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第3章 平面任意力系

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第03章 平面任意力系(第4-6讲)

第03章 平面任意力系(第4-6讲)

第 4 讲教案第4讲平面任意力系简化第三章 平面任意力系力的作用线分布在同一平面内的力系称为平面力系。

（简易吊车梁）当物体所受的力对称于某一平面时，也可简化为在对称平面内的平面力系。

本章将讨论平面任意力系（简称平面力系）的简化和平衡问题。

§3-1 力线平移定理实际工程与实际生活中与力线平移有关的例子是很多的。

例如、驾船划桨，若双桨同时以相等的力气划，船在水面只前进不转动；若单桨划，船不仅有向前的运动，而且有绕船质心的转动。

此外，乒乓球运动中的各种旋转球也都与力线平移有关。

F A xF AyG 1 G 2F BABα设计： 1、用图片（课件中的简易吊车梁受力）引入平面任意力系。

2、启发学员思考分析任意力系合成和平衡问题的方法：化复杂问题为简单问题。

3、由分析方法引出力线平移设计： 1、用动画讲解力线平移定理。

ABCα定理：作用在刚体上某点的力F可平行移到任一点，平移时需附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力F对新作用点的矩。

如图。

证明：在点B上加一平衡力系(F',F")，令F'=-F"=F。

则力F与力系（F',F",F）（图b）等效或与力系[F',(F,F"）]（图c）等效。

后者即为力F向B点平移的结果。

附加力偶（F,F’）的力偶矩M=Fd=M B(F)证毕。

·该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。

其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。

·该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。

例1、如单手攻丝时（图），由于力系（F'，M O）的作强调：1、该定理表明一个力可分解为同平面内的一个力和一个力偶。

2、其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可合用，不仅加工精度低，而且丝锥易折断。

3第三章平面任意力系

3第三章平面任意力系

固定端（插入端）约束
说明: ①认为Fi 这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③FA方向不定可用正交分力FAx, Fay 表示; ④ FAy, FAx, MA为固定端约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限
制转动。
11
MO
§3-2 平面一般力系的简化结果 合力矩定理 y 简化结果：主矢 F ' R ，主矩 M O 。
∴ 力的直线方程为：
MO

x
FR '
x
O
x
670.1 x 232.9 y 2355 0
2355 当 y 0, x 3.5 m 670 .1
18
FR
§3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F' 0 R MO 0
为力平衡，没有移动效应。 为力偶平衡，没有转动效应。
P
45
0
M A (F i ) 0 :
FC sin45 AC P AB 0
B
FAy
FAx
y
A
C
FAx 20.01kN ,
FAy 10.0kN
FC
x
FC 28.3kN
或： M C ( F i ) 0 : FAy AC P CB 0
22
o
例：求横梁A、Ｂ处的约束力。已知 M Pa, q, 解：1）AB杆 q M B A 2）受力分析
主矩MO 方向：方向规定 +
Fiy tg 方向： tg FRx Fix
1
FRy
1
大小： M O M O ( Fi ) , (与简化中心有关),（因主矩等于各力对简化中心取矩 的代数和）

建筑力学-第三章(全)

建筑力学-第三章(全)

建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0

X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0

YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB

M l cos

20 kN 5 c os30

4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m

工程力学-平面任意力系

工程力学-平面任意力系
即：
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2

3平面任意力系

3平面任意力系
A B C
A、B、C 三点不共线。 三点不共线。
运用平衡条件求解未知力的步骤为： 运用平衡条件求解未知力的步骤为： 1、合理确定研究对象并画该研究对象的受 力图； 力图； 2、由平衡条件建立平衡方程； 由平衡条件建立平衡方程； 3、由平衡方程求解未知力。 由平衡方程求解未知力。 实际计算时，通常规定与坐标轴正向一 实际计算时， 致的力为正。即水平力向右为正， 致的力为正。即水平力向右为正，垂直力向 上为正。 上为正。
合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点的 矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的 代数和。 代数和。
mo (F) = ∑mo (F ) i
y
mo (F) = mo (Fx ) + mo (Fy )
mo (Fx ) = −yFx
y
O
Fy
A x
B
F
F x
x
mo (Fy ) = xF y
在长方形平板的O 例题 3-1 在长方形平板的 、A、B、C 点上分别作 用着有四个力： 用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如 ， ， （ 图），试求以上四个力构成的力系对点 的简化结果， ），试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果， 试求以上四个力构成的力系对点 以及该力系的最后的合成结果。 以及该力系的最后的合成结果。
§3–2 平面任意力系的平衡方程及其应用
伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重 例题 3-2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂 P=2200N，吊车 、E 连同吊起重物各重 ，吊车D QD=QE=4000N。有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b 。有关尺寸为： ， ， = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链 对臂 ， ° 试求铰链A 对臂AB 的水 平和垂直反力，以及拉索BF 的拉力。 的拉力。 平和垂直反力，以及拉索 y

工程力学教学课件 第3章 平面任意力系

工程力学教学课件 第3章 平面任意力系

A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45

工程力学-平面任意力系平衡方程

大小与简化中心的选择无关。
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程

工程力学-材料力学-第03章 平面任意力系(邱清水)


3.1
（2 M O F M 2 F2 cos 60 2 F3 3F4 sin 30 2.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，故最后合成结果是一个合力 FR，合力到O点的距离为
d M O FR 0.421 m
A B C
附加条件：A，B，Ｃ 三点不共线直
为什么要附加条件？
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程：
如果选Oxy坐标系的y轴与各力平
行，则不论力系是否平衡，各力在x轴
上的投影恒等于零。 于是，平面平行力系的平衡的数 目只有两个 即
F 0 M F 0
y O
或
M F 0 M F 0
A B
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.平面任意力系平衡方程的应用
力系平衡方程主要用于求解单个物体或物体系统平衡时 的未知约束力，也可用于求解物体的平衡位置和确定主动 力之间的关系。 应用平衡方程解题的大致步骤如下： 1）选取研究对象，画出受力分析图； 2）选取坐标系，列出平衡方程； 3）求解方程组。
2
FRy arctan FRx
F F F arctan F
2

2
2
x
y
y
x

3.1 平面任意力系的简化.主矢与主矩 3．固定端（或插入端）约束
图(a)为固定端约束在计算时所用的简图。物体在固嵌部分所 受力是比较复杂的（图(b)），但当物体所受主动力为一平面 力系时，这些约束力亦为平面力系，可将它们向A点简化得一 力和一力偶（图(c)）。这个力可用两个未知正交分力来代替。 因此，在平面力系情形下，固定端A处的约束作用可简化为两 F 个约束力 F Ax ， Ay和一个约束力偶 M A （图(d)）。

(完整)03平面任意力系

第三章 平面任意力系3-1 已知N 1501=F ，N 2002=F ，N 3003=F ，N 200'==F F 。

求力系向点O 的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。

解：(1） 求合力R F 的大小5210121321⋅-⋅-⋅-=∑F F F F xN 62.4375230010120021150-=⋅-⋅-⋅-= 5110321321⋅-⋅-⋅-=∑F F F F yN 62.1615130010320021150-=⋅+⋅-⋅-= 主矢 N 5.466)62.161()62.437()()('2222R =-+-=∑+∑=y x F F F 主矩 852021031⋅-⋅+⋅=F F F M Om N 21448200520300210150⋅=⋅-⋅+⋅=(逆时针转向)合力R F 在原点O 的左侧上方，如图(a ）所示，且N 5.466'R R ==F F (2） 求距离dcm 59.45.4662144'===R M d O3—3 如图所示，当飞机作稳定航行时，所有作用在它上面的力必须相互平衡。

已知飞机的重量为kN 30=W ,螺旋桨的牵引力kN 4=F .飞机的尺寸：m 2.0=a ，m 1.0=b ， m 05.0=c ,m 5=l 。

求阻力x F 、机翼升力1y F 和尾部的升力2y F 。

解：选择坐标系如图（a)所示。

0=∑x F ，0=-F F x ，kN 4==F F x 0=∑A M ，0)()(2=+--+c b F W a l a F ykN 27.1)(2=+++=la cb F Wa F y0=∑y F ，021=-+W F F y ykN 7.2821=-=y y F W F3—5 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机,作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布：kN/m 40 ,kN/m 6021==q q ，机翼重kN 451=W ，发动机重kN 202=W ，发动机螺旋桨的作用力偶矩m kN 18⋅=M 。

第三章 平面任意力系和平面平行力系

10

X ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
向一点简化
汇交力系+力偶系 （已知力系）
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
5
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
1
第三章
平面任意力系与平面平行力系
§3–1 平面任意力系向一点的简化
§3–2 平面任意力系的平衡问题
§3–3 平面平行力系
2
引言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已 知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
3
§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
4
二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
出平衡重的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于
极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即 Wmin<W<Wmax。
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第三章 平面任意力系
平面任意力系实例
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
1、力的平移定理
M B M B ( F ) Fd

动画
力线平移定理
第3章 平面任意力系
2、平面任意力系向作用面内一点简化 ·主矢和主矩
F1 F1 F2 F2 M 1 M 0 ( F1 ) M 2 M 0 ( F2 )
Fiy FR
作用点
主矩
作用于简化中心上
M O M O ( Fi )
Fx FR
Fy (3 1) cos( FR, j ) FR
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 cos( FR, i )
M O M o ( Fi ) ( xi Fiy yi Fix )
(3 2)

动画
平面力系向任一点的简化
第3章 平面任意力系
3、平面固定端约束
=
=
≠
=

动画
第3章 平面任意力系
插入端约束受力的简化

动画
插入端约束实例
第3章 平面任意力系

动画
插入端约束实例
第3章 平面任意力系

动画
插入端约束实例
第3章 平面任意力系

动画
插入端约束实例
第3章 平面任意力系
F
45
q
A l
M
B
例题
平面任意力系
例 题 8
解： 1. 取梁为研究对象，受力分析如图
q M F
45
2. 列平衡方程
A
B
l
y
q FAx
A
M
45
B

F
x
3. 解方程
MA
l
FAy
例题
平面任意力系
例 题 9
梁AB上受到一个均布载
q
M
荷和一个力偶作用，已知载 荷集度（即梁的每单位长度 B 上所受的力）q = 100 N/m， 力偶矩大小M = 500 N· m。
q
A
B
x
例题
平面任意力系
例 题 3
解：
F
在梁上距A端为x的微段dx
上，作用力的大小为q‘dx ， 其
q B x
q
中q’ 为该处的载荷集度 ，由相 似三角形关系可知
A dx x h l
因此分布载荷的合力大小
例题
平面任意力系
例 题 3
设合力F 的作用线距A端的距离 F
为h，根据合力矩定理，有
FR
A
主矢的投影
FRy
例题
平面任意力系
例 题 4
所以力系合力FR的大小
C
方向余弦
MO
则有
O
FRx
70.84

A
FRy
FR
例题
平面任意力系
例 题 4
2. 求合力与基线OA的交点到O点的距离 x。 因为力系对O点的主矩为
C
C
所以由合力矩定理得
其中
MO
O
FRx
70.84
c
C F1
α F2 b
B
a l
以及拉索BF 的拉力。
例题
平面任意力系
例 题 6
F
解：
1.取伸臂AB为研究对象。
2.受力分析如图。
y A FB α
E
c
C F1
α F2 b
B
FAy FAx
A D
C
B
x
a l
F1
G
F2
例题
平面任意力系
例 题 6
y
FB FAy FAx
A D E C
3.选如图坐标系，列平衡方程。
0 0 0 0
F1 cos F2 cos F3 cos 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
A, B 两点连线不得与各力平行
例 题 9
3.选如图坐标系，列平衡方程。 y FAy
A
F
D
M
B x
FAx
C
FD
4.联立求解，可得 FD= 475 N， FAx= 0 ， FAy= －175 N
例题
平面任意力系
例 题 10
如图所示组合梁由AC
30

M
A
q C B
F
60

和CD在C处铰接而成。梁的 A端插入墙内，B处铰接一
D
B O
5.7m
G2 A
合力与基线OA的交点到O点的
距离x，以及合力作用线方程。
例题
平面任意力系
例 题 4
解：
C
y
3m
1. 求力系的合力FR的大小和方向余弦。 将力系向O点简
C
9m
1.5m
F1
3m
化，得主矢和主矩， G1
90
3.9m
F2

如右图所示。
x
B O
5.7m
G2 A
MO
O
FRx
因为 有
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
Fx 0 Fy 0 M 0 o
(3 4)
平面任意力系的平衡方程（一般式） 平面任意力系的平衡方程有三种形式， 一般式 二矩式 三矩式
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式 二矩式
Fx 0 Fy 0 M 0 A
A C
B
D
FAy
A
l
l
C B
FAx
45
FC
F
例题
平面任意力系
例 题5
3. 求解平衡方程可得
FAy
A
l FAx
45
l
C B
FC
F
若将力FAx和FAy合成，得
例题
平面任意力系
例 题 6
F
伸臂式起重机如图所示， 匀质伸臂AB 重G =2 200 N，吊 车D，E连 同吊起重物各重F1= F2=4 000 N。有关尺寸为：l = 4.3 m，a = 1.5 m，b = 0.9 m，c = 0.15 m，α=25°。试求铰链A 对臂AB的水平和铅直约束力， A
二力杆。已知：F=20 kN，
均布载荷q=10 kN/m，M=20 kN•m，l=1 m。试求插入端 A及B处的约束力。
l
l
l
l
例题
平面任意力系
例 题 10
解：
1. 以整体为研究对象， 受力分析如图所示。 列平衡方程
MA
FAy M
q C
30

F
B
FAx A l l
α
B
x
a
F1
G l
F2 b
例题
平面任意力系
例 题 7
外 伸 梁 的 尺 寸 及 载 荷 如 图 所 示 ， F1=2 kN ，
F2=1.5 kN，M =1.2 kN· m，l1=1.5 m，l2=2.5 m，试求 铰支座A及支座B的约束力。 ll
A
F1 F2
M
B
60
l2
l1
例题
平面任意力系
α
B
x
a
F1
G l
F2 b
l F1 a G F2 l b FB cos c FB sin l 0 2
例题
平面任意力系
y
FB FAy FAx
A D E C
4.联立求解。 FB = 12 456 N FAx = 11 290 N FAy = 4 936 N
如何求出主矢、主矩?
FRx Fix Fix Fx FRy Fiy Fiy Fy
主矢大小 FR ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2 方向
cos( FR , i ) Fix FR
cos( FR , j )
O O i
FR FR FR
(3 3)
合力矩定理 M ( F ) M M ( F )
若为O1点，如何?
§3-3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0
R
Mo 0
M O M O ( Fi )
非桁架（机构）
关于平面桁架的几点假设：
1、各杆件为直杆， 各杆轴线位于同一平面内；
2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；
且位于桁架几何平面内； 3、载荷作用在节点上，
4、各杆件自重不计或均分布在节点上。
在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆。
节点法与截面法
1、节点法
2、截面法
第3章平面任意力系
例 题
例 题 7
F1
解：1. 取梁为研究对象，受力分析如图。
F2
M
60
ll
A
2. 列平衡方程。
B
l2
l1 F2
60
x FBy
y FAy A
F1 M
B
3. 解方程。
FAx
例题
平面任意力系
例 题 8
如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度
为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶
M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。