2019_2020学年高中数学第2章函数1生活中的变量关系2对函数的进一步认识2.1函数概念学案北师大版必修1

2.3 映射学习目标核心素养1.了解映射、一一映射的概念．(重点)2．初步了解映射与函数间的联系与区别．(易混点)3．感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用．(重点)1.通过学习映射的概念，培养数学抽象素养．2．通过学习有关映射的概念提升逻辑推理素养.阅读教材P32的有关内容，完成下列问题．1．映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.2．像与原像的概念在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.思考1：映射f：A→B的原像集一定是A，像集一定是B吗？[提示]原像集一定是A，像集不一定是B.当B中存在元素没有原像时，像集不是B.3．一一映射的概念阅读教材P33的有关内容，完成下列问题．一一映射是一种特殊的映射，它满足：(1)A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；(2)A中的不同元素的像也不同；(3)B中的每一个元素都有原像．思考2：对于一一映射f：A→B，若A中有n个元素，则B中一定也有n个元素吗？[提示]B中一定有n个元素．4．函数与映射的关系阅读教材P33的有关内容，完成下列问题．设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．即函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．思考3：f：学生→该学生的学籍号，是映射，但它是函数吗？[提示]不是函数，因为集合{学生}不是数集．1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{a，b，c}，则从集合A到B的一一映射的个数为( )A ．4B ．6C ．9D ．12B [共6个．]2．设A ＝Z ，B ＝{0,1}，从A 到B 的映射是“求被2除的余数”，则A 中元素－3的像是________．1 [因为－3＝(－2)×2＋1，所以，－3的像是1.] 3．下列集合A 到集合B 的映射f 不是函数的有________． ①A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方； ②A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方； ③A ＝N ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数．②③ [①当x ∈A 时，y ＝x 2∈B ，是函数，②当x ＝1，y ＝±1，不是函数，③当x ＝0时，像不存在．]4．设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________. 5 [由f (2)＝3，得2a －1＝3，解得a ＝2，所以f (3)＝2×3－1＝5.]映射、一一映射的判断【例1】 A 到集合B 的映射，是否是一一映射，并说明理由．(1)f ：x →y ＝13x ；(2)f ：x →y ＝(x －2)2； (3)f ：x →y ＝14(x －1)2.[思路探究] 根据映射、一一映射的定义判断．[解] (1)因为0≤x ≤3，所以0≤13x ≤1，所以对集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的像，所以对应f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射．对于集合B 中的每一个元素y ，由x ＝3y 及0≤y ≤1，有0≤3y ≤3,0≤x ≤3.即集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原像，且这样的原像只有一个，所以对应f ：A →B 是一一映射；(2)因为0≤x ≤3，所以－2≤x －2≤1，所以0≤(x －2)2≤4，所以集合A 中的某些元素，如x ＝0，在集合B 中没有像，因此对应f ：A →B 不是映射，更不是一一映射；(3)因为0≤x ≤3，所以－1≤x －1≤2,0≤14(x －1)2≤1，所以集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的像，所以对应f ：A →B 是映射．对于集合A 中的元素x ＝0和x ＝2，都对应于集合B 中的同一个元素14，所以不是一一映射．1．映射应满足存在性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素；唯一性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应．2．一一映射，在对应是映射的基础上，若B 中没有剩余元素，且对应关系是“一对一”，则为一一映射．1．下列集合A 到集合B 的对应中是一一映射的为________．(填序号) ①A ＝N ，B ＝Z ，f ：x →y ＝－x ； ②A ＝R ＋，B ＝R ＋，f ：x →y ＝1x；③A ＝{－4，－1,1,4}，B ＝{－2，－1,1,2}，f ：x →y ＝±|x |；④A ＝{平面内边长不同的等边三角形}，B ＝{平面内半径不同的圆}，f ：作等边三角形的内切圆．②④ [①是映射，不是一一映射，因为集合B 中有些元素(正整数)没有原像．②是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数且仍是正实数，任何一个正实数都存在倒数．③不是映射，因为集合A 中的元素(如4)对应集合B 中的两个元素(2和－2)．④是一一映射．]求像与原像【例2】 设f f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )(1)求A 中元素(－1,2)的像； (2)求B 中元素(－1,2)的原像．[思路探究] 从f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )入手，其中(x ，y )是原像，(x －y ，x ＋y )是像．[解] (1)当x ＝－1，y ＝2时，x －y ＝－1－2＝－3，x ＋y ＝－1＋2＝1. 所以(－1,2)的像是(－3,1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.所以(－1,2)的原像是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.1．(变条件)设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是f ：x →2x －1，从B 到C 的映射是g ：y →12y ＋1，则经过两次映射，A 中元素1在C 中的像为________．13 [f ：1→2×1－1＝1，g ：1→12×1＋1＝13.] 2．(变结论)已知f ：x →y ＝|x |＋1是从集合R 到R 的一个映射，若b 不是该映射的像，则b 的取值范围是________．(－∞，1) [∵y ＝|x |＋1≥1，∴该映射的像集是[1，＋∞)．∴b 的取值范围是(－∞，1)．]在求像和原像时要分清原像和像，特别注意原像到像的对应关系.对A 中元素求像，只需将原像代入对应关系即可.对B 中元素求原像，可先设出它的原像，然后利用对应关系列出方程组求解.求映射个数[探究问题]1．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{1,2,3}，试建立一个从A 到B 像集为{1,2}的映射．提示：或2．对于探究1中的集合A ，B ，可以建立多少个从A 到B 的映射？提示：像集分别为{1}，{2}，{3}的映射各1个；像集分别为{1,2}，{1,3}，{2,3}的映射各2个，所以，从A到B可以建立9个映射．3．对于探究1中的集合A，B，可以建立多少个从B到A的映射？提示：像集分别为{a}，{b}的映射各1个，像集为{a，b}的映射有6个，如下：所以，从B到A可以建立8个映射．【例3】已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2,3}，映射f：A→B，则满足f(a)≤f(b)的映射有多少个？[思路探究]建立映射就是给原像找像，一种找法对应一个映射，为了避免重与漏，可以按f(a)的可能取值分类寻找．[解]因为f(a)≤f(b)，所以，当f(a)＝1时，f(b)＝1,2,3；当f(a)＝2时，f(b)＝2,3；当f(a)＝3时，f(b)＝3.所以，满足条件的映射共6个．1．确定映射，就是给每个原像找像，每种找法对应一个映射．2．对于求满足某些特定要求的映射个数时，可将映射具体化、形象化(如列表、画图等)．2．设A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，若从A到B的映射满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．[解]列表如下：f(b)f(c)－10 1f(a)－1－100 －1 0 1 11由上表可知，所求的映射有7个．1．映射的特征(1)任意性：A 中任意元素x 在B 中都有元素y 与之对应． (2)唯一性：A 中任意元素x 在B 中都有唯一元素y 与之对应． (3)方向性：f ：A →B 与f ：B →A 一般是不同的映射． 2．一一映射和映射的区别与联系映射f ：A →B 一一映射f ：A →B对应方式 “多对一”或 “一对一”一对一原像 B 中的一些元素可能没有原像 B 中的任何元素都有唯一的原像 像 A 中的几个元素可能对应同一个像A 中的任何元素都对应不同的像方向性B 到A 不一定是映射B 到A 是一一映射1．思考辨析(1)对于映射f ：A →B ，集合B 中的每一个元素都有原像．( ) (2)若A ＝Z ，B ＝Q ，则f ：x →y ＝3x是由集合A 到集合B 的映射．( )(3)f ：x →y ＝x ＋1是由自然数集到自然数集的一一映射．( ) [解析] (1)×；(2)×， 0∈A ，但没有像；(3)×，0∈N ，但没有原像． [答案] (1)× (2)× (3)×2．若映射f ：x →y ＝12x －1，则1的像是________．－12 [当x ＝1时，y ＝12×1－1＝－12.] 3．若映射f ：x →y ＝x 2－3x －2，则2的原像是________． －1或4 [当x 2－3x －2＝2时，x ＝－1或4. 所以，2的原像为－1或4.]4．判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？ (1)A ＝{平面内的圆}，B ＝{平面内的矩形}，对应关系f ：“作圆的内接矩形”； (2)A ＝B ＝Z ，对应关系f ：x →y ＝x ＋1； (3)A ＝B ＝N ，对应关系f ：x →y ＝(x －2)2.[解](1)不是映射，(2)与(3)是映射，也是函数，其中(2)是一一映射．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2023函数生活中的变量关系对函数的进一步认识函数的表示法课件ppt•引言•函数的定义和表示法•生活中的变量关系目录•函数的性质和特点•函数的应用•总结与展望01引言函数的概念和意义函数是一种关系：函数是一种对应关系，它表达了在输入值（或参数）确定的情况下，输出值（或结果）也随之确定的关系。

函数的定义域和值域：定义域是输入值的集合，值域是输出值的集合。

函数的意义及应用函数的分类和表示法•函数的分类•基本初等函数：如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等•应用函数：如计算机函数、数学函数、经济函数等•函数的表示法•解析法：用等式表示函数关系，如 y = x^2•图象法：用图象表示函数关系，如线性函数图象是一条直线•表格法：用表格表示函数关系，如食品价格表函数的应用场景分析变量之间的因果关系预测趋势和规律描述变量之间的关系控制过程和结果02函数的定义和表示法函数是一种对应关系，它表达了在输入值（或参数）确定的情况下，输出值（或结果）也随之确定的关系。

函数是一种关系在函数中，变量是用来表示输入值或输出值的符号，而自变量则是用来表示输入值的变量。

变量和自变量函数的定义和概念通过代数式或解析式来表示函数关系。

解析法通过表格的形式来表示函数关系，即将自变量和因变量的对应值列成表格。

表格法通过图象来表示函数关系，即将自变量和因变量的对应值用曲线或直线表示在直角坐标系中。

图象法函数的表示法常用函数的表示方法一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）三角函数如正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx等。

二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）03生活中的变量关系变量关系的概念和意义变量关系的定义变量关系是指两个或多个变量之间相互依赖、相互影响的关系。

变量关系的意义变量关系在生活和实际情境中有着广泛的应用，如消费和收入、时间和路程等，通过研究变量关系可以更好地理解和描述现实生活中的规律和现象。

2.2 函数的表示法1．函数的表示法阅读教材P 28～P 29“例2”以上内容，完成下列问题． 函数的三种表示方法思考1[提示] 三种表示方法的优、缺点比较：[提示] 并不是所有的函数都可以用解析式表示，例如人的心跳强度与时间的函数关系．图像法也不适用于所有函数，例如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q ，对于函数值有无限个的情况，无法用列表法表示．2．分段函数阅读教材P 29“例2”～P 31，完成下列问题．在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数．思考3：如何求分段函数的值域？[提示] 先求出每一段中函数值的取值范围，再求其并集．1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)＝( )A.1 B ．2 C [因为3∈(2,4]，所以f (3)＝3.]2．函数f (x )的图像如图所示，则f (x )的定义域是______，值域是______．[－1,2) (－1,1] [观察图像，得f (x )的定义域为：[－1，2)．值域为：(－1,1]．] 3．已知f (x )是一次函数，且其图像过点A (－2,0)，B (1,5)，则f (x )的解析式为________．f (x )＝53x ＋103[设f (x )＝kx ＋b ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，k ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝53，b ＝103，所以，f (x )＝53x ＋103.]4．函数f (x )，g (x )分别由下表给出3 [因为g (2)＝2，f (2)＝3，所以f (g (2))＝3.]【例1】 (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． [解] (1)列表：当x(2)列表：的一部分，观察图像可知其值域为(0,1]．当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝x(3)列表：由图可得函数的值域是[－1,8]．1．作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图像．2．函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图像与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．1．作出下列函数的图像．(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．[解](1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图像如图①.(2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(x >1，或x <－1)是抛物线y ＝x 2－2x 去掉－1≤x ≤1之间的部分后剩余的曲线．如图②.【例2】 (1)若f (x ＋1)＝x 2＋x ，则f (x )＝________.(2)若f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.(3)已知函数y ＝f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x (x ∈R 且x ≠0)，则f (x )＝________.(1)x 2－x (2)2x －13或－2x ＋1(3)43x －23x [(1)因为x ∈R ， 所以令t ＝x ＋1∈R ，则x ＝t －1， 代入f (x ＋1)＝x 2＋x ，得f (t )＝(t －1)2＋(t －1)＝t 2－t ，t ∈R ， 即f (x )＝x 2－x .(2)由f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(3)由2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2x ， ①将x 换成1x，则1x换成x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋f (x )＝2x，②①×2－②，得3f (x )＝4x －2x，所以f (x )＝43x －23x.]求函数解析式的常用方法待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程组，通过解方程组求出待定系数，进而求出函数解析式.换元法有时可用“配凑法：已知函数f [g x的解析式求fx 的解析式，可用换元法或“配凑法，即令gx ＝t ，反解出x ，然后代入f [g x中求出f t ，从而求出f x消元法或解方程组法：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法或解方程组法2．(1)设函数g (x )＝2x －1，则g (x ＋2)＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x ＋3D ．2x －3(2)设f (x )＝2x －3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x ＋3 C ．2x －7D ．2x －3(1)C (2)C [(1)因为g (x )＝2x －1，所以g (x ＋2)＝2(x ＋2)－1＝2x ＋3. (2)g (x ＋2)＝f (x )＝2x －3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2. 所以g (t )＝2(t －2)－3＝2t －7，即g (x )＝2x －7.][探究问题]1．已知函数f (x )＝3|x －1|－2. (1)把函数f (x )写成分段的形式； (2)画出函数f (x )的图像；(3)观察f (x )的图像，它是轴对称图形吗？若是，它的对称轴是什么？ (4)如何由函数g (x )＝3|x |的图像得到f (x )＝3|x －1|－2的图像？ 提示：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －5，x ≥1，－3x ＋1，x <1.(2)分段画函数图像：(3)f (x )的图像是轴对称图形，其对称轴为直线x ＝1.(4)把函数y ＝3|x |的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到函数y ＝3|x －1|－2的图像．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(2)若f (x 0)＝4，求实数x 0的值．提示：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.(2)由f (x 0)＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤0，－x 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>0，x 20＝4，解得x 0＝－4或2.3．对于探究2中的函数，探究以下问题． (1)若f (x )≤14，求x 的取值范围；(2)求函数f (x )的值域． 提示：(1)由f (x )≤14，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2≤14，解得－14≤x ≤0，或0<x ≤12，所以，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.(2)当x ≤0时，f (x )≥0；当x >0时，f (x )>0，所以，f (x )的值域为[0，＋∞)∪(0，＋∞)＝[0，＋∞)．【例3】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f {f [f (5)]}的值； (2)画出该函数的图像；(3)根据所画图像，写出函数的定义域，值域．[思路探究] (1)从里向外依次求值，每一次求值时，应先判断自变量的取值属于哪一段，再利用该段的解析式求值；(2)分段画函数图像；(3)观察函数图像写出定义域，值域．[解] (1)f {f [f (5)]}＝f [f (－3)]＝f (1)＝－1. (2)(3)定义域为(－∞，0]∪(0,4]∪(4，＋∞)＝R ，值域为(－∞，4]∪[－1,8]∪(－∞，－2)＝R .1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． 2．多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．3．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．4．研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，再将它们连在一起得到整个函数的图像．3．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <2，f x －，x ≥2，则f (2)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．(1)A [f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.] (2)解：当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2， 由f (x )>2，得x ＋2>2， 解得x >0，故x >0；当x <－2时，f (x )＝－x －2， 由f (x )>2，得－x －2>2， 解得x <－4，故x <－4. 综上可得：x >0或x <－4.1．函数三种表示法的优缺点2．理解分段函数应注意的问题(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等.1．思考辨析(1)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(2)y ＝x 2x是分段函数．( )(3)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0的值域是[0，＋∞)．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．已知f (x 2－1)＝x 4－x 2＋1，则f (x )＝________.x 2＋x ＋1(x ≥－1) [因为f (x 2－1)＝x 4－x 2＋1＝(x 2－1)2＋(x 2－1)＋1，所以f (x )＝x 2＋x ＋1(x ≥－1)．]3．如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f的值等于________．2 [由函数f (x )图像，知f (1)＝2，f (3)＝1， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f＝f (1)＝2.] 4．已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|. (1)作出函数的图像； (2)写出函数的值域；(3)判断方程|x －1|＋|x ＋2|＝4有多少个实数解？[解] (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x ＝1，第二个绝对值的分段点x ＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)．所以已知函数可写成分段函数形式： y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －x ≤－，－2＜x，2x ＋x ＞在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图像，如图所示，即为所求函数的图像．(2)根据函数的图像可知：值域为[3，＋∞)．(3)由于直线y＝4与函数y＝|x－1|＋|x＋2|的图像有2个交点，所以，方程|x－1|＋|x＋2|＝4有2个实数解．。

2.1 函数概念1．了解生活中的变量关系．2．理解函数的概念．3．会求出简单函数的定义域、值域．1．生活中的变量关系(1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有________的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．(2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系是依赖关系．例如，积雪层对越冬作物具有防冻保暖作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．【做一做1－1】张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则( )．A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数 D．x是y的函数【做一做1－2】某人骑车的速度是v千米/时，他骑t小时，走的路程s是多少？路程是时间的函数吗？2．函数的概念给定两个非空____________A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中________数x，在集合B中都存在____________确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝______________，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合__________叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．(1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f 与x的乘积；符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是一样的；当m是常数时，f(m)表示自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．有时给出的函数没有明确说明定义域，这时，它的定义域就是自变量的允许取值范围，此时的定义域又称为此函数的“自然定义域”；如果函数涉及实际问题，它的定义域还需使实际问题有意义，此时的定义域又称为此函数的“临时定义域”．【做一做2】下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )．A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6 D．x＝y3．区间与无穷的概念(1)区间这里实数a，b都叫作相应区间的________________．并不是所有的数集都能用区间表示．例如：数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．无穷大“∞”是一个符号，不是一个具体的数．因此不能将[1，＋∞)写成[1，＋∞]．【做一做3】将下列集合用区间表示出来，并在数轴上表示区间．(1){x|x≥1}；(2){x|x＜1或x≥2}；(3){x|2≤x≤8且x≠5}．答案：1．(1)唯一确定【做一做1－1】 A【做一做1－2】解：t小时走的路程是s＝vt.由于时间t每取一个值，路程s有唯一确定的值与之对应，所以路程是时间的函数．2．数集任何一个唯一f(x) {f(x)|x∈A}【做一做2】 A A选项中，给定一个x(比如x＝5)，有两个y(y＝±2)与它对应，所以y不是x的函数．同理可验证其他选项中y都是x的函数．3．(1)[a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 端点(2)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a] (－∞，a)【做一做3】解：(1)[1，＋∞)；(2)(－∞，1)∪[2，＋∞)；(3)[2,5)∪(5,8]．数轴表示分别如图(1)(2)(3)．如何理解函数符号f(x)的意义？剖析：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如y ＝f(x)＝x 2，可以将其看作输入x ，输出x 2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用(如图所示)，则显然应该有f(a)＝a 2，f(m ＋1)＝(m ＋1)2，f(x ＋1)＝(x ＋1)2.(2)符号y ＝f(x)是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是法则所施加的对象；f 是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x ＝a 时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如一次函数f(x)＝3x ＋4，当x ＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．y ＝f(x)是“y 是x 的函数”的数学表示，它也未必就是一个解析式，y ＝f(a)表示自变量x ＝a 时的函数值，它是一个常数；y ＝f(x)是函数，通常是一个依赖于x 变化而变化的变量．函数还可以用其他一些符号来表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，…，也就是说，不管用哪一个字母表示，它总是表达同样一个含义：y 是x 的函数．题型一 函数的概念【例1】 判断下列函数是否为同一函数：(1)f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥0，－1，x ＜0；(2)f(x)＝x x ＋1与g(x)＝＋； (3)f(x)＝x 2－2x －1与g(t)＝t 2－2t －1；(4)f(x)＝1与g(x)＝x 0(x≠0)．分析：判断函数的定义域和对应关系是否一致．反思：判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同． (1)定义域和对应关系都相同，则两个函数表示同一函数； (2)定义域不同，则两个函数不表示同一函数； (3)对应关系不同，则两个函数不表示同一函数；(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，例如y ＝x 和y ＝2x －1的定义域和值域都是R ，但不是同一函数；(5)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关． 题型二 求函数的定义域【例2】 求下列函数的定义域： (1)y ＝2x －1－7x ；(2)y ＝x ＋0|x |－x.分析：求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组．反思：1.如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.2．如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．3．如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．4．如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．5．对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．题型三求函数值【例3】已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2))的值．分析：解决求值问题，先分清对应法则，再代入求值．反思：(1)求函数值问题，首先确定出函数的对应法则f的具体含义，再代入求值．(2)求类似f(g(2))的值，要注意f，g作用的对象，按“由内向外”的顺序求值．题型四求函数的值域【例4】求下列各函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{2,3,4,5,6}； (2)y＝x＋1；(3)y＝x2－4x＋6； (4)y＝x＋2x－1.分析：确定函数的值域必须认真分析自变量x与对应法则之间的联系，关键是弄清自变量变化时由对应法则确定函数值的变化规律．反思：求函数值域的方法：(1)图像法：借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域；(2)观察法：对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x2≥0，|x|≥0，x≥0等观察出函数的值域；(3)换元法：利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等．论函数的值域要先考虑函数的定义域，本例(1)中，如果忽视函数的定义域，那么会错误地得出函数值域为R.避免此类错误的方法是研究函数时要遵循定义域优先的原则．题型五易错辨析易错点求函数定义域时非等价化简解析式致错【例5】求函数y＝x－2·x＋2的定义域．错解：y＝x－2·x＋2＝x2－4，由x2－4≥0，得x≥2或x≤－2，∴函数的定义域为{x|x≥2或x≤－2}．错因分析：错解在求函数的定义域时，对函数的解析式进行了不等价变形，导致定义域范围扩大．答案：【例1】解：(1)f(x)的定义域中不含有元素0，而g(x)的定义域为R，即定义域不相同，所以不是同一函数．(2)f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域也不相同，所以不是同一函数．(3)尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．(4)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，因此也不是同一函数．【例2】 解：(1)令⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≤17，所以0≤x ≤17.所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤17.(2)令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，所以x ＜0且x ≠－1.所以函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}．【例3】 解：(1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13；又g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.【例4】 解：(1)当x 分别取2,3,4,5,6时，y ＝x ＋1分别取3,4,5,6,7，∴函数的值域为{3,4,5,6,7}．(2)∵函数的定义域为[0，＋∞)， 当x ≥0时，x ≥0，∴y ≥1，即函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞)． (3)函数的定义域为R .∵y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2， ∴该函数的值域为[2，＋∞)． (4)换元法：设t ＝2x －1，则x ＝t 2＋12且t ≥0.问题转化为求y ＝1＋t22＋t (t ≥0)的值域．∵y ＝1＋t 22＋t ＝12(t ＋1)2(t ≥0)，(t ＋1)2≥1，∴y 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.故该函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 【例5】 正解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ≥－2，即x ≥2，∴函数的定义域为{x |x ≥2}．1 下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图像是( )．2 已知函数f (x )＝11x x +-，则f (2)等于( )． A ．3 B ．2 C ．1 D ．03 函数y ( )．A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}4 函数y ＝5x ，x ∈[1,5)的值域是__________．5 判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由． (1)y ＝x －1，x ∈R 与y ＝x －1，x ∈N ；(2)y y (3)y ＝11x +与u ＝11t+.答案：1．C 2.A3．D 要使函数有意义须10,0,x x -≥⎧⎨≥⎩解得0≤x ≤1.4. (1,5] 画出函数的图像，如图所示，观察图像得图像上所有点的纵坐标的取值范围是(f (5)，f (1)]，则函数的值域是(1,5]．5．解：(1)不相等．前者的定义域是R ，后者的定义域是N ，由于它们的定义域不同，故不相等．(2)不相等．前者的定义域是R ，后者的定义域是{x |x ≥0}，它们的定义域不同，故不相等．(3)相等．定义域相同均为非零实数，对应关系相同，都是自变量取倒数后加1，故相等．。

§1 生活中的变量关系★教学目标1．知识与技能:通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．2．方法与过程:培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力．3．情感、态度和价值观:培养学生合作交流的意识及广泛联想的能力和热爱数学的态度.★教学重难点：1．重点：生活中变量之间有依赖关系,掌握变量之间的函数关系.2．难点：变量之间的依赖关系不一定都是函数关系.★授课类型：新授课★教具：多媒体、实物投影仪★教学方法:启发式、交互式教学★教学过程：一、创设情景，引入课题多媒体展示“神舟七号”发射的电脑模拟动画，提出问题：在“神七”发射升空的过程中，随着时间的变化，你能发现哪些量也在变化？从而导出课题生活中的变量关系.(板书课题生活中的变量关系)二、新课讲解1、温故知新：◇初中学习的函数定义是什么?◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系?◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v与时间t是否存在函数关系?2、知识探究：阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题（1）课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。

（2）对问题3，储油量v 对油面高度h 、油面宽度w 都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？（3）请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后是否为函数关系。

（4） 归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。

探究结论 ：依赖关系与函数关系(1)、依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系。

(2)、若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变量的每一个值都有另一个变量的唯一值和它对应，则两个变量间有函数关系。

(3)、研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存在函数关系。