专题01 阴影部分的面积-快速提分之谈中考数学重难题型(河南版)(解析版)

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题求阴影部分的面积---四种方法【典例一】（2023•锦州）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ABC ＝40°，连接OA ，OC ．若⊙O 的半径为3，则扇形AOC （阴影部分）的面积为（ ）A ．23πB ．πC ．43πD ．2π【分析】先由圆周角定理可得∠AOC 的度数，再由扇形的面积公式求解即可．【解答】解：∵∠ABC ＝40°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝80°，∴扇形AOC 的面积为80×π×32360=2π，故选：D ．【点评】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOC 的度数是解答此题的关键．【变式1-1】（2023•新抚区模拟）如图，正五边形ABCDE 边长为6，以A 为圆心，AB 为半径画圆，图中阴影部分的面积为（ ）A ．185πB ．4πC ．545πD ．12π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵正五边形的外角和为360°，解题技巧提炼所求阴影部分是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解.∴每一个外角的度数为360°÷5＝72°，∴正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°，∵正五边形的边长为6，∴S阴影=108⋅π×62360=545π，故选：C．【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．【变式1-2】（2023•大武口区模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB=A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为　．【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，AB＝AE DE，即可证得∠DAE＝45°，进而求得∠BAE＝45°，再求出扇形ABE的面积，即可得出答案．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝1，AB∴∠D＝∠DAB＝90°，∵AE＝AB，∴DE1，∴AD＝DE，∴∠DAE＝45°，∴∠BAE＝45°，∴阴影部分的面积S＝S扇形ABE=π4．故答案为：π4．【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和勾股定理等知识点，能求出∠EAB 的度数是解此题的关键．【变式1-3】如图，有公共顶点O 的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O 点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（ ）A ．4πB ．185πC ．3πD ．52π【分析】利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：S 阴=(360108×2)⋅π⋅32360=18π5，故选：B ．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式1-4】（2022•二道区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交边AB 于点D ，以点B 为圆心，BD 长为半径画圆弧，交边BC 于点E ，若AC ＝2，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留π）．【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积S ＝S 扇形BDE +S 扇形ACD ．【解答】解：在Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，∴∠B ＝30°，AB ＝2AC ＝4，∴BC =∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BDE +S 扇形ACD =30π×22360+60π×22360=π，故答案为：π．【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-5】（2023•三台县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（ ）A．2πB．3πC D【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC ＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=AC＝可得到阴影部分的面积．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF=(62)×180°6=120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠BAC=12（180°﹣∠ABC）=12×（180°﹣120°）＝30°，过B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH=12AB=12×2＝1，在Rt△ABH中，AH=∴AC＝同理可证，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∴S扇形CAE=2π，∴图中阴影部分的面积为2π，故选：A ．【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．【典例二】（2022秋•恩施市期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为边AB 的中点，以点A 为圆心，线段AD 的长为半径画弧，与AC 边交于点E ；以点B 为圆心，线段BD 的长为半径画弧，与BC 边交于点F ．若BC ＝6，AC ＝8，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．48―25π2B ．48―25π4C ．24―25π2D ．24―25π4【分析】根据勾股定理得到AB=10，根据线段中点的定义得到AD ＝BD ＝5，根据扇形和解题技巧提炼将不规则阴影部分看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解.三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB==10，∠A+∠B＝90°，∵点D为边AB的中点，∴AD＝BD＝5，∴图中阴影部分的面积=12×6×8―90⋅π×52360=24―25π4，故选：D．【点评】本题考查了扇形面积的计算，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．【变式2-1】（2023•北京模拟）如图，以O为圆心AB为直径的圆过点C，C为弧AB的中点，若AB＝4，则阴影部分面积是（ ）A．πB．2+2πC．2πD．2+π【分析】求出∠AOC＝∠BOC＝90°，OA＝OC＝OB＝2，求出阴影部分的面积＝S扇形AOC，再根据扇形的面积公式求出答案即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，C为AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵AB＝4，∴OA＝OC＝OB＝2，∴S△AOC ＝S△BOC=12×2×2=2，∴阴影部分的面积S＝S△COB +S扇形AOC﹣S△AOC＝S扇形AOC =90π×22360=π，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n °，半径是r ，那么这个扇形的面积=nπr 2360．【变式2-2】（2023•蜀山区校级三模）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角∠O ＝120°形成的扇面，若OA ＝4m ，OB ＝2m ，则阴影部分的面积是（ ）A ．43πB ．83πC ．4πD ．163π【分析】利用扇形面积公式，根据S 阴影＝S 扇形AOD ﹣S 扇形BOC 即可求解．【解答】解：S 阴影＝S 扇形AOD ﹣S 扇形BOC=120π⋅OA 2360―120π⋅OB 2360=120π(OA 2OB 2)360=π(4222)3＝4π（m 2），故选：C ．【点评】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式2-3】（2022秋•松滋市期末）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC ＝30°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π3―B ．2π3―C ．2π3―D ．π3―【分析】根据S 阴＝S 扇形OBC ﹣S △OBC ，计算即可．【解答】解：∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，∴S 阴＝S 扇形OBC ﹣S △OBC =60⋅π×22360―12×2×=23π―故选：B ．【点评】本题考查扇形的面积，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式2-4】（2022秋•鄞州区期末）如图，扇形AOB 圆心角为直角，OA ＝10，点C 在AB 上，以OA ，CA 为邻边构造▱ACDO ，边CD 交OB 于点E ，若OE ＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）A ．10π﹣8B ．5π﹣8C ．25π﹣64D ．50π﹣64【分析】连接OC ．利用勾股定理求出EC ，根据S 阴＝S 扇形AOB ﹣S 梯形AOEC ，计算即可．【解答】解：连接OC ．∵四边形OACD 是平行四边形，∴OA ∥CD ，∴∠OEC +∠EOA ＝180°，∵∠AOB ＝90°，∴∠OEC ＝90°，∴EC =6，∴S 阴＝S 扇形AOB ﹣S 梯形OECA =90π×102360―12×（6+10）×8＝25π﹣64．故选：C ．【点评】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．【变式2-5】（2023•双柏县模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 的中点，以B 为圆心，BE 为半径作弧，交BC 于点F ，连接DE 、DF ，若AB ＝2，∠A ＝60°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π3B π3C π3D ―2π3【分析】连接AC ，根据菱形的性质求出∠BCD 和BC ＝AB ＝2，求出AE 长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝2，∠A ＝60°，点E 是AB 的中点，∴△ABD 是等边三角形，DE ⊥AB ，∠ABC ＝120°，BE ＝1，∴DE BF ＝1，DF =DF ⊥BC ，∴阴影部分的面积S ＝S △BDE +S △BDF ﹣S 扇形BEF ＝2―120π×12360=π3，故选：B ．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出△AEC 、△AFC 和扇形ECF 的面积是解此题的关键．【变式2-6】（2022秋•余杭区校级月考）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结AC ，BC ．（1）求证：∠ACO ＝∠BCD ；（2）若CD ＝6，∠A ＝30°，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据垂径定理得到BC=BD，根据圆周角定理证明结论；（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴BC=BD，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD；（2）解：∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=12CD＝3，在Rt△COE中，OC=CEsin60°=∴扇形OAC（阴影部分）的面积=4π，答：阴影部分的面积为4π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．【典例三】（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，半径OA ＝3，将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，使点O 恰好落在AB 上的点D 处，折痕为BC ，则阴影部分的面积为（ ）AB ．9π4―C ．π34D ．3π34【分析】连接OD ，可得△OBD 为等边三角形，再求出∠COD 以及OC ，得到三角形BOC 的面积，又因为△BOC 与△BDC 面积相等，最后利用S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S △BOC ﹣S △BDC 求解即可．【解答】解：如图，连接OD ，根据折叠的性质，CD ＝CO ，BD ＝BO ，∠DBC＝∠OBC ，∴OB ＝BD ＝OD，解题技巧提炼先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算.∴△OBD 为等边三角形，∴∠DBO ＝60°．∵∠CBO =12∠DBO ＝30°，∵∠AOB ＝90°，∴OC ＝OB •tan ∠CBO ＝3=∴S △BOC =12OB •OC =∵△BOC 与△BDC 面积相等，∴S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S △BOC ﹣S △BDC=14π×32=9π4―故选：B ．【点评】本题考查与扇形有关的不规则图形的面积求法，掌握割补法求面积是解题的关键．【变式3-1】（2023•乡宁县二模）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC ＝30°，在直径AB 上截取AD ＝AC ，延长CD 交⊙O 于点E ，若CE ＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）A B ．π2―1C ．π﹣2D ．π2【分析】连接OE ，OC ，BC ，推出△EOC 是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．【解答】解：连接OE ，OC ，BC ，由旋转知AC ＝AD ，∠CAD ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∠ACE ＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE ＝90°﹣∠ACE ＝15°，∴∠BOE ＝2∠BCE ＝30°，∴∠EOC ＝90°，即△EOC 为等腰直角三角形，∵CE ＝2，∴OE ＝OC =∴S 阴影＝S 扇形OEC ﹣S △OEC ―12×=π2―1，故选：B ．【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．【变式3-2】（2022秋•合川区期末）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接BC ．若BO =BC =2 ．【分析】证明△OBD 是等边三角形，根据S 阴＝S △DEB +（S 扇形DOB ﹣S △BOD ）求解即可．【解答】解：连接BD ．∵OC ＝OB ＝BC ＝∴△OBC 是等边三角形，∵CD ⊥AB ，AB 是直径，∴BC =BD ，∴BC ＝BD ＝OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵DE ⊥OB ，∴OE ＝EB∴DE ＝∴S 阴＝S △DEB +（S 扇形DOB ﹣S △BOD ）=12×（2＝4π﹣故答案为：4π﹣【点评】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是理解性质和定理，注意掌握扇形的面积公式．【变式3-4】（2023•如皋市一模）如图，⊙O 的直径AB ＝8，C 为⊙O 上一点，在AB 的延长线上取一点P ，连接PC 交⊙O 于点D ，PO ＝OPC ＝30°．（1）求CD 的长；（2）计算图中阴影部分的面积．【分析】（1）作OE ⊥CD 于点E ，连接OC ，OD ，根据垂径定理得CE ＝DE ，再根据PO ＝OPC＝30°，得OE ＝（2）根据阴影部分的面积为扇形COD 的面积减去△COD 的面积即可．【解答】解：（1）作OE ⊥CD 于点E ，连接OC ，OD ，∴CE ＝DE ，∵PO ＝OPC ＝30°，∴OE =12PO ＝∵直径AB ＝8，∴OD ＝4，∴DE ==2，∴CD ＝2DE ＝4；（2）∵OD ＝2DE ，∴∠DOE ＝30°，∴∠COD ＝60°，∴阴影部分的面积为60π×42360―12×4×=8π3―【点评】本题考查了垂径定理，扇形面积的计算，含30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．【变式3-5】（2023•蒙阴县一模）已知AB 是圆O 的直径，半径OD ⊥BC 于点E ，BD 的度数为60°．（1）求证：OE ＝DE ；（2）若OE ＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BD ，证明△OBD 是等边三角形，可得结论；（2）根据S 阴＝S 扇形AOC +S △COE ，求解即可．【解答】（1）证明：连接BD ，∵BD 的度数是60°，∴∠BOD ＝60°，∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵OD ⊥BC ，∴OE ＝DE ；（2）解：连接OC ．∵OD ⊥BC ，OC ＝OB ，∴∠COE ＝∠BOE ＝60°，∴∠OCE ＝30°，∴OC ＝2OE ＝2，∴CE =∴S 阴＝S 扇形AOC +S △COE =60π⋅22360+12×1=2π3【点评】本题考查了扇形面积、三角形的面积的计算，正确证明△BOD 是等边三角形是关键．【变式3-6】（2023•长沙模拟）如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为点E ，OF ⊥AC ，垂足为点F ，BE ＝OF ．（1）求证：AC ＝CD ；（2）若BE ＝4，CD ＝【分析】（1）根据AAS 证明△AFO ≌△CEB 即可判断；（2）根据S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD 计算即可．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC =BD ，CE =12CD ，∴∠A ＝∠DCB ，∴OF ⊥AC ，∴∠AFO ＝∠CEB ，AF =12AC ，∵BE ＝OF ，∴△AFO ≌△CEB （AAS ），∴AF ＝CE ，∴AC ＝CD ；（2）∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE =12CD ＝设OC ＝r ，则OE ＝r ﹣4，∴r 2＝（r ﹣4）2+（2∴r ＝8，连接OD ，如图，在Rt △OEC 中，OE ＝4=12OC ，∴∠OCE ＝30°，∠COB ＝60°，∴∠COD ＝120°，∵△AFO ≌△CEB ，∴S △AFO ＝S △BCE ，∴S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD=120π×82360―12×4=643π﹣【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE 的度数是解决本题的关键．【典例四】（2023•凤台县校级三模）如图，点B 在半圆O 上，直径AC ＝10，∠BAC ＝36°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．5πB ．52πC ．10πD ．54π【分析】先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形得到△AOB 的面积与△COB的面积相解题技巧提炼通过对图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件.有两种方法：（1）直接等面积转化法（2）平移转化法（3）对称转化法（4）旋转转化法等，从而把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积，再根据扇形面积计算公式求出即可．【解答】解：∵点O 是AC 的中点，∴线段BO 是△ABC 的中线，∴S △AOB ＝S △COB ，∴S 阴影＝S 扇形OBC ，∵∠BAC ＝36°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝72°，∵直径AC ＝10，∴OC ＝5，∴S 扇形OBC =72π×52360=5π，∴S 阴影＝5π，故选：A ．【点评】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，三角形的中线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．【变式4-1】（2023•孝义市三模）如图，AB 为半圆O 的直径，CD 垂直平分半径OA ，EF 垂直平分半径OB ，若AB ＝4，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．4π3B ．2π3C ．16π3D ．8π3【分析】根据图形可得，阴影部分的面积＝S 半圆﹣2S 扇形 ACO ，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：如图所示：连接OC ，∵CD 垂直平分半径OA ，∴AC ＝OC ，∵OC ＝OA ，∴OA ＝OC ＝AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠A ＝60°，∴S 阴影=12S ⊙O ﹣2S 扇形ACO =12×(AB 2)2π―2×60×(AB 2)2π360 =12×4π﹣2×16×4π＝2π―43π=23π．故选：B ．【点评】本题考查了扇形的面积计算，掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式是解题的关键．【变式4-2】（2023•锦州二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，DE ，若∠BED ＝45°，AB ＝2，则阴影部分的面积为（ ）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．π【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC ＝90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E 是BC 的中点，从而得出OE 是△ABC 的中位线，于是OE ∥AB ，根据同底等高得到△AOD 和△AED 的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形AOD 的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD 的面积即可得出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE，OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E是BC的中点，∵点O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，∴S△AOD ＝S△AED，∴S阴影＝S扇形OAD，∵∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∵∠BED＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°，∴S扇形OAD=90π×12360=π4，∴S阴影=π4，故选：A．【点评】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．【变式4-3】（2023•东兴区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．512πB ．43πC ．34πD ．2512π【分析】根据AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED 的面积＝△ABC 的面积，得到阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，∴△ABC 为直角三角形，由题意得，△AED 的面积＝△ABC 的面积，由图形可知，阴影部分的面积＝△AED 的面积+扇形ADB 的面积﹣△ABC 的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积=30π×52360=2512π，故选：D ．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积是解题的关键．【变式4-4】（2023•郸城县模拟）如图，扇形ABC 圆心角为90°，将扇形ABC 沿着射线BC 方向平移，当点B 落到线段BC 中点E 时平移停止，若AC 的长为2π，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据S 阴影＝S 扇形DEF +S 矩形ABED ﹣S 扇形BAC ＝S 矩形ABED 求解即可．【解答】解：∵扇形ABC 圆心角为90°，AC 的长为2π，∴2π=90π⋅r 180，∴r ＝4，∴AB ＝BC ＝4，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝2，∴S阴影＝S扇形DEF+S矩形ABED﹣S扇形BAC＝S矩形ABED＝2×4＝8．故答案为：8．【点评】本题考查平移性质，扇形面积，熟练掌握求不规则图形面积，通过转化成规则图形面积的和差求解是解题的关键．【变式4-5】如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．求：（1）阴影部分的周长；（2）阴影部分的面积．（结果保留π）【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC的长，利用弧长公式可求解；（2）由面积的和差关系可求解．【解答】解：（1）阴影部分的周长是：2×12×2π×6+60π×12180＝12π+4π＝16π（厘米），答：阴影部分的周长为16π厘米；（2）∵阴影部分的面积是：S半圆+S扇形BAC﹣S半圆＝S扇形BAC，∴阴影部分的面积=60×π×144360=24π（平方厘米）．答：阴影部分的面积为24π平方厘米．【点评】本题考查了旋转的性质，弧长公式，扇形面积公式，掌握计算公式是解题的关键．【变式4-6】如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于点E ，OF ⊥AC 于点F ，BE ＝OF ．（1）求证：△AFO ≌△CEB ；（2）若BE ＝4，CD ＝①⊙O 的半径；②求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据AAS 即可判断；（2）①设 OC ＝r ，则 OE ＝r ﹣4，在Rt △OCE 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；②根据S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD 计算即可；【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC =BD ，∴∠A ＝∠DCB ，∴OF ⊥AC ，∴∠AFO ＝∠CEB ，∵BE ＝OF ，∴△AFO ≌△CEB （AAS ）．（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE =12CD ＝设 OC ＝r ，则 OE ＝r ﹣4，∴r 2＝（r ﹣4）2+（2∴r ＝8．②连接 OD ．∵在Rt △OEC 中，OE ＝4=12OC ，∴∠OCE ＝30°，∠COB ＝60°，∴∠COD ＝120°，∵△AFO ≌△CEB ，∴S △AFO ＝S △BCE ，∴S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD=120⋅π⋅82360―12××4=643π﹣【点评】本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．【典例五】（2022秋•潼南区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，两弧分别交AB 于点D 、F ，则图中阴影部分的面积是 　．解题技巧提炼有的阴影部分是由两个基本图形互相重叠得到的.常用的方法是：两个基本图形的面积-被重叠图形的面积=组合图形的面积.【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BCE 与扇形ACD 的面积之和与Rt △ABC 的面积之差．【解答】解：在Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，∴∠A ＝60°，AC =12AB ＝1，BC∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BCE +S 扇形ACD ﹣S △ACB 60π×12360―12×1×=5π12―故答案为：5π12【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式5-1】（2022秋•北碚区校级期末）如图，正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AB 为半径画弧，连接AC ，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AD 的延长线于点E ，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∠DAC ＝45°，∴AC =∴图中阴影部分的面积＝12×1×1]+（1×1―90π×12360）=12，故答案为12．【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-2】（2023•平遥县二模）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，∠A ＝60°，将Rt △ACB 绕点C 顺时针旋转90°后得到Rt △DCE ，点B 经过的路径为BE ，将线段AB 绕点A 顺时针旋转60°后，点B 恰好落在CE 上的点F 处，点B 经过的路径为BF ，则图中阴影部分的面积是（ ）A π12B π12C +π12D ―π12【分析】根据S 阴＝S △ACB +S 扇形CBE ﹣S 扇形ABF 计算即可．【解答】解：S 阴＝S △ACB +S 扇形CBE ﹣S 扇形ABF=12×1×60⋅π⋅22360+π12，故选：A ．【点评】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．【变式5-3】如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：连接BE ，∵AB 为直径，∴BE⊥AC，∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴BE＝AE＝CE，∴S弓形AE ＝S弓形BE，∴图中阴影部分的面积＝S半圆―12（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF）=12π×22―12（12π×22―12×12×4×4）﹣（12×4×4―45π×42360）＝3π﹣6，故答案为3π﹣6．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-4】（2022•射洪市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝∠C＝90°，∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，∴图中阴影部分的面积＝S扇形FCD ﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAE）=90π×62360―（6×4―90π×42360）＝13π﹣24，故答案为：13π﹣24．【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．。

河南数学中考题型汇总弧长、阴影部分面积的计算题型练习含答案类型 1 弧长的计算1.[2022洛阳二模改编]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=√3,作∠ABC的平分线BE交CA于点F,以点B为圆心,BF的长为半径作弧,交BA于点G,则阴影部分的周长为.(第1题)(第2题)2.[2022浙江丽水中考改编]某仿古墙上原有一个矩形的门洞,现要将它改为一个圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接于矩形,如图.已知矩形的宽为2 m,高为2√3 m,则改建后门洞的圆弧长是.3.[2022濮阳二模]如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,C,D均在⏜的长小正方形的顶点上,点C,A,D,B均在所画的弧上,若∠CAB=75°,则ADB为.(第3题)(第4题)4.[2022信阳二模]如图所示的由小正方形组成的网格中,每个小正方形的边长均为1.点A,B,C均在小正方形的顶点上,且点A,B,C在同一条弧上,则阴影部分的周长为.5.如图是由相同的小菱形组成的网格,其中小菱形的边长为1,一个内角为60°.⏜的长度一条弧经过小菱形的顶点A,B,C,点D,E在该弧上.若∠EDA=25°,则AE为.类型 2 弧长与最值问题6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=40°,AB=4,点P为△ABC的中位线DE⏜,则图中阴影部分周长的最小值为.上一动点,以点E为圆心作AC(第6题)(第7题)⏜=2BC⏜,点E是BC⏜上一个动点,7.[2021安阳二模]如图,半圆O的直径AB=2 cm,AC弦DE∥AB,OF⊥AB交DE于点F,OH=EF,则图中阴影部分周长的最大值为cm.8.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,E的坐标分别为(3,0),(0,-√3),(1,0),以点B为圆心、1为半径作圆,交y轴于点F(点F在点B的下方),点C从点F出发,沿☉B逆时针运动,连接AC,设点D为AC的中点,连接DE,当DE的长第一次取最小值时,点C运动的路径长为.(第8题)(第9题)9.如图,BC为半圆O的直径,BC=4,点A为半圆上一点,∠ACB=30°,点P是AC上任意一点,过点P作PE⊥BC于点E,延长EP交半圆O于点F.当PE+PB的值最小时,图中阴影部分的周长为.类型 3 阴影部分面积的计算10.如图,在边长为2的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交对角线BD于点E,再以AD为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是()π D.π-2A.2π-4B.π-1C.12⏜上一点,过点D作DE⊥AO于点E.11.如图,在扇形AOB中,∠AOB=60°,点D为AB⏜=3BD⏜,AO=2√2,则阴影部分的面积为.若AD(第11题)(第12题)12.如图,在扇形AOB中,点C在线段OB上,连接AC,将△AOC沿AC所在直线翻折,⏜上,若OA=2,则图中阴影部分的面积使得点O的对应点D恰好落在AB为.13.[2022三门峡二模]如图,在矩形ABCD中,分别以AD,BC为直径作半圆(AD>AB),圆心分别为点O,P,两个半圆相交于点E,F,连接OE,OF.若AB=2√2,∠EOF=90°,则图中阴影部分的面积为.(第13题)(第14题)14.如图,在半圆C 中,OA 是直径,将半圆C 绕点O 旋转,得到半圆D ,点A 的对应点为B.当点D 恰好落在半圆C 上时,图中阴影部分的面积恰为(2π3-√32)m 2,则OC 的长为 m.类型 4 阴影部分面积与最值问题15.如图,在Rt △ABC 中,∠A=30°,BC=2√3,点O 为AC 上一点,以点O 为圆心,OC 长为半径的圆与AB 相切于点D ,交AC 于另一点E ,点F 为DCE ⏜上一动点,则图中阴影部分面积的最大值为 .(第15题) (第16题)16. 如图,在扇形AOB 中,∠AOB=90°,点P 是AB ⏜上一动点,连接OP ,点C 是线段OP 的中点,连接BC 并延长交OA 于点D.若AB ⏜的长度为√3π2,则图中阴影部分面积的最小值为 .答案：1.2√3+π32.103π m 3.2π 4.52π+5√2 5.5√718π 6.8π9+47.(2+π3) 8.76π 9.2+π310.D11.π-2 12.23π-√3 13.2π-4 14.√215.23π+216.3π4-√32。

中考求阴影部分面积【知识概述】计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。

不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。

现介绍几种常用的方法。

一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

例1. 如图1，点C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC 、AD 和C D ⌒围成的阴影部分图形的面积为_________。

二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。

三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。

这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。

要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。

例4. 如图4，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。

四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。

例5. 如图5，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠=︒∠=∠=A B D 60，90︒，求四边形ABCD 所在阴影部分的面积。

例2.如图2，PA 切圆O 于A ，OP 交圆O 于B ，且PB=1，PA=3，则阴影部分的面积S=_______． 五、拼接法例6. 如图6，在一块长为a 、宽为b 的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽图2都是c个单位），求阴影部分草地的面积。

六、特殊位置法例7. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_______。

七、代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。

热点专题3 阴影部分面积的计算考向1和差法1.（河南省濮阳市县区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）P A是⊙O的切线，切点为A，P A＝APO＝30°，则阴影部分的面积为_____．【答案】23π．【解析】连接OA ，根据切线性质求出∠OAP ＝90°，解直角三角形求出OA 和∠AOB ，求出△OAP 的面积和扇形AOB 的面积即可求出答案．【详解】解：连接OA ，∵P A 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°，∵30PA APO ∠︒＝＝，∴∠AOP ＝60°，OP ＝2AO ，由勾股定理得：2222OA OA +（＝（）， 解得：AO ＝2，∴阴影部分的面积为216022223603OAP OAB S S ππ⨯⨯⨯=扇形﹣＝，故答案为：23π． 【点睛】本题考查的是切线性质，勾股定理，三角形面积和扇形面积，能够根据切线性质，求出三角形的三边是解题的关键.2.(郑州市一中2019年中考三模数学试卷)如图，在▱ABCD 中，AD =2，AB =4，∠A =30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是 （结果保留π）． 的【答案】1 33π-【解析】【详解】过D点作DF⊥AB于点F．∵AD=2，AB=4，∠A=30°，∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2．∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积=230211 4121336023ππ⨯⨯⨯--⨯⨯=-.故答案为：133π-.3.（2019年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAC＝30°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转120°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′，点D的对应点为点D′，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】83π.【解析】根据扇形面积公式与菱形面积公式进行计算便可．由S 阴影=S 扇形CAC ′-S 扇形DAD ′可得答案．【详解】连接BD ，与AC 相交于点O ，如图，则BD ＝2BO ＝2•AB •sin ∠BAC ＝2，AC ＝20A ＝2•AB •cos ∠BAC ＝S 扇形＝S 扇形CAC ′+S △ABC +S △AC ′D ′﹣S 菱形ABCD ﹣S 扇形DAD ′＝S 扇形CAC ′﹣S 菱形ABCD ﹣S 菱形ABCD ﹣S 扇形DAD ′＝S 扇形CAC ′﹣S 扇形DAD ′＝22120120283603603πππ⨯⨯-=． 故答案为83π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，解直角三角形，菱形的性质，菱形的面积，旋转的性质，关键是把阴影部分的面积转化为两个扇形的面积差进行计算．4.（河南省南阳市淅川县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，在以AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立的平面直角坐标系中，将ABC 绕点B 顺时针旋转，使点A 旋转至y 轴的正半轴上的点A '处，若2AO OB ==，则图中阴影部分面积为________．【答案】43π 【解析】 根据等腰直角三角形的性质求出AB ，再根据旋转的性质可得A ′B =AB ，然后求出∠OA ′B =30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A ′BA =60°，即旋转角为60°，再根据S阴影=S 扇形ABA ′+S △A ′BC ′-S △ABC -S 扇形CBC ′=S 扇形ABA ′-S 扇形CBC ′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解． 详解】解：∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB =2OA =2OB =4，BC，∵△ABC 绕点B 顺时针旋转点A 在A ′处，∴BA ′=AB ，∴BA ′=2OB ，∴∠OA ′B =30°，∴∠A ′BA =60°，即旋转角为60°，S 阴影=S 扇形ABA ′+S △A ′BC ′-S △ABC -S 扇形CBC ′，=S 扇形ABA ′-S 扇形CBC ′，= 260443603ππ⨯-=. 故答案为：43π. 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．5.（2020年1月河南省郑州市一摸数学试题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，ACA ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径画弧，交AB 于点D ，E ，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】512π－【解析】通过分析可知阴影部分的面积为扇形ACD 的面积加上扇形BCE 的面积减去三角形ABC 的面积，分别求出扇形ACD 的面积，扇形BCE 的面积，三角形ABC 的面积即可.【详解】在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°90903060B A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒ 3tan 31BC ACA ∴=== 2cos AC AB A === ∴S 阴影=S 扇形ACD +S 扇形BCE -S △ABC 2230(3)6011313603602ππ=+-512π=-故答案为512π- 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键.6.（2019年河南省实验外国语学校中考数学模拟试卷）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，分别以B 、C 为圆心，AB 长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______．【答案】43π 【解析】解：如图所示，连接BG 、CG ，∵BG =BC =CG ，∴△BGC 是等边三角形，∴∠GBC ＝∠G CB ＝60°，∴∠G CD ＝90°-60°=30°，∵BCG CGD BCG S S S S ∆=+-阴影扇形扇形,∴2223046044436043603S πππ⨯⨯=+-=阴影.故答案为43π.7.（河南省洛阳市2019年中考数学二模试卷）如图，矩形ABCD 中，AB ，BC ＝1，将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形AB ′C ′D ′，点C 的运动路径为弧CC ′，当点B ′落在CD 上时，则图中阴影部分的面积为______【答案】38π﹣+12 【解析】如图连接AC ，AC ′，过B ′作B ′E ⊥AB 于E ，于是得到B ′E ＝BC ＝1，根据旋转的性质得到AB ′＝AB ，AC ′＝AC B ′C ＝BE ﹣1，根据勾股定理得到AE ＝1，求得∠B ′AB ＝∠C ′AC ＝45°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：如图连接AC ，AC ′，过B ′作B ′E ⊥AB 于E ，则B ′E ＝BC ＝1，∵将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形AB ′C ′D ′，∴AB ′＝AB ，AC ′＝AC B ′C ＝BE ﹣1，∴AE ＝1，∴∠B ′AB ＝∠C ′AC ＝45°，∴图中阴影部分的面积＝S 扇形C ′AC ﹣S △ABC ′﹣S △AB ′C＝453360π⋅⨯﹣112﹣12﹣1)×1＝38π+12，故答案为38π﹣+12． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、扇形的面积计算等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．考向2 等积变换法1.（2019年河南省实验中学中考三模数学试卷）如图，P A 、PB 是半径为1的⊙O 的两条切线，点A 、B 分别为切点，∠APB ＝60°，OP 与弦AB 交于点C ，与⊙O 交于点D ．阴影部分的面积是_____（结果保留π）．【答案】6π. 【解析】由P A 、PB 是半径为1的⊙O 的两条切线，得到OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，OP 平分∠APB ，而∠APB =60°，得∠APO =30°，∠POA =90°﹣30°=60°，而OP 垂直平分AB ，得到S △AOC =S △BOC ，从而得到S 阴影部分=S 扇形OAD ，然后根据扇形的面积公式计算即可．【详解】∵P A 、PB 是半径为1的⊙O 的两条切线，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，OP 平分∠APB ，而∠APB =60°，∴∠APO =30°，∠POA =90°﹣30°=60°．又∵OP 垂直平分AB ，∴△AOC ≌△BOC ，∴S △AOC =S △BOC ，∴S 阴影部分=S 扇形OAD 26013606ππ⨯==． 故答案为6π． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式：S 2360n R π=，其中n 为扇形的圆心角的度数，R 为圆的半径），或S 12=lR ，l 为扇形的弧长，R 为半径．也考查了切线的性质． 2.（河南省洛阳市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，在ACB 中，50BAC ∠=，2AC =，3AB =，现将ACB 绕点A 逆时针旋转50得到11AC B ，则阴影部分的面积为________．【答案】54π 【解析】根据旋转的性质可知S △ABC ＝S △AB 1C 1，由此可得S 阴影=S 扇形ABB 1，根据扇形面积公式即可得出结论．【详解】∵S △ABC ＝S △AB 1C 1，∴S 阴影=S 扇形ABB 1=50360πAB 2=54π． 故答案为54π．【点睛】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解题的关键是找出S 阴影=S 扇形ABB 1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积是关键．3.（河南省新乡市辉县市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】23π-【解析】连接BD ，易证△DAB 是等边三角形，即可求得△ABD △ABG ≌△DBH ，即可得四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，由图中阴影部分的面积为S扇形EBF ﹣S △ABD即可求解.【详解】如图，连接B D ．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴△ABD∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD ＝2602360π⨯﹣1223π-故答案是：23π 【点睛】本题考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积是解题关键．4.（河南省信阳市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，AB =4，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C ，以点D 为顶点，作90°的∠EDF ，与半圆交于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是____．【答案】π﹣2．【解析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．【详解】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥A C．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC=12AB=2，四边形DMCN是正方形，DM=．则扇形FDE的面积是：2902360π⨯=π．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BC A．又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN．∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN．在△DMG和△DNH中，∵DMG DNHGDM HDNDM DN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=2．则阴影部分的面积是：π﹣2．【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．。

求阴影面积中考题目汇总1．（3分）（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（）A．B．2﹣C．2﹣D．4﹣2．（3分）（2017•河南备用）如图，把半径为2的⊙O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积为（）A．B．C．2D．43．（3分）（2018•河南）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．4．（3分）（2018•河南备用）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以点B为圆心，BC的长为半径作交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径作交AB于点F，则图中阴影部分的面积为．5．（3分）（2019•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为．6．（3分）（2017•焦作一模）如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，半径OA＝3，OC ＝AC，OD＝BD，F是弧AB的中点．将△OCD沿CD折叠，点O落在点E处，则图中阴影部分的面积为．7．（3分）（2018•焦作一模）如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．8．（3分）（2018•焦作二模）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为．9．（3分）（2019•焦作一模）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，把菱形ABCD 绕BC的中点E顺时针旋转60°得到菱形A'B'C'D'，其中点D的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．10．（3分）（2019•焦作二模）如图，B、E是以AD为直径的半圆O的三等分点，弧BE 的长为π，作BC⊥AE，交AE的延长线于点C，则图中阴影部分的面积为．11．（3分）（2017•开封一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是．12．（3分）（2018•开封一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO＝OB＝2，则阴影部分面积为（）A．πB．π﹣1C．+1D．13．（3分）（2018•开封二模）运用图形变化的方法研究下列问题：如图EF是⊙O的直径，CD、AB是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，EF＝20，CD＝16，AB＝12，则图中阴影部分的面积是．14．（3分）（2019•开封一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为．15．（3分）（2019•开封二模）如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，半径OA＝2，C 为的中点，D为OA上任意一点（不与点O、A重合），则图中阴影部分的面积为．16．（3分）（2018•洛阳一模）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C 为弧AB的中点，D是OA的中点，则图中阴影部分的面积为cm2．17．（3分）（2018•洛阳二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，BC＝5，⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．12﹣πB．12﹣πC．6﹣πD．6﹣π18．（3分）（2019•洛阳一模）如图，边长为2的正方形ABCD以A为中心顺时针旋转45°到图中正方形AB′C′D′位置，则图中阴影部分的面积为．19．（3分）（2019•洛阳二模）如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，点C的运动路径为弧CC′，当点B′落在CD上时，则图中阴影部分的面积为．20．（3分）（2019•洛阳三模）如图，已知矩形ABCD的两条边AB＝1，AD＝，以B 为旋转中心，将对角线BD顺时针旋转60°得到线段BE，再以C为圆心将线段CD顺时针旋转90°得到线段CF，连接EF，则图中阴影部分面积为．21．（3分）（2017•商丘模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，以BC边的中点D为圆心，以CD的长为半径作弧，交AB于点E；以点A为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点F，则阴影部分的面积为．22．（3分）（2017•商丘一模）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为．23．（3分）（2018•商丘一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D为半径OA，OB的中点，点E为的中点，连接CE，DE，若OA＝4，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣2B．4π﹣4C．2π+2D．4π+424．（3分）（2019•商丘一模）如图所示，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE＝2，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣B．2π﹣2C．π﹣D．π25．（3分）（2019•商丘二模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C为OB的中点，CD⊥OB交弧AB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为．26．（3分）（2017•新乡一模）如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝4，以点B为圆心的扇形与边CD相切于点E，扇形的圆心角为60°，点E是CD的中点，图中两块阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2﹣S1＝．27．（3分）（2018•新乡一模）如图所示，半圆O的直径AB＝4，以点B为圆心，2为半径作弧，交半圆O于点C，交直径AB于点D，则图中阴影部分的面积是．28．（3分）（2018•新乡二模）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x 轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D相交于点C，∠OCA ＝30°，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣2B．4π﹣C．4π﹣2D．2π﹣29．（3分）（2019•新乡一模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝75°，以C 为旋转中心将△ABC顺时针旋转，当点B落在AB上点D处时，点A的对应点为E，则阴影部分面积为．30．（3分）（2018•郑州一模）已知三个边长分别为1，2，3的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为．31．（3分）（2019•郑州二模）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是．32．（3分）（2020•郑州模拟）如图，在△OAB中，∠AOB＝90°，AO＝2，BO＝4．将△OAB绕顶点O按顺时针方向旋转到△OA1B1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为线段AB的中点，线段A1B1与OA交于点E，则图中阴影部分的面积．33．（3分）（2020•郑州一模）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．平行四边形ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为．求阴影面积中考题目汇总参考答案与试题解析1．（3分）（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（）A．B．2﹣C．2﹣D．4﹣【考点】MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′＝60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′＝60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B＝120°，得到∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，根据图形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，∴∠OAO′＝60°，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′＝60°，OO′＝OA，∴点O′中⊙O上，∵∠AOB＝120°，∴∠O′OB＝60°，∴△OO′B是等边三角形，∴∠AO′B＝120°，∵∠AO′B′＝120°，∴∠B′O′B＝120°，∴∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，∴图中阴影部分的面积＝S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）＝×1×2﹣（﹣×2×）＝2﹣．故选：C．【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（3分）（2017•河南备用）如图，把半径为2的⊙O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积为（）A．B．C．2D．4【考点】M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算；PB：翻折变换（折叠问题）．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】作OD⊥AC于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD＝30°，得到∠AOB＝2∠AOD＝120°，进而求得∠AOC＝120°，再利用阴影部分的面积＝2S△AOC求出即可．【解答】解：作OD⊥AC于D，连接AO、BO、CO，∵OD＝AO＝＝1，AD＝AC＝，∴∠OAD＝30°，AC＝2，∴∠AOC＝2∠AOD＝120°，同理∠AOB＝120°，∴∠BOC＝120°，∴阴影部分的面积＝2S△AOC＝2××2×1＝2，故选：C．【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识，解题的关键是确定∠AOC＝120°．3．（3分）（2018•河南）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为π﹣．【考点】KW：等腰直角三角形；MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【专题】559：圆的有关概念及性质．【分析】先利用勾股定理求出DB′＝＝，A′B′＝＝2，再根据S阴＝S扇形BDB′﹣S△DBC﹣S△DB′C，计算即可．【解答】解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，DB′＝＝，A′B′＝＝2，∴S阴＝﹣1×2÷2﹣（2﹣）×÷2＝π﹣．故答案为π﹣．【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．（3分）（2018•河南备用）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以点B为圆心，BC的长为半径作交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径作交AB于点F，则图中阴影部分的面积为+．【考点】LB：矩形的性质；MO：扇形面积的计算．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】连接BE、EF，根据勾股定理求出AE，根据正弦的定义求出∠ABE，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接BE、EF，由题意得．BE＝BC＝2，由勾股定理得，AE＝＝1，sin∠ABE＝＝，∴∠ABE＝30°，∴∠CBE＝60°，则图中阴影部分的面积＝扇形EBC的面积+△ABE的面积﹣扇形EAF的面积＝+×1×﹣＝+，故答案为：+．【点评】本题考查的是扇形面积计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．5．（3分）（2019•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为+π．【考点】MO：扇形面积的计算．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．【解答】解：作OE⊥AB于点F，∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，∴BD＝2，∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案为：+π．【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．（3分）（2017•焦作一模）如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，半径OA＝3，OC ＝AC，OD＝BD，F是弧AB的中点．将△OCD沿CD折叠，点O落在点E处，则图中阴影部分的面积为．【考点】MO：扇形面积的计算；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】连接OF，过C作CH⊥OF于H，根据已知条件得到OC＝1.5，OD＝1，由F 是弧AB的中点．得到∠COH＝45°，根据图形的面积即可得到结论．【解答】解：连接OF，过C作CH⊥OF于H，∵OA＝OB＝OF＝3，OC＝AC，OD＝BD，∴OC＝1.5，OD＝1，∵F是弧AB的中点．∴∠COH＝45°，∴CH＝OH＝，∴S阴影＝S扇形FOB+S△COF﹣2S△COD＝+3×﹣2×××1＝，故答案为：．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（3分）（2018•焦作一模）如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【考点】M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算．【专题】11：计算题；64：几何直观；66：运算能力．【分析】根据图形可得，阴影部分的面积＝S半圆﹣（S扇形OAD﹣S△CDO+S扇形CDE），根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连接AD，OD，BD，∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，又CD⊥AB，∴△ACD∽△CDB，∴＝，即＝，∴CD＝，又OC＝1，∴∠COD＝60°，∴S扇形OAD＝＝π，S△CDO＝×CO×CD＝，∴S扇形OAD﹣S△CDO═π﹣，S扇形CDE＝＝π，∴阴影部分的面积＝S半圆﹣（S扇形OAD﹣S△CDO+S扇形CDE）＝π+．故选：A．【点评】本题考查了扇形的面积计算，掌握相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积公式，圆的面积公式是解题的关键．8．（3分）（2018•焦作二模）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为π﹣2．【考点】MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【分析】先求出CE＝2CD，求出∠DEC＝30°，求出∠DCE＝60°，DE＝2，分别求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴CE＝BC＝4，∴CE＝2CD，∴∠DEC＝30°，∴∠DCE＝60°，由勾股定理得：DE＝2，∴阴影部分的面积是S＝S扇形CEB′﹣S△CDE＝﹣×2×2＝，故答案为：．【点评】本题考查了扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，题目比较好，难度适中．9．（3分）（2019•焦作一模）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，把菱形ABCD 绕BC的中点E顺时针旋转60°得到菱形A'B'C'D'，其中点D的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．【考点】KM：等边三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】先通过已知条件求出△EA'D与△EA'D'以及扇形EDD'的面积，然后根据S阴影部分＝S扇形EDD'﹣S△EA'D﹣S△EA'D求出阴影部分面积．【解答】解：如图连接AE、DE、A'E、D'E，∵菱形ABCD中，∠B＝60°，E为BC中点，∴BE＝AB＝1，∠BAE＝30°，∠EAD＝90°，∴∠EA'D'＝90°，A'E＝AE＝，DE＝＝，D'E＝∵旋转角为60°，∴∠DED'＝60°，BEB'＝60°，BB'＝BE＝B'E＝1，∴CE＝CA'＝A'D＝1∴S△EA'D＝S△ECD＝CE•AE＝＝，S△EA'D'＝EA'•A'D'＝××2＝，S扇形EDD'＝＝，∴S阴影部分＝S扇形EDD'﹣S△EA'D﹣S△EA'D＝﹣﹣＝，故答案为，【点评】本题考查了扇形的面积，熟练运用割补法是解题的关键．10．（3分）（2019•焦作二模）如图，B、E是以AD为直径的半圆O的三等分点，弧BE 的长为π，作BC⊥AE，交AE的延长线于点C，则图中阴影部分的面积为﹣π．【考点】MN：弧长的计算；MO：扇形面积的计算．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】连接OB，OE，BE，BD，根据B、E是以AD为直径的半圆O的三等分点可证出△BOE、△AOE为等边三角形，然后计算出半径r的长，再计算出△ABC和扇形BOE 的面积，求差即可．【解答】解：连接OB，OE，BE，BD，∵B、E是以AD为直径的半圆O的三等分点，∴∠BOD＝∠AOE＝∠BOE＝60°，OB＝OE，即△BOE、△AOE为等边三角形，∴∠BEO＝∠BOE＝60°，∴∠BAC＝30°，∵∠BEO＝∠EOA＝60°，∴BE∥AD，∴S△BOE＝S△ABE，∴l＝＝π，即r＝2，∴AD＝4，∵∠BOD＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝AD×cos30°＝2，∴BC＝，AC＝3，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形BOE＝×CB×AC﹣＝×3﹣π＝﹣π．故答案为：﹣π．【点评】此题主要考查了扇形的面积计算，关键是计算出扇形半径，证出S△BOE＝S△ABE．11．（3分）（2017•开封一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是8﹣π．【考点】KQ：勾股定理；MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝＝，由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，△DHE≌△BOA，∴DH＝OB＝2，阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×5×2+×2×3+﹣＝8﹣π，故答案为：8﹣π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式S＝和旋转的性质是解题的关键．12．（3分）（2018•开封一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO＝OB＝2，则阴影部分面积为（）A．πB．π﹣1C．+1D．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC＝BC，由AO＝OB＝1求出AB＝2，再根据旋转的性质可得A′B＝AB，然后求出∠OA′B＝30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA＝60°，即旋转角为60°，再根据S阴影＝S扇形BAA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形BCC′＝S扇形BAA′﹣S扇形BCC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，OA＝OB＝2，∴AC＝BC＝AB＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝2OA＝4，∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，∴BA′＝AB＝4，∴BA′＝2OB，∴∠OA′B＝30°，∴∠A′BA＝60°，即旋转角为60°，S阴影＝S扇形BAA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形BCC′＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′＝﹣＝π，故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质、扇形面积计算、中垂线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．13．（3分）（2018•开封二模）运用图形变化的方法研究下列问题：如图EF是⊙O的直径，CD、AB是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，EF＝20，CD＝16，AB＝12，则图中阴影部分的面积是50π．【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算．【专题】554：等腰三角形与直角三角形；55C：与圆有关的计算．【分析】连结AO，BO，延长BO交⊙O于G，则BG是⊙O的直径，连接AG，根据圆周角定理得到∠GAB＝90°，根据勾股定理得到AG＝＝16，求得AG＝CD，推出S扇形AOG＝S扇形COD，根据已知条件得到S△OCD＝S△CDF，于是得到结论．【解答】解：AO，BO，延长BO交⊙O于G，连接AG，则∠GAB＝90°，∵AB＝12，BG＝EF＝20，∴AG＝＝16，∴AG＝CD，∴＝，连接OC，OD，则S扇形AOG＝S扇形COD，∵CD∥EF，∴S△OCD＝S△CDF，∴S阴影DCF＝S扇形COD，∴S阴影DFC＝S扇形AOG，∴图中阴影部分的面积＝S圆O＝×102＝50π．故答案为：50π．【点评】本题考查扇形的面积、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．（3分）（2019•开封一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为12﹣．【考点】LB：矩形的性质；MO：扇形面积的计算．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1﹣S2的值．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，∴BF＝BG＝2，∴S1＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE﹣S扇形BGF+S2，∴S1﹣S2＝4×3﹣＝12﹣，故答案为：12﹣．【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．（3分）（2019•开封二模）如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，半径OA＝2，C 为的中点，D为OA上任意一点（不与点O、A重合），则图中阴影部分的面积为π．【考点】MO：扇形面积的计算．【专题】11：计算题；55C：与圆有关的计算．【分析】连接OC，BC，由C为弧AB的中点，得到两条弧相等，进而得到所对的圆心角相等，再由OB＝OC，得到三角形BOC为等边三角形，进而得到一对内错角相等，确定出BC与OA平行，利用同底等高三角形面积相等得到三角形BCD面积＝三角形BOC 面积，进而把阴影部分面积转化为扇形BOC面积，求出即可．【解答】解：连接OC，BC，∵圆心角为120°的扇形OAB中，C为的中点，∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠OCB＝∠COA＝60°，∴BC∥OA，∴由同底等高得到△BOC与△BCD面积相等，∴S阴影＝S弓形BC+S△BCD＝S弓形BC+S△BOC＝S扇形BOC＝＝π，故答案为：π【点评】此题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．16．（3分）（2018•洛阳一模）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C 为弧AB的中点，D是OA的中点，则图中阴影部分的面积为cm2．【考点】MO：扇形面积的计算．【专题】11：计算题．【分析】连接OC，作CE⊥OA于E，根据正弦的概念求出CE，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算．【解答】解：连接OC，作CE⊥OA于E，∵∠AOB＝90°，C为弧AB的中点，∴∠COE＝45°，∴CE＝OC×sin∠COE＝，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S△BOD﹣（S扇形AOC﹣S△COD）＝﹣×1×2﹣+×1×＝，故答案为：．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握直角三角形的性质、扇形面积公式S＝是解题的关键．17．（3分）（2018•洛阳二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，BC＝5，⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．12﹣πB．12﹣πC．6﹣πD．6﹣π【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．【专题】11：计算题．【分析】连接AD，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出AD，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可．【解答】解：连接AD，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴AC＝＝4，∵BC是⊙A的切线，∴AD⊥BC，△ABC的面积＝×AB×AC＝×BC×AD，解得，AD＝，∴阴影部分的面积＝×AB×AC﹣＝6﹣π，故选：C．【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．18．（3分）（2019•洛阳一模）如图，边长为2的正方形ABCD以A为中心顺时针旋转45°到图中正方形AB′C′D′位置，则图中阴影部分的面积为π+8﹣12．【考点】LE：正方形的性质；MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【专题】556：矩形菱形正方形．【分析】设CD交B′C′于点O，根据S阴＝S扇形ACC′﹣S△OCB′﹣S△ODC′，计算即可．【解答】解：设CD交B′C′于点O．由题意易知：CB′＝OB′＝OD＝DC′＝2﹣2，∴S阴＝S扇形ACC′﹣S△OCB′﹣S△ODC′＝﹣2××﹣2）2＝π+8﹣12．故答案为：π+8﹣12．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．19．（3分）（2019•洛阳二模）如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，点C的运动路径为弧CC′，当点B′落在CD上时，则图中阴影部分的面积为﹣．【考点】LB：矩形的性质；MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】如图连接AC，AC′，过B′作B′E⊥AB于E，于是得到B′E＝BC＝1，根据旋转的性质得到AB′＝AB＝，AC′＝AC＝，根据勾股定理得到AE＝＝1，B′C＝BE＝﹣1，求得∠B′AB＝∠C′AC＝45°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：如图连接AC，AC′，过B′作B′E⊥AB于E，则B′E＝BC＝1，∵将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，∴AB′＝AB＝，AC′＝AC＝，∴AE＝＝1，∴B′C＝BE＝﹣1，∵B'E＝1，AE＝1，∴∠B'AB＝∠AB'E＝45°∴∠B′AB＝∠C′AC＝45°，∴图中阴影部分的面积＝S扇形C′AC﹣S△AB'C′﹣S△AB′C＝﹣﹣（﹣1）×1＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、扇形的面积计算等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．20．（3分）（2019•洛阳三模）如图，已知矩形ABCD的两条边AB＝1，AD＝，以B 为旋转中心，将对角线BD顺时针旋转60°得到线段BE，再以C为圆心将线段CD顺时针旋转90°得到线段CF，连接EF，则图中阴影部分面积为+﹣π．【考点】LB：矩形的性质；MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】矩形ABCD的两条边AB＝1，AD＝，得到∠DBC＝30°，由旋转的性质得到BD＝BE，∠BDE＝60°，求得∠CBE＝∠DBC＝30°，连接CE，根据全等三角形的性质得到∠BCE＝∠BCD＝90°，推出D，C，E三点共线，得到CE＝CD＝1，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵矩形ABCD的两条边AB＝1，AD＝，∴，∴∠DBC＝30°，∵将对角线BD顺时针旋转60°得到线段BE，∴BD＝BE，∠BDE＝60°，∴∠CBE＝∠DBC＝30°，连接CE，∴△DBC≌△EBC（SAS），∴∠BCE＝∠BCD＝90°，∴D，C，E三点共线，∴CE＝CD＝1，∴图中阴影部分面积＝S△BEF+S△BCD+S扇形DCF﹣S扇形DBE＝+ +﹣＝+﹣π，故答案为：+﹣π．【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，矩形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是解此题的关键．21．（3分）（2017•商丘模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，以BC边的中点D为圆心，以CD的长为半径作弧，交AB于点E；以点A为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点F，则阴影部分的面积为π﹣．【考点】KW：等腰直角三角形；MO：扇形面积的计算．【专题】11：计算题．【分析】连接DE，如图，利用圆周角定理得到∠CEB＝90°，再根据等腰直角三角形的性质得∠A＝∠B＝45°，所以∠CDE＝90°，根据扇形面积公式和计算出S由AC、AE和弧CE所围成的图形＝S△ABC﹣S扇形CDE﹣S△BDE＝﹣，然后利用阴影部分的面积＝S扇形CAF﹣S由AC、AE和弧CE所围成的图形进行计算．【解答】解：连接DE，如图，∵点D为BC的中点，即BC为直径，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥AB，而△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠CDE＝90°，S由AC、AE和弧CE所围成的图形＝S△ABC﹣S扇形CDE﹣S△BDE＝×2×2﹣﹣×1×1＝﹣，∴阴影部分的面积＝S扇形CAF﹣S由AC、AE和弧CE所围成的图形＝﹣（﹣）＝π﹣．故答案为π﹣．【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质．22．（3分）（2017•商丘一模）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为．【考点】MN：弧长的计算；MO：扇形面积的计算．【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC﹣S扇形BOE＝图中阴影部分的面积求出即可．【解答】解：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，∴∠BAC＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD，∵的长为，∴＝，解得：R＝2，∴AB＝AD cos30°＝2，∴BC＝AB＝，∴AC＝＝＝3，∴S△ABC＝×BC×AC＝××3＝，∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝﹣＝﹣．故答案为：．【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键．23．（3分）（2018•商丘一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D为半径OA，OB的中点，点E为的中点，连接CE，DE，若OA＝4，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣2B．4π﹣4C．2π+2D．4π+4【考点】MO：扇形面积的计算．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】根据题意和图形可以求得阴影部分的面积，从而可以解答本题．【解答】解：连接OE，作EF⊥OA于点F，作EG⊥OB于点G，如右图所示，由题意可得，∠AOB＝90°，∠AOE＝∠BOE＝45°，∵OA＝4，∴OE＝4，∴EF＝EG＝2，∴阴影部分的面积是：＝4π﹣4，故选：B．【点评】本题考查扇形的面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用数形结合的思想解答．24．（3分）（2019•商丘一模）如图所示，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE＝2，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣B．2π﹣2C．π﹣D．π【考点】M5：圆周角定理；MO：扇形面积的计算．【分析】已知D、E是半圆的三等分点，如果连接DE、OE、OD，那么△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，由此可求出扇形OBE的圆心角的度数和圆的半径长；由于∠AOE＝∠BOD，则AB∥DE，S△ODE＝S△BDE；可知阴影部分的面积＝S扇形OAE﹣S+S扇形ODE求解．△OAE【解答】解：连接OE、OD，点D、E是半圆的三等分点，∴∠AOE＝∠EOD＝∠DOB＝60°∵OA＝OE＝OD＝OB∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，∴AB∥DE，∴S△ODE＝S△BDE；∴图中阴影部分的面积＝S扇形OAE﹣S△OAE+S扇形ODE＝×2﹣×2＝π﹣．故选：A．【点评】本题考查的圆周角定理、三角形的面积及扇形面积公式、等边三角形的判定与性质，关键是将阴影部分面积转化为扇形ODE的面积．25．（3分）（2019•商丘二模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C为OB的中点，CD⊥OB交弧AB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为π﹣．【考点】KG：线段垂直平分线的性质；MO：扇形面积的计算．【专题】11：计算题．【分析】连接DO，则OD＝OA＝OB＝2．先由CD∥OA，∠AOB＝90°，得出∠OCD＝180°﹣∠AOB＝90°，然后在Rt△COD中求出cos∠COD＝，得到∠COD＝60°，再根据扇形面积公式计算、三角形面积公式即可．【解答】解：连接DO，则OD＝OA＝OB＝2．∵CD∥OA，∠AOB＝90°，∴∠OCD＝180°﹣∠AOB＝90°，∵C为OB的中点，∴CO＝OB＝DO，∴cos∠COD＝＝，∴∠COD＝60°，则CD＝＝，∴阴影部分的面积＝﹣×1×＝π﹣，故答案为：π﹣．【点评】本题考查了扇形面积的计算，平行线的性质，解直角三角形，利用三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠COD＝60°是解题的关键26．（3分）（2017•新乡一模）如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝4，以点B为圆心的扇形与边CD相切于点E，扇形的圆心角为60°，点E是CD的中点，图中两块阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2﹣S1＝2﹣π．【考点】L8：菱形的性质；MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．【分析】连接BE，由以点B为圆心的扇形与边CD相切于点E，得到在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，求得BE⊥CD，由点E是CD的中点，得到CE＝CD＝2，BE＝2，∠EBC＝30°，于是得到结论．【解答】解：连接BE，∵以点B为圆心的扇形与边CD相切于点E，∵在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，∴BE⊥CD，∵点E是CD的中点，∴CE＝CD＝2，BE＝2，∠EBC＝30°，∵扇形的圆心角为60°，∴S2﹣S1＝×CE•BE﹣＝2×2﹣π＝2﹣π．故答案为：2﹣π．。