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考点09 导数的几何意义以及应用【高考再现】热点一导数的几何意义1.<2018年高考<课标文））曲线在点(1,1>处的切线方程为________2.<2018年高考<广东理））曲线在点处的切线方程为_______________【答案】【解读】,所以切线方程为,即.热点二导数的几何意义的应用3.<2018年高考<重庆理））设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.(Ⅰ> 求的值。
(Ⅱ> 求函数的极值.【解读】(1>因,故因为曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即4.<2018年高考<山东文））已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底数>,曲线在点处的切线与x轴平行.(Ⅰ>求k的值。
(Ⅱ>求的单调区间。
(Ⅲ>设,其中为的导函数.证明:对任意.5.<2018年高考<湖北文））设函数,为正整数,为常数, 曲线在处的切线方程为.(1>求的值。
(2>求函数的最大值。
(3>证明:.【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等。
另外,要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.6．<2018年高考<北京文））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。
(2>当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.当时,函数在区间上的最大值小于28.因此,的取值范围是7.<2018年高考<北京理））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。
导数的几何意义说课稿尊敬的各位专家，各位同仁，下午好!首先我对各位从百忙之中抽出时间来二十三中指导高三复习备课工作表示欢迎，也表示感谢。
下面我把导数的几何意义这节课的教学设计，给大家做一个交流和分享，不当之处，希望大家批评指正。
一、说教材导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数性质提供了有效的工具。
导数的几何意义是从导数的概念学习到导数的应用研究过渡中非常重要的一环。
近年来高考对导数加大了考察的力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维能力的考察。
高考中选填题对导数的考察，不仅要求我们对导数的概念和几何意义有准确，深刻的理解，而且要求我们能够从宏观方向和微观细节上把握函数图像的变化特征。
二、说学情我们学校特别是本班（文科班）学生数学基础较为薄弱，对函数与导数中抽象的概念理解非常吃力。
学生存在对切线概念的片面理解，对导数几何特征认识不到位，处理动态图像问题能力不足等等问题。
以上问题导致很多学生对付导数问题只会简单模仿，无法实时变通，准确迁移。
另外这些问题高度抽象，因此很多学生无法在脑海中形成具体可感知的意象，无形之中也加大了学生学习这一章节的困难。
另外，我们还注意到大多数学生对数学充满恐惧，很多学生不敢在数学课上表达自己的疑惑和见解，这在一定程度上也导致了我们的数学课堂效率的降低。
三、说教法本堂课从概念辨析入手，试图帮助学生多角度，多层次理解导数的几何意义的内涵，引导学生从整体和局部细节思考函数图像的特征。
接着通过5道高考题和调考题启发学生在具体问题中感悟导数的方法。
同时还通过类比思维，鼓励学生大胆对问题进行改编和探索，促使其了解函数问题本质。
同时，为了突破本节课的难点，我们多次借助GGB作图软件，让学生看见图像变化的过程，进而帮助学生树立数形结合解决数学问题的意识。
最后通过总结归纳，引导学生内化所学的知识和方法，提升应用方法解决问题的主动性。
针对学生对数学学习缺少自信的实际情况，我积极倡导和鼓励学生参与到课堂实践中，展示对数学问题的思考，引导构建和谐的师生关系和生生关系，努力创设人人参与，互帮互助，积极大胆的数学课堂。
【热点聚焦】导数的几何意义为高考命题热点内容，考查题型有客观题，有时也出现在解答题中，难度中等或更小．导数的运算基本不单独命题，主要是在导数的几何意义及导数的应用中加以考查.导数的几何意义问题归纳起来常见的命题探究角度有：(1)求切线方程问题．(2)确定切点坐标问题．(3)已知切线问题求参数．(4)导数几何意义的综合应用．【重点知识回眸】（一）导数的几何意义1.函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．2.提醒：(1)瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．(2)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(3)曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．（二）基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x)＝c(c为常数)f ′(x)＝0f (x)＝x n(n∈Q*)f ′(x)＝nx n－1f (x)＝sin x f ′(x)＝cos xf (x)＝cos x f ′(x)＝－sin xf (x)＝a x f ′(x)＝a x ln a(a＞0)f (x)＝e x f ′(x)＝e xf (x)＝log a x(a＞0，且a≠1)f ′(x)＝1x ln a(a＞0，且a≠1)f (x)＝ln x f ′(x)＝1 x(1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；(2)[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；（3）(g (x )≠0)． （四）复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． （五）常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论： (1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2) 21'()[]'()[()]f x f x f x =- (f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． （六）方法与技巧：1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程.2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A 的横坐标0x ，因为0x 可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标()0f x ，代入到导函数中可得到切线的斜率()'0fx k =,从而一点一斜率，切线即可求所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来.3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标()00,x y ,再考虑利用条件解出核心要素0x ，进而转化成第一类问题.4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用0∆=求出参数值进而解出切线方程.解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通.若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：21y x =-13,22⎛⎝⎭处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决.若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在y 轴的抛物线，可看作y 关于x 的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在y 轴的抛物线切线问题的重要方法）.5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.【典型考题解析】热点一 求曲线的切线方程【典例1】（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+【典例2】（2019·全国高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【典例4】（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【规律方法】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程． 热点二 求切点坐标【典例5】（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x y =的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，若直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，则点M 的坐标是___________. 【典例6】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A 在曲线y =ln x 上，且该10x y --π-=2210x y --π-=2210x y +-π+=10x y +-π+=0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩xOy曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【方法总结】1.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．2.已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k . 热点三 求参数的值(范围)【典例7】（2019·全国·高考真题（理））已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【典例8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e ,x f x a b a b =+∈R 在点()()0,0f 处的切线方程为32y x =+，则2a b +=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【典例9】（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 【规律方法】1.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2.根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．3.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 热点四 切线的斜率与倾斜角【典例10】（2023·全国·高三专题练习）设函数321()(1)sin 3f x x a x a x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线斜率为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．12【典例11】（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310B ．±310 C ．35D ．±35【典例12】（2018·全国·高考真题（理））曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ________．热点五：两曲线的公切线问题【典例13】（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【典例14】（2023·全国·高三专题练习）已知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________．【典例15】（2016·全国·高考真题（理））若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =_______． 【总结提升】解决此类问题通常有两种方法一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝1212()()f xg x x x --.热点六：导数几何意义的综合应用【典例16】（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<【典例17】（全国·高考真题（文））已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【典例18】（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【精选精练】一、单选题1．（2022·湖北武汉·高三开学考试）若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（ ）A ．12B 2C 3D ．342．（2023·全国·高三专题练习）函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．11,22,2e e ∞⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．()0,∞+3．（2022·江西·高三阶段练习（文））我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．利用此方法计算sin 0.01︒的近似值为（ ） A ．0.01B ．180πC ．1800πD ．18000π4．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））若函数1()33(0)f x x x x=+->的图象与函数()e x g x tx =的图象有公切线l ，且直线l 与直线122y x =-+互相垂直，则实数t =（ ）A ．1eB ．2eC ．1e或2e D ．1e或4e 5．（2022·安徽省舒城中学三模（文））以下曲线与直线e e y x =-相切的是（ ） A ．221x y +=B ．e x y =C ．e ln x y x =D ．21e 2y x =6．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数2()ln f x a x bx =-的图象在1x =处与直线12y =-相切，则函数()f x 在[]1,e 上的最大值为（ ） A ．1-B ．0C ．12-D ．17．（2023·全国·高三专题练习）曲线e 22x y x x =+-在0x =处的切线方程是（ ） A ．320x y ++= B ．220x y ++= C ．220x y --=D ．320x y --=8．（2023·河北·高三阶段练习）若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（ ） A ．2log m n >B ．2log n m >C ．2log m n <D ．2log n m <9．（2022·全国·高三专题练习）曲线ln y x =上的点到直线2y x =+的最短距离是（ ） A ．22B 32C 2D 210．（2022·河南·高三阶段练习（理））曲线ln 3y x x x =+-在1x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．811．（2023·全国·高三专题练习）过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题12．（2021·全国·高考真题（理））曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 13．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e ()e x xaf x +=满足()()0f x f x ，且()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，则a b +=___________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则21a b+的最小值为___________.15．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.16．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 三、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln f x p x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2e g x x =若直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切，且与函数()f x 的图象相切于点()1,0，求p 的值；18．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()ln f x x x ax b =++在e x =时取得极小值1e -，其中e 2.718=是自然对数的底数.(1)求实数a 、b 的值； (2)若曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线过原点()0,0，求实数t 的值.。
高2017级数学备课组“一课一研”记录表五、教学过程教学意见和建议（一）1．导数的概念(1)定义如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值ΔyΔx就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.如果当Δx→0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim→∆x错误!未指定书签。
ΔyΔx＝0lim→∆x错误!未指定书签。
f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.由于是文科慢班，所以第一节课我先重点是让学生了解导数概念的实际背景，学会结合物理学导数意义求解。
二、学情分析导数是每次考试必考的内容，时间离得也比较近学生对基本公式的回忆不难，但是对导数的概念，几何意义等知识点的运用是一个难点，学生的运算也很马虎。
三、数学思想数形结合分类与整合化归与转化四、学科核心素养数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x 错误!未指定书签。
f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx. (3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ； ②求平均变化率ΔyΔx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx .（二） 例题分析类型一 导数的概念已知函数y ＝12+x .(1)求函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率； (2)求函数在x ＝1处的导数． 点 拨：利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx ，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．(1)航天飞机发射后的一段时间内，第t s 时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m)．(Ⅰ)求航天飞机在第1 s 内的平均速度；(Ⅱ)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度． 解：(Ⅰ)航天飞机在第1 s 内的平均速度为 h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m/s. (Ⅱ)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为。
