本四 空间向量的数乘及其几何意义
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2.2.向量加减法、数乘运算及其几何意义
向量加减法向量的加减法平面向量加减法加减法运算加减法互为逆运算加减法简便运算小数加减法简便运算向量运算空间向量与立体几何向量的运算
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
《空间向量的数乘运算》教案
《空间向量的数乘运算》教案第一章：引言1.1 课程背景通过前面的学习，我们已经了解了空间向量的基本概念和线性运算。
本章我们将进一步学习空间向量的数乘运算，这是空间向量的一种重要运算，它在几何和物理中有着广泛的应用。
1.2 教学目标通过本章的学习，使学生理解空间向量的数乘运算的定义和性质，掌握数乘运算的计算方法，并能够应用数乘运算解决实际问题。
第二章：空间向量的数乘运算2.1 数乘运算的定义定义：对于空间向量a和实数k，它们的数乘运算定义为新的空间向量ak，即ak = k a。
2.2 数乘运算的性质性质1：交换律，即对于任意实数k和空间向量a，有ak = ka。
性质2：结合律，即对于任意实数k1、k2和空间向量a，有(k1 k2) a = k1 (k2 a)。
性质3：分配律，即对于任意实数k1、k2和空间向量a、b，有(k1 + k2) a = k1 a + k2 a。
2.3 数乘运算的计算方法计算方法：对于空间向量a = (a1, a2, a3)和实数k，数乘运算ak = k a的结果为新的空间向量ak = (ka1, ka2, ka3)。
第三章：数乘运算的应用3.1 数乘运算在几何中的应用例题：已知空间向量a = (1, 2, 3)和实数k，求向量ak的长度。
解：由数乘运算的定义，得到ak = k a = (k, 2k, 3k)。
由向量长度的计算公式，得到|ak| = √(k^2 + (2k)^2 + (3k)^2) = √(14k^2)。
3.2 数乘运算在物理中的应用例题：已知空间向量a = (1, 2, 3)表示一个物体的位移，求该物体位移的2倍。
解：由数乘运算的定义，得到2a = 2 a = (2, 4, 6)。
即该物体位移的2倍为向量(2, 4, 6)。
本章总结：通过本章的学习，我们掌握了空间向量的数乘运算的定义、性质和计算方法，并了解了数乘运算在几何和物理中的应用。
第四章：空间向量数乘运算的图形直观4.1 数乘运算的图形表示通过几何图形的直观展示，让学生理解数乘运算对向量大小和方向的影响。
向量相乘几何意义
向量相乘几何意义1. 向量的乘法的几何意义：向量的乘法，即叉乘，就是两个向量的矢量积，也叫向量积、叉乘。
它表示在三维空间中两个向量的交叉影响。
叉乘的计算结果是一个新的向量，它与原来两个向量不共线（垂直），新向量指向与两个向量夹角关系最小的方向，新向量的模大小取决于原来向量的模和夹角。
2. 投影乘法几何意义：向量投影乘法是为了了解两个向量之间的相似性，它是把一个向量投影到另一个向量上，然后求出两个向量的内积，它描述的是两个向量的大小和方向的关系。
三维空间中的向量投影，得出的结果是一个垂直于另一向量的向量，可以表示为一个实值，表示投影后的向量的模长。
3. 向量的点乘几何意义：向量的点乘就是两个向量的点积，也叫内积。
它表示对两个向量之间的角度。
如果两个向量夹角为90°，说明他们是正交，点乘结果为0。
另外，点乘结果大于0，说明他们夹角小于90°；点乘结果小于0，则说明他们夹角大于90°。
4. 向量的乘法的应用：（1）在几何中，向量的乘法可以用来求出三角形的重心。
（2）在物理学中，向量的乘法可以用来求出力矩，从而了解力和位移之间的关系。
（3）在几何中，向量投影乘法可以用来求出过某点的投影线和一条向量的投影。
（4）在几何中，可以用点乘乘法求出两个向量之间的夹角，求出相交后三角形的重心，也可以用来求出向量的长度。
（5）在数学中，向量的乘法可以用来求解线性方程组的解。
（6）在统计学中，可以通过向量的乘法和投影乘法来求出最小二乘回归。
（7）在仿真中，可以通过向量的乘法来求出任意天体运行的轨迹。
向量的数乘几何意义
向量的数乘几何意义
向量的数乘是指将向量乘以一个实数。
数乘的结果是一个新的向量，它的方向和原向量相同或相反，而长度则是原向量长度的绝对值与实数的乘积。
数乘的几何意义是可以使向量的长度增长或缩短，同时也可以改变向量的方向。
当实数为正时，数乘可以将向量拉长；当实数为负时，数乘可以将向量缩短甚至翻转方向。
在空间中，向量的数乘可以用来描述缩放、伸展、旋转等变换。
例如，在三维空间中，将一个向量乘以一个实数，可以实现对该向量的缩放。
如果实数为负数，则会将向量翻转成相反的方向。
总之，向量的数乘是一个基本的向量运算，它在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
熟练掌握向量的数乘，能够更好地理解向量的本质，为实际问题的求解提供更多的工具和方法。
- 1 -。
向量数乘运算及几何意义
向量数乘在几何上表示对向量进行缩放和旋转。 当标量为正时，向量的长度和方向都会按照标量 的大小进行放大；当标量为负时，向量的长度和 方向都会按照标量的大小进行缩小。
总结向量数乘的应用
向量数乘在物理学、工程学、计算机图形学等领 域有着广泛的应用，例如在物理中描述速度和加 速度的变化，在工程中实现机器人的运动控制等 。
向量数乘运算及几何 意义
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
01
引言
01
引言
主题简介
向量数乘运算
机器人学
在机器人学中，向量数乘运算用于描述机器人的运动轨迹 和姿态。例如，通过标量积运算可以计算机器人的关节角 度和速度。
图形处理
在计算机图形学中，向量数乘运算用于描述图像的变换和 旋转。例如，通过将像素坐标向量进行数乘运算，可以实 现图像的缩放、旋转和平移等操作。
在工程中的应用
控制系统分析
在工程控制系统中，向量数乘运算用于分析系统的动态特 性。例如，通过标量积运算可以计算系统的传递函数和稳 定性。
其中u、v是向量。
零向量与任意向量数乘结果 仍为零向量，即0 * v = 0。
标量乘法的单位元是1，即1 * v = v。
03
向量数乘运算的几 何意义
03
向量数乘运算的几 何意义
向量数乘的几何表示
标量与向量的点乘
标量与向量点乘的结果是一个标量，表示向量在标量作用下的伸缩倍数。
标量与向量的叉乘
总结向量数乘的应用
向量数乘在物理学、工程学、计算机图形学等领 域有着广泛的应用，例如在物理中描述速度和加 速度的变化，在工程中实现机器人的运动控制等 。
向量数乘运算及几何 意义
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
01
引言
01
引言
主题简介
向量数乘运算
机器人学
在机器人学中，向量数乘运算用于描述机器人的运动轨迹 和姿态。例如，通过标量积运算可以计算机器人的关节角 度和速度。
图形处理
在计算机图形学中，向量数乘运算用于描述图像的变换和 旋转。例如，通过将像素坐标向量进行数乘运算，可以实 现图像的缩放、旋转和平移等操作。
在工程中的应用
控制系统分析
在工程控制系统中，向量数乘运算用于分析系统的动态特 性。例如，通过标量积运算可以计算系统的传递函数和稳 定性。
其中u、v是向量。
零向量与任意向量数乘结果 仍为零向量，即0 * v = 0。
标量乘法的单位元是1，即1 * v = v。
03
向量数乘运算的几 何意义
03
向量数乘运算的几 何意义
向量数乘的几何表示
标量与向量的点乘
标量与向量点乘的结果是一个标量，表示向量在标量作用下的伸缩倍数。
标量与向量的叉乘
空间向量的数乘运算
a // b (b 0)
a // b (b 0)
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
a
A
a
B
P
由 l // a 知存在唯一的t, 满足 AP t a
对空间任意一点O,
C b A a B
p
P
对空间任一点O,有OP OA x AB y AC
p
③
C b A a B
O
P
填空：OP (_____) y OC 1-x-y OA (____) x OB (____)
③ 式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面 由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.
那么什么情况下三个向量共面呢？
a e2 e1
e2 由平面向量基本定理知，如果 e1，
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 1 ， 只有一对实数 2 使 a 1e1 2e2
如果空间向量 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p x yb
• [解析] 如图，
1→ → → → → → (1)∵OQ＝PQ－PO＝PQ－2(PA＋PC) 1→ 1 → ＝PQ－ PA－ PC， 2 2 1 ∴x＝y＝－2. → ＋PC → ＝2PO → ，∴PA → ＝2PO → －PC →. (2)∵PA → ＋PD → ＝2PQ → ，∴PC → ＝2PQ → －PD →. 又∵PC → ＝2PO → －(2PQ → －PD → )＝2PO → －2PQ → ＋PD →. 从而有PA ∴x＝2，y＝－2.
“向量数乘运算及其几何意义”的教学设计
“向量数乘运算及其几何意义”的教学设计一、教材分析1．教学内容：《高中数学必修4》中第二章“向量数乘运算及其几何意义”这一节，在新课标中主要内容有三方面：①向量数乘运算及其几何意义的含义；②数乘运算的运算律；③平面向量共线定理。
2．地位与作用：向量数乘运算是学习向量其他运算以及空间向量的基础，也是解决平面解几、立几、三角、复数的重要工具。
因此，本节课的教学活动将对后续课程起着桥梁作用。
教材通过复习引入新课，并通过三个探究活动，完成本节课的教学活动。
二、三维目标根据新课标要求并结合学生具体实际，设计以下三维目标：1．知识与技能⑴掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行简单的计算。
⑵理解向量共线定理及其推导过程，会应用向量共线定理判断或证明两个向量共线、三点共线及两直线平行等简单问题。
2．过程与方法通过对两个向量共线充要条件的探究与推导，让学生对平面向量共线定理有更深刻的理解。
为了帮助学生消化和巩固相应的知识，本节课设置了三个例题及其变式引申；指导学生探究发现，并得出结论，培养学生自主探究能力和创新思维能力。
3．情感、态度与价值观通过向量数乘运算的学习和探究，有助于激发学生学习兴趣和积极性，还有助于培养类比、分析、归纳、抽象思维能力以及逻辑推理能力。
三、重点、难点与疑点1．重点：向量数乘运算的几何意义、运算律，向量共线定理；〖解决办法〗为了突出重点，让学生在创设问题链的驱动下合作探究，得出结论，发展学生的认知结构。
2．难点与疑点：向量共线定理的探究过程及其应用。
〖解决办法〗为了突破难点与疑点，按照学生的认知规律、由浅入深地变式讨论，达到全面理解。
四、学情分析与对策学生已明确向量是有大小和方向的量，且已学过向量的加、减法，对于这种有方向的量能否与实数进行乘法运算有些疑问，且“相乘后方向如何判断呢？”：这也就是本节课知识产生的背景。
通过熟知的实数乘法作类比，探究向量数乘的含义，让学生在此过程中，体验数学知识的产生、发展、成熟和应用的过程。
空间向量的数乘运算
→ → → 证明】 【证明】 设AB ＝ a，AD＝ b，AA1 ＝ c. ， ， → 2 → 2→ 2 → ∵A1 E＝ 2ED1 ＝ A1 D1 ＝ AD＝ b， ， 3 3 3 → 2→ 2 → 2 → → A1 F＝ FC ＝ A1 C＝ (AC －AA1 ) 3 5 5 2 2 2 2 → → → ＝ (AB ＋AD－AA1 )＝ a＋ b－ c. ＝ ＋ － 5 5 5 5 → → → ∴EF ＝A1 F－A1 E 2 4 2 2 2 ＝ a－ b－ c＝ (a－ b－ c)． － － ＝ － － ． 5 15 5 5 3 2 2 → → → → 又EB ＝EA1 ＋A1 A＋AB ＝－ b－ c＋ a＝ a－ b－ c， － ＋ ＝ － － ， 3 3 → 2→ 所以 ， ， 三点共线． ∴EF ＝ EB .所以 E， F， B 三点共线． 5
→ → 的中点．证明： 向量A 别为 BB1 和 A1 D1 的中点．证明： 向量 1 B、B1 C、 → EF 是共面向量． 是共面向量．
【思路点拨】 思路点拨】 利用向量共面的充要条件 或向量共面的定义来证明． 或向量共面的定义来证明．
【证明】 证明】 → → → → 法一： 法一：EF ＝EB ＋BA1 ＋A1 F 1→ 1 → → ＝ B1 B－A1 B＋ A1 D1 2 2 1 → → → BC)－ ＝ (B1 B＋BC )－A1 B 2 1→ → ＝ B1 C－A1 B. 2 → → → 由向量共面的充要条件知， 由向量共面的充要条件知，A1 B、B1 C、EF 是共面向 量．
例如: 例如:
r 3a
r a r −3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 显然 空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
r r r r 即：λ(a +b) = λa + λb r r r a （λ + µ）= λa + µa r r λ(µa) = (λµ)a
空间向量的加减和数乘运算
分配律
$k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) = koverset{longrightarrow}{a} + koverset{longrightarrow}{b}$。
单调性
当$k > 0$时，数乘会使向量增大；当$k < 0$时，数乘会使向量缩小。
在线性代数中，向量组的线性组合可以通过数乘运算来实现，从而研究向量组之间的关系。
向量组的线性组合
向量空间是由向量构成的集合，通过向量的加减和数乘运算可以研究向量空间的结构和性质。
向量空间
04
空间向量加减和数乘运算的注意事项
01
02
零向量的特殊性
零向量与任意向量数乘，结果仍然是零向量。
零向量与任意向量相加或相减，结果仍然是该任意向量。
解析
根据空间向量加法和减法的定义，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b})$的坐标等于两个向量的对应坐标相加和相减。即，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b}) = ( - 1 + 3,5 + ( - 1),2 + 4) = (2,4,6)$。
计算方法
根据定义，数乘的计算方法为将向量的每个分量分别乘以该实数。
空间向量的数量积几何意义与应用
空间向量的数量积几何意义与应用在空间解析几何中，向量是表示空间中一个点到另一个点的箭头，具有方向和大小。
而空间向量的数量积，也被称为点乘、内积或标量积，是向量运算中的一种重要运算。
本文将介绍空间向量的数量积的几何意义以及其在实际应用中的重要性。
一、空间向量的数量积的几何意义空间向量的数量积的几何意义在于它能够表示两个向量之间的夹角以及向量的正交性。
1. 夹角：根据向量的数量积定义，对于两个非零向量a和a，它们的数量积的绝对值等于两个向量之间夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积，即|a ·a| = a ·a = |a| |a| cos a。
由此可见，向量的数量积能够通过计算余弦值来求得两个向量之间的夹角，并且还能确定夹角的正负。
2. 正交性：除了表示夹角，空间向量的数量积还能够判断两个向量是否正交（垂直）。
根据定义，若两个向量a和a的数量积为0，即a ·a = 0，则可知它们垂直于彼此。
这是因为，若两个向量的夹角为90度（余弦为0），则它们互相垂直。
二、空间向量的数量积的应用空间向量的数量积在几何计算、物理和工程等领域有广泛的应用，以下是一些常见的应用：1. 向量投影：向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上，以求得一个向量在另一个向量方向上的分量大小。
利用向量的数量积可以快速计算出向量的投影大小，进而应用于物理学、工程学等领域的问题求解。
2. 平面与直线的关系：利用向量的数量积，可以判断一个向量是否位于一个平面或是与直线垂直。
通过计算向量与平面法线的数量积或是向量与直线方向向量的数量积来判断它们的关系，进而可以应用于空间几何中平面与直线的相交、平行性等问题的判定。
3. 力的分解：在物理学中，力能够分解为平行和垂直于特定方向的两个分量。
利用向量的数量积，可以将一个力分解为在特定方向上的分量，进而进行力的分析和计算。
4. 向量方程的推导：向量的数量积也可以用于求解向量方程。
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(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(a b) c a (b c)
数乘分配律
k (a b) k a＋k b
作业
空间四边形ABCD中， AB a ， BC＝b ， AD c ， 试用a , b, c来表示CD， AC, BD.
空间向量的加减法
(k>0)
空间向量的数乘
(k<0)
⒊空间向量加法与数乘向量运算律
加法交换律 加法结合律 数乘分配律
ab ba
成立吗？
k (a b) k a＋k b
加法结合律： (a b) c
O
a (b c)
O
a
C
A
a b
A
+
c
C
b
B
c
b
B
c
对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明
b a
向量加法的平行四边形法则
终要 点让 相向 b 接量 指两 向相 a 前减 向量减法的三角形法则 ，
a
ka ka
(k>0) (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律：
ab ba (a b) c a (b c) k (a b) k a＋k b
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量.
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
列向量表达式，并标出化简结果的向量：
C’ B’ M C
AM
D A B
例1已知平行六面体ABCD A' B' C ' D'，化简下
1 ⑷ ( AB AD AA' )． 3 解：⑷设G是线段AC’靠近点A的
三等分点，则
1 ( AB AD AA' ) 3
A’
列向量表达式，并标出化简结果的向量：
平行六面体 的六个面都是平 行四边形，每个 面的边叫做平行 六面体的棱．
A
B
a
D A B C
例1已知平行六面体ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴ AB BC ； ⑵ AB AD AA'；
D’
A’ B’
C’
解：⑴ AB BC AC
A
A1
D B
C
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
(2) 2 AD1 BD1
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立． ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向 量相加．
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
D G
B
M
C
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC ) 2
D G
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝BM MG ( AB AC ) 2 ＝BM MG MB MG
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
b
O
a
A
a
思考：它们确定的平面是否唯一？ 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
1 (3) AB AD CC '; 2
1 ⑷ ( AB AD AA' )． 3
A
D B
C
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到 A BC D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记 D 作 ABCD ABC D ． C
AD1 AD1 BD1 AD1 ( BC1 BD1 ) AD1 D1C1 AC1
A1 D1 B1 C1
x 1.
A
D B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(3) AC AB1 AD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1
(1) AC x( AB BC CC )
' ' '
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(2) AE AA ' x AB y AD
A
D
B
C
小结
类比思想
数形结合思想
曲剑老师
一、平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB表示． 相等的向量：长度相等且方向相同的向量． B D
A
C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
首尾相接首到尾
相同起点对角线
b
a
向量加法的三角形法则
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量.
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
例1.已知平行六面体ABCD A' B' C ' D'，化简下
列向量表达式，并标出化简结果的向量： C D ⑴ AB BC ； A B ⑵ AB AD AA'；
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律
空间向量
具有大小和方向的量
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律
A
D
C
B
B
B
O
b a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可 用同一平面内的两条有向线段表示. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们.
⒉空间向量的加法、减法与数乘向量
C
a
+
b
B
b
O
b
A
b
OB OA AB
a
ka
ka
CA OA OC
D1 B1
C1
D B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解:(1) AB1 A1 D1 C1C
D1 B1
C1
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
D’
C’ B’ M
1 AC ' 3 AG．
D A
G
C B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A A1
B
M
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(1) AC x( AB BC CC )
' ' '
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
二、空间向量及其加减与数乘运算
⒈空间向量： ⑴定义： 空间中具有大小和方向的量叫做向量． ⑵表示方法： ①空间向量的表示方法和平面向量一样； ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示．
例：空间一个平移就是一个向量． a a
D A C
⑵ AB AD AA'
AC AA'
AC CC ' AC '
A
D
B
C
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例1已知平行六面体ABCD A' B' C ' D'，化简下
1 ⑶ AB AD CC' 2 解：⑶设M是线段CC’的中点，则 D’ 1 AB AD CC' 2 A’ AC CM
( AD AB) ( AA1 AB) ( AA1 AD) 2( AD AB AA1 )