广州市届九年级上期末考试数学试题含答案

2021-2022学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.戴口罩讲卫生B.勤洗手勤通风C.有症状早就医D.少出门少聚集2.下列事件是必然事件的是（）A.同圆中，圆周角等于圆心角的一半B.投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次C.参加社会实践活动的367个同学中至少有两个同学的生日是同一天D.把一粒种子种在花盆中，一定会发芽3.抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限4.抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（）A.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位5.在一只暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以推算a大约是（）A.15B.12C.9D.46.半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A. B. C. D.7.若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2021﹣2a+2b的值等于（）A.2015B.2017C.2019D.20228.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A.2πB.4πC.2π+12D.4π+129.在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法错误的是（）A.当a ＜5时，点B 在⊙A 内B.当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C.当a ＜1时，点B 在⊙A 外D.当a ＞5时，点B 在⊙A 外10.如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，将R t △ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到R t △A 'B 'C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B '的中点，连接PM ．若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值为（）．A.2.5B.C.3D.4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.从一副没有“大小王”的扑克牌中随机地抽取一张，点数为“5”的概率是________．12.如图，在⊙O 中，AC ＝BD ，若∠AOC ＝120°，则∠BOD ＝_____．13.已知圆锥的底面半径为7cm ，它的侧面积是35πcm ，则这个圆锥的母线长为_____．14.已知二次函数y ＝3（x ﹣5）2，当x 分别取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x ＝122x x 时，函数值为_____．15.已知（x +3）（x ﹣2）+m ＝x 2+x ，则一元二次方程x 2+x ﹣m ＝0的根是_____．16.如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是_____．三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）17.解方程：2670x x +-=.18.如图，在△ABC 中，∠CAB ＝70°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB 'C ′的位置，使得CC ′∥AB ，求∠CC 'A 的度数．19.在“双减”政策下，某学校自主开设了A 书法、B 篮球、C 足球、D 器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．若小明和小刚两位同学各计划选修一门课程，请用列表或树状图求他们两人恰好同时选修球类的概率．20.如图，在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°．（1）尺规作图：在线段AB 上找一点O ，以O 为圆心作圆，使⊙O 经过B ，C 两点．（2）求证：AC 与（1）中所做的⊙O 相切．21.在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝90°，M 是AC 的中点，点N 在边AB 上（不与点A ，B 重合），将△ANM 绕点M 逆时针旋转90°得到△BPM ．问：△BPN 的面积能否等于3，请说明理由．22.如图，PA ，PB 与⊙O 相切，切点为A ，B ，CD 与⊙O 相切于点E ，分别交PA ，PB 于点D ，C ．若PA ，PB 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣1＝0的两个根．（1）求m的值；（2）求△PCD的周长．23.某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，但使用8年后生产线报废该，生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y万元，且y＝ax2+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元．（1）求a的值；（2）小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能盈利100万元．你认为这个判断正确吗？请说明理由．24.已知，P是直线AB上一动点（不与A，B重合），以P为直角顶点作等腰直角三角形PBD，点E是直线AD与△PBD的外接圆除点D以外的另一个交点，直线BE与直线PD相交于点F．（1）如图，当点P在线段AB上运动时，若∠DBE＝30°，PB＝2，求DE的长；（2）当点P在射线AB上运动时，试探求线段AB，PB，PF之间的数量关系，并给出证明．25.已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a．（1）当a＝1时，求该二次函数的最大值；（2）若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数a的值；（3）若该二次函数在﹣13≤x≤13有最大值﹣3，求实数a的值．2021-2022学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.戴口罩讲卫生B.勤洗手勤通风C.有症状早就医D.少出门少聚集【1题答案】【答案】C【解析】【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．2.下列事件是必然事件的是（）A.同圆中，圆周角等于圆心角的一半B.投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次C.参加社会实践活动的367个同学中至少有两个同学的生日是同一天D.把一粒种子种在花盆中，一定会发芽【2题答案】【答案】C【解析】【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析即可得答案．【详解】A、同圆中，圆周角等于圆心角的一半，是随机事件，不符合题意；B 、投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件，不符合题意；C 、参加社会实践活动的367个同学中至少有两个同学的生日是同一天，是必然事件，符合题意；D 、把一粒种子种在花盆中，一定会发芽，是随机事件，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.抛物线y ＝2（x +1）2不经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据顶点式写出顶点坐标，开口向上，进而即可求得的答案【详解】解： y ＝2（x +1）2，20a =>开口向上，顶点坐标为()1,0-∴该函数不经过第三、四象限如图，故选C【点睛】本题考查了2()y a x h =-图象的性质，根据解析式求得开口方向和顶点坐标是解题的关键．4.抛物线y ＝（x +2）2+1可由抛物线y ＝x 2平移得到，下列平移正确的是（）A.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位【4题答案】【答案】C【解析】【分析】根据平移的规律“左加右减，上加下减”，将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y ＝（x+2）2+1，即可求得答案【详解】解：根据题意将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1，故选C【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，理解题意弄清是谁平移到谁．5.在一只暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以推算a大约是（）A.15B.12C.9D.4【5题答案】【答案】A【解析】【分析】由于摸到红球的频率稳定在20%，由此可以确定摸到红球的概率为20%，而a个小球中红球只有3个，由此即可求出n．【详解】∵摸到红球的频率稳定在20%，∴摸到红球的概率为20%，而a个小球中红球只有3个，0a>∴摸到红球的频率为320%a=．解得15a=．故选A．【点睛】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于利用摸到红球的频率稳定在20%.6.半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A. B. C. D.【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用勾股定理，先求出弦长的一半，进而求出弦长．【详解】解：如图由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC ⊥AB ，∴AD=BD ，在Rt △AOD 中，AD ===，∴2AB =⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理，在求弦长时，往往通过构造直角三角形，利用勾股定理，先求出弦长的一半，再求得弦长．此类问题极易出错，要特别注意．7.若x ＝﹣1是关于x 的一元二次方程ax 2+bx ﹣2＝0（a ≠0）的一个根，则2021﹣2a +2b 的值等于（）A.2015B.2017C.2019D.2022【7题答案】【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根的定义将1x =代入方程ax 2+bx ﹣2＝0可得20a b --=，即2a b -=，整体代入到代数式中求解即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．【详解】解：将1x =代入方程ax 2+bx ﹣2＝0可得20a b --=，即2a b -=∴2021﹣2a +2b=20212()202142017a b --=-=故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，整体代入是解题的关键．8.如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A.2πB.4πC.2π+12D.4π+12【8题答案】【答案】D【解析】【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得 FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】解： 正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-︒=︒==∴ FB l 12064180ππ⨯==∴阴影部分图形的周长为 412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．9.在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法错误的是（）A.当a ＜5时，点B 在⊙A 内B.当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C.当a ＜1时，点B 在⊙A 外D.当a ＞5时，点B 在⊙A 外【9题答案】【答案】A【解析】【分析】根据数轴以及圆的半径可得当d =r 时，⊙A 与数轴交于两点：1、5，进而根据点到圆心的距离与半径比较即可求得点与圆的位置关系，进而逐项分析判断即可【详解】解：∵圆心A 在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d =r 时，⊙A 与数轴交于两点：1、5，故当a =1、5时点B 在⊙A 上；当d ＜r 即当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内；当d ＞r 即当a ＜1或a ＞5时，点B 在⊙A 外．由以上结论可知选项B 、C 、D 正确，选项A 错误．故选A ．【点睛】本题考查了数轴，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．10.如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，将R t △ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到R t △A 'B 'C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B '的中点，连接PM ．若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值为（）．A.2.5B. C.3 D.4【10题答案】【答案】C【解析】【分析】连接PC ，先根据直角三角形的性质求出4AB =，再根据旋转的性质得出4A B AB ''==，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得出122PC A B =''=，又根据线段中点的定义得出112CM BM BC ===，最后根据三角形的三边关系定理即可得出答案．【详解】如图，连接PC在Rt ABC 中，2BC =，30BAC ∠=︒∴24AB BC ==∵将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到A B C''△∴A B C ''△也是直角三角形，且4A B AB ''==∵P 是A B ''的中点，∴122PC A B =''=∵M 是BC 的中点∴1CM BM ==则由三角形的三边关系定理得：PC CM PM PC CM -<<+即13PM <<当点P 恰好在MC 的延长线上时，213PM PC CM =+=+=当点P 恰好在CM 的延长线上时，211PM PC CM =-=-=综上，13PM ≤≤则线段PM 的最大值为3故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、旋转的性质、三角形的三边关系定理等知识点，掌握旋转的性质是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.从一副没有“大小王”的扑克牌中随机地抽取一张，点数为“5”的概率是________．【11题答案】【答案】113．【解析】【详解】试题分析：随机地抽取一张，总共有52种情况，其中点数是5有四种情况．根据概率公式进行求解．点数为“5”的概率是452=113．故答案为113．考点：概率公式．12.如图，在⊙O 中，AC ＝BD ，若∠AOC ＝120°，则∠BOD ＝_____．【12题答案】【答案】120︒##120度【解析】【分析】根据圆的性质，可得OA =OB ，OC =OD ，证明△AOC ≌△BOD ，即可得答案．【详解】解：由题意可知：OA =OB ，OC =OD ，∵AC ＝BD ，∴△AOC ≌△BOD ，∵∠AOC ＝120°，∴∠BOD ＝120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查了圆的性质、三角形全等的判定和性质，做题的关键是证明△AOC ≌△BOD ．13.已知圆锥的底面半径为7cm ，它的侧面积是35πcm ，则这个圆锥的母线长为_____．【13题答案】【答案】5cm【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的底面周长是扇形的弧长，母线为扇形的半径，结合扇形的面积公式求解即可．【详解】解：圆锥的底面周长为2π×7=14π，设圆锥母线长为l ，则12×14π·l =35π，解得：l =5，故答案为：5cm ．【点睛】本题考查圆锥的侧面积计算、扇形面积公式，熟练掌握圆锥侧面展开图与扇形之间的关系是解答的关键．14.已知二次函数y ＝3（x ﹣5）2，当x 分别取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x ＝122x x +时，函数值为_____．【14题答案】【答案】0【解析】【分析】根据解析式求得顶点坐标，进而根据题意即可求得答案【详解】解： 二次函数y ＝3（x ﹣5）2的顶点坐标为()5,0，对称轴为5x =x 分别取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，∴对称轴122x x x +=∴当x ＝122x x +5=时，函数值为0故答案为：0【点睛】本题考查了二次函数2()y a x h =-的性质，二次函数的对称性，求得定点坐标是解题的关键．15.已知（x +3）（x ﹣2）+m ＝x 2+x ，则一元二次方程x 2+x ﹣m ＝0的根是_____．【15题答案】【答案】3x =或2x =.【解析】【分析】由题意将（x +3）（x ﹣2）+m ＝x 2+x 变形为2(3)(2)0x x x x m --=+-=，进而即可求得一元二次方程x 2+x ﹣m ＝0的根.【详解】解：∵（x +3）（x ﹣2）+m ＝x 2+x ，∴2(3)(2)x x x x m --=+-，∵x 2+x ﹣m ＝0，∴(3)(2)0x x --=，解得：3x =或2x =.故答案为：3x =或2x =.【点睛】本题考查求一元二次方程的根，注意将（x +3）（x ﹣2）+m ＝x 2+x 变形为2(3)(2)0x x x x m --=+-=是解题的关键.16.如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是_____．【16题答案】【答案】83π-【解析】【分析】连接OO '，O B '，证明OBB '△是含30°的Rt ，根据BB O OO B S S S ''=-阴影部分△扇形即可求解【详解】解：如图，连接OO '，O B '将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，∴60OAO '∠=︒，OA O A '=，120AOB AO B ''∠=∠=︒,AOO '∴△是等边三角形60AOO '∴∠=︒AO O'=∠1206060O OB AOB AOO ''∴∠=∠-=︒-︒=︒,60120180AO O AO B '''∠+∠=︒+︒=︒,,O O B ''∴三点共线60,120AOO AOB '∠=︒∠=︒ ，OO OB'=OBO '∴ 是等边三角形O B O B '''=O B B O BB ''''∴∠=∠又60O B B O BB OO B '''''∠+∠=∠=︒90B BO '∴∠=︒BB '∴==216048423603BB O OO B S S S ππ''⨯=-=⨯⨯=-阴影部分△扇形【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）17.解方程：2670x x +-=.【17题答案】【答案】11x =，27x =-.【解析】【分析】将方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【详解】(1)(7)0x x -+=∴10x -=或70x +=∴11x =，27x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．18.如图，在△ABC 中，∠CAB ＝70°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB 'C ′的位置，使得CC ′∥AB ，求∠CC 'A 的度数．【18题答案】【答案】∠CC 'A =70°【解析】【分析】先根据平行线的性质，由CC AB '∥得∠AC ′C =∠CAB =70°，再根据旋转的性质得AC =AC ′，∠BAB ′=∠CAC ′，于是根据等腰三角形的性质有∠ACC ′=∠AC ′C =70°．【详解】∵CC AB '∥，∴∠ACC ′=∠CAB =70°，∵△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，∴AC =AC ′，∠BAB ′=∠CAC ′，在△ACC ′中，∵AC =AC ′∴∠ACC ′=∠CC 'A =70°，【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．19.在“双减”政策下，某学校自主开设了A 书法、B 篮球、C 足球、D 器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．若小明和小刚两位同学各计划选修一门课程，请用列表或树状图求他们两人恰好同时选修球类的概率．【19题答案】【答案】14【解析】【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修球类的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修球类的结果数为4，所以他们两人恰好选修球类的概率=416=14．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20.如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．（1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点．（2）求证：AC与（1）中所做的⊙O相切．【20题答案】【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】(1)作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可；(2)连接OC，证明∠ACB=120°，再证明∠ACO=90°，即可得答案．【详解】解：(1)如下图，⊙O即为所作：(2)证明：连接OC∵△ABC中，∠A=∠B=30°∴∠ACB=120°由(1)可知，OC=OB∴∠OCB=∠B=30°∴∠ACO=90°∴AC是⊙O的相切．【点睛】本题考查作图-垂直平分线、圆的画法，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21.在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，M是AC的中点，点N在边AB上（不与点A，B重合），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得到△BPM．问：△BPN的面积能否等于3，请说明理由．【21题答案】【答案】△BPN的面积不能等于3，理由见解析【解析】【分析】如图，根据等腰直角三角形的性质和旋转性质得△BPM为△ANM绕点M逆时针旋转90°得到的，设AN=BP=x，则BN=4－x，连接NP，根据直角三角形的面积公式得到关于x的一元二次方程，然后求解即可得出结论．【详解】解：如图，∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，M是AC的中点，∴AM=BM，BM⊥AC，∠A=∠MBC=45°，由旋转得∠NMP=90°，∴∠AMN+∠NMB=∠NMB+∠BMP，即∠AMN=∠BMP,∴△ANM≌△BPM（ASA），∴△BPM为△ANM绕点M逆时针旋转90°得到的，∴AN=BP，设AN=BP=x，则BN=4－x，连接NP，假设△BPN的面积能否等于3，则12x(4－x)=3，∴x2－4x+6=0，∵△=42－4×1×6=－8＜0，∴该方程无实数解，∴△BPN的面积不能等于3，【点睛】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、三角形的面积公式、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明△ANM ≌△BPM 是解答的关键．22.如图，PA ，PB 与⊙O 相切，切点为A ，B ，CD 与⊙O 相切于点E ，分别交PA ，PB 于点D ，C ．若PA ，PB 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣1＝0的两个根．（1）求m 的值；（2）求△PCD 的周长．【22题答案】【答案】（1）2m =；（2）2【解析】【分析】（1）根据切线长定理可得PA PB =，则一元二次方程的判别式为0，进而即可求得m 的值；（2）根据（1）的结论求得PA 的长，CD 与⊙O 相切于点E ，则,ED DA CE CB ==,根据△PCD 的周长2PC CD PD PC CE ED PD PB PA PA =++=+++=+=即可求解．【详解】解： PA ，PB 与⊙O 相切，∴PA PB= PA ，PB 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣1＝0的两个根()2410m m ∴∆=--=解得2m =（2） 2m =2210x x ∴--=121x x ==1PA PB ∴== PA ，PB 与⊙O 相切，CD 与⊙O 相切于点E ，∴,ED DA CE CB==∴△PCD 的周长2PC CD PD PC CE ED PD PB PA PA =++=+++=+=2=【点睛】本题考查了切线长定理，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握切线长定理是解题的关键．23.某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，但使用8年后生产线报废该，生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y 万元，且y ＝ax 2+bx ，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元．（1）求a 的值；（2）小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能盈利100万元．你认为这个判断正确吗？请说明理由．【23题答案】【答案】（1）1a =；（2）在第四年能收回投资款，但不能在报废前盈利100万元，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，将1,2,2,42x y x y ====+代入解析式即可求得a 的值；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，且根据x 为正整数求解，设盈利w 万元，根据二次函数的性质求得最值，进而即可解决问题．【详解】解：（1）根据题意，将1,2,2,42x y x y ====+代入解析式得：22442a b a b=+⎧⎨+=+⎩解得11a b =⎧⎨=⎩1a \=（2）判断不正确由题意()233100x x -+=解得121616x x =-=+x 是正整数4x ∴=或28使用8年后生产线报废4x ∴=，即这条生产线在第四年能收回投资款，设盈利w 万元，则2223310032100(16)156w x x x x x x =---=-+-=--+又18x <≤该函数的对称轴为16x =，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大∴当8x =时，w 取得最大值，最大值1566492w =-=（万元）故不能在报废前盈利100万元【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意列出函数关系式是解题的关键．．24.已知，P 是直线AB 上一动点（不与A ，B 重合），以P 为直角顶点作等腰直角三角形PBD ，点E 是直线AD 与△PBD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，直线BE 与直线PD 相交于点F ．（1）如图，当点P 在线段AB 上运动时，若∠DBE ＝30°，PB ＝2，求DE 的长；（2）当点P 在射线AB 上运动时，试探求线段AB ，PB ，PF 之间的数量关系，并给出证明．【24题答案】【答案】（1（2）PF =AB -PB 或PF =AB +PB ，理由见解析【解析】【分析】（1）根据△PBD 等腰直角三角形，PB ＝2，求出DB 的长，由⊙O 是△PBD 的外接圆，∠DBE ＝30°，可得答案；（2）根据同弧所对的圆周角，可得∠ADP =∠FBP ，由△PBD 等腰直角三角形，得∠DPB =∠APD =90°，DP =BP ，可证△APD ≌△FPB ，可得答案．【详解】解：（1）由题意画以下图，连接EP ，∵△PBD 等腰直角三角形，⊙O 是△PBD 的外接圆，∴∠DPB =∠DEB =90°，∵PB ＝2，∴DB ===，∵∠DBE ＝30°，∴1122DE DB ==⨯=（2）①点P 在点A 、B 之间，由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得：∠ADP =∠FBP ，又∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APD =90°，DP =BP ，在△APD 和△FPB 中ADP FBP DP BP DPB APD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∵AP +PB =AB∴FP +PB =AB ，∴FP =AB -PB ，②点P 在点B 的右侧，如下图：∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APF =90°，DP =BP ，∵∠PBF+∠EBP =180°，∠PDA +∠EBP =180°，∴∠PBF =∠PDA ，在△APD 和△FPB 中DPB APF DP BP PBF PDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∴AB +PB =AP ，∴AB +PB =PF ，∴PF =AB +PB ．综上所述，FP =AB -PB 或PF =AB +PB ．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况．25.已知二次函数y ＝﹣9x 2﹣6ax ﹣a 2+2a ．（1）当a ＝1时，求该二次函数的最大值；（2）若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数a 的值；（3）若该二次函数在﹣13≤x ≤13有最大值﹣3，求实数a 的值．【25题答案】【答案】（1）2；（2）2（3）2a =+【解析】【分析】（1）将1a =代入解析式，进而根据顶点公式求得最大值；（2）由于二次函数与y 轴必有一个交点，且为220a a -+=，分类讨论，令0y =，①与x 轴1个交点，即一元二次方程229620x ax a a ---+=根的判别式等于0，与y 轴1个交点，且不为()0,0，②若与x 轴有两个交点，则必过原点，进而即可求得答案；（3）根据题意分三种情况讨论，进而解一元二次方程即可，①11333a -≤-≤，②133a -<-，133a ->【详解】解：（1）将1a =代入解析式y ＝﹣9x 2﹣6ax ﹣a 2+2a ，即2961y x x =--+，90a =-< ∴当612183b x a -=-=-=--时，该二次函数的最大值为2436362436ac b a ---==-（2）①令0y =，229620x ax a a ---+=()22636(2)0a a a =-+-+= 解得0a =即该抛物线为29y x =-与坐标轴的交点为原点，只有1个交点，不符合题意②则该抛物线与x 轴有两个交点，且有一个必过原点即220a a -+=，解得2a =或0a =（舍）综上所述，2a =（3）y ＝﹣9x 2﹣6ax ﹣a 2+2a 的对称轴为62183b a a x a -=-=-=-①若11333a -≤-≤，即11a -≤≤，抛物线的开口向下，当3a x =-时，max 2y a = 该二次函数在﹣13≤x ≤13有最大值﹣3，23a ∴=-解得32a =- 11a -≤≤，∴32a =-舍去②若133a -<-，即1a >当﹣13≤x ≤13时，y 随x 的增大而减小，当13x =-时，取得最大值为241a a -+- 241a a -+-3=-解得1222a a =+=- 1a >2a ∴=+③若133a ->，即1a <-当﹣13≤x ≤13时，y 随x 的增大而增大，当13x =时，取得最大值为21a -- 21a --3=-解得12a a == 1a <-a ∴=综上所述2a =+或【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题，二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．。

九年级上学期数学期末试卷一、单选题（共10题；共20分）1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图所示，在中，为中点，交于点，则与的面积比为（）．A. 1:1B. 1:2C. 1:3D. 1:43.下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A. B. C. D.4.如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为（）A. 25°B. 30°C. 45°D. 50°5.如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（）A. 5B.C. 3D.6.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）A. x（x﹣1）=15B. x（x+1）=15C. =15D. =157.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A. B. C. D.8.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.9.二次函数，在的范围内有最小值，则的值是（）A. -6B. -2C. 2D. 510.已知：是的直径，，是的切线，是上一动点，若，，，则的面积的最小值是（）A. 36B. 32C. 24D. 10.4二、填空题（共6题；共7分）11.如图，点、、都在上，若，则的度数是________．12.二次函数的顶点坐标是________．13.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心线段与线段是位似图形，若，，，则的坐标为________．14.如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为，则圆锥的全面积________．15.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=________．16.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有________（填序号）三、解答题（共9题；共92分）17.解下列一元二次方程：（1）（2）18.如图，在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为，，．（1）将绕点逆时针旋转后，得到，请画出；（2）求旋转过程中点经过的路径长（结果保留）19.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）求DE的长．20.已知关于x的一元二次方程有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．21.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）请尺规作图：作⊙O，使圆心O在AB上，且AD为⊙O的一条弦．（不写作法，保留作图痕迹）；（2）判断直线BC与所作⊙O的位置关系，并说明理由．22.如图，在一个的内部作一个矩形，其中点和点分别在两直角边上，在斜边上，，，设．（1）试用含x的代数式表示AD；（2）设矩形的面积为，当为何值时，的值最大，最大值是多少？23.如图，中，以边上一点为圆心作圆，与边、分别切于点、，与另一交点为．（1）求证：；（2）若的半径为，，求的长．24.已知：抛物线．（1）求证：抛物线与轴有两个交点．（2）设抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为，（其中）．若是关于的函数、且，求这个函数的表达式；（3）若，将抛物线向上平移一个单位后与轴交于点、．平移后如图所示，过作直线，分别交的正半轴于点和抛物线于点，且．是线段上一动点，求的最小值．25.在平面直角坐标系中，已知矩形中的点，抛物线经过原点和点，并且有最低点点，分别在线段，上，且，，直线的解析式为，其图像与抛物线在轴下方的图像交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）当时，求的取值范围；（3）在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；A不符合题意；B.是轴对称图形，也是中心对称图形；B符合题意；C.是轴对称图形，不是中心对称图形；C不符合题意；D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形．D不符合题意；故答案为：B．【分析】根据轴对称图形定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形定义：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形；由此即可得出答案.2.【解析】【解答】因为，△ABC中，D为AB中点，DE∥BC所以，DE是△ABC的中位线，所以，, ∽,所以，与的面积比为（）2= .故答案为：D【分析】由∽,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得结果.3.【解析】【解答】∵，∴∆=>0，即方程有两个不等的实数根，∵，∴，即方程没有实数根，∵，∴，即方程有两个相等的实数根，∵，∴，即方程没有实数根，故答案为：C．【分析】根据一元二次方程根的判别式，逐一判断选项，即可4.【解析】【解答】∵，是的切线，是的直径，∴∠CAP=90°，PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵，∴∠PAB=∠CAP- =75°，∴=180°-75°-75°=30°．故答案为：B．【分析】根据切线的性质和切线长的性质定理，即可求解．5.【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC= AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+（r﹣1）2，r= ，故选D．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．6.【解析】【解答】设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，=15，故答案为：C．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数= ，由此可得出方程．7.【解析】【解答】解：根据勾股定理，AB= =2 ，BC= ，所以，夹直角的两边的比为= ，观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故答案为B．【分析】求出三角形ABC的各边长，由勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形，则夹直角的两边的比可求得，然后将以下四个选项中的较短的两边的比计算出来，如果较短两边的比等于三角形ABC中夹直角的两边的比，且较短的两边的夹角是直角，根据相似三角形的判定可得两个三角形相似。

广州市九年级数学上册期末试卷答案一、选择题本大题共8个小题，每小题3分，共24分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D B A B D C D二、填空题本大题共6个小题，每小题3分，共18分.9. a<3且a≠-1 10. .0.3 , 011. 6 12. 50+501+x+501+x2=17513. 14. 8三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.本题12分，每题6分1 解：.......................................................................... ...............................3分.... ..................................................................... ... .............................................6分2解：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC;∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6;∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60 °，∴△ABD∽△DCE， .............................................4分则 = ，即 = ，解得：CE=2，故AE=AC﹣CE=9﹣2=7........ ......................................6分 16.本题12分，每题6分1解：依题意，可建立的函数关系式为：;即每个函数解析式各2分2 解：1A-6，-2，B4，3;∵一次函数y=kx+b的图像经过点A-6，-2，B4，3，∴-6k+b=-2，4k+b=3，解得k=12，b=1.∴一次函数的表达式为y=12x+1..............................2分∵反比例函数y=mxm≠0的图像经过点A-6，-2，∴-2=m-6，解得m=12.∴反比例函数的表达式为y =12x.. ............................4分2当-64时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.................6分 17本题14分，每题7分1解：设做成盒子的高是x厘米，由题意得：70-2x50-2x=1500……………3分整理得; x2 -60x+500=0x=10或50 ……………6分显然x<50，故只取x=10即做成盒子的高是10厘米。

2023-2024学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）已知⊙O半径为10cm，圆心O到点A的距离为10cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．相切B．圆外C．圆上D．圆内3．（3分）下列事件属于必然事件的是（）A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B．掷一次骰子，向上一面的点数是6C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯4．（3分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝60°，∠APD＝80°，则∠B 等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．（3分）如图，AB，AC分别切⊙O于B，C两点，若∠OBC＝26°，则∠A的度数为（）A．32°B．52°C．64°D．72°6．（3分）将抛物线y＝3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x﹣1）2﹣2D．y＝3（x+1）2+27．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x12+x22＝（）A．2B．﹣2C．﹣1D．108．（3分）若点A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b9．（3分）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向边连续翻转2023次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2023的位置，则P2023的横坐标x2023为（）A．2021B．2022C．2023D．不能确定10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜⑤b＞c．；其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P1的坐标为．12．（3分）一元二次方程x2+6x＝3x+2化成一般式为：．13．（3分）不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是．14．（3分）圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积是．15．（3分）点A是反比例函数y＝（k＞0）上的点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为8，则一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况为．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为cm．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：x2﹣4x＝5．18．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度数．19．（6分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是；（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．20．（6分）如图，在▱OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过定C．（1）求k的值及直线OB的函数表达式；（2）试探究此反比例函数的图象是否经过▱OABC的中心．21．（8分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）结合图象直接回答：当0＜x＜3时，则y的取值范围是．22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）23．（10分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．（1）求出这两次价格上调的平均增长率；（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？24．（12分）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求3m+n的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．25．（12分）如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，PC．（1）如图1，若BC＝PB，∠CBP＝30°，求∠APC的度数；（2）如图2，当∠APC＝135°时，求证：CD＝PB；（3）如图3，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一点，CQ＝2，连接AQ，PQ，求△APQ面积的最大值．2023-2024学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【解答】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．2．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d ＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【解答】解：∵⊙O的半径为10cm，点A到圆心O的距离为10cm，∴d＝r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆上，故选：C．【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．3．【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【解答】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件．B、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件．C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件．D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件．故选：C．【点评】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再根据对顶角相等得出∠BPC的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵∠A＝60°，∴∠C＝∠A＝60°，∵∠APD＝80°，∴∠BPC＝80°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣80°＝40°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质，熟练掌握定理及性质是解题的关键．5．【分析】先根据切线长定理和切线的性质得到AB＝AC，∠OBA＝90°，则可计算出∠ABC ＝64°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠A的度数．【解答】解：∵AB，AC分别切⊙O于B，C两点，∴AB＝AC，OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∵∠OBC＝26°，∴∠ABC＝90°﹣26°＝64°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝64°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝52°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．6．【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y＝3x2的对称轴为直线x＝0，顶点坐标为（0，0），则抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y＝3x2的对称轴为直线x＝0，顶点坐标为（0，0），∴抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为y＝3（x﹣1）2+2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y＝a（x ﹣k）2+h，其中对称轴为直线x＝k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y＝a（x﹣k﹣m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移．7．【分析】利用根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，对所求的代数式进行整理变形，最后整体代入进行计算即可．【解答】解：根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣2×（﹣3）＝10．故选：D．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是学会利用根的判别式的值，判断一元二次方程的根的情况．8．【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）所在的象限，确定a、b、c大小关系．【解答】解：∵k2+3＞0，∴反比例函数y＝（k为常数）的图象位于一三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∴点A（﹣1，a）在第三象限，B（1，b），C（2，c）在第一象限，∴a＜0，b＞c＞0，∴a＜c＜b，故选：D．【点评】考查反比例函数的图象和性质，考查当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小的性质，利用图象法比较直观．9．【分析】观察规律可知每4个一循环，可以判断P2023在505次还要再翻三次，即完成从P到P3的过程，以此可以求出P2023的横坐标．【解答】解：从P到P4要翻转4次，横坐标刚好加4，∵2023÷4＝505……3，∴505×4﹣1＝2019，还要再翻三次，即完成从P到P3的过程，横坐标加3，则P2023的横坐标x2023＝2022．故选：B．【点评】本题考查了通过图形观察规律的能力，并根据规律进行简单计算的能力．10．【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2a+b×（﹣1）+c＝0，∴a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，c＝b﹣a，∵对称轴为直线x＝1∴＝1，即b＝﹣2a，∴c＝b﹣a＝（﹣2a）﹣a＝﹣3a，∴4ac﹣b2＝4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2＝﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．12．【分析】根据一元二次方程的一般式为：ax2+bx+c＝0，经过移项、合并同类项将一元二次方程x2+6x＝3x+2化成一般式即可．【解答】解：x2+6x＝3x+2，移项，得x2+6x﹣3x﹣2＝0，合并同类项，得x2+3x﹣2＝0，即把一元二次方程x2＝4x﹣6化成一般式是：x2+3x﹣2＝0，故答案为：x2+3x﹣2＝0．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．13．【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率稳定值即可．【解答】解：根据题意，袋子中白球的个数约是8×0.25＝2（个），故答案为：2个．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14．【分析】根据勾股定理求出母线长，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，∴圆锥的母线长＝＝13（cm），∴圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π（cm2），故答案为：65πcm2．【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长以及扇形面积公式是解题的关键．15．【分析】根据反比例函数y＝（k＞0）系数k的几何意义得到S△AOB＝|k|＝8，求得到k的值，再根据一元二次方程根的判别式的正负得出根的情况．＝|k|＝8，【解答】解：根据题意得S△AOB∵k＞0，∴k＝16，∴一元二次方程x2﹣4x+k＝0为：一元二次方程x2﹣4x+16＝0，∵Δ＝16﹣64＜0，∴方程x2﹣4x+k＝0无实数根，故答案为：无实数根．【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，一次二次方程的根的情况，根据反比例函数比例系数的几何意义求得k的值是解题的关键．16．【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【解答】解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，∴MA＝，MG＝OB＝，AG≥AM﹣MG＝，当A，M，G三点共线时，AG最小＝（）cm，故答案为：（）．【点评】本题主要考查了正方形的性质，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【分析】先将原方程化为一般式，然后运用二次三项式的因式分解法进行求解．【解答】解：∵x2﹣4x＝5∴x2﹣4x﹣5＝0∴（x﹣5）（x+1）＝0∴x﹣5＝0，x+1＝0∴原方程的解为：x1＝5，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18．【分析】根据旋转的性质可得△ACE是等腰直角三角形，所以∠CAE＝45°，易知∠ACD ＝90°﹣20°＝70°，根据三角形外角性质可得∠EDC度数，又∠EDC＝∠B，则可求．【解答】解：根据旋转的性质可知CA＝CE，且∠ACE＝90°，所以△ACE是等腰直角三角形．所以∠CAE＝45°；根据旋转的性质可得∠BCD＝90°，∵∠ACB＝20°．∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°．∴∠EDC＝45°+70°＝115°．所以∠B＝∠EDC＝115°．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角以及旋转后对应的线段．19．【分析】（1）根据概率公式即可求解；（2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解．【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，故答案为；（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为．【点评】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解．20．【分析】（1）将C点代入反比例函数解析式即可求出k，根据平行四边形的性质可求出B点坐标，再用待定系数法求直线OB的解析式即可；（2）先根据中点坐标公式求出平行四边形的中心坐标，然后代入反比例函数解析式即可确定．【解答】解：（1）将点C（1，2）代入反比例函数y＝，得k＝2，∵A（3，0），∴OA＝3，在▱OABC中，OA∥BC，且OA＝BC，∴点B坐标是（4，2），设直线OB的解析式：y＝kx，代入B（4，2），得4k＝2，解得k＝，∴直线OB解析式是：y＝x；（2）∵▱OABC的中心就是OB中点，且OB的中点坐标（2，1），∴将x＝2代入，可得y＝1，∴反比例函数的图象经过▱OABC的中心．【点评】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握待定系数法求解析式以及平行四边形的性质是解题的关键．21．【分析】（1）令x＝0，即可求出函数与y轴的交点坐标，令y＝0，即可求出与x轴的交点坐标，配方之后即可求出函数的顶点坐标；（2）找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标，即可画出函数图象；（3）根据函数图象直接得到答案．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，则抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），故答案为：（1，0），（3，0），（0，3），（2，﹣1）；（2）列表：描点、连线，如图，（3）由（2）中的函数图象知，当0＜x＜3时，则y的取值范围是﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的图象与二次函数的画法，要对二次函数有一个明确的认识方可正确解答．22．【分析】（1）由OD＝OB得∠1＝∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC＝∠1+∠ODB ＝2∠1，而∠A＝2∠1，所以∠DOC＝∠A，由于∠A+∠C＝90°，所以∠DOC+∠C＝90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；（2）由∠A＝60°得到∠C＝30°，∠DOC＝60°，根据含30度的直角三角形三边的关﹣S扇形DOE 系得CD＝OD＝2，然后利用阴影部分的面积＝S△COD和扇形的面积公式求解．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1+∠ODB＝2∠1，而∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠A+∠C＝90°，∴∠DOC+∠C＝90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝60°，∴∠C＝30°，∠DOC＝60°，在Rt△DOC中，OD＝2，∴CD＝OD＝2，﹣S扇形DOE∴阴影部分的面积＝S△COD＝×2×2﹣＝2﹣．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形面积的计算．23．【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，利用经过两次上调价格后的价格＝原价×（1+这两次价格上调的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元．【解答】解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，依题意得：10（1+x）2＝16.9，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）．答：这两次价格上调的平均增长率为30%．（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，依题意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，整理得：m2﹣4m+3＝0，解得：m1＝1，m2＝3．又∵要让顾客获得更大的优惠，∴m的值为3．答：每包应该降价3元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．【分析】（1）求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；（2）分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分别求解即可；（3）分两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为（1，0），顶点P的坐标为（2，1），3m+n＝12﹣3＝9；（2）①当CP＝CQ时，C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，故此时Q点坐标为（2，﹣7）；②当CP＝PQ时，可得：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）；③当CQ＝PQ时，可得：过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣，当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为（2，﹣）；故：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（2，﹣）或（2，﹣7）；（3）图象翻折后的点P对应点P′的坐标为（2，﹣1），①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时直线BC和抛物线的交点有3个，b＝﹣3；②当直线y＝x+b与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；即：x2﹣4x+3＝x+b，Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0，解得：b＝﹣．即：b＝﹣3或﹣．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，难点在于（3），关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度不大．25．【分析】（1）分别求出∠APB和∠BPC，即可求∠APC的大小；（2）以B为圆心，AB为半径作圆，根据优弧AC所对的圆周角是135°，可知点P在圆B上，由此可得BP＝CD；（3）当BP⊥AQ时，△APQ面积有最大值，设BP与AQ的交点为K，用等积法求出BK的长，在求出PK＝，则可求△APQ面积的最大值为16．【解答】（1）解：∵∠CBP＝30°，∠ABC＝90°，∴∠ABP＝60°，∵BC＝PB，∴AB＝PB，∴△ABP是等边三角形，∴∠APB＝60°，∵∠BPC＝∠BCP＝75°，∴∠APC＝135°；（2）证明：∵∠ABC＝90°，AB＝BC，以B为圆心，AB为半径作圆，∵劣弧AC所对的圆心角是270°，∴优弧AC所对的圆周角是135°，∵∠APC＝135°，∴P点在圆B上，∴BP＝BC，∵BC＝CD，∴BP＝CD；（3）解：∵CQ＝2，AB＝8，∴BQ＝6，∴AQ＝10，当BP⊥AQ时，△APQ面积有最大值，设BP与AQ的交点为K，∵AB•BQ＝AQ•BK，∴BK＝，∵AB＝BP，∴PK＝8﹣＝，∴△APQ面积的最大值为10×＝16．【点评】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，圆周角与圆心角的关系是解题的关键。

广东省广州市2023-2024学年第一学期九年级数学期末模考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2 .将抛物线223y x =+沿着x 轴向右平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位， 则得到的抛物线的解析式为（ ）A ．()2226y x =++B ．()2226y x =−+ C ．()2226y x =+− D ．()2226y x =−− 3. 若关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k >−B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥﹣1且k ≠0D ．1k >−且0k ≠ 4．若函数y ＝3m x−的图象在第一、三象限内，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣3 B ．m ＜﹣3 C ．m ＞3 D ．m ＜35 .不透明的口袋中装有3个黄球、1个红球和n 个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.6，则n 的值最可能是（ A ．4 B ．5 C ．6 D ．76 . 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝40°．将△ABC 绕着点B 逆时针方向旋转得△DBE ， 其中AC ∥BD ，BF 、BG 分别为△ABC 与△DBE 的中线，则∠FBG ＝（ ）A ．90°B ．80°C ．75°D ．70°7．若关于x 的一元二次方程2310kx x −+=有实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．k ≥94B ．k 94≤且k ≠0C ．k <94且k ≠0D ．k 94≤ 8. 如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ．若30A ∠=°，2AC =，则CD 的长是（ ）A ．4B ．C ．2D 9 . 如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在反比例函数4y x=()0x >与2y x =−()0x <的图像上， 点C 、D 在x 轴上，AB BD 、分别交y 轴于点E 、F ，则阴影部分的面积等于（ ）A. 103B. 2C. 116D. 5310. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 对称轴为x ＝1，与x 轴的负半轴的交点坐标是（x 1，0），且－1＜x 1＜0，它的部分图象如图所示，有下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac ＞0；③9a ＋3b ＋c ＜0；④3a ＋c ＜0，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11. 一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中白球可能有 个．12．关于x 的一元二次方程260x ax −+=的一个根是2，则a 的值为 ．13 .已知点()12,y −、()21,y −、()33,y 在反比例函数2y x=−的图象上，则123、、y y y 的大小关系是 ． 14 . 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝55°，∠C ＝20°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转α角度（0<α<180°）得到△ADE ，若DE //AB ，则α的值为_______15 . 如图，正五边形ABCDE 的边长为2，以A 为圆心，以AB 为半径作弧BE ，则阴影部分的面积为_________（结果保留π）．16 . 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB = .三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 解下列方程：（1）2220x x −−=（2）()()23230x x x −+−=18. 如图，ABC 的三个顶点A 、B 、C 都在格点上，坐标分别为()2,4−、()2,0−、()4,1−．(1)画出ABC 绕着点O 顺时针旋转90°得到的111A B C △；(2)写出点1C 的坐标．19. 已知关于x 的方程x 2+ax+16=0，（1）若这个方程有两个相等的实数根，求a 的值（2）若这个方程有一个根是2，求a 的值及另外一个根20. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，32A ∠=°，以直角顶点C 为旋转中心， 将ABC 旋转到A B C ′′′ 的位置，其中A ′，B ′分别是A ，B 的对应点，且点B 在斜边A B ′′上，直角边CA ′交AB 于D ，求BDC ∠的度数．21 .某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．22 .如图，在ABC 中，90C ∠=°，O 是AB 上一点，以OA 为半径的O 与BC 相切于点D ，与AB 相交于点E ．(1)求证：AD 是BAC ∠的平分线；(2)若2BE =，4BD =，求AE 的长．23 . 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：()2802040y x x =−+≤≤， 设这种健身球每天的销售利润为w 元．(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；(2)求w 与x 之间的函数关系式；(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？24 .已知()4,2A −、(),4B n −两点是一次函数y kx b =+和反比例函数m y x=图象的两个交点， 点P 坐标为(),0n ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出．．．．不等式0m kx b x+−>的解集； (4)若ABP 为直角三角形，直接写出．．．．n 值．25 .如图，已知直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ， 抛物线24y ax bx ++经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x −．(1) 求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3) 若点P 在抛物线对称轴上，点Q 为任意一点，是否存在点P 、Q ，(4) 使以点A ，C ，P ，Q AC 为对角线的菱形？若存在，请直接写出P ，Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．广东省广州市2023-2024学年第一学期九年级数学期末模考试卷解答卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；B ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；C ．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符不符合题意；故选：C ．2 .将抛物线223y x =+沿着x 轴向右平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位， 则得到的抛物线的解析式为（ ）A ．()2226y x =++B ．()2226y x =−+ C ．()2226y x =+−D ．()2226y x =−− 【答案】B【分析】先写出原抛物线的顶点坐标，再根据平移得出新抛物线的顶点坐标，根据坐标写出解析式即可． 【详解】解：抛物线223y x =+的顶点坐标为（0，3），将抛物线223y x =+沿着x 轴向右平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，则得到的抛物线的顶点坐标为（2，6），则得到的抛物线的解析式为()2226y x =−+； 故选：B ．3. 若关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k >−B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥﹣1且k ≠0D ．1k >−且0k ≠ 【答案】D【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到0k ≠且△2(2)4(1)0k =−−⋅−>，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得0k ≠且△2(2)4(1)0k =−−⋅−>，解得1k >−且0k ≠．故选：D ．4．若函数y ＝3m x−的图象在第一、三象限内，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣3B ．m ＜﹣3C ．m ＞3D ．m ＜3【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质得m ﹣3＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得m ﹣3＞0，解得m ＞3．故选：C ．5 .不透明的口袋中装有3个黄球、1个红球和n 个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.6，则n 的值最可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n ．【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.6，0.631n n =++， 解得：6n =，即n 的值最可能是6．故选：C6 . 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝40°．将△ABC 绕着点B 逆时针方向旋转得△DBE ，其中AC ∥BD ，BF 、BG 分别为△ABC 与△DBE 的中线，则∠FBG ＝（ ）A ．90°B ．80°C ．75°D ．70°【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质可得70BAC ∠=°，再根据平行线的性质可得70DBE BAC ∠=∠=°，然后根据旋转的性质即可得．【详解】解：,40AC BC C =∠=° ，()1180702BAC ABC C ∠=∠=°−∠=∴°， AC BD ，70DBE BAC ∴∠=∠=°，由旋转可知，点,A F 绕点B 旋转后的对应点分别为点,D G ，70DBE FBG ∴=∠=∠°，故选：D ．7．若关于x 的一元二次方程2310kx x −+=有实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．k ≥94B ．k 94≤且k ≠0C ．k <94且k ≠0D ．k 94≤ 【答案】B【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2310kx x −+=有实数根，∴()20Δ3410k k ≠ =−−××≥， 解得：k ≤94且k ≠0． 故选B ．8. 如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ．若30A ∠=°，2AC =，则CD 的长是（ ）A ．4B ．C ．2D 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质可求出CE=1，再根据垂径定理可求出CD ．【详解】解：∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ， ∴12CE DE CD == ∵30A ∠=°，2AC =，∴CE=1∴CD=2．故选：C ．9 . 如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在反比例函数4y x=()0x >与2y x =−()0x <的图像上， 点C 、D 在x 轴上，AB BD 、分别交y 轴于点E 、F ，则阴影部分的面积等于（ ）A. 103B. 2C. 116D. 53【答案】D【解析】 【分析】设4Aa a （，）、0a ＞，根据题意：利用函数关系式表示出线段OD OE OC OF EF 、、、、，然后利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：设点A 的坐标为4A a a （，），0a ＞．则4OD a OE a ==，． ∴点B 的纵坐标为4a． ∴点B 的横坐标为2a −． ∴2a OC =． ∴2a BE =． ∵AB CD ∥，∴BEF DOF ， ∴12EF BE OFOD ==． ∴1428,3333EF OE OF OE a a====． ∴114122323BEF a S EF BE a ∆=×=××=． 11842233ODF S OD OF a a ∆=×⋅=××=． ∴145333BEF ODF S S S =+=+=阴影 ． 故选：D ．10. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 对称轴为x ＝1，与x 轴的负半轴的交点坐标是（x 1，0），且－1＜x 1＜0，①abc ＜0；②b 2－4ac ＞0；③9a ＋3b ＋c ＜0；④3a ＋c ＜0，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】根据函数图象的对称轴和与y 轴的交点位置判断出①正确，根据函数图象与x 轴有两个交点坐标判断出②正确，根据当3x =时，函数值小于0，判断出③正确，由对称轴得2b a =−，再根据当=1x −时，函数值小于0，判断出④正确．【详解】解：∵函数图象对称轴在y 轴右边，∴0ab <，∵函数图象与y 轴交于正半轴，∴0c >，∴<0abc ，故①正确；∵函数图象与x 轴有两个交点坐标，∴240b ac −>，故②正确；根据二次函数图象的对称性，它与x 轴的另一个交点坐标在2和3之间，∴当3x =时，930y a b c ++<，故③正确； ∵抛物线的对称轴是直线12b x a=−=， ∴2b a =−，当=1x −时，230y a b c a a c a c =−+=++=+<，故④正确．故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11. 一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中白球可能有 个．【答案】26【分析】利用频率估计概率得到摸到白球的概率为1-0.35，然后根据概率公式计算即可．【详解】解：设袋子中白球有x 个，根据题意，得：40x ＝1-0.35， 解得：x ＝26，即布袋中白球可能有26个，故答案为：26．12．关于x 的一元二次方程260x ax −+=的一个根是2，则a 的值为 ．【答案】5【分析】根据一元二次方程根的定义把2x =代入260x ax −+=中得到关于a 的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：把2x =代入260x ax −+=中得22260a +=−，解得5a =．故答案为：5．13 .已知点()12,y −、()21,y −、()33,y 在反比例函数2y x=−的图象上，则123、、y y y 的大小关系是 ． 【答案】312y y y <</213y y y >>【分析】分别把点()12,y −、()21,y −、()33,y 代入反比例函数2y x=−求出123、、y y y ，即可比较出大小． 【详解】解：∵点()12,y −、()21,y −、()33,y 在反比例函数2y x=−的图象上， ∴12==12y −−，22==21y −− 32=3y −， ∴312y y y <<．故答案为：312y y y <<14 . 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝55°，∠C ＝20°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转α角度（0<α<180°）得到△ADE ，若DE //AB ，则α的值为_______【答案】75°【分析】根据旋转的性质及题意易得∠EAB 的度数，然后直接进行求解即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC ＝55°，∠C ＝20°，∴∠ABC ＝180°﹣∠BAC ﹣∠C ═180°﹣55°﹣20°＝105°，∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE ，∴∠ADE ＝∠ABC ＝105°，∵DE ∥AB ，∴∠ADE +∠DAB ＝180°，∴∠DAB ＝180°﹣∠ADE ＝75°∴旋转角α的度数是75°，故答案为：75°15 . 如图，正五边形ABCDE 的边长为2，以A 为圆心，以AB 为半径作弧BE ，则阴影部分的面积为_________（结果保留π）．【答案】65π 【解析】【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出A ∠的度数，利用扇形面积公式计算即可．【详解】解：正五边形的内角和()52180540=−×°=°，5401085A °∴∠==°， 2108263605ABE S ππ∴==扇形， 故答案为：65π． 16 . 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB = .【答案】3【分析】根据两三角形相似列出比例式进而求解即可． 【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则1176157AB −=− 解得3AB =．故答案为：3．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 解下列方程：（1）2220x x −−=（2）()()23230x x x −+−=【答案】（1）11x = 2x =2）11x = 23x =【分析】（1）利用公式法，先算出根的判别式，再根据公式解得两根即可；（2）利用因式分解法将等号左边进行因式分解，即可解出方程.【详解】解：（1）由题可得：a 1,b 2,c 2==−=−， 所以()()224241212b ac ∆=−=−−××−=，所以x整理可得11x =,2x =（2）()()23230x x x −+−= 提公因式可得：()()3320−−+=x x x 化简得：()()3310−−=x x解得：11x =,23x =；18. 如图，ABC 的三个顶点A 、B 、C 都在格点上，坐标分别为()2,4−、()2,0−、()4,1−．(1)画出ABC 绕着点O 顺时针旋转90°得到的111A B C △；(2)写出点1C 的坐标．【答案】(1)画图见解析(2)()1,4【分析】（1）分别确定A ，B ，C 绕O 点顺时针旋转90°后的111A B C △，从而可得答案；（2）根据1C 的位置可得其坐标．【详解】（1）解：如图，111A B C △即为所求；（2）由1C 的位置可得坐标为：()1,4；19. 已知关于x 的方程x 2+ax+16=0，（1）若这个方程有两个相等的实数根，求a 的值（2）若这个方程有一个根是2，求a 的值及另外一个根【答案】（1）a=8或﹣8；（2）a=﹣10，方程的另一个根为8．【分析】（1=0，由此可得关于a 的方程，解方程即得结果；（2）把x=2代入原方程即可求出a ，然后再解方程即可求出方程的另一个根．【详解】解：（1）∵方程x 2+ax+16=0有两个相等的实数根，∴a 2－4×1×16=0，解得a=8或﹣8；（2）∵方程x 2+ax+16=0有一个根是2，∴22+2a+16=0，解得a=﹣10；此时方程为x 2﹣10x+16=0，解得x 1=2，x 2=8；∴a=﹣10，方程的另一个根为8． 20. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，32A ∠=°，以直角顶点C 为旋转中心， 将ABC 旋转到A B C ′′′ 的位置，其中A ′，B ′分别是A ，B 的对应点，且点B 在斜边A B ′′上，直角边CA ′交AB 于D ，求BDC ∠的度数．【答案】96°【分析】由内角和定理求出58ABC ∠=°，由旋转的性质得到58B CBA ′∠=∠=°，BC B C ′=，得到58CB B B BC ′′∠=∠=°，再由三角形内角和定理求出64A BD ′∠=°，由三角形外角的性质求出BDC ∠的度数即可．【详解】解：∵90ACB ∠=°，32A ∠=°， ∴18058ABCABC A ∠=°−∠−∠=°， ∵以直角顶点C 为旋转中心，将ABC 旋转到A B C ′′′ 的位置，∴58B CBA ′∠=∠=°，BC B C ′=， ∴58CB B B BC ′′∠=∠=°， ∴180180585864A BDABC B BC ′′∠=°−∠−∠=°−°−°=°， ∴326496BDCA A BD ′′∠=∠+∠=°+°=°． 21 .某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）16【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；（3）用样本估计总体的思想解决问题；（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为1530%50÷=（名)； （2）喜爱“体育”的人数为50(415183)10−+++=（名)， 补全图形如下：（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有10300060050×=（名)； （4）列表如下：所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为21126=． 22 .如图，在ABC 中，90C ∠=°，O 是AB 上一点，以OA 为半径的O 与BC 相切于点D ，与AB 相交于点E ．(1)求证：AD 是BAC ∠的平分线；(2)若2BE =，4BD =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）根据切线的性质得OD BC ⊥，再由90C ∠=°，得OD AC ∥，由平行线的性质得ODA DAC ∠=∠，又因为等腰三角形得ODA OAD ∠=∠，等量代换即可得证； （2）在Rt BOD 中222BD OD BO +=，由勾股定理即可求半径．【详解】（1）证明：连接OD ；∵O 与BC 相切于点D∴OD BC ⊥∴90ODB ∠=°∵90C ∠=°，∴ODB C ∠=∠ ∴OD AC ∥∴ODA DAC ∠=∠ ∵OD OA =∴ODA OAD ∠=∠ ∴OAD DAC ∠=∠∴AD 是BAC ∠的平分线；（2）解：∵90C ∠=°∴在Rt BOD 中222BD OD BO +=；∵2BE =，4BD =，设圆的半径为r ，∴()22242r r +=+解得3r ：，∴圆的半径为3∴6AE =．23 . 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现， 该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：()2802040y x x =−+≤≤， 设这种健身球每天的销售利润为w 元．(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；(2)求w 与x 之间的函数关系式；(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)30(2)221201600w x x =−+−(3)该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元【分析】（1）在2080y x =−+中，令25x =，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w 与x 之间的函数关系式；（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．【详解】（1）解：在280y x =−+中，令25x =得，2258030y =−×+=， 故答案为：30；（2）解：根据题意得，2(20)(280)21201600w x x x x =−−+=−+−， 即w 与x 之间的函数关系式为：221201600w x x =−+−；（3）解：22212016002(30)200w x x x =−+−=−−+， ∵20−<，∴当30x =时，w 取最大值，最大值为200，即该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．24 .已知()4,2A −、(),4B n −两点是一次函数y kx b =+和反比例函数m y x=图象的两个交点， 点P 坐标为(),0n ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出．．．．不等式0m kx b x+−>的解集； (4)若ABP 为直角三角形，直接写出．．．．n 值．【答案】(1)8yx−，2y x =−− (2)6AOB S =(3)不等式0m kx b x +−>的解集为：<4x −或02x <<(4)n 的值为：-6，6，1−，1−【分析】（1）根据待定系数求得反比例函数解析式，进而求得点B 的坐标， 根据,A B 的坐标待定系数法求一次函数解析式即可；（2）求得直线2y x =−−与x 轴交于点()2,0C −，根据AOBAOC BOC S S S =+△△△求解即可 （3）由图象可得，直线在双曲线上方部分时，求得x 的取值范围；（4）分,,AP AB BP 分别为直角三角形的斜边，三种情况讨论，根据勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）把()4,2A −代入m y x =，得()248m =×−=−， 所以反比例函数解析式为8y x −，把(),4B n −代入8yx−，得48n −=−， 解得2n =， 把()4,2A −和()2,4B −代入y kx b =+，得4224k b k b −+= +=−， 解得12k b =− =− ， 所以一次函数的解析式为2y x =−−；（2）设直线2y x =−−与x 轴交于点C ，2y x =−−中，令0y =，则2x =−，即直线2y x =−−与x 轴交于点()2,0C −， ∴112224622AOB AOC BOC S S S =+=××+××= ；（3）由图象可得，不等式0m kx b x+−>的解集为：<4x −或02x <<. （4）(),0P n ，()4,2A −，()2,4B − ，()()222244272AB ∴=++−−=，()222242820PA n n m =++=++，()222224420PB n n n =−+=−+①当AB 是斜边时，2PA +2PB =2AB∴2820n m +++2420n n −+=72解得: n =1−n =1−①当AP 是斜边时， 2AB +2PB =2PA∴72+2420n n −+=2820n m ++解得:6n =①当BP 是斜边时，2PA +2AB =2PB∴2820n m +++72=2420n n −+解得: 6n =−∴n的值为：-6，6，1−，1−25 .如图，已知直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ， 抛物线24y ax bx ++经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x −．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，点Q 为任意一点，是否存在点P 、Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请直接写出P ，Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)248433y x x =−−+ (2)S 的最大值为252，3,52D −(3)存在；131,8P − ，192,8Q −【分析】（1）先求得A ，B ，C 三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；（2）作DF AB ⊥于F ，交AC 于E ，根据点D 和点E 坐标可表示出DE 的长，进而表示出三角形ADC 的面积，进而表示出S 的函数关系式，进一步求得结果；（3）根据菱形性质可得PA PC =，进而求得点P 的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q 坐标．【详解】（1）解：当0x =时，4y =，()0,4C ∴，当0y =时，4403x +=， 3x ∴=−，()3,0A ∴−，对称轴为直线=1x −，()1,0B ∴，∴设抛物线的表达式：()()13y a x x =−⋅+，43a ∴=−，43a ∴=−， ∴抛物线的表达式为：()()2448134333y x x x x =−−⋅+=−−+； （2）解：如图1，作DF AB ⊥于F ，交AC 于E ，248,433D m m m ∴−−+ ，4,43E m m + ， 2248444443333DE m m m m m ∴=−−+−+=−−， 22344262312ADC S DE m OA m m m ⋅−−=∴=−− ⋅= ，1144822ABC AB OC S ⋅=××== ， 22325268222S m m m ∴=−−+=−++， ∴当32m =−时，252S =最大， 当32m =−时，433135322y =−×−−×−+=， 3,52D ∴−； （3）解：设()1,P n −， 以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形，PA PC ∴=， 即：22PA PC =，()()2221314n n ∴−++=+−， 138n ∴=， 131,8P ∴−， P Q A C x x x x +=+ ，P Q A C y y y y +=+，()312Q x ∴=−−−=−，1348Q y =− 192,8Q ∴−．。

2022-2023学年广东省广州中学九年级（上）期末数学试卷1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“广州中学”四个字的篆书，其中能看作既是轴对称又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2. 在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为( )A. B. C. D.3. 二次函数，下列说法正确的是( )A. 开口向下B. 对称轴为直线C. 顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而减小4. 下列事件中，必然事件是( )A. 打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛B. 从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王C. 若a是实数，则D. 六边形的一个内角为5. 如图，AB是的直径，CD为弦，于点E，则下列结论中不成立是( )A. 弧弧ADB. 弧弧BDC.D.6. 关于x的一元二次方程无实数解，则k的取值范围是( )A. B. C. D.7. 圆锥的高，母线，则圆锥的侧面积是( )A. B. C. D.8. 如图，在矩形ABCD中，，，若以点D为圆心，12为半径作，则下列各点在外的是( )A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D9. 如图，中，，，将绕点C逆时针旋转到的位置，当时，连接AE，则的度数为( )A.B.C.D.10. 如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 若2是关于x的一元二次方程的一个根，则常数k的值为__________.12. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点顺时针旋转得到点，则的值为__________.13. 在一个不透明的袋中装有5个白色小球，n个红色小球，小球除颜色外其他完全相同．若从中随机摸出一个球，恰为白球的概率为，则n为__________.14. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是__________15. 如图，PA，PB分别切于点A，B，C是劣弧上一点，若，则__________.16. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第__________象限．17. 解方程：18. 如图，中，弧弧AC，，求的度数．19. 2022世界杯8强决赛部分赛程安排如下：时间比赛队伍记号12月10日03：00荷兰VS阿根廷比赛A12月10日23：00摩洛哥VS葡萄牙比赛B12月11日03：00法国VS英格兰比赛C甲、乙两位同学各自从这3场比赛中随机抽取一场观看直播，请用列表法或画树状图求两位同学恰好观看同一场比赛的概率．20.如图，的顶点坐标分别为，，画出将绕点O 旋转后的，并求旋转过程中点B经过的路线长．21. 已知二次函数的图象如图所示．求这个二次函数的解析式；根据图象直接回答：当x为何值时，22. 某商店需要在外墙安装落地窗，用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的宽度为x米，落地窗的面积为y平方米．落地窗的高不小于2米．求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；能否使窗的面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由．23. 如图，AB是的直径，点C是上一点，AD和过点C的直线互相垂直，垂足为D，AD交于点E，且AC平分求证：直线CD是的切线；连接BC，若，，求AE的长．24. 如图1，中，，，D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，始终保持连接BD和AE，将AE绕A点逆时针旋转到AF，连接请判断线段BD和AF的位置关系并证明；当时，求的度数；如图2，连接EF，G为EF中点，，当D从点C运动到点A的过程中，EF的中点G也随之运动，请求出点G所经过的路径长．25. 已知抛物线G：交x轴于点A、点A在B的左侧，交y轴于点，A点坐标为求b和c的值；如图1，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，第一象限内的点P在抛物线G上运动，连接PD，以P为圆心，PD为半径作，记的面积为S，试求S的最小值；是抛物线G上一点，且F不与点C重合，将抛物线的顶点先向左平移两个单位，再向上平移一个单位，得到点E，记，是否存在点F，满足：恒成立，同时使得T取得最大值？如存在，请求出点F的坐标；如不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键.【解答】解：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：2.【答案】A【解析】【分析】根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求出所得抛物线的函数表达式即可．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：左加右减，上加下减．【解答】解：把抛物线向下平移1个单位，所得抛物线的函数表达式是：故选：3.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的顶点式，即可得出其开口方向，对称轴，顶点坐标以及增减性，再判断选项即可．本题主要考查二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．【解答】解：，开口向上，对称轴为，顶点坐标为，故ABC选项错误；当时，y随x的增大而减小，故D选项正确．故选：4.【答案】C【解析】【分析】根据事件的分类，逐一进行判断即可．本题考查事件的分类．熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件分为必然事件和不可能事件，是解题的关键．【解答】解：A、打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛，是随机事件，不符合题意；B、从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王，是随机事件，不符合题意；C、若a是实数，则，是必然事件，符合题意；D、六边形的一个内角为，是随机事件，不符合题意．故选：5.【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理即可得到结论．本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．【解答】解：是的直径，CD为弦，于点E，，，，但OE不一定等于BE，故选项A、B、D正确，选项C不一定正确，故选：6.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程判别式得到，然后求出不等式的解集即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．【解答】解：关于x的一元二次方程无实数解，，解得：，故选：7.【答案】B【解析】【分析】先利用勾股定理计算出底面圆的半径为4，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以利用扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【解答】解：圆锥的底面圆的半径，所以圆锥的侧面积故选：8.【答案】B【解析】【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，从而判断出点B在圆外．本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系等知识，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．【解答】解：连接BD，在中，由勾股定理得，，点B在外，故选：9.【答案】D【解析】【分析】根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可．本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等．【解答】解：中，，，，，绕点C逆时针旋转到的位置，，，是等腰三角形，，故选：10.【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的性质，结合函数的特性，利用数形结合的方法对每个结论进行逐一判断即可得出结论．本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合法解答是解题的关键．【解答】解：抛物线的开口方向向上，，①的结论正确；令，则，抛物线与y轴交于点抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，，②的结论正确；抛物线的对称轴为直线，，③的结论正确；由图象知：抛物线与x轴有两个交点，，④的结论不正确；由图象知：当时，，，⑤的结论不正确．综上，正确的结论有：①②③，故选：11.【答案】【解析】【分析】把代入方程得，然后解关于k的方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【解答】解：把代入方程得，解得，即常数k的值为故答案为：12.【答案】【解析】【分析】根据题意作出图形，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，利用旋转的性质证明≌，推出，，即可得出点B的坐标，最后相加即可求解．本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【解答】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，点，，，点顺时针旋转得到点B，，，又，，≌，，，即，，故答案为：13.【答案】15【解析】【分析】根据概率公式列式求得n的值即可．本题考查了概率公式，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．【解答】解：根据题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，故答案为：14.【答案】20【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数最值的求法是解题的关键.将二次函数解析式化为顶点式，再求其最值即可.【解答】解：，，当时，h有最大值，最大值为20，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】由切线的性质得出，由，得出，再由四边形内角和等于，即可得出答案．本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．【解答】解：如图，连接OA，OB，，PB分别切于点A，B，，，，，故答案为：16.【答案】三【解析】【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到此方程的判别式是正数，这样可以得到关于n的不等式，解不等式求出n的取值范围，代入抛物线的顶点坐标公式中，就可以判断顶点所在象限．本题考查了抛物线与x轴的交点个数与相应一元二次方程的解的个数的关系，掌握二次函数顶点坐标公式是解题的关键.【解答】解：关于x的一元二次方程即有两个不相等的实数根，，，抛物线的对称轴为，，，则，顶点在第三象限．故答案为：三．17.【答案】解：方程，分解因式得：，所以或，解得：，【解析】提公因式分解因式，得出两个一元一次方程求解即可．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18.【答案】解：弧弧AC，，，即的度数为【解析】【分析】由圆周角定理得，再由三角形内角和定理即可得出结论．本题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．19.【答案】解：画树状图得：共有9种等可能的结果，其中两位同学恰好观看同一场比赛的情况有3种结果，两位同学恰好观看同一场比赛的概率为【解析】先画出树状图，根据树状图可以求得所有等可能的结果数以及两位同学恰好观看同一场比赛的情况数，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：如图所示：即为所求，，旋转过程中点B经过的路线长为：【解析】【分析】直接利用旋转的性质得出对应点位置，再利用弧长公式得出答案．此题主要考查了旋转变换以及弧长公式，正确得出对应点位置是解题关键．21.【答案】解：设解析式为图象过点，，，，解得，二次函数的解析式为；根据图象知，当或时，【解析】【分析】根据图象特点，可设解析式为交点式或一般式求解；利用图象在x轴下方的图象y小于0得解．此题考查了运用待定系数法求函数解析式、运用图象得出函数与不等式的关系等知识点．利用数形结合得出是解题关键．22.【答案】解：设窗框的宽度为x米，则高为米，窗户的面积为：，落地窗的高不小于2米，，解得，自变量x的取值范围为，与x之间的函数关系式为；不能，理由：令，则，整理得：，，此方程无实数根，不能使窗的面积达到2平方米．【解析】设窗框的宽度为x米，则高为米，根据矩形面积得出函数解析式，并根据落地窗的高不小于2米，求出自变量的取值范围；令，代入函数关系式，则可判定所对应方程根的判别式和0的大小即可．此题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据已知得出二次函数关系式是解题关键．23.【答案】证明：如图，连接OC，平分，，，，，，，，是的半径，是的切线；解：连接BC、CE，过点O作于F，则，四边形CDFO为矩形，，，是的直径，，，，平分，，，设，则，，，，，解得：，【解析】连接OC，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明；连接BC、CE，过点O作于F，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出AB，再根据勾股定理列式计算即可．本题考查的是切线的判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．24.【答案】解：结论：理由：如图1，延长BD交AE于点H，绕A点逆时针旋转到AF，，，在和中，，≌，，，，，，；，，，垂直平分AE，，，，，又，；如图2，连接AG、CG，过点G作交CE延长线于M，于N，，，，四边形CMGN是矩形，，，G是EF中点，，，，，，，又，≌，，四边形CMGN是正方形，平分，点G在的角平分线上运动，当D从C运动到A点，G点所经过的路径是正方形ACMG的对角线的一半，即为【解析】延长BD交AE于点H，由“SAS”可证≌，由旋转的性质和全等三角形的性质可得，，，由余角的性质可得，可得，可得结论；由三角形的面积公式可得，可得BH垂直平分AE，由等腰三角形的性质可求解；先求出点G在的角平分线上运动，即可求解．本题是几何变换综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25.【答案】解：点在抛物线G：上，，抛物线G的解析式为，点在抛物线G的解析式为上，，，即，；如图1，由知，，，抛物线G的解析式为，抛物线G的对称轴为直线，令，则，或，，，直线BC的解析式为，，设点，，当，即不符合题意或时，S最小，其最小值为；存在，由知，抛物线G的解析式为，此抛物线的顶点坐标为，由平移知，，，直线CE的解析式为，，要T最大，则点C，E，F在同一直线上，点在直线CE上，①，点抛物线G上，②，联立①②解得，或，点不与点重合，点，，即恒成立，存在点，满足：恒成立，同时使得T取得最大值．【解析】将点A，C坐标代入抛物线解析式中，即可求出b，c的值，先求出点D坐标，设出点P坐标，进而得出S与点P横坐标的函数关系式，即可求出答案；先求出直线CE的解析式为，再判断出点C，E，F在同一直线上，进而得出①，再判断出②，即可求出点F坐标，最后将m，n的值代入判断，即可得出答案．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的面积公式，确定出点F在直线CE上是解的关键．。

九年级（上）期末数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在1，0，2，-3这四个数中，最大的数是（）A. 1B. 0C. 2D. -32.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 0025米，把0.000 0025用科学记数法表示为（）A. 2.5×106B. 0.25×10-5C. 25×10-7D. 2.5×10-63.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )A. 正六边形B. 正八边形C. 正十边形D. 正十二边形4.一元二次方程2x2+x-3=0的根的情况是（）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定5.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD∥AC，如果∠BOD=130°，那么∠B的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°7.反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A. k＜2B. k≤2C. k＞2D. k≥28.如果从-1，2，3三个数中任取一个数记作m，又从0，1，-2三个数中任取一个数记作n，那么点P（m，n）恰在第四象限的概率为（）A. B. C. D.9.若△ABC与△DEF相似，且对应边的比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为（）A. 2：5B. 2：3C. 4：9D. 4：2510.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.分解因式：a2-a=______．12.如图所示，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为______．13.把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______ ．14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（8，4），将矩形OABC绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上的点B′处，得到矩形OA′B′C′，OA′与BC相交于点D，则经过点D的反比例函数解析式是______ ．15.如图，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C，D为半圆上的三等分点，则图中阴影部分的面积等于______ ．16.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2019个图共有______枚棋子．三、解答题（本大题共9小题，共66.0分）17.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．18.商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是______；（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．19.已知x2-2x-7=0，求（x-2）2+（x+3）（x-3）的值．20.如图1，在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到矩形AEFG．延长CB与EF交于点H．（1）求证：BH=EH；（2）如图2，当点G落在线段BC上时，求点B经过的路径长．21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=8．（1）利用尺规作图作∠BAC的平分线，交⊙O于点D（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CD，若AC=CD，求∠B的度数．22.如图，已知直线y=x与双曲线y=交于A、B两点，点B的坐标为（-4，-2），C为第一象限内双曲线y=上一点，且点C在直线y=x的上方．（1）求双曲线的函数解析式；（2）若△AOC的面积为6，求点C的坐标．23.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为B（1，0）和C，与y轴的交点坐标为（0，-1.5）且此抛物线过点A（3，6）（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标．24.如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且C是弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若=，求证：AE=AO；（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=2，求AD的长．25.如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：-3＜0＜1＜2，故选：C．根据正数大于0，0大于负数，可得答案．本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．2.【答案】D【解析】解：0.0000025=2.5×10-6，故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】C【解析】解：360÷36=10．故选：C．利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．4.【答案】B【解析】解：在方程2x2+x-3=0中，△=12-4×2×（-3）=25＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：B．根据方程的系数结合根的判别式△=b2-4ac，找出△的正负，由此即可得出结论．本题考查了根的判别式，找出根的判别式△=b2-4ac=25＞0是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选：D．根据中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6.【答案】B【解析】解：∵∠BOD=130°，∴∠AOD=50°，又∵AC∥OD，∴∠A=∠AOD=50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠B=90°-50°=40°．故选：B．先求出∠AOD，利用平行线的性质得出∠A=40°，再由圆周角定理和直角三角形的性质求出∠B的度数即可．本题考查了圆周角定理、平行线的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和平行线的性质是解题关键．7.【答案】C【解析】解：∵反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k-2＞0，解得k＞2．故选C．先根据当x＞0时，y随x的增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．8.【答案】A【解析】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）恰在第四象限的结果数为2，所以点P（m，n）恰在第四象限的概率=．故选：A．画树状图展示所有9种等可能的结果数，再根据第四象限内点的坐标特征找出点P（m，n）恰在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．9.【答案】B【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF的周长之比为2：3．故选：B．由△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．10.【答案】B【解析】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y=×2×2-（2-x）×（2-x）=-x2+2x．当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y=×[2-（x-2）]×[2-（x-2）]=x2-4x+8，∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．故选：B．此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．11.【答案】a（a-1）【解析】解：a2-a=a（a-1）．这个多项式含有公因式a，分解因式时应先提取公因式．本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项．12.【答案】9：16【解析】【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故答案为：9：16．13.【答案】y=-（x+1）2+3【解析】解：根据题意，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，3），∴平移后抛物线解析式为：y=-（x+1）2+3．故答案为：y=-（x+1）2+3．抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式．本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线的解析式．14.【答案】y=【解析】解：∵B（8，4），∴OA=8，AB=OC=4，∴A′O=OA=8，A′B′=AB=4，tan∠COD==，即=，解得CD=2，∴点D的坐标为（2，4），设经过点D的反比例函数解析式为y=（k≠0），则=4，解得k=8，所以，经过点D的反比例函数解析式为y=．故答案为：y=．利用∠COD的正切值列式求出CD的长度，然后写出点D的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式解答即可．本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用三角函数求出CD的长度，从而得到点D的坐标是解题的关键，还考查了坐标与图形-旋转．15.【答案】【解析】解：连接CO，DO，∵C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，∴∠COD=60°，∵△PCD的面积等于△OCD的面积，∴都加上CD之间弓形的面积得出S阴影=S扇形OCD==，故答案为：．连接CO，DO，利用等底等高的三角形面积相等可知S阴影=S扇形COD，利用扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形面积的计算．根据图形推知图中阴影部分面积=扇形OCD的面积是解题的关键．16.【答案】6058【解析】解：观察图形知：第1个图形有3+1=4个棋子，第2个图形有3×2+1=7个棋子，第3个图形有3×3+1=10个棋子，第4个图形有3×4+1=13个棋子，…第n个图形有3n+1个棋子，当n=2019时，3×2019+1=6058个，故答案为：6058根据图形中点的个数得到有关棋子个数的通项公式，然后代入数值计算即可．本题考查了图形的变化类问题，能够根据图形得到通项公式是解决本题的关键．17.【答案】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200（1-x）2=98解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．【解析】设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1-x）2，据此列出方程求解即可．此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．18.【答案】（1);（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况，∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：=．【解析】解：（1）∵商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，∴他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：；故答案为：；（2）见答案．（1）由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】解：原式=x2-4x+4+x2-9=2x2-4x-5，∵x2-2x-7=0∴x2-2x=7．∴原式=2（x2-2x）-5=9．【解析】本题应先将原式去括号、合并同类项，将原式化为2x2-4x-5，再将已知x2-2x-7=0化为x2-2x=7，再整体代入即可．本题考查了整式的化简和整体代换的思想．20.【答案】（1）证明：如图1中，连接AH，由旋转可得AB=AE，∠ABH=∠AEH=90°，又∵AH=AH，∴Rt△ABH≌Rt△AEH，∴BH=EH．（2）解：由旋转可得AG=AD=4，AE=AB，∠EAG=∠BAD=90°，在Rt△ABG中，AG=4，AB=2，∴cos∠BAG==，∴∠BAG=30°，∴∠EAB=60°，∴弧BE的长为=π，即B点经过的路径长为．【解析】（1）欲证明BH=EH，只要证明Rt△ABH≌Rt△AEH即可；（2）想办法求出旋转角∠EAB即可解决问题；本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）如图1所示，AD即为所求的∠CAB的平分线；（2）如图2所示：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC，又∵∠ADC=∠B，∴∠CAD=∠B，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB=∠B，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°．【解析】（1）由角平分线的基本作图即可得出结果；（2）由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠CAD=∠B，再由角平分线得出∠CAD=∠DAB=∠B，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠B=90°，即可求出∠B的度数．本题考查了作图-基本作图，圆周角定理、等腰三角形的性质、本题综合性强，有一定难度，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．22.【答案】解：（1）∵点B（-4，-2）在双曲线y=上，∴=-2，∴k=8，∴双曲线的函数解析式为y=．（2）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，∵正比例函数与反比例函数的交点A、B关于原点对称，∴A（4，2），∴OE=4，AE=2，设点C的坐标为（a，），则OF=a，CF=，则S△AOC=S△COF+S梯形ACFE-S△AOE，=×+（2+）（4-a）-×4×2=，∵△AOC的面积为6，∴=6，整理得a2+6a-16=0，解得a=2或-8（舍弃），∴点C的坐标为（2，4）．【解析】（1）利用待定系数法即可解决．（2）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据S△AOC=S△COF+S梯形ACFE-S△AOE=6，列出方程即可解决．本题考查反比例函数与一次函数交点、解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用分割法求四边形面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）根据题意得，解得，∴抛物线解析式为y=x2+x-；（2）y=x2+x-=（x2+2x+1-1）-=（x+1）2-2，∴P点坐标为（-1，-2）；当y=0时，x2+x-=0，解得x1=1，x2=-3，则C点坐标为（-3，0），设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（3，6），C（-3，0）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+3，当x=-1时，y=x+3=2，∴Q点坐标为（-1，2）．【解析】（1）把三个已知点的坐标代入y=ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法把一般式配成顶点式，从而得到P点坐标为（-1，-2）；再解方程x2+x-=0得C点坐标为（-3，0），接着利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，然后求出自变量为-1对应的一次函数值得到Q点的坐标．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．24.【答案】（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，∵AC=CG，∴=，∴∠ABC=∠CBG，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图1，∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，∴==，∴==，∵OA=OB，∴AE=OA；（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，∵∠E=30°∴∠EBD=60°，∴∠CBD=∠EBD=30°，∵CD=2，∴BD=6，DE=6，BE=12，∴AE=BE=4，∴AH=2，∴EH=2，∴DH=4，在Rt△DAH中，AD==2．【解析】（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到==，==，即可得到结论；（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=6，DE=6，BE=12，在Rt△DAH中，AD=，求出答案即可．本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AD∥BC，∠A=∠C=90°，在Rt△ABD中，BD=10，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD，EF=AD=4，BF=DF=5，∴∠BEF=∠A=90°=∠C，EF∥BC，∴∠BFE=∠DBC，∴△BEF∽△DCB；（2）如图1，过点Q作QM⊥EF于M，∴QM∥BE，∴△QMF∽△BEF，∴，∴，∴QM=（5-2t），∴S△PFQ=PF×QM=（4-t）×（5-2t）=0.6=，∴t=（舍）或t=2秒；（3）如图，∵△BGD∽△BAD，∴，∴，∵四边形EPQG是矩形，∴QG=PE=t，∴∴t=（4）当点Q在DF上时，如图2，PF=QF，∴4-t=5-2t，∴t=1当点Q在BF上时，PF=QF，如图3，∴4-t=2t-5，∴t=3PQ=FQ时，如图4，∴，∴t=，PQ=PF时，如图5，∴，∴t=，综上所述，t=1或3或或秒时，△PQF是等腰三角形．【解析】（1）先判断出EF∥AD，进而判断出∠EFB=∠CBD，即可得出结论；（2）先判断出△QMF∽△BEF，进而得出QM=（5-2t），再利用面积公式建立方程求解即可；（3）由△BGD∽△BAD，得出QG．再用矩形的对边相等即可得出结论；（4）分点Q在DF和BF上，利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻t的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解．。

2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷一、单选题（30分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）不解方程，判断方程2x2﹣6x＝7的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．（3分）已知⊙O半径为10cm，圆心O到点A的距离为10cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．相切B．圆外C．圆上D．圆内4．（3分）将二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x+5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x﹣5）2﹣1 5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9 6．（3分）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜57．（3分）设A（2，y1），B（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的两点，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y28．（3分）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（）A．36°B．53°C．74°D．128°9．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，DE＝2CE，连接AE交BD于点F，则DF：BD＝（）A．2：1B．2：3C．2：5D．1：310．（3分）如图，抛物线y＝﹣x（x+6）与x轴负半轴交于点A，点B为线段OA上一动点，点D的坐标为（﹣3，﹣6），连接BD，以BD为底边向右侧作等腰直角△DCB，若点C恰好在抛物线上，则AB长为（）A．4B．4.5C．5D．5.5二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）已知点A（﹣2，3），B（3，m）在反比例函数上，则m＝．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则ab＝．13．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是．14．（3分）已知圆锥的底面半径为cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为．15．（3分）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为米．（结果可带根号）16．（3分）如图，矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，矩形AEFG 绕点A旋转，给出下列结论：①3BE＝DG；②BE⊥DG；③当∠BAG＝60°时，4S△ABG ＝3S△ADG；④DE2+BG2＝315，其中正确的结论．三、解答题17．（4分）解方程：x2﹣10x+9＝0．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转180°后的△A1B1C1．（2）求线段OC在旋转过程中所扫过的图形面积．19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…（1）求该二次函数的表达式；（2）根据二次函数y＝ax2+bx+c图象，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围．20．（6分）某校准备从2名男生（A、B）和3名女生（C、D、E）五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生E被选中的概率是（直接填写答案）；（2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中2名女生的概率．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值．22．（10分）（1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交CA于D点，O是BC 上一点，经过B、D两点的⊙O分别交BC、BA于点E、F．（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：CA与⊙O相切；（3）当BD＝2，∠ABD＝30°时，求劣弧BD的长．24．（12分）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）以下四边形中，是勾股四边形的为（填序号即可）；①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为60°的菱形．（2）如图1，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转n°得到△EDC．①连接AD，当n＝60，∠BAD＝30°时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．②如图2，将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点P，连接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝2，AE＝8，求AC的长度．25．（12分）已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（30分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．2．（3分）不解方程，判断方程2x2﹣6x＝7的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac进行求解并判断即可．【解答】解：∵2x2﹣6x＝7，∴2x2﹣6x﹣7＝0，原方程中，a＝2，b＝﹣6，c＝﹣7，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣7）＝36+56＝92＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：B．3．（3分）已知⊙O半径为10cm，圆心O到点A的距离为10cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．相切B．圆外C．圆上D．圆内【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d ＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【解答】解：∵⊙O的半径为10cm，点A到圆心O的距离为10cm，∴d＝r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆上，故选：C．4．（3分）将二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x+5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x﹣5）2﹣1【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝（x﹣2﹣3）2+2﹣3，即y＝（x﹣5）2﹣1，故选：D．5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，故选：C．6．（3分）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜5【分析】根据反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，可解的答案．【解答】解：∵图象在第一、三象限，∴m﹣5＞0，解得m＞5．故选：B．7．（3分）设A（2，y1），B（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的两点，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【分析】先根据已知条件求出二次函数的图象开口方向和对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+a，∴抛物线的开口向下，的对称轴是直线x＝﹣1，∴离对称轴越近越大，∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣2），∴y1＜y2．故选：A．8．（3分）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF ＝53°，则∠A的度数是（）A．36°B．53°C．74°D．128°【分析】连接OD、OF，由切线的性质得∠ODA＝∠OF A＝90°，再根据圆周角定理求得∠DOF＝2∠DEF＝106°，则∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OF A﹣∠DOF＝74°，于是得到问题的答案．【解答】解：连接OD、OF，∵⊙O分别与AB、AC相切于点D、点F，∴AB⊥OD，AC⊥OF，∴∠ODA＝∠OF A＝90°，∵∠DEF＝53°，∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°，∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OF A﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°，故选：C．9．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，DE＝2CE，连接AE交BD于点F，则DF：BD＝（）A．2：1B．2：3C．2：5D．1：3【分析】由△DFE∽△BF A得到DF：BF＝DE：AB，由DE＝2CE得出DE：AB＝2：3，从而可以解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴△DFE∽△BF A∴DF：BF＝DE：AB，∵DE＝2CE，∴DE：DC＝2：3，∴DE：AB＝2：3，∴DF：BF＝2：3，∴DF：BD＝2：5，故选：C．10．（3分）如图，抛物线y＝﹣x（x+6）与x轴负半轴交于点A，点B为线段OA上一动点，点D的坐标为（﹣3，﹣6），连接BD，以BD为底边向右侧作等腰直角△DCB，若点C恰好在抛物线上，则AB长为（）A．4B．4.5C．5D．5.5【分析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥EC，交EC延长线于点F，设点，然后证明△CBE≌△DCF，则CE＝DF，BE＝CF，即可求出点C的坐标，再求出点B的坐标，从而求出AB的长度．【解答】解：∵，令y＝0，则x1＝0，x2＝﹣6，∴点A的坐标为：（﹣6，0），过点C作CE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥EC，交EC延长线于点F，设点，如图：∵△DCB是等腰直角三角形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵CE⊥x轴，DF⊥EC∴∠BEC＝∠F＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝∠BCE+∠DCF＝90°，∴∠CBE＝∠DCF，∴△CBE≌△DCF，∴CE＝DF，BE＝CF，∵，D（﹣3，﹣6），∴，∴，解得：，x2＝1；∵x＞﹣3，∴x＝1，∴点C的坐标为（1，﹣4），∴BE＝CF＝﹣4﹣（﹣6）＝2，∴点B的横坐标为1﹣2＝﹣1，∴AB的长度为﹣1﹣（﹣6）＝5；故选：C．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）已知点A（﹣2，3），B（3，m）在反比例函数上，则m＝﹣2．【分析】利用待定系数法求出k的值，代入点B的横坐标计算即可．【解答】解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数上，∴k＝﹣2×3＝﹣6，则反比例函数的解析式为：y＝，∴当x＝3时，m＝＝﹣2，故答案为：﹣2．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则ab＝﹣6．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝3，则ab＝﹣2×3＝﹣6．故答案为：﹣6．13．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是35°．【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于60°，从而可以得到∠BOB′的度数，由∠AOB＝15°可以得到∠AOB′的度数．【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A′OB′，∴∠BOB′＝50°．∵∠AOB＝15°，∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°．故答案为：35°．14．（3分）已知圆锥的底面半径为cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为6πcm2．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径是cm，则底面周长＝2πcm，圆锥的侧面积＝×2π×3＝6π（cm2）．故答案为：6πcm2．15．（3分）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为2米．（结果可带根号）【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线解析式为y＝ax2+c，把（2，0）和（2，0）代入得，，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2，把y＝0.5代入得：x＝±，则水面的宽度是2米．故答案为：2．16．（3分）如图，矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，矩形AEFG 绕点A旋转，给出下列结论：①3BE＝DG；②BE⊥DG；③当∠BAG＝60°时，4S△ABG ＝3S△ADG；④DE2+BG2＝315，其中正确的结论②③．【分析】通过证明△ADG∽△ABE，由相似三角形的性质可求4BE＝3DG，可以判断①错误；由相似三角形的性质可得∠AEB＝∠AGD，由余角的性质可证BE⊥DG，可以判断②正确；由勾股定理可求BG2+DE2＝325，可以判断④错误；分别求出S△ABG，S△ADG，即可判断③，即可求解．【解答】解：∵矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，∴∠DAB＝∠GAE＝90°，＝，＝，∴∠DAG＝∠BAE，＝，∴△ADG∽△ABE，∴＝＝，∴4BE＝3DG，故①错误；如图：设BE与DG交于点H，∵△ADG∽△ABE，∴∠AEB＝∠AGD，又∵∠AOE＝∠GOH，∴∠EAO＝∠GHO＝90°，∴BE⊥DG，故②正确；如图，连接BD，GE，DE，BG，∵AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，∴BD2＝AB2+AD2＝81+144＝225，GE2＝AE2+AG2＝100，∵BE⊥DG，∴BH2+DH2＝BD2，BH2+HG2＝BG2，HG2+HE2＝GE2，DH2+HE2＝DE2，∴BD2+GE2＝BG2+DE2，∴BG2+DE2＝325，故④错误；如图，过点G作GN⊥AB于N，GP⊥直线AD于P，∵∠BAP＝90°，∴四边形APGN是矩形，∴AN＝GP，NG＝AP，∵∠BAG＝60°，∴∠GAP＝30°，∴GP＝AG＝4，AP＝PG＝4，∴S△ABG＝×AB•NG＝×9×4＝18，S△ADG＝×AD•GP＝×12×4＝24，∴4S△ABG＝3S△ADG．故③正确；综上所述：正确的结论是②③．故答案为：②③．三、解答题17．（4分）解方程：x2﹣10x+9＝0．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣10x+9＝0，（x﹣1）（x﹣9）＝0，x﹣1＝0或x﹣9＝0，x1＝1，x2＝9．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转180°后的△A1B1C1．（2）求线段OC在旋转过程中所扫过的图形面积．【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点，连线组成三角形即可；（2）根据扇形面积公式可得答案．【解答】解：（1）如图：△A1B1C1即为所求三角形；（2）∵OC2＝52+32＝34，∴线段OC在旋转过程中所扫过的图形面积为＝＝17π．19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…（1）求该二次函数的表达式；（2）根据二次函数y＝ax2+bx+c图象，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）根据函数的图象和性质求x的取值范围即可．【解答】解：（1）由表格可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，∵抛物线过点（﹣1，0），∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，∴a＝1，∴二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4（或y＝x2﹣2x+3）；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴点（﹣1，0）的对称点为（3，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围是x＞3或x＜﹣1．20．（6分）某校准备从2名男生（A、B）和3名女生（C、D、E）五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生E被选中的概率是（直接填写答案）；（2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中2名女生的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好选中2名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生E被选中的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中恰好选中2名女生的结果有6种，∴恰好选中2名女生的概率为＝．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值．【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可求出答案；（2）先将足x1x2+x1+x2＝m2+6转化成﹣2m+5+4＝m2+6，再运用根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，∴；（2）∵x1，x2是该方程的两个根，∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，∵x1x2+x1+x2＝m2+6，∴﹣2m+5+4＝m2+6，∴m＝﹣3或1．22．（10分）（1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，利用五月份的全天包车数＝三月份的全天包车数×（1+全天包车数的月平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）当租金降价y元时，全天包车的租金为每辆（120﹣y）元，每月的全天包车数为（60+2y）次，根据公司每月获得的租金总额为8800元，可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽可能的减少租车次数，即可得出租金需降价10元．【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x，根据题意得：36（1+x）2＝81，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去）．答：全天包车数的月平均增长率为50%；（2）当租金降价y元时，全天包车的租金为每辆（120﹣y）元，每月的全天包车数为（60+2y）次，根据题意得：（120﹣y）（60+2y）＝8800，整理得：y2﹣90y+800＝0，解得：y1＝10，y2＝80，又∵要尽可能的减少租车次数，∴y＝10．答：当租金降价10元时，公司每月获得的租金总额为8800元．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交CA于D点，O是BC 上一点，经过B、D两点的⊙O分别交BC、BA于点E、F．（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：CA与⊙O相切；（3）当BD＝2，∠ABD＝30°时，求劣弧BD的长．【分析】（1）线段BD的垂直平分线与BC的交点即为圆心O；（2）连接OD，根据角平分线的定义，可得∠BDO＝∠ABD，从而证明AB∥OD，得到OD⊥AC，即可CA与⊙O相切；（3）求出∠BOD＝120°，设BD的中点为G，则OG⊥BD，在Rt△BOG中求出BO＝4，即可求劣弧BD的长＝＝．【解答】（1）解：如图：（2）证明：连接OD，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBO，∴∠BDO＝∠ABD，∴AB∥OD，∵∠BAC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥AC，∵D点在圆O上，∴CA与⊙O相切；（3）解：∵∠ABD＝30°，由（2）可知∠BDO＝∠DBO＝30°，∴∠BOD＝120°，∵BD＝2，∴BD＝4，设BD的中点为G，则OG⊥BD，在Rt△BOG中，BG＝2，∠GBO＝30°，∴BO＝4，∴劣弧BD的长＝＝．24．（12分）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）以下四边形中，是勾股四边形的为②③（填序号即可）；①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为60°的菱形．（2）如图1，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转n°得到△EDC．①连接AD，当n＝60，∠BAD＝30°时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．②如图2，将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点P，连接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝2，AE＝8，求AC的长度．【分析】（1）由勾股四边形的定义得出至少有一个内角是直角四边形必是勾股四边形，即可得出答案；（2）①只要证明△DAE是直角三角形，再利用勾股定理/旋转的性质即可解决问题．②如图2中，延长BC交FE的延长线于H．由△FPE≌△BP A，推出PE＝P A＝5，由CA ＝CE，推出CP⊥AE，推出∠APC＝90°，根据AC＝计算即可．【解答】（1）解：∵一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，∴此四边形的内角中至少有一个角为直角，①∵平行四边形的内角不一定有直角，∴平行四边形不一定是勾股四边形；②∵矩形的四个角都为直角，∴矩形是勾股四边形；③∵有一个角为直角的任意凸四边形，∴此四边形为勾股四边形；④∵有一个角为60°的菱形，∴菱形的四个内角分别为60°，120°，60°，120°，∴有一个角为60°的菱形不是勾股四边形，故答案为：②③；（2）①证明：如图1中，连接AE．∵△ABC绕点C顺时针旋转了60°到△DCE，∴AC＝BC，∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形．∴AE＝AC，∠ACE＝60°，∵∠DCB＝60°，∠BAD＝30°∴∠ABC+∠ADC＝270°，∴∠ADC+∠CDE＝170°，∴∠ADE＝90°，在Rt△DAE中，AD2+DE2＝AE2，∵DE＝AB，AC＝AE，∴AD2+AB2＝AC2，∴四边形ABCD是勾股四边形；②解：如图2中，延长BC交FE的延长线于H．∵∠DCH＝180°﹣n°＝（180﹣n）°，∠DEF＝（180﹣n）°，∴∠DEF＝∠DCH，∵∠DEF+∠DEH＝180°，∴∠DEH+∠DCH＝180°，∴∠CDE+∠H＝180°，∵∠ABC＝∠CDE，∴∠ABC+∠H＝180°，∴AB∥FH，∴∠F＝∠ABP，∵DE＝EF＝AB，∠EPF＝∠APB，∴△FPE≌△BP A（AAS），∴PE＝P A，∵AE＝PE+P A＝8，∴PE＝P A＝4，∵CA＝CE，∴CP⊥AE，∴∠APC＝90°，∴AC＝＝＝2．25．（12分）已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．【分析】（1）可求出根的判别式的值，由根的判别式的值直接判断；（2）令y＝0，求出含a的两个交点的横坐标，代入t＝ax2﹣x1即可；（3）求出平移后抛物线的解析式及A，B的坐标，求出直线AC的解析式及点C的坐标，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，证△AOP∽△CGM，推出＝，2MB+MC＝2（MB+GM），而MB+GM的最小值即B到CN最小距离CH，即可写出2MB+MC的最小值．【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，∵a＞0，∴（a+3）2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点；（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，∴或，∵a＞0，∴且x1＞x2，∴x1＝2，，∴，∴t＝a﹣5；（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4，向上平移一个单位得y＝x2﹣3，令y＝0，则x2﹣3＝0，得，∴，，∵OP＝1，∴直线，联立：，解得，，，即，，∴AO＝，在Rt△AOP中，AP＝＝2，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，∵CN∥x轴，∴∠GCM＝∠P AO，又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，∴△AOP∽△CGM，∴＝＝，∴，∵B到CN最小距离为CH，∴MB+GM的最小值为CH的长度，∴2MB+MC的最小值为．。

九年级上学期数学期末试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2.若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为（）A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣23.以下事件属于随机事件的是（）A. 小明买体育彩票中了一等奖B. 2019年是中华人民共和国建国70周年C. 正方体共有四个面D. 2比1大4.如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：95.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（）A. 60°B. 45°C. 35°D. 30°6.已知点（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且0＜x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（）A. 0＜y1＜y2B. 0＜y2＜y1C. y1＜y2＜0D. y2＜y1＜07.如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A.B.C.D.8.把二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象沿着x轴翻折后，得到的二次函数有（）A. 最大值y＝3B. 最大值y＝﹣3C. 最小值y＝3D. 最小值y＝﹣39.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则∠ABC'的度数是（）A. 45°B. 30°C. 20°D. 15°10.如图，CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交双曲线y＝于点A，B，若OA＝AC，△OCB 的面积为6，则k的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（共6题；共7分）11.一个不透明的盒子中有4个白球，3个黑球，2个红球，各球的大小与质地都相同，现随机从盒子中摸出一个球，摸到白球的概率是________．12.二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c ＝0的根为________．13.如图，圆锥的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm，则该圆锥的侧面积是________cm2．14.已知一次函数y1＝x+m的图象如图所示，反比例函数y2＝，当x＞0时，y2随x的增大而________（填“增大”或“减小”）．15.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．16.已知：在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P是BC上的一点，若∠APD=90°，则AP=________．三、解答题（共9题；共86分）17.解方程：x2﹣2x﹣3=0．18.如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．19.为了解学生的艺术特长发展情况，某校决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）扇形统计图中“戏曲”部分对应的扇形的圆心角为________度；（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列举法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率．20.如图，AB为⊙O的直径，弦AC的长为8cm．（1）尺规作图：过圆心O作弦AC的垂线DE，交弦AC于点D，交优弧于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若DE的长为8cm，求直径AB的长．21.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）．（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．22.如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（3，n）．（1）求这两个函数的表达式；（2）点P在线段AB上，且S△APO：S△BOP＝1：3，求点P的坐标．23.如图：已知▱ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；（2）证明：AF2＝FG×FE．24.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC="3" ，tan∠BAC= ，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d 有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．25.如图，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠DAP＝∠PBA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠APC＝∠BPC＝60°，试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在第（2）问的条件下，若AD＝2，PD＝1，求线段AC的长．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形.故答案为：D.【分析】根据定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

广东省广州市花都区2022~2023学年九年级数学上学期期末考试试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，我国传统文化中的“福禄寿喜”图由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列事件中，必然事件是（）A ．抛掷一枚骰子，出现4点向上B ．明天会下雨C ．抛掷一枚硬币，正面朝上D ．四边形的内角和为360°3．用配方法解一元二次方程2410x x -=+时，此方程可变形为（）A ．()221x +=B ．()221x -=C ．()225x +=D ．()225x -=4．如图，在Rt ABC △中，90︒∠=C ，3AC =，4BC =，则cos A 的值为（）A ．45B ．34C ．35D ．435．关于二次函数()243y x =--+的最值，下列说法正确的是（）A ．有最小值3B ．有最小值4C ．有最大值3D ．有最大值46．如图，AB 为O 的直径，C ，D 是O 上位于AB 两侧的点，若50ABD ∠= ，则BCD ∠的大小为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒7．若一元二次方程2220x x k -++=有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k <-C ．1k ≥-D ．1k ≤-8．已知反比例函数6y x=，下列说法中正确的是（）A ．该函数的图像分布在第一、三象限B ．点(4,3)--在函数图像上C ．y 随x 的增大而增大D ．若点1(2,)y -和2(1,)y -在该函数图像上，则12y y <9．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，10BC =，点E 在BC 边上，DF AE ⊥，垂足为F ．若6DF =，则线段EF 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．在同一平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ax =与二次函数2y ax a =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．坐标平面内的点(),P m n 与点()2,4Q -关于原点对称，则m n +=______．12．在一个不透明的箱子中，装有白球、红球共30个，这些球的形状、大小、质地等完全相同．小华通过多次试验后发现，从盒子中摸出红球的频率是0.2，那么可以估计盒子中红球的个数是______．13．如图，在ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若ADE V 的面积是2，则ABC 的面积为______．14．已知=1x -是一元二次方程20x mx n ++=的一个根，则代数式222m mn n -+的值为______．15．如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．16．如图，四边形ABCD 中，AB CD ，AC BC ⊥，60DAB ∠= ，4AD CD ==，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足90AMD ∠= ，则MBC 面积的最小值为______．三、解答题17．解方程：2280+-=．x x为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接18．如图，ABC∠的度数．BD，求CBD19．为了推进学校与社区融合发展，光明社区开通公众号进行免费线上公益直播授课，9月份该公众号关注人数为2万人，11月份该公众号关注人数达到2.88万人．若从9月份到11月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．AB=，20．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得 1.6mBC=，楼高CD是多少？12.4m21．随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调査了部分学生，调査结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．(1)本次调查的学生共有______人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是______人；(2)“非常了解”的4人有1A ，2A 两名男生，1B ，2B 两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用列举法求至少抽到一名女生的概率．22．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，过点D 作AD 的垂线交AB 于点E ．(1)请画出ADE V 的外接圆O （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：BC 是O 的切线；23．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，8AB =，6BC =．对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点E ，分别与AB ，CD 交于点F ，G ．(1)若10OC =，求k 的值；(2)连接EG ，若11BF BE +=，求CEG 的面积．24．已知拋物线()2212y x a x a =+--（a 是常数）(1)证明：该抛物线与x 轴总有交点；(2)设该抛物线与x 轴的一个交点为(),0A m ，若85m -<≤-，求a 的取值范围(3)在（2）的条件下，若a 为整数，将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折．其余部分保持不变，得到一个新图象G ，请你结合新图象，探究直线2y kx =+（k 为常数）与新图象G 公共点个数的情况．25．如图，四边形ABCD 为平行四边形，以AD 为直径的O 交AB 于点E ，连接DE ，5DA =，4DE =，8DC =．过点E 作直线l ．过点C 作CH l ⊥，垂足为H ．(1)求sin ADE ∠的值；(2)若l AD ∥，且l 与O 交于另一点F ，求EF 的长；(3)过点A 作AM l ⊥，垂足为M ，当直线l 绕点E 旋转时，求53CH AM -的最大值．参考答案：1．B【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形；根据中心对称图形的概念逐一判断即可．【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，B.是中心对称图形，符合题意，C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．D【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【详解】A.抛掷一枚骰子，出现4点向上，是随机事件，故该选项不符合题意；B.明天会下雨，是随机事件，故该选项不符合题意；C.抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；D.四边形的内角和为360︒，是必然事件，故该选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．3．C【分析】先将常数项移到等号右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理成完全平方式即可．【详解】解：方程2410x x -=+移项得，241x x +=两边同时加上2442⎛⎫= ⎪⎝⎭得，24414x x ++=+整理得，()225x +=，选项C 符合题意，故选:C ．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程是解题关键．4．C【分析】本题需先根据勾股定理得出AB 的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出cos A 的值．【详解】90C ︒∠= ，3AC =，4BC =，5AB ∴=，3cos 5AC A AB ∴==．故选：C ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据勾股定理解出AB 的长是解本题的关键．5．C【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k 求解即可．【详解】解：抛物线()243y x =--+的顶点坐标是(4,3)，开口向下，∴有最大值3故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，掌握二次函数的性质是解题的关键．6．A【分析】首先由直径得90ADB ∠=︒，然后根据条件求出DAB ∠的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可求出BCD ∠的度数．【详解】解： AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，50ABD ∠= ，∴40DAB ∠=︒，BCD ∠与DAB ∠都是 BD的圆周角，∴40BCD DAB =∠=︒∠．故选A【点睛】本题考查了圆周角的性质，弧、弦、圆周角三者之间的熟练转化是解题关键．7．D【分析】利用一元二次方程的根的判别式得到一元一次不等式，求解即可．【详解】∵一元二次方程2220x x k -++=有实数根，∴22Δ4241(2)448440b ac k k k =-=-⨯⨯+=--=--≥，解得1k ≤-．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与一元二次方程的根的关系式解决本题的关键．8．A【分析】根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得．【详解】解：A 、60k =>，函数的图像在第一、三象限，选项说法正确，符合题意；B 、因为3(4)126-⨯-=≠，所以点(4,3)--不在函数图像上，选项说法错误，不符合题意；C 、60k =>，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，选项说法错误，不符合题意；D 、60k =>，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，因为210-<-<，则12y y >，选项说法错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质．9．C【分析】先根据矩形的性质得到9010B AD BC AD BC =︒==∠，，∥，再利用勾股定理求出8AF =，证明ABE DFA △∽△求出5AE =，则3EF AF AE =-=．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴9010B AD BC AD BC =︒==∠，，∥，∵DF AE ⊥，∴8AF =，∵AD BC ∥，∴DAF AEB ∠=∠，又∵90B F ∠=∠=︒，∴ABE DFA △∽△，∴AB AEDF AD =，即3610AE =，∴5AE =，∴3EF AF AE =-=，故选C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．10．B【分析】根据各选项中一次函数与二次函数图像分别判断各自a 值的正负，若同正或同负，则判断该选项为符合题意的选项．【详解】解：A 、直线经过二、四象限，则0a <，抛物线开口向上，则0a >，矛盾，故不符合题意；B 、直线经过二、四象限，则0a <，抛物线开口向上，则0a <，由抛物线与y 轴交点在x 轴下方，得0a -<，故符合题意；C 、直线经过二、四象限，则0a <，抛物线开口向下，则0a <，抛物线与y 轴交点在x 轴上方，得0a ->，矛盾，故不符合题意；D 、直线经过一、三象限，则0a >，抛物线开口向下，则0a <，矛盾，故不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握系数与函数图象的关系．11．2【分析】首先根据关于原点对称的两个点的坐标的特点分别求出m 和n 的数值，然后求和即可．【详解】解： 点(),P m n 与点()2,4Q -关于原点对称，∴两点的横纵坐标互为相反数，∴2m =-，4n =，∴2m n +=．故答案为2【点睛】本题考查了坐标与图形，熟记关于原点对称的两个点的坐标的特点是解题关键．12．6【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据红球概率，即可得出红球的个数．【详解】解：依题意，估计盒子中红球的个数是300.26⨯=个，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解决本题的关键是要熟练掌握频率，概率的关系．13．8【分析】先根据三角形的中位线定理可得12DE BC =，再根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】D 、E 分别是AB 、AC 的中点，//DE BC ∴，2DE BC =，ADE B ∴∠=∠，AED C ∠=∠，ADE ABC ∴△△∽，2ADE ABC S DE S BC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭△△，2ADE S = ，∴4428ABC ADE S S ==⨯= ，故答案为8．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质．14．1【分析】根据一元二次方程的解的定义，得出10m n -+=，代入代数式即可求解．【详解】解：∵=1x -是一元二次方程20x mx n ++=的一个根，∴10m n -+=，即1m n -=，∴222m mn n -+()221m n =-=1=，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．15．12【分析】由题意易得BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∠BAE =∠BDC ，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∵∠BAE =∠BDC ，∴1tan tan 2BC BAE BDC BD ∠=∠==，故答案为12．【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．16．4-【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME BC ⊥交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF BC ⊥于F ，交CD 于G ，则OM ME OF +≥，通过计算得出当,,O M E 三点共线时，ME有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME BC ⊥交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF BC ⊥于F ，交CD 于G ，则OM ME OF +≥，AB CD ，60DAB ∠= ，4AD CD ==，∴120ADC ∠=︒，AD CD =，∴30DAC ∠=︒，∴30CAB ∠=︒，AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒903060B ∴∠=︒-︒=︒，∴B DAB ∠=∠，∴四边形ABCD 为等腰梯形，∴4BC AD ==，90AMD ∠= ，4=AD ，OA OD =，∴122OM AD ==，∴点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，AB CD ∥，∴60GCF B ∠=∠=︒，∴30DGO CGF ∠=∠=︒，OF BC ⊥，AC BC ⊥，∴30DOG DAC DGO ∠=∠=︒=∠，∴2DG DO ==，∴2cos30OG OD =⋅︒=，GF =OF =∴2ME OF OM ≥-=，∴当,,O M E 三点共线时，ME 有最小值2，∴MBC 面积的最小值为()14242=⨯⨯=．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．17．12=4=2x x -，【分析】运用因式分解法—十字相乘法求解即可．【详解】解：2280x x +-=()()420x x +-=12=4=2x x -，．【点睛】本题考查了求解一元二次方程，解决本题的关键是运用因式分解法—十字相乘法求解．18．40CBD ∠=︒【分析】根据等边三角形的性质得出AB BC =，60ABC ACB ∠∠==︒，再由旋转得出AC CD =，40ACD ∠=︒，再由等腰三角形及三角形内角和得出40BDC CBD ∠∠==︒即可得出结果．【详解】解：ABC 为等边三角形，AB BC ∴=，60ABC ACB ∠∠==︒．根据题意可知AC CD =，40ACD ∠=︒．AB AC BC CD ∴===，100BCD ∠=︒，40CBD BDC ∠∠∴==︒．【点睛】题目主要考查等边三角形的性质及旋转的性质，等边对等角及三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．19．该公众号关注人数的月平均增长率为20%【分析】设该公众号关注人数的月平均增长率为x ，则10月份的关注人数为()21x +万人，11月份的关注人数为()221x +万人，据此列出方程求解即可．【详解】解：设该公众号关注人数的月平均增长率为x ，由题意得：()221 2.88x +=，解得0.2x =或 2.2x =-（舍去），∴该公众号关注人数的月平均增长率为20%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．20．楼高CD 是10.5m【分析】证明ABE ACD ∽△△，由相似三角形的性质可知BE ABCD AC=，然后结合题意代入数值求解即可获得答案．【详解】解：∵,EB AC DC AC ⊥⊥，∴EB DC ∥，∴ABE ACD ∽△△，∴BE ABCD AC=，∵ 1.2m, 1.6m,12.4m BE AB BC ===，∴14m AC AB BC =+=，∴1.2 1.614CD =，∴10.5m CD =．答：楼高CD 是10.5m ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，理解并掌握相似三角形的判定方法与性质是解题关键．21．(1)50，360(2)56【分析】（1）根据非常了解的占比除以人数，得出本次调查的学生人数，根据扇形统计图得出不了解的人数的占比，乘以1200，即可求解；（2）根据列表法求概率即可求解．【详解】（1）解：本次调查的学生共有48%50÷=（人），不了解的人数的占比为140%22%8%30%---=，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是120030%360⨯=（人）故答案为：50，360．（2）列表如下，1A 2A 1B 2B 1A 1A 2A 1A 1B 1A 2B 2A 2A 1A 2A 1B 2A 2B 1B 1B 1A 1B 2A 1B 2B 2B 2B 1A 2B 2A 2B 1B 共有12种等可能结果，符合题意的有10种，∴至少抽到一名女生的概率为105126=．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，列表法求概率，从统计图表中获取信息，掌握求概率的方法是解题的关键．22．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据圆周角定理可知AE 是ADE V 的外接圆的直径，所以作AE 的垂直平分线，交AE 于点O ，以O 为圆心以OA 为半径画圆即可；（2）连接OD ，由AE 为直径、DE AD ⊥可得出点D 在O 上且DAO ADO ∠=∠，根据AD 平分CAB ∠可得出DAO ADO CAD =∠=∠∠，进而得出AC DO ∥，再结合90C ∠=︒即可得出90ODB ∠=︒，进而即可证出BC 是O 的切线；【详解】（1）解：如图1所示，O 即为所求；（2）证明：如图2，连接OD ，∵AD 平分CAB ∠，∴CAD OAD ∠=∠，∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴CAD ADO ∠=∠，∴AC DO ∥，∵90C ∠=︒，∴OD BC ⊥，∵OD 为O 的半径，∴BC 是O 的切线．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．23．(1)28(2)92【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到(7,4)E ，然后把E 点坐标代入(0)ky x x=>，可求得k 的值；（2）利用勾股定理计算出10AC =，则5BE EC ==，所以6BF =，设OB t =，则(,6)F t ，(3,4)E t +，利用反比例函数图象上点的坐标得到64(3)t t =+，解得6t =，从而得到反比例函数解析式为36y x=，然后确定G 点坐标，最后利用三角形面积公式计算CEG 的面积．【详解】（1）∵矩形ABCD 的顶点B ，8,6AB BC ==，而10OC =，∴(4,0),(4,8),(10,0),(10,8),B A C D ∵对角线,AC BD 相交于点E ，∴点E 为AC 的中点，∴()7,4E ，把,(7,4)E 代入ky x=，得7428k =⨯=；（2）∵10AC ==，∴5BE EC ==，∵11BF BE +=，∴6BF =，设OB t =，则(,6),(3,4)F t E t +，∵反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点E 、F ，∴64(3)t t =+，解得6t =，∴636k t ==，∴反比例函数解析式为36y x=，∴12OC =．当12x =时，36312y ==，∴(12,3)G ，∴CEG 的面积193322=⨯⨯=．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数(0)ky k x=≠图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值||k ．24．(1)见解析(2)542a <<(3)当13k =时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有3个，当103k <<时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有4个，当13k >时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有2个，当2k =-时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有3个，当20k -<<时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有4个，当2k <-时，直y 2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有2个【分析】（1）令抛物线的y 值等于0，证所得方程的0∆>即可；（2）将点A 坐标代入可求m 的值，即可求a 的取值范围；（3）分0k >和0k <两种情况讨论，结合图象可求解．【详解】（1）解：设0y =，则()22120x a x a +--=，∵()()()2221412210a a a ∆=--⨯⨯-=+≥，∴()22120x a x a +--=有实数根，∴该抛物线与x 轴总有交点；（2）∵抛物线与x 轴的一个交点为(),0A m ，∴()20212m a m a =+--，∴12m m a ==-，，∵85m -<≤-，∴825a -<-≤-，解得：542a <<∴542a <<；（3）∵542a <<，且a 为整数，∴3a =，∴抛物线解析式为：256y x x =+-，令0y =，即2560x x +-=,解得126,1x x =-=如图，当0k >时，若2y kx =+过点(6,0)-时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有3个，即620k -+=，解得：13k =即13k =时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有3个，当103k <<时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有4个，当13k >时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有2个，如图，当0k <时，若2y kx =+过点(1，0)时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有3个，即20k +=，解得2k =-当2k =-时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有3个，当20k -<<时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有4个，当2k <-时，直y 2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有2个，综上所述，当13k =时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有3个，当103k <<时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有4个，当13k >时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有2个，当2k =-时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有3个，当20k -<<时，直线2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有4个，当2k <-时，直y 2y kx =+(k 为常数)与新图象G 公共点有2个．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数相结合的综合题：熟练掌握二次函数的性质；会利用根的判别式确定抛物线与x 轴的交点个数；理解坐标与图形性质，会利用分类讨论的方法解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用数形结合的方法是解题的关键．25．(1)3sin 5ADE ∠=(2)75EF =(3)5【分析】（1）根据AD 为O 的直径，得出90AED ∠=︒，根据勾股定理求得AE 的长，进而根据正弦的定义即可求解；（2）延长DF ，交AB 于点G ，连接OG ，先证明ADF DAE ∠∠=，得出AO DO =，继而得出OG AD ⊥，Rt ADE △中，3cos 5AE DAE AD ∠==，继而证明GEF GAD ∽，根据相似三角形的性质即可求解；（3）过点B 作BN l ⊥于N ，过点B 作BT l ∥交CH 于T ，，先证四边形BTHN 是平行四边形，得到HT BN =，再证AME BNE △△∽，得到53BN AM =，即可推出53CH AM CH HT CT -=-=，又由CT BC ≤即可得到当直线l 与直线BC 垂直时，=CT BC ，即此时53CH AM -的最大值即为BC ，由此求解即可．【详解】（1）解：∵AD 为O 的直径，∴90AED ∠=︒，∵5DA =，4DE =，∴2222543AE AD DE =-=-=，∴3sin 5AE ADE AD ∠==；（2）解：如图所示，延长DF ，交AB 于点G ，连接OG∵l AD ∥，∴DFH ADF ∠=∠，又180,180DFH DFE DFE DAE ∠+∠=︒∠+∠=︒，则DFH DAE ∠=∠，∴ADF DAE∠∠=∴GD GA=又∵AO DO =，∴OG AD ⊥，∵Rt ADE △中，3cos 5AE DAE AD ∠==∴52523cos 65AO AG DAE ===∠∵EF AD ∥，∴GEF GAD ∽，∴EF GE AD GA=∴25362556EF -=，解得：75EF =（3）解：如图所示，过点B 作BN l ⊥于N ，过点B 作BT l ∥交CH 于T，∵BN l CH l ⊥⊥，，BT l∥∴BN CH ∥，∴四边形BTHN 是平行四边形，∴HT BN =，∵AM l ⊥，BN l ⊥，∴AM BN ∥，∵四边形ABCD 为平行四边形，8DC =，3AE =，∴835BE AB AE =-=-=∴AME BNE ∽ ，∴53BN BE AM AE ==，∴53BN AM =，∴53HT AM =，∴53CH AM CH HT CT -=-=，又∵CT BC ≤∴当直线l 与直线BC 垂直时，=CT BC ，即此时53CH AM -的最大值即为BC ，如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴5BC AD ==，∴53CH AM -的最大值为5．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，弧、弦，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，圆内一点到圆上一点的最大距离，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．。