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高中数学北师大版必修四 两角和与差的正切函数ppt课件(36张)

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北师大版必修4 第三章 2.3 两角和与差的正切函数 课件(15张)

北师大版必修4 第三章 2.3 两角和与差的正切函数 课件(15张)

两角差 的正切
tan(α－β) ＝1t＋antaαn－αttaannββ
(Tα＋β) (Tα－β)
α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z)
α，β，α－β≠ kπ＋π2(k∈Z)
[点睛] (1)公式 Tα±β 中 tan α，tan β，tan(α±β)必须都有意 义，因此 α，β，α±β 均不能为 kπ＋π2，k∈Z.
4．已知 tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则 tan αtan β 等于________．
解析：∵tan(α＋β) ＝1t－antaαn＋αttaannββ＝1－tan2αtan β＝4， ∴tan αtan β＝12. 答案：12
化简求值问题
[典例] (1)若 α＋β＝π3，tan α＋ 3(tan αtan β＋c)＝0(c 为常数)，则 tan β＝________；
120°
＝－ 3.
给值求值(角) 题点一 变角求值 1．已知 sinα－β2＝45，cosα2－β＝－1123，且 α－β2和α2－β 分别
为第二、第三象限角，求 tan α＋2 β的值．
解：由题意，得 cosα－β2＝－35，sinα2－β＝－153，
∴tanα－β2＝－43，tanα2－β＝152，
∴tan α＋2 β＝tan α－β2－α2－β
＝1t＋antaαn－αβ2－－β2ttaannα2α2－－ββ＝1－－4343－×151252＝－6136.
题点二 给值求角 2．已知 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)，求 2α
－β 的值． 解：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannββ ＝1－1212×－17－17＝13，

高中数学北师大版必修四 两角和与差的正切函数 课件(36张)

高中数学北师大版必修四 两角和与差的正切函数 课件(36张)

1．两角和的正切公式 tanα＋tanβ tan(α＋β)＝____________________ 1－tanαtanβ 2．两角差的正切公式 tanα－tanβ π tan(α－β)＝______________________( 其中α≠kπ＋ 2 (k∈ 1＋tanαtanβ π π Z)，β≠kπ＋2(k∈Z)，α± β≠kπ＋2(k∈Z))．
π π (3)tan(α＋4)＝tan[(α＋β)－(β－4)] π 2 1 tanα＋β－tanβ－4 5－4 3 ＝ π ＝ 2 1＝22. 1＋tanα＋βtanβ－4 1＋5×4 [规律总结] 对两角和与差的正切公式的正用、逆用、变
[答案] 3
1 tanα＋β－tan α 7＋2 [解析] tan β＝tan(α＋β－α)＝ ＝ 2＝ 1＋tanα＋βtan α 1－7 3.
5 ．设tanα，tanβ 是方程 x2 －3x ＋2 ＝ 0 的两根，则 tan(α ＋ β) 的值为________．
[答案] －3
[解析] 因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以 tanα＋tanβ tanα＋tanβ＝3，tanα· tanβ＝2，而tan(α＋β)＝ ＝ 1－tanα· tanβ 3 ＝－3. 1－2
1 1 tanα＋tanβ 2＋5 7 [解析] 因为 tan(α＋β)＝ ＝ ＝9， 1 1 1－tanαtanβ 1－2×5 7 1 tanα＋β＋tanγ 9＋8 tan[(α＋β)＋γ]＝ ＝ 7 1＝1. 1－tanα＋βtanγ 1－9×8
由已知可推得 γ<β<α， 1 3 又因为 0<tanα<2< 3 ， π π 所以 0<γ<β<α<6，即 0<α＋β＋γ<2. π 故 α＋β＋γ＝4.

高中数学必修四北师大版 两角和与差的正弦、余弦函数ppt课件(23张)

高中数学必修四北师大版 两角和与差的正弦、余弦函数ppt课件(23张)

要点一 利用和(差)角公式化简 例1 化简下列各式：
2π 3cos 3 －x；
π π (1)sinx＋3＋2sinx－3－
sin2α＋β (2) －2cos(α＋β)． sin α
π π π π 解 (1)原式＝sin xcos 3＋cos xsin 3＋2sin xcos 3－2cos xsin 3 2π 2π － 3cos 3 cos x－ 3sin 3 sin x 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[学习目标] 1．cos(α＋β)与cos α＋cos β相等吗？
答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时
候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝ cos 60°＋cos(－60°)．
2． 你能结合三角函数诱导公式， 由公式 C(α＋β)或 C(α－β)推导出公 式 S(α－β)吗？ 答
5 3 12 4 ＝ × －－13×－5 13 5 33 ＝－65.
规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角
之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间
的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是： (1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的 和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知 角．
3π π 3 5 又∵sin 4 ＋α＝13，cos4－β＝5， 3π π 12 4 ∴cos 4 ＋α＝－ ，sin4－β＝－ ， 13 5 π ∴cos(α＋β)＝sin2＋α＋β 3π π ＝sin 4 ＋α－4－β 3π π 3π π ＝sin 4 ＋αcos4－β－cos 4 ＋αsin4－β

高中数学北师大版必修4《第3章22.3两角和与差的正切函数》课件

高中数学北师大版必修4《第3章22.3两角和与差的正切函数》课件
34
谢谢大家
1_＋__ta_n__α_ta_n_β__
使用条件
α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠1
α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠－1
3
(1)变形公式
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
数学北师大版 高中数学
2.3 两角和与差的正 切函数
学习目标
核心素养
1.能利用两角和(或差)的正弦、
1.通过利用两角和(或差)的正弦、
余弦公式导出两角和(或差)的正
余弦公式导出两角和(或差)的正
切公式．(重点)
切公式，提升逻辑推理素养．
2.掌握公式 T(α±β)及其变形式，并 能利用这些公式解决化简、求
A＋tan B A＋ 3tan
＝ B
3 3.
又 0°<C<180°，∴C＝30°，∴B＝30°.
∴△ABC 是顶角为 120°的等腰三角形．
26
将例 3 中的条件变为“△ABC 中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝ 23 3”，试求 tan A·tan B 的值．
[解] 因为 A＋B＋C＝180°，∠C＝120°，
第三个．( )
(2)tanπ2＋π3能用公式 tan(αR，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( )
(4)公式 T(α±β)对任意 α，β 都成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
31
2．已知 A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )

高一数学北师大版必修4课件3.2.3 两角和与差的正切函数

高一数学北师大版必修4课件3.2.3 两角和与差的正切函数

=
3 . 22
探究一
探究二
探究三
探究四
规律总结公式 Tα+β,Tα-β 有较多变形的公式,公式中有 tan
αtan β,tan α+tan β(或 tan α-tan β),tan(α+β)(或 tan(α-β))时,三者中知道任意 两个就可表示或求出第三个.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三 两角和与差的正切公式的应用
������������������α +������������������β ; 1-������������������α������������������β
������������������α-������������������β . 1+������������������α������������������β
探究一
探究二
探究三

探究四
(2)
3-tan 15° 1+ 3tan 15°
=
������������������ 60°-������������������ 15° 1+������������������ 60°������������������ 15°
=tan(60° -15 ° )=tan 45 ° = 1. (3)tan α +
公式 Tα+β 与一元二次方程的联系 :在两角和的正切公式 Tα+β 中,有 tan α+tan β,tan αtan β 这两项,对比一元二次方程中的根与系数的关系,为我们 解决问题找到了很好的结合点.因此 tan α,tan β 可以看作一元二次方程的 根,这样 tan α+tan β,tan αtan β,tan α-tan β 就可以互相表示,进而可以利用它 们求 tan(α± β).

高中数学北师大版必修4 两角和与差的正切函数 课件(36张)

高中数学北师大版必修4 两角和与差的正切函数 课件(36张)
2． 3
两角和与差的正切函数
学习导航 1.了解两角和与差的正切公式的推导． 2．理解两角和与差的正切公式及其变形公 学习目标
式．(重点)
3．掌握两角和与差的正切公式及其变形形式 在三角函数式的化简、求值及证明中的应 用．(难点)
1.两角和与差的正切公式变形较多，这些变式在解决某些 问题时十分便捷，应当利用公式能熟练推导，务必熟悉它 们． 例如， tan α ＋ tan β ＝ tan(α＋β)(1－tan α tan β )， 学 tan α ＋ tan β tan α tan β ＝ 1－ ， tan（ α＋ β） 法 指 tan α ＋ tan β ＋ tan α tan β tan(α＋ β)＝ tan(α＋ β)等． 导 2．在三角函数题目中，有时，也对一些特殊的常数进行 π π 3 代换， 例如 1＝ tan 45°， 3＝ tan ， ＝ tan 等等． 这 3 3 6 样做的前提是识别出公式结构，凑出相应公式 .
两角和与差的正切公式
名称 两角和 的正切 两角差 的正切 公式 tan (α＋ β)
tan α ＋tan β ＝1 _______________ －tan α tan β
成立条件 α ，β ，α ＋ β≠kπ π ＋ (k∈ Z) 2 α ，β ，α － β≠kπ π ＋ (k∈ Z) 2
tan (α－ β) ＝_________________
化简求值
计算： sin 15°－ cos 15° (1) ； sin 15°＋ cos 15° (2)tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10° tan 50°； (3)(3＋tan 30°tan 40°＋ tan 40° tan 50°＋ tan 50° tan 60° )· tan 10° . (链接教材 P119 例 4)

数学北师大版必修4课件：3-2-3 两角和与差的正切函数

第三章
三角恒等变形
§2 两角和与差的三角函数
2.3 两角和与差的正切函数
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 两角和与差的正切公式
[填一填] tanα＋tanβ
(1)两角和的正切：tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ (Tα＋β)． tanα－tanβ
(2)两角差的正切：tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ (Tα－β)． 公式 Tα±β 的记忆规律： 公式的左侧是复角的正切即 tan(α±β)，右侧是分式，分子是
∵0<α<π2，π<β<32π， ∴π<α＋β<2π. ∴α＋β＝54π.
——易错警示—— 给值求角中的易错误区 则 2α【－例β＝5】__－__34已_π_知__.tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)， 【错解】 π4或54π
【正解】 由于 tanα＝tan[(α－β)＋β] ＝1t－antaαn－αβ－＋βt·atannββ＝1＋12－12×17 17＝13， 所以 α∈(0，π4)①， 又 tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝1－12＋12×13 13＝1， 而 β∈(π2，π)①，所以 2α－β∈(－π，0)②， 故 2α－β＝－34π.
若 tanα＋tanβ－tanαtanβ＋1＝0，α，β∈(π2，π)，则 α＋β＝74 π. 解析：tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ，
∵tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1， ∴tan(α＋β)＝t1a－nαttaannαβt－an1β＝－1. ∵α＋β∈(π，2π)， 又 tan(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝74π.

高中数学-3.2.3两角和与差的正切函数课件-北师大必修4

3
(4)原式=tan(22°+23°)=tan 45°=1.
答案：1
【要点探究】
知识点 正切的和、差角公式Tα±β 1.公式成立的条件
角α,β以及α±β均不能等于kπ+ (k∈Z)，且tanαtanβ
≠1(或tan αtan β≠-1).
2
2.结构特征 公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的 和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
【解析】(1)错误，因为tan(α±β)= tan tan . 1 tan tan
(2)错误，因为tan(α+β)= tan tan . (3)错误，tan(40°+50°)中410°+tan50°ta=n90°,不成立.
(4)错误,因为tan 90°不存在. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
3 3 x+4=0的两根，且 ＜＜， ＜＜，则α+β的值为 2 22 2
()
A. 3
C. 2 或 33
B. 2 3
D.无法确定
(2)(2014·上饶高一检测)已知tan(α-β)= 且α,β∈(0,π),
1 2
,tan
β=
1 7
,
①求tan α;
②求2α-β的值.
【解题探究】
1.一元二次方程ax2+bx+c=0中，根与系数有怎样的关系？
ta反n 映了复角化单角的思想1， 即tan要求tanα± β的正 tan
切函数值，只需知道tan α和tan β的值，代入求解便可.
(2)整体意识：公式Tα±β中有两个小团体“tan α±tan β ” 及“tan αtan β ”，求解时可利用整体思想代入求解.

北师大版数学必修四课件：第3章§2 2.3 两角和与差的正切函数


tan tan tan( ) 记：T + 1 tan tan
得到： tan( )
理解：
tan tan 1 tan tan
T( α + β )
1.两角和的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的和比1减两角正 切的积. 3.公式成立的条件是：
tan tan T : tan 1 tan tan
请同学们说出对公式的理解：
1.两角差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的差比1加两角 正切的积. 3.公式成立的条件是：
k

学会恰当赋值、逆用公式等技能.
复习
1、两角和、差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、两角和、差的正弦公式
C
C
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
k

2
且 k

2
且 k

2
k Z .
tan tan
tan
tan tan 1 tan tan
用 代替 得到
tan tan tan 1 tan tan
2.3 两角和与差的正切函数
1.知识目标：
（1）掌握两角和与差的正切公式的推导 ；
（2）掌握公式的正、逆向及变形运用 ； （3）正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式形式解决

高中数学北师大版必修4《两角和与差的正弦、余弦》ppt导学课件


问题4 C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β) 公式间的特点 两角和与差的余弦公式的特点:同名积、符号反、任意
角. 两角和与差的正弦公式的特
异名积
符号同
点: 任意角、
、
.
1 不查表,求 cos 75°的值为( B ).
A. 6+ 2
B. 6- 2
C. 3
D.1
4
4
2
2
【解析】cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-
������������
������
������ ������������
������
=sin������������cos������������-cos������������sin������������=sin(������������-������������)=sin������=������.
第2课时 两角和与差的 正弦、余弦
1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式. 2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、 两角和的正、余弦公式. 3.能够运用两角和的正、余弦公式进行简单的化简、求 值、证明.
问题1 cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°-cos 30°
������
������������
������
������������ ������������
3 已知 α、β 是锐角,且 sin α=4 3,cos(α+β)=-11,则
7
14
sin β=
.
【解析】∵α 是锐角,sin α =������ ������,
������
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想到tan(10° ＋50° )的展开形式，并变形可解决(1)；在第(2)题中 π 可将 3 替换为tan60° ，再解答；(3)注意到α＋ 4 ＝(α＋β)－(β－ π 4)，利用Tα－β即可解决．
[规范解答]
(1)∵tan(10° ＋50° )
tan10° ＋tan50° ＝ ＝ 3， 1－tan10° tan50° ∴tan10° ＋tan50° ＝ 3－ 3tan10° tan50° . ∴tan10° ＋tan50° ＋ 3tan10° tan50° ＝ 3. 3－tan15° tan60° －tan15° (2) ＝ tan15° 1＋ 3tan15° 1＋tan60° ＝tan(60° －15° )＝tan45° ＝1.
课堂典例讲练
公式的直接应用
3 1 已知sin(π＋θ)＝－ 5 ，tanφ＝ 2 ，θ为第二象限 角，求tan(θ－φ)的值． [思路分析] 首先利用诱导公式求出sinθ，然后利用sin2θ
＋cos2θ＝1，求出cosθ，进而求出tanθ，最后利用tan(θ－φ)＝ tanθ－tanφ 求解． 1＋tanθtanφ
1．tan(－165° )的值是( A．2＋ 3 C．－2＋ 3
) B．2－ 3 D．－2－ 3
[答案]
B
[解析] 原式＝tan(－180° ＋15° ) ＝tan15° ＝tan(45° －30° ) tan45° －tan30° ＝ ＝2－ 3. 1＋tan45° tan30°
π 3 π 2．已知α∈(2，π)，sinα＝5，则tan(α＋4)等于( 1 A．7 1 C．－7 [答案] A B．7 D．－7
高度即 PB ，显然 75°＝ 45°＋ 30°；如果能
找到tan75°与tan45°，tan30°的关系，PB便 容易求出！这就是本节所要研究的问题．
1．两角和的正切公式 tanα＋tanβ tan(α＋β)＝____________________ 1－tanαtanβ 2．两角差的正切公式 tanα－tanβ π tan(α－β)＝______________________( 其中α≠kπ＋ 2 (k∈ 1＋tanαtanβ π π Z)，β≠kπ＋2(k∈Z)，α± β≠kπ＋2(k∈Z))．
[规律总结]
该题属于给值求值题，解答此题的关键在于
先用Tα±β公式分析一下待求的问题需要什么，然后利用化归的 思想，把未知的向已知进行转化．解题过程中须多加注意角的
范围，必要时实行拆分角．
1 1 1 已知 α，β，γ 都是锐角，且 tanα＝2，tanβ＝5，tanγ＝8， 求 α＋β＋γ 的值．
[规范解答]
3 3 ∵sin(π＋θ)＝－sinθ＝－5，∴sinθ＝5，
又∵θ 是第二象限角， 4 ∴cosθ＝－ 1－sin θ＝－5，
2
sinθ 3 ∴tanθ＝cosθ＝－4， 1 又 tanφ＝2， 3 1 －4－2 tanθ－tanφ ∴tan(θ－φ)＝ ＝ ＝－2. 3 1 1＋tanθtanφ 1＋－4×2
)
π 3 [解析] ∵α∈(2，π)，sinα＝5， 4 3 ∴cosα＝－5，tanα＝－4. 3 1－4 π 1＋tanα 1 ∴tan(α＋4)＝ ＝ 3＝7. 1－tanα 1＋4
3．tan17° tan43° ＋tan17° tan30° ＋tan30° tan43° 的值为( A．－1 C． 3 B．1 D．－ 3
公式的逆用与变形应用
求值：(1)tan10° ＋tan50° ＋ 3tan10° tan50° ； 3－tan15° (2) ； 1＋ 3tan15° 2 π 1 π (3)已知tan(α＋β)＝5，tan(β－4)＝4，求tan(α＋4)． [思路分析] 注意到10° ＋50° ＝60° ，而tan60° ＝ 3 ，故联
[答案] 3
1 tanα＋β－tan α 7＋2 [解析] tan β＝tan(α＋β－α)＝ ＝ 2＝ 1＋tanα＋βtan α 1－7 3.
5 ．设tanα，tanβ 是方程 x2 －3x ＋2 ＝ 0 的两根，则 tan(α ＋ β) 的值为________．
[答案] －3
[解析] 因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以 tanα＋tanβ tanα＋tanβ＝3，tanα· tanβ＝2，而tan(α＋β)＝ ＝ 1－tanα· tanβ 3 ＝－3. 1－2
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
三角恒等变形
第三章
§2 两角和与差的三角函数
2.3
两角和与差的正切函数
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析2课堂典Fra bibliotek讲练4
课 时 作 业
课前自主预习
某电视塔建在一座高山上 (如图)，小明自
A点观测山顶C的仰角为45°，塔顶P点的仰角 为75°，AB＝500 米．需求电视塔顶距地面的
)
[答案]
B
[解析] 原式＝tan17° · tan43° ＋tan30° (tan17° ＋tan43° )＝ 3 tan17° tan43° ＋ 3 · tan60° (1－tan17° tan43° )＝tan17° tan43° ＋1－ tan17° tan43° ＝1.
1 4．(2015· 江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝7，则tan β 的值为________．
π π (3)tan(α＋4)＝tan[(α＋β)－(β－4)] π 2 1 tanα＋β－tanβ－4 5－4 3 ＝ π ＝ 2 1＝22. 1＋tanα＋βtanβ－4 1＋5×4 [规律总结] 对两角和与差的正切公式的正用、逆用、变
1 1 tanα＋tanβ 2＋5 7 [解析] 因为 tan(α＋β)＝ ＝ ＝9， 1 1 1－tanαtanβ 1－2×5 7 1 tanα＋β＋tanγ 9＋8 tan[(α＋β)＋γ]＝ ＝ 7 1＝1. 1－tanα＋βtanγ 1－9×8
由已知可推得 γ<β<α， 1 3 又因为 0<tanα<2< 3 ， π π 所以 0<γ<β<α<6，即 0<α＋β＋γ<2. π 故 α＋β＋γ＝4.