，即p ＝12，所以P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝13，P (X ＝2)＝23×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＋13×12×12＝512，P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16， 所以E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53，所以D (X )＝112×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532＋512×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532＝1318.4．[2018·宁夏模拟]某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望． 解 (1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A ，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝13.该考生选择题得50分的概率为P (A )·P (A )·P (B )·P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136.(2)该考生所得分数X ＝30,35,40,45,50， P (X ＝30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝19，P (X ＝35)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 12·13×23＝13，P (X ＝40)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 12·13×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1336，P (X ＝45)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 12·13×23＝16，P (X ＝50)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136.该考生所得分数X 的分布列为所以E (X )＝30×19＋35×13＋40×1336＋45×16＋50×136＝1153分． 5．[2018·湖北武汉模拟]某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N (168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)由频率分布直方图估计该校高三年级男生平均身高状况； (2)求这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数； (3)在这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826， P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9544， P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为⎝⎛⎭⎪⎫162×5100＋166×7100＋170×8100＋174×2100＋178×2100＋182×1100×4＝168.72.(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为10.(3)∵P (168－3×4<ξ≤168＋3×4)＝0.9974， ∴P (ξ≥180)＝1－0.99742＝0.0013. ∴0.0013×100000＝130.∴全市前130名男生的身高在180 cm 以上，这50人中180 cm 以上的有2人．随机变量ξ可取0,1,2，于是P (ξ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (ξ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (ξ＝2)＝C 22C 210＝145，∴E (ξ)＝0×2845＋1×1645＋2×145＝25.。

2019年高考数学总复习课时作业（六十二）第62讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学总复习课时作业（六十二）第62讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学总复习课时作业（六十二）第62讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布理的全部内容。

课时作业（六十二)第62讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布基础热身1.[2017·南宁期末]设随机变量X～N(5,σ2）,若P(X〉10—a）=0.4，则P(X>a）=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0。

22.［2017·嘉兴一中模拟]随机变量X的分布列如下表，且E(X）=2,则D(2X-3）=（)X02aP pA.2 B。

3 C.4 D.53.已知随机变量X～N（7，4），且P(5〈X〈9)=a,P（3〈X<11）=b，则P(3<X 〈9）=（)A.B。

C.D。

4.［2017·铜仁一中期末]设随机变量X～B（2，p)，随机变量Y~B(3,p),若P（X≥1）=，则D(3Y+1)= .能力提升5。

[2017·菏泽期末］为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位:cm）.根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N （μ,σ2),假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ—3σ，μ+3σ）之外的零件数，则P(X≥1)= (）附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2）,则P（μ—3σ〈Z<μ+3σ）=0。