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湘教版2017—2018学年八年级数学下学期2.6.2 菱形的判定要点感知1 四条边__________的四边形是菱形.预习练习1-1 用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )A.一组临边相等的四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形要点感知2 对角线__________的平行四边形是菱形.预习练习2-1 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的条件是( )A.BA=BCB.AC，BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CD知识点1 四条边都相等的四边形是菱形1.如图，四边形ABCD内有一点E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠AED的大小是( )A.120°B.130°C.140°D.150°2.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是__________，学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6 m和8 m，则这个花圃的面积为__________.3.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD=BC，求证：四边形EFGH是菱形.知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是____________________(写出一个即可).5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E 在AO上，且OE=OC.(1)求证：∠1=∠2；(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由.6.如图，在三角形ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，展开后折痕分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形.7.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的条件是( )A.AB＝BCB.AC＝BCC.∠B＝60°D.∠ACB＝60°8.如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，做AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形.乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形.根据两人的作法可判断( )A.甲正确，乙错误B.乙正确，甲错误C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误9.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=______.10.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________(填序号).11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形.12.如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α(α<60°)，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF.(1)求证BE=CD；(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.13.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点E是CD上一点，BE 交AC于点F，连接DF.(1)证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由.参考答案要点感知1 都相等预习练习1-1 B要点感知2 互相垂直预习练习2-1 B1.B2.菱形24 m23.证明：∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF=12AD.同理可得：GH=12AD，GF=12BC，HE=12BC，又AD=BC，∴EF=GF=GH=HE.∴四边形EFGH是菱形.4.答案不唯一，如AB=AD或AB=BC或AC⊥BD等5.(1)证明：∵在△ADC和△ABC中，AD＝AB，AC=AC，DC=BC，∴△ADC≌△ABC(SSS).∴∠1=∠2；(2)四边形BCDE是菱形；证明：∵DC=BC，∠1=∠2，∴AC垂直平分BD.又∵OE=OC，∴四边形DEBC是平行四边形.∵AC⊥BD，∴四边形DEBC是菱形.6.证明：连接EF，交AD于点O，∵AD平分∠BAC，∴∠EAO=∠FAO.∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°.在△AEO和△AFO中，∠EAO=∠FAO，AO=AO，∠AOE=∠AOF，∴△AEO≌△AFO(ASA).∴EO=FO.∵A点与D点重合，∴AO=DO.∴EF，AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形.又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形.7.B 8.C 9.25°10.③11.证明：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BCD＋∠B＝180°.∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形.∴∠B＝∠D.∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ABM≌Rt△ADN.∴AB＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形.12.(1)证明：由题知AE＝AD,AB＝AC,∠BAC＝∠EAD＝α.∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD,即∠EAB=∠DAC.∴△EAB≌△DAC.∴BE＝CD.(2)四边形BDFE是菱形.∵AB＝AC，AD⊥BC,∴BD＝CD.∵BE＝CD,∴BE＝BD.∵△EAB≌△DAC，∴∠EBF＝∠C.∵∠ABC＝∠C,∴∠EBF＝∠ABC.∵BF＝BF,∴△EBF≌△DBF.∴EF＝DF.∵EF∥BC,∴∠EFB＝∠FBD.∴∠EFB＝∠EBF.∴EF＝EB.∴BD＝BE＝EF＝FD.∴四边形BDFE是菱形.13.(1)证明：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠BAC=∠DAC.∵AB=AD，∠BAF=∠DAF，AF=AF，∴△ABF≌△ADF(SAS).∴∠AFB=∠AFD.又∵∠CFE=∠AFB，∴∠AFD=∠CFE.∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE.(2)∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD.又∵∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD. 理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF.又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF(SAS).∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°.∴∠ECB+∠CBF=∠EFD+∠EDF=90°. ∴∠EFD=∠BCD.。
18.2.2菱形的判定和性质基础训练一知识要点：1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2、菱形的性质（4和5是补充性质）1）、菱形具有平行四边形的一切性质；2）、菱形的四条边都相等；3）、菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角4）、菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线，菱形还是中心对称图形5）、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积S=底×高3、菱形的判定方法：1）.有一组邻边相等的平行四边形。
2）.对角线相互垂直的平行四边形。
3）.四条边都相等的四边形。
二例题教学：题型一菱形的性质例1 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD 的延长线于的F.(1)求证：CE=CF；(2) 求证：DF=BE.题型二菱形的面积例2 如图，已知菱形的周长为40cm,两邻角度数比为1:2.（1）求菱形的两条对角线的长；（2）求菱形的面积题型三菱形的判定（有一组邻边相等的平行四边形）例3 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,E,F为对角线AC上两点，且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD为菱形题型四菱形的判定（对角线相互垂直的平行四边形）例4 如图平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F.求证：四边形AFCE是菱形。
题型五菱形的判定（四条边都相等的四边形）例5 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。
题型六菱形的性质和判定综合运用例6 如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．HGFE DCBA三巩固练习：1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______．2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________．3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______．4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______．5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__________(写出一个即可).6、已知在菱形ABCD中，下列说法错误的是（）．A. 两组对边分别平行B. 菱形对角线互相平分C. 菱形的对边相等D. 菱形的对角线相等7、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．A．对边相等B．对角相等C．对角线互相垂直D．对角线相等8、能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．不存在9、下列说法不正确的是（）．A．菱形的对角线互相垂直B．菱形的对角线平分各内角C．菱形的对角线相等D．菱形的对角线交点到各边等距离10、菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）．A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm11．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）．A．相等B．互相垂直且不平分C．互相平分且不垂直D．垂直且平分12．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（）．A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm13．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC•于点F，如果EF=4，那么CD的长为（）．A．2 B．4 C．6 D．814.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( )A.1B.3C.2D.2315.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A.10B.8C.6D.516.如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于( )A.3.5B.4C.7D.1417.若菱形的周长20 cm,则它的边长是__________cm.18.如图，菱形ABCD 的周长是20，对角线AC ，BD 相交于点O ，若BD=6，则菱形ABCD 的面积是( )A.6B.12C.24D.4819、菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B 、D 两点之间的距离为（ ）．A ．15B ．3215 C ．7.5 D ．315 20、菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm ，则它的周长为（ ）．A ．8cmB ．9cmC ．12cmD ．15cm21、菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）．A ．3：1B ．4：1C ．5：122.如图，已知AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( )A.△ABD 与△ABC 的周长相等B.△ABD 与△ABC 的面积相等C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍23.如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，若∠BAC ＝50°，则∠ABC 等于( )A.40°B.50°C.80°D.100°24.已知一个菱形的周长是20 cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( )A.12 cm 2B.24 cm 2C.48 cm 2D.96 cm2 25.如图，在菱形ABCD 中，AB=5，对角线AC=6，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为( )A.4B.125C.245D.526.如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是__________.27.如图，将菱形纸片ABCD 折叠.使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF.若菱形ABCD 的边长为2 cm ，∠A ＝120°，则EF ＝__________cm.28.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，AB=5，AO=4，求BD 的长.29.如图，已知四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别是边CD ，AD 的中点.求证：AE=CF.30、如图，菱形ABCD 中，E 是AB 中点，DE ⊥AB ，AB=4.求（1）∠ABC 的度数； （2）AC 的长； （3）菱形ABCD 的面积．31.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，求证：∠DHO=∠DCO.32、如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形33、如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD 满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．34.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.35.如图所示，等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等.(1)求证：∠AEF=∠AFE；(2)求∠B的度数.ABDEG H。
人教版八年级数学下册特殊的平行四边形第4课时菱形的判定同步练习第4课时菱形的判定基础训练知识点1 由对角线的位置关系判定菱形1‘(2016·齐齐哈尔)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件__________使其成为菱形(只填一个即可)‘2‘下列命题中正确的是()A‘对角线相等的四边形是菱形B‘对角线互相垂直的四边形是菱形C‘对角线相等的平行四边形是菱形D‘对角线互相垂直平分的四边形是菱形3‘如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是()A‘BA=BC B‘AC,BD互相平分C‘AC=BD D‘AB∥CD4‘在▱ABCD中,下列结论不一定正确的是()A‘AC=BDB‘当AC⊥BD时,它是菱形C‘当AC=BD时,它是矩形D‘AB=CD知识点2 由边的数量关系判定菱形5‘如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD 及其延长线上,且DE=DF‘给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC‘从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是__________‘(只填写序号)6‘(2016·遵义)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使▱ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是()A‘AB=AD B‘AC⊥BDC‘AC=BD D‘∠BAC=∠DAC7‘(2016·兰州)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积()A‘2B‘4 C‘4D‘88‘如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是()A‘AB=BC B‘AC=BCC‘∠B=60°D‘∠ACB=60°9‘如图,△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,若AE=4 cm,那么四边形AEDF的周长为()A‘12 cm B‘16 cm C‘20 cm D‘22 cm10‘如图,将▱ABCD沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F 处,则下列结论不一定成立的是()A‘AF=EF B‘AB=EFC‘AE=AF D‘AF=BE易错点臆造菱形的判定方法导致出错11‘下列命题:①四边都相等的四边形是菱形;②两组邻边分别相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形;④对角线相等的四边形是菱形;⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形‘其中正确的是‘(填序号)提升训练考查角度1 利用边的数量关系判定菱形12‘(2016·聊城)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC‘求证:四边形ADCF是菱形‘考查角度2 利用对角线的位置关系判定菱形13‘如图所示,AC是▱ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F‘(1)求证:△AOE≌△COF;(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由‘探究培优拔尖角度1 利用菱形的判定解矩形问题14‘如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD 相交于点M,与BD相交于点O,与BC相交于点N,连接BM,DN ‘(1)求证:四边形BMDN是菱形;(2)若AB=8,AD=16,求MD的长‘拔尖角度2 利用菱形的判定和性质探究满足条件的点的位置15‘如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF‘(1)证明:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定点E的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由‘参考答案1‘【答案】AC⊥BD(答案不唯一)2‘【答案】D3‘【答案】B4‘【答案】A5‘【答案】③6‘【答案】C解：根据菱形的定义可得,当AB=AD时▱ABCD是菱形,故A正确;根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得,当AC⊥BD 时,▱ABCD是菱形,故B正确;对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形,故C不正确; 当∠BAC=∠DAC时,在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC,∴▱ABCD是菱形‘故D正确‘7‘【答案】A解：如图,连接OE,与DC交于点F,易得四边形OCED为菱形,得到对角线互相平分且垂直,然后求出OE,DC的长,即可求出菱形OCED的面积‘8‘【答案】A9‘【答案】B10‘【答案】C11‘错解:①②③⑤诊断:②是最容易出错的,两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形,如图,AB=AD,BC=CD,但四边形ABCD不是菱形‘判定菱形时,要区分是在四边形还是平行四边形的基础上进行判定的,要注意两者的区别与联系‘正解:①③⑤12‘证明:∵AF∥CD,∴∠AFE=∠CDE‘∵E是AC的中点,∴AE=CE‘在△AFE和△CDE中,∴△AFE≌△CDE(AAS)‘∴AF=CD‘∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形‘∵∠B=90°,AC=2AB,∴∠ACB=30°,∠BAC=60°‘∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD‘∴DA=DC‘∴四边形ADCF是菱形‘13‘(1)证明:∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO‘∵点O是AC的中点,∴AO=CO‘又∵∠EOA=∠FOC,∴△AOE≌△COF‘(2)解:当EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形‘理由如下: 由(1)知△AOE≌△COF,∴OE=OF‘又∵AO=CO,∴四边形AFCE是平行四边形‘∴当EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形‘14‘(1)证明:∵MN是BD的垂直平分线,∴MB=MD,NB=ND,MN⊥BD‘∴∠BMN=∠DMN‘又∵AD∥BC,∴∠DMN=∠BNM‘∴∠BMN=∠BNM‘∴BM=BN‘∴BM=BN=ND=MD‘∴四边形BMDN是菱形‘(2)解:∵MB=MD,设MD的长为x,则MB=x,在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2,即x2=(16-x)2+82,解得x=10‘∴MD的长为10‘15‘(1)证明:在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC(SSS)‘∴∠BAC=∠DAC‘在△ABF和△ADF中,∴△ABF≌△ADF(SAS)‘∴∠AFB=∠AFD‘∵∠AFB=∠CFE,∴∠AFD=∠CFE‘(2)证明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD‘又∵∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACD‘∴AD=CD‘又∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD‘∴四边形ABCD是菱形‘(3)解:当BE⊥CD,即E为过B且和CD垂直的垂线与CD的交点时,∠EFD=∠BCD‘理由:∵四边形ABCD为菱形, ∴∠BCF=∠DCF‘在△BCF和△DCF中,∴△BCF≌△DCF(SAS)‘∴∠CBF=∠CDF‘∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°‘∴∠EFD=∠BCD‘。
八年级数学下册《菱形的判定》练习满分100分80分过关限时30分钟一．选择题（共4小题）1．下列可以判断是菱形的是()A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有()①当AB BC=时，四边形ABCD是菱形；②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；③当90ABC∠=︒时，四边形ABCD是菱形：④当AC BD=时，四边形ABCD是菱形；A．3个B．4个C．1个D．2个3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OC=．若要使四边=，OB OD形ABCD为菱形，则可以添加的条件是()A．AC BDAOB⊥∠=︒D．AC BD⊥C．60=B．AB BC4．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OAB OAD=，那么下列条件∠=∠，BO DO中不能判定四边形ABCD是菱形的为()A．OA OC==D．AD DC=B．BC DC=C．AD BC第3题图第4题图二．填空题（共4小题）5．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB OD=，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）6．如图在Rt ABCAC=，6BC=，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平ACB∆中，90∠=︒，8行四边形CDEB，当AD=时，平行四边形CDEB为菱形．7．如图所示，四边形ABCD中，AC BDBO DO==，6==，点P为线段AC上AO CO⊥于点O，8的一个动点．（1）填空：AD CD==．（2）过点P分别作PM AD⊥于M点，作PH DC⊥于H点．连结PB，在点P运动过程中，++的最小值为．PM PH PB8．如图1，边长为a 的正方形发生形变后成为边长为a 的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h ，我们把a h的值叫做这个菱形的“形变度”．例如，当形变后的菱形是如图2形状（被对角线BD 分成2个等边三角形），则这个菱形的“形变度”为2:3．如图3，正方形由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形，(AEF A ∆、E 、F 是格点）同时形变为△A E F '''，若这个菱形的“形变度” 1615k =，则A E F S '''=V ．三．解答题（共2小题）9．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，AH BC ⊥，点E 是AH 上一点，延长AH 至点F ，使FH EH =．求证：四边形EBFC 是菱形．10．如图（1），ABC ∆为等腰三角形，AB AC a ==，P 点是底边BC 上的一个动点，//PD AC ，//PE AB ． （1）用a 表示四边形ADPE 的周长为 ；（2）点P 运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形，请说明理由；（3）如果ABC ∆不是等腰三角形（图2)，其他条件不变，点P 运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形（不必说明理由）．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）【分析】由菱形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定是本题的关键．【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：Q四边形ABCD是平行四边形，=时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；∴①当AB BC②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；③当90∠=︒时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；ABC④当AC BD=时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．【分析】由条件OA OC=根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四=，OB OD边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论．【解答】解：OA OC=，Q，OB OD=∴四边形ABCD为平行四边形，A、AC BDQ，=∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、AB BCQ，⊥∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；Q，∠=︒AOBC、60不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、AC BDQ，⊥∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定；关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【分析】利用菱形的判定依次进行判断即可．【解答】解：A、若AO OC=，=，且BO DO∴四边形ABCD是平行四边形，//∴AB CD∠=∠BAO OCD∴∠=∠，且OAB OAD∴∠=∠OAD OCD∴=，AD CD∴四边形ABCD是菱形故A选项不符合题意B、若BC DC==，BO DO∴是BD的垂直平分线AC∴=AB AD则不能判断四边形ABCD是菱形故B选项符合题意，=，Q，BO DOC、OAB OAD∠=∠∴=，且BO DOAB AD=∴垂直平分BDAC=BC CD∴=，且AD BC∴===AB AD BC CD∴四边形ABCD是菱形故C选项不符合题意D、OAB OAD=，∠=∠Q，BO DO∴=，且BO DOAB AD=AC∴垂直平分BD=BC CD∴=，且AD CD∴===AB AD BC CD∴四边形ABCD是菱形故D选项不符合题意故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，熟练地掌握菱形的判定，注意与矩形、正方形、平行四边形的判定进行比较，是提高同学们综合能力的关键． 二．填空题（共4小题）【分析】可以添加条件OA OC =，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论． 【解答】解：OA OC =， OB OD =Q ，OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥Q ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故答案为：OA OC =．【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．【分析】首先根据勾股定理求得10AB =，由菱形的性质可得OD OB =，CD CB =，根据勾股定理可得OB 的值，由2AD AB OB =-可求AD 的长． 【解答】解：如图，连接CE 交AB 于点O ． Rt ABC ∆Q 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，2210AB AC BC ∴=+=若平行四边形CDEB 为菱形时，CE BD ⊥，OD OB =，CD CB =． Q1122AB OC AC BC =g g ， 245OC ∴=． 22185OB BC OC ∴=-= 1425AD AB OB ∴=-=故答案为：145【点评】本题考查了菱形的判定与性质．求出OB 的长是本题的关键．【分析】（1）在ADO ∆中，由勾股定理可求得10AD =，由AC BD ⊥，AO CO =，可知DO 是AC 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知AD DC =；（2）由PM PH +为定值，当PB 最短时，PM PH PB ++有最小值，由垂线的性质可知当点P 与点O 重合时，OB 有最小值．【解答】解：（1）AC BD ⊥Q 于点O ， AOD ∴∆为直角三角形．22228610AD AO OD ∴=+=+=． AC BD ⊥Q 于点O ，AO CO =， 10CD AD ∴==．故答案为：10；（2）如图1所示：连接PD ．ADP CDP ADC S S S ∆∆∆+=Q ，∴111222AD PM DC PH AC OD +=g g g ，即1111010166222PM PH ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯． 10()166PM PH ∴⨯+=⨯． 9648105PM PH ∴+==， ∴当PB 最短时，PM PH PB ++有最小值，Q 由垂线段最短可知：当BP AC ⊥时，PB 最短．∴当点P 与点O 重合时，PM PH PB ++有最小，最小值4878655=+=． 故答案为：10，785． 【点评】本题主要考查了勾股定理、垂线段的性质、三角形的面积公式、垂线段的性质，利用面积以及三角形的面公式求得PM PH +的值是解答问题（2）的关键；利用垂线段的性质得到BP 垂直于AC 时，PM PH PB ++有最小值是解答问题（3）的关键．【分析】求出形变前正方形的面积，形变后菱形的面积，两面积之比=菱形的“形变度”，求AEF ∆的面积，根据两面积之比=菱形的“形变度”，即可解答． 【解答】解：如图，在图2中，形变前正方形的面积为：2a ，形变后的菱形的面积为：233a =g， ∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比：22323a = Q 这个菱形的“形变度”为23∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比=这个菱形的“形变度”，112222422AEF S ∆=⨯⨯+⨯⨯=，Q 若这个菱形的“形变度” 1615k =， ∴1615AEF A E F S S ∆'''=V ，即41615A E F S '''=V ， 154A E F S '''∴=V ． 故答案为：154． 【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质以及四边形综合，根据题意得出菱形形变前的面积与形变后的面积之比是解题关键． 三．解答题（共2小题）【分析】根据题意可证得BCE ∆为等腰三角形，由AH CB ⊥，则BH HC =，从而得出四边形EBFC 是菱形． 【解答】证明：AB AC =Q ，AH CB ⊥，BH HC ∴=，……………………………………………………3分FH EH =Q ，∴四边形EBFC 是平行四边形，………………………………6分又AH CB ⊥Q ，∴四边形EBFC 是菱形．………………………………………10分【点评】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．【分析】（1）由题意可得四边形ADPE 为平行四边形，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得DB DP =，即可求四边形ADPE 的周长；（2）当P 为BC 中点时，四边形ADPE 是菱形，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得AE EP =，则平行四边形ADPE 是菱形；（3）P 运动到A ∠的平分线上时，四边形ADPE 是菱形，首先证明四边形ADPE 是平行四边形，再根据平行线的性质可得13∠=∠，从而可证出23∠=∠，进而可得AE EP =，然后可得四边形ADPE 是菱形． 【解答】解：（1）//PD AC Q ，//PE AB∴四边形ADPE 为平行四边形AD PE ∴=，DP AE =，AB AC =Q B C ∴∠=∠， //DP AC QB DPB ∴∠=∠ DB DP ∴=∴四边形ADPE 的周长2()2()22AD DP AD BD AB a =+=+==故答案为：2a …………………………………………………………………………2分 （2）当P 为BC 中点时，四边形ADPE 是菱形．………………………………3分 理由如下：连结AP ……………………………………………………………………………4分//PD AC Q ，//PE AB∴四边形ADPE 为平行四边形…………………………………………………………5分AB AC =Q ，P 为BC 中点PAD PAE ∴∠=∠…………………………………………………………………………6分//PE AB QPAD APE ∴∠=∠ PAE APE ∴∠=∠EA EP∴=………………………………………………………………………………7分∴四边形ADPE是菱形…………………………………………………………………8分（3）P运动到A∠的平分线上时，四边形ADPE是菱形，…………………………10分PE AB，Q，//PD AC//∴四边形ADPE是平行四边形，Q平分BACAP∠，∴∠=∠，12//Q，AB EP∴∠=∠，13∴∠=∠，23∴=，AE EP∴四边形ADPE是菱形．【点评】本题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．。
初中数学菱形的性质菱形的判定练习题一、单选题1.已知,□ABCD 中,若∠A+∠C=120°,则∠B 的度数是( )A.100°B.120°C.80°D.60°2.四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD 为平行四边形的是( )A.//AD BCB.OA OC =,OB OD =C.//AD BC ，AB DC = D .AC BD ⊥3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角都相等B.四条边相等C.对角线相等D.对角线互相平分4.如图,在菱形ABCD 中,AC=8,BD=6,则△ABD 的周长等于( )A.18B.16C.15D.145.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直6.如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,要使它成为菱形,那么需要添加的条件可以是( )A.AC⊥BDB.AB=ACC.∠ABC=90°D.AC=BD二、证明题7.如图，四边形ABCD 是菱形，DE AB ⊥交BA 的延长线于点,E DF BC ⊥交BC 的延长线于点F.求证:DE DF =.三、填空题8.如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若=6AD ，=16AC BD +，则BOC △的周长为 ．9.如图，在菱形ABCD 中，对角线6,10AC BD ==.则菱形ABCD 的面积为 .10.如图,四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ,有下列条件:①,?AO CO BO DO ==;②AO BO CO DO ===.其中能判断ABCD 是矩形的条件是__________(填序号)11.如图,E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点,CE=AC,AE 交CD 于F,则∠AFC 的度数为__________。
§18.2.2.2菱形的判定一、知识导航菱形的判定二、重难点突破重点1利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定例1.如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且DE =BF ，AC ⊥EF ，求证：四边形AECF是菱形．【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明【详解】证明： 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，DE BF = ，AE CF ∴=，//AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，AC EF ⊥ ，∴四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．类别判定方法符号语言图形边有一组邻边相等的平行四边形是菱形在ABCD 中，AB BC = ，ABCD ∴ 是菱形四条边相等的四边形是菱形在四边形ABCD 中，∵AB BC CD DA===∴四边形ABCD 是菱形对角线对角线互相垂直的平行四边形是菱形在ABCD 中，AC BD⊥ ABCD ∴ 是菱形变式1-1如图，在▱ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD ，BC 于E ，F ，连接BE ，DF ．求证：四边形BFDE是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE ≌△BOF ，得到OE=OF ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE 为菱形．【详解】∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中，EOD FBO OD OB EOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DOE ≌△BOF （ASA ）,∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF 是解题关键．变式1-2已知：如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别相交于点E 、F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A 、E 、C 、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．【分析】（1）由矩形的性质：OB =OD ，AE //CF ，进一步即可证明△BOE ≌△DOF ；重点点拨：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．（2）若四边形为菱形，则对角线互相垂直，因此可添加条件：EF ⊥AC ，再根据（1）的结论和题目条件证明OA =OC ，OE =OF ，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形．证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形得判定等知识，证明定理的综合运用能力是解决问题的关键．重点2利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定例2.如图，在平行四边形ABCD 中，DB DA =，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE .求证：四边形AEBD是菱形；【分析】由△AFD ≌△BFE ，推出AD=BE ，可知四边形AEBD 是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AD BC ，∴ADE DEB∠=∠∵F 是AB 的中点，∴AF BF=∴在AFD ∆与BFE ∆中，,,ADE DEB AF BF AFD BFE∠=∠=∠=∠∵//AD BC ，∴四边形AEBD 是平行四边形∵DB DA =，∴四边形AEBD 是菱形【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．变式2如图，在 ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，过点C 作CF ∥DB ，且CF ＝DE ，连接AE ，BF ，EF（1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若∠ABE +∠BFC ＝180°，则四边形ABFE 是什么特殊四边形？说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定解答即可．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ．∵CF ∥DB ，∴∠BCF =∠DBC ，∴∠ADB =∠BCF在△ADE 与△BCF 中DE CF ADE CBF AD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△ADE ≌△BCF （SAS ）．（2）四边形ABFE 是菱形理由：∵CF ∥DB ，且CF =DE ，∴四边形CFED 是平行四边形，∴CD =EF ，CD ∥EF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴AB =EF ，AB ∥EF ，∴四边形ABFE 是平行四边形．∵△ADE ≌△BCF ，∴∠AED =∠BFC ．∵∠AED +∠AEB =180°，∴∠ABE =∠AEB ，∴AB =AE ，∴四边形ABFE 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定知识点是解题的关键．重点3利用四条边相等的四边形是菱形进行判定例3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ，（1）证明：∠BAC=∠DAC ．（2）若∠BEC=∠ABE ，试证明四边形ABCD是菱形．【分析】由AB=AD ，CB=CD 结合AC=AC 可得△ABC ≌△ADC ，由此可得∠BAC=∠DAC ，再证△ABF ≌△ADF 即可得到∠AFB=∠AFD ，结合∠AFB=∠CFE 即可得到∠AFD=∠CFE ；（2）由AB ∥CD 可得∠DCA=∠BAC 结合∠BAC=∠DAC 可得∠DCA=∠DAC ，由此可得AD=CD 结合AB=AD ，CB=CD 可得AB=BC=CD=AD ，即可得到四边形ABCD 是菱形.【详解】（1）在△ABC 和△ADC 中，∵AB=AD ，CB=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中，重点点拨：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形．【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的关键．变式3如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．【分析】(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根据CF∥AB 得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA.从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形．【详解】(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED在△AED 与△CFDEAC ＝∠FCA ，AED ＝∠CFD ，＝CD ，∴△AED ≌△CFD(AAS)∵△AED ≌△CFD∴AE ＝CF∵EF 为线段AC 的垂直平分线∴EC ＝EA ，FC ＝FA∴EC ＝EA ＝FC ＝FA∴四边形AECF 为菱形．【点睛】判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．难点4菱形的性质与判定的综合例4.如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且32BE DF ==.（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）求线段EF 的长．【分析】（1）根据菱形的性质得到4CD AB ==，2AD BD ==，CD AB ，90D B ∠=∠=︒，求得35422CF AE ==-=，根据勾股定理得到52AF CE ==，于是得到结论；（2）过F 作FH AB ⊥于H ，得到四边形AHFD 是矩形，根据矩形的性质得到32AH DF ==，2FH AD ==，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，∴4CD AB ==，2AD BD ==，CD AB ，90D B ∠=∠=︒，重点点拨：在无法确定一个四边形是平行四边形的情况下，要证明该四边形是菱形，可考虑利用“四条边相等的四边形是菱形”进行证明.∵32 BE DF==，∴35422 CF AE==-=，∴52 AF CE==，∴52 AF CF CE AE====，∴四边形AECF是菱形；（2）解：过F作FH AB⊥于H，则四边形AHFD是矩形，∴32AH DF==，2FH AD==，∴53122EH=-=，∴EF==【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．变式4如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；（2）将菱形ADCF的面积转换成△ABC的面积，再用S△ABC=12AB•AC，结合条件可求得答案．【详解】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE．在△AEF和△DEB中AFE DBE DEB AEF AE DEìÐ=ÐïïïïÐ=Ðíïïï=ïî∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB．∵D是BC的中点，∴BD=CD=AF，∴四边形ADCF是平行四边形．∵∠BAC＝90°，∴AD＝CD＝12 BC．∴四边形ADCF是菱形；(2)解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，∴S菱形ADCF ＝CD•h＝12BC•h＝S△ABC＝12AB•AC＝168242⨯⨯=．【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．难点点拨：利用菱形的性质和判定解决问题，一般是先判定一个四边形是菱形，再根据菱形的性质解决其他问题.判定一个四边形是菱形的思路：三、提升训练1.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定四边形ABCD 是矩形的是（）A ．AC ⊥BDB ．AB ⊥BC C ．AC ＝BD D ．∠1＝∠2【答案】A 【分析】根据菱形和矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的性质逐项判断即可得．【详解】解：A 、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，添加AC BD ⊥能判定ABCD 是菱形，不一定是矩形，则此项符合题意；B 、由有一个角是直角的平行四边形是矩形可知，添加AB BC ⊥能判定ABCD 是矩形，则此项不符题意；C 、由对角线相等的平行四边形是矩形可知，添加AC BD =能判定ABCD 是矩形，则此项不符题意；D 、12∠=∠ ，OA OD ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，2,2AC OA BD OD ∴==，AC BD ∴=，ABCD ∴ 是矩形，即添加12∠=∠能判定ABCD 是矩形，则此项不符题意；故选：A ．【点睛】本题考查了菱形和矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．2.顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是（）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．梯形【答案】B【分析】题中给出的条件是中点，所以利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【详解】解：连接A C 、BD ，在△ABD 中，∵AH =HD ，AE =EB ，∴EH =12BD ，同理FG =12BD ，HG =12AC ，EF =12AC ，又∵在矩形ABCD 中，AC =BD ，∴EH =HG =GF =FE ，∴四边形EFGH 为菱形．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质和菱形的判定方法，解题的关键是掌握菱形的判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形称为菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．3.如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF =3，那么菱形ABCD 的周长为（）A．24B．18C．12D．9【答案】A【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．4.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．13B．14C．15D．16【答案】D【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=12BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．【详解】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∴∠DAE =∠BAE ，∴∠BAE =∠BEA ，∴AB =BE ，同理可得AB =AF ，∴AF =BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB =AF ，∴四边形ABEF 是菱形，∴AE ⊥BF ，OA =OE ，OB =OF =12BF =6，∴OA ，∴AE =2OA =16．故选：D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF 是菱形是解决问题的关键．5.如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=︒，FO FC =．则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②四边形DEBF 为菱形；③OC FB =；④2AM BM =；⑤:3:2BOM AOE S S = ．其中正确结论的个数是（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C 【分析】证明△OFB ≌△CFB ，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；根据OC=OB ，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM ，故结论④是错误的；证NE ∥BM ，AN=NO=OM ，所以BM=3NE ，AO=2OM ，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.【详解】连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD ，AC 、BD 互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，FC=AE，∴DF=BE，DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF，∴四边形EBFD是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB＞OB，∵OB=OC，∴FB＞OC，∴③错误，在直角三角形AMB 中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM ，∴④错误，设ED 与AC 的交点为N ，设AE=OE=2x ，则NE=x ，BE=4x ，∴AB=6x ，∴BM=3x ，∴11::22BOM AOE S S OM BM AO NE =⋅⋅ =3:2OM x OM x⋅⋅=3:2，结论⑤正确.故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.6.如图，将两张对边平行且相等的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD_________菱形（是，或不是）．【答案】是【分析】如图（见解析），先根据“两张对边平行且相等的纸条”得出//,//,AB CD AD BC BE DF =，再根据平行四边形的判定可得四边形ABCD 是平行四边形，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AB AD =，最后根据菱形的判定即可得．【详解】如图，过点B 作BE AD ⊥，交DA 延长线于点E ，过点D 作DF AB ⊥，交BA 延长线于点F由题意得：//,//,AB CD AD BC BE DF=∴四边形ABCD 是平行四边形在ABE △和ADF 中，90BAE DAF AEB AFD BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩(AAS)ABE ADF ∴≅ AB AD∴=∴平行四边形ABCD 是菱形故答案为：是．【点睛】本题考查了平行四边形与菱形的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形与菱形的判定是解题关键．7.已知四边形ABCD 是矩形，点E 是矩形ABCD 的边上的点，且EA EC =．若6AB =，AC =DE 的长是___．【答案】83或3【分析】根据EA EC =，则E 在AC 的中垂线上，作AC 的中垂线交,DC AB 于12,,E E 交AC 于O ，所以：如图的12,E E 都符合题意，先证明四边形12AE CE 是菱形，再利用菱形的性质与勾股定理可得答案．【详解】EA =EC ，E ∴在AC 的中垂线上，作AC 的中垂线交,DC AB 于12,,E E 交AC 于O ，所以：如图的12,E E 都符合题意，矩形,ABCD //,AB DC ∴12,CE O AE O ∴∠=∠21,,OA OC AOE COE =∠=∠ 21,AOE COE ∴ ≌21,OE OE ∴=12,,OA OC AC E E =⊥ ∴四边形12AE CE 是菱形，1122,AE E C CE AE ∴===6AB = ，210AC =，90ABC ∠=︒，()22210642,BC ∴=-==2,AD ∴=设1,DE x =则116,CE AE x ==-()22262,x x ∴-=+8,3x ∴=18,3DE ∴=218106,33AE AE ∴==-=222102342,33DE ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭DE ∴的长为：83或234.3【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．8.如图平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①FE＝GE；②AE＝GF；③AE⊥GF；④FE⊥GE；⑤∠ADB＝2∠CBE；⑥GF平分∠AGE，其中正确的有_____．【答案】①③⑤⑥【分析】根据平行四边形的性质可得证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BE⊥AC，根据直角三角形斜边中线定理得GE＝12AB，由三角形中位线得EF＝12CD，进而得到EG＝EF，可判断①；证明四边形AGEF是菱形可判断②③⑥；④易证BE⊥AE，四边形BEFG是平行四边形，由EG＝EF，要使EF⊥GE，则∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，没有条件AE＝BE，或∠BAC＝45°，可判断④；根据平行线的性质和等腰三角形的性质可判断⑤．【详解】①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD＝BC，DO＝BO＝12 BD，∵BD＝2AD，∴AD＝DO，BC＝BO，∴△BOC是等腰三角形，∵E是CO中点，∴EB⊥CO，∴∠BEA＝90°，∵G为AB中点，∴EG＝12 AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF＝12 CD，∴EG＝EF，故①正确；②连接AF，Rt△AEB中，G是AB的中点，∴EG＝12AB＝AG，∵EG＝EF，∴AG＝EF，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF//CD，∵AB//CD，∴AG//EF，∴四边形AGEF是菱形，∴AE⊥FG，GF平分∠AGE，故②错误，③⑥正确；③∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF//DC，∵DC//AB，∴EF//AB，∴∠EFG＝∠AGF，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠EGF，∴∠EGF＝∠AGF，∴GF平分∠AGE，故③正确；④由①知：BE⊥AE，由②、③得：EF//AB，EF＝12CD＝12AB＝BG，∴四边形BEFG是平行四边形，∵EG＝EF，∴要使EF⊥GE，则∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，没有条件AE＝BE，或∠BAC＝45°，故④错误；⑤∵AD//BC，∴∠ADB ＝∠CBD ＝2∠CBE ，∴故⑤正确；本题正确的有：①③⑤⑥．故答案为：①③⑤⑥．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．9.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：△AEF ≌△DEB ；（2）证明四边形ADCF是菱形．【分析】（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可；（2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可．【详解】（1）∵//BC AF ，∴AFE DBE ∠=∠，∵E 是AD 的中点，∴AE DE =，在△AEF 与△DEB 中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEF DEB AAS ≅△△；（2）由（1）可知，AF BD =，∵D 是BC 的中点，∴BD CD =，∴AF CD =，∵//AF CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，又∵△ABC 为直角三角形，∴DA DC =，∴四边形ADCF 是菱形．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．10.如图，已知，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ，连接AF 、CE ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）求证：四边形AFCE 为菱形；（3）求菱形AFCE的周长．【分析】（1）求出AO =OC ，∠AOE =∠COF ，根据平行的性质得出∠EAO =∠FCO ，根据ASA 即可得出两三角形全等；（2）根据全等得出OE =OF ，推出四边形是平行四边形，再根据EF ⊥AC 即可推出四边形是菱形；（3）设AF =x cm ，则CF =AF =x cm ，BF =（8-x ）cm ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得出方程42+（8-x ）2=x 2，求出x 的值，进而得到菱形AFCE 的周长．【详解】（1）证明：∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，∠AOE =∠COF =90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO =∠FCO ．在△AOE 和△COF 中，EAO FCO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE ≌△COF （ASA ）；（2）证明：∵△AOE ≌△COF ，∴OE =OF ，∵OA =OC ，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE为菱形；（3）解：设AF=x cm，则CF=AF=x cm，BF=（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．所以菱形AFCE的周长为5×4=20cm．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，矩形的性质等知识.根据勾股定理并建立方程是解题的关键.。
菱形的判定01基础题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是(C)A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BD第1题图第2题图2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED 为菱形的是(B)A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形．∴∠FAD＝∠EDA.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.∴∠EDA＝∠EAD.∴AE＝ED.∴四边形AEDF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件BO＝DO(答案不唯一)，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)5．(2017·岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO＝DO.∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD.∴AB＝AD.∴四边形ABCD为菱形．知识点3四条边相等的四边形是菱形6．(2016·大庆)下列说法正确的是(D)A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形7．(2017·宁夏)在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B 落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．证明：∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD.由折叠性质得：∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM.∴∠DAM＝∠AMD.∴DA＝DM＝AB＝BM.∴四边形ABMD是菱形．02中档题8．(2017·聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是(D)A ．AB ＝ACB ．AD ＝BDC ．BE ⊥ACD ．BE 平分∠ABC9．如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是(B )A ．矩形B ．菱形C ．一般的四边形D ．平行四边形第9题图 第10题图10．(2016·兰州)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，AD ＝23，DE ＝2，则四边形OCED 的面积为(A)A ．2 3B ．4C ．4 3D ．811．(2016·沈阳)如图，△ABC ≌△ABD ，点E 在边AB 上，CE ∥BD ，连接DE. 求证：(1)∠CEB ＝∠CBE ；(2)四边形BCED 是菱形．证明：(1)∵△ABC ≌△ABD ，∴∠ABC ＝∠ABD.∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠ABD.∴∠CEB ＝∠CBE.(2)∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD.由(1)得∠CEB ＝∠CBE ，∴CE ＝CB.∴CE ＝BD.又∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形．又∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．12．(2016·聊城)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF ∥BC ，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC.求证：四边形ADCF 是菱形．证明：∵AF ∥CD ，∴∠AFE ＝∠CDE.在△AFE 和△CDE 中，⎩⎨⎧∠AFE ＝∠CDE ，∠AEF ＝∠CED ，AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )．∴AF ＝CD.∵AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∴AE ＝AB.∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠BAD.又∵AD ＝AD ，∴△AED ≌△ABD(SAS )．∴∠AED ＝∠B ＝90°，即DF ⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形．03 综合题13．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ≠CD ，BD ＝AC.(1)求证：AD ＝BC ；(2)若E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，求证：线段EF 与线段GH 互相垂直平分．证明：(1)延长DC 至K ，使CK ＝AB.连接BK.∵AB ∥ CK ，∴四边形ABKC 是平行四边形．∴AC ∥ BK.∴∠ACD ＝∠K.∵BD ＝AC ，AC ＝BK ，∴BD ＝BK.∴∠BDC ＝∠K.∴∠ACD ＝∠BDC.在△ACD 和△BDC 中，⎩⎨⎧AC ＝BD ，∠ACD ＝∠BDC ，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△BDC(SAS )．∴AD ＝BC.(2)分别连接EH ，HF ，FG 和GE. ∵E ，H 分别是AB ，BD 的中点， ∴EH 为△ABD 的中位线．∴EH ＝12AD. 同理：GF ＝12AD ，EG ＝12BC ，HF ＝12BC. 又由(1)知AD ＝BC ，∴EH ＝HF ＝FG ＝GE. ∴四边形EHFG 是菱形．∴线段EF 与线段GH 互相垂直平分．。
菱形的性质与判定练习1、一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为 cm2．2、已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比3:4，则菱形面积为______________cm2．3、如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．4、如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为_______．5、如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB= ．6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=4，则四边形CODE的周长．7、已知菱形的周长为 40 cm ，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________．8、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于 .9、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是____________(写出一个即可)．10、如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O， E是CD的中点，且OE=2，则菱形ABCD的周长等于．11、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6 cm，则AB=________cm.12、两对角线分别是6cm和8cm的菱形面积是 cm2，周长是 cm．13、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= 时，平行四边形CDEB为菱形。
14、如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线BD=22，则点D到直线AB的距离DE= ，点D到直线BC的距离等于．15、如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为．16、如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件，就能保证四边形EFGH是菱形．17、如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD．DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 cm．18、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于．19、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE ⊥BC，垂足为点E，则OE= ．20、．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD 于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．21、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=120°，则∠AOE= ．22、如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D 的坐标为（0，2），则点C的坐标为．23、如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= 度．24、在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为．25、如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm，24cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是 cm．26、将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF．若BC=6，则AB的长为．27、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为．28、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为．29、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80º，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于．30、如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B 为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC.若AB=2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为________cm.31、把两张宽为2 cm的矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分(图中的阴影部分)的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm2.32、如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是．33、如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．34、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．35、已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．36、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．37、如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是_________.38、如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°，点O、B在y 轴上，OA=1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3……，连续翻转2017次，则B2017的坐标为__ ______.39、如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…依此类推，这样做的第n个菱形AB n C n D n的边AD n的长是．40、已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有_____________个；第2014个图形中直角三角形的个数有_____________个．参考答案1、答案为：120．2、答案为：243、答案为：1：2，．4、答案为：96．°．6、答案为：16．7、答案为：96 cm 28、答案为：3；9、答案为：AB=AD(答案不唯一)10、答案为：1611、答案为：1212、答案为：24，20．13、答案为：1.4；14、答案为：11，11．15、答案为：4.8；16、答案为：AC=BD．17、答案为：16．18、答案为：3.5；19、答案为：2.4．20、答案为：50°．21、答案为：60°．22、答案为：（4，4）；23、答案为：45；24、答案为：12．25、答案为：．26、答案为：2．27、答案为：6．28、答案为：2.5；29、答案为：60度30、答案为：431、答案为：菱形，432、答案为：15．33、答案为：2．34、答案为：．35、答案为：5．36、答案为：2．37、答案为：38、答案为：（1345.5，）39、答案为：（）n﹣1．40、答案为：8， 4028。
自学资料一、菱形及其性质【知识探索】1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【说明】菱形的面积还可用对角线乘积除以2求得．2．菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【说明】（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形．1个对称中心，对称中心是其对角线的交点；2条对称轴，对称轴是其对角线所在的直线．【错题精练】第1页共16页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例1．（2002•杭州）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）A. 4B. 3C. 2D. 1【解答】C【答案】C【举一反三】1．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，则点的坐标是__________。
【解答】二、菱形的判定【知识探索】1．菱形的判定：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形．第2页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【错题精练】例1．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD【解答】C【答案】C例2．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是__________．【解答】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．例3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．第3页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】例4．△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；第4页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．【解答】此题要熟练多方面的知识，特别是全等三角形和平行四边形和菱形的判定．证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．（1分）又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，∴∠EAB=∠DAC，∴△AEB≌△ADC（SAS）．（3分）②方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴∠ABE=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABE=∠BAC，∴EB∥GC．（5分）又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．（5分）∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）（2）①②都成立．（8分）（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．（9分）理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD（10分）又∵CD=CB，∴BE=CB．（11分）由②得四边形BCGE是平行四边形，∴四边形BCGE是菱形．（12分）方法二：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD．（9分）又∵四边形BCGE是菱形，∴BE=CB（11分）∴CD=CB．（12分）方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，∴BE∥CG，EG∥BC，∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°（9分）∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．（10分）第5页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，∴AB=BE=BF，∴AE⊥FG（11分）∴∠EAG=30°，∵∠EAD=60°，∴∠CAD=30度．（12分）例5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=BC，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于F．求证：（1）四边形ABCD是菱形．（2）BF=DE．【解答】（1）有一组邻边相等的平行四边形为菱形，AD和BC既平行又相等，所以四边形ABCD为平行四边形，而AD=DC=BC，所以平行四边形ABCD为菱形；（2）要证BF=DE，而在原题中已知AE=DE，所以证明的方向就变为证BF=AE，而证BF=AE则可以通过证△FBM≌△EAM来实现．证明：（1）∵AD∥BC，AD=BC（已知），∴四边形ABCD为平行四边形．又邻边AD=DC，∴四边形ABCD为菱形；（3分）（2）证法一：如图：记EF与AC交点为G，EF与AB的交点为M．由（1）证得四边形ABCD为菱形，所以对角线AC平分∠A，即∠BAC=∠DAC．又∵EF⊥AC，AG=AG，∴△AGM≌△AGE，∴AM=AE．（6分）又∵E为AD的中点，四边形ABCD为菱形，∴AM=BM．∠MAE=∠MBF．又∵∠BMF=∠AME，∴△BMF≌△AME．∴BF=AE．第6页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴BF=DE．（8分）证法二：如图：连接BD∵四边形ABCD为菱形∴BD⊥AC∵EF⊥AC∴EF∥BD∵BF∥DE∴四边形BDEF是平行四边形∴BF=DE（8分）【举一反三】1．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A. ①③B. ②③C. ③④D. ①②③【答案】A2．（2002•咸宁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4．梯形的高DH与中位线EF交于点G，则下列结论中：①△DGF≌△EBH；②四边形EHCF是菱形；③以CD为直径的圆与AB相切于点E．正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个第7页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训D. 0个【解答】C【答案】C3．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是__________．【解答】首先根据BD⊥CD，点E是BC的中点可知DE=BE=EC=BC，又知DE∥AB，AD∥BC，可知四边形ABED是菱形，于是可得到AB=DE，再根据四边形ABCD是等腰梯形，可得AB=CD，进而得到DC=BC，然后可求出∠DBC=30°，最后求出∠BCD=60°．4．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是__________．【解答】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．5．如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求△ABC所扫过的图形的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．第8页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】（1）根据题意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，进而得出S平行四边形ABFE=2S△EAF，故可求出△ABC扫过图形的面积为S平行四边形ABFE；（2）根据平移的性质，可得四边形ABFE为菱形，故AF与BE互相垂直且平分；（3）根据题意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，BD•AC=3，可得AC•AC=3，进而可得AC的长度．6．如图，在∠ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．（1）求证：四边形BDEF是菱形；（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长．【解答】（1）可根据菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明四边形BFED是平行四边形，然后再证明四边形的邻边相等即可．（2）F是AB的中点，有了AB的长也就求出了菱形的边长BF的长，那么菱形BDEF的周长也就能求出了．（1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，∴DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，又∵DE=AB，EF=BC，且AB=BC，∴DE=EF，∴四边形BDEF是菱形；（2）7．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．DF平分∠ADC交BC于F．第9页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．【解答】（1）由平行四边形ABCD可得出的条件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、CD分别是等角∠ABD、∠CDA的平分线，易证得∠ABE=∠CDF④；联立①②④，即可由ASA 判定所求的三角形全等；（2）由（1）的全等三角形，易证得DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四边形BEDF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=∠CDF（2分），∴△ABE≌△CDF（ASA）；（4分）（2）1．如图，在菱形ABCD中，BC=3，点是BD的中点，延长BD到点E，使得BD=DE=2，连结CE，点M是CE的中点，则OM=．【答案】√17．22．如图，将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在C′处，BC′交AD于点E，DF∥BE交BC于点F．第10页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（1）求证：四边形BEDF是菱形．（2）若AB=4，AD=8，请求出菱形BEDF的边长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90∘，AD∥BC，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，由折叠，得∠Capos;=∠C，DCapos;=DC，∴∠A=∠Capos;，AB=DCapos;，又∵∠AEB=∠Capos;ED，∴△AEB≌△C′ED（AAS），∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形；（2）解：设AE=x，则BE=8−x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得42+x2=(8−x)2，解得x=3，∴BE=8−3=5，即菱形BEDF的边长为5．【答案】（1）略；（2）5．3．如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABC沿着BE折叠，使点A的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论：①若∠A=70∘，则∠ABC=35∘；②若点F是CD的中点，则S△ABE=1S ABCD3下列判断正确的是（）A. ①，②都对；B. ①，②都错；C. ①对，②错；D. ①错，②对．【答案】A4．如图，点E，F分别在▱ABCD的边BC，AD上．（1）若BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形；（2）请在图2中用圆规和直尺画出四边形AECF，使得四边形AECF是菱形．（不写作法，保留作图痕迹）【解答】（1）证明：四边形AECF为平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，又∵BE=DF，∴AF=CE，∴四边形AECF为平行四边形；（2）解：如图，四边形AECF就是所求作的菱形．【答案】略．5．如图，在正三角形网格中，菱形M经过旋转变换能得到菱形N，下列四个点中能作为旋转中心的是（）A. 点A；B. 点B；C. 点C；D. 点D．【答案】D6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求EF的长度；（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形．【解答】（1）解：∵BE平分∠ABC，∠ACB=90∘，EF⊥AB，垂足为F，∴EF=CE．在△BFE与△BCE中，∠C=∠BFE=90∘，{BE=BE，EF=EC∴△BFE≌△BCE，∴BF=BC=8．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，∴AB=10，∴AF=AB−BF=2．设EF=x，则CE=x，AE=6−x，在直角△AEF中，由勾股定理，得AE2=EF2+AF2，∴(6−x)2=x2+22，解得x=8；3（2）证明：∵在△BCE中，∠CEB=90∘−∠CBE，∠CGE=∠DGB=90∘−∠DBG，∴∠CEB=∠CGE，∴CE=CG；（3）证明：CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∵EF=CE，CE=CG，∴EF=CG，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=CG，∴CEFG是菱形．；（2）略；（3）略．【答案】（1）837．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求EF的长度；（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形．【解答】（1）解：∵BE平分∠ABC，∠ACB=90∘，EF⊥AB，垂足为F，∴EF=CE．在△BFE与△BCE中，∠C=∠BFE=90∘，{BE=BE，EF=EC∴△BFE≌△BCE，∴BF=BC=8．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，∴AB=10，∴AF=AB−BF=2．设EF=x，则CE=x，AE=6−x，在直角△AEF中，由勾股定理，得AE2=EF2+AF2，∴(6−x)2=x2+22，解得x=8；3（2）证明：∵在△BCE中，∠CEB=90∘−∠CBE，∠CGE=∠DGB=90∘−∠DBG，，∴∠CEB=∠CGE，∴CE=CG；（3）证明：CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∵EF=CE，CE=CG，∴EF=CG，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=CG，∴CEFG是菱形．【答案】（1）8；（2）略；（3）略．3● 矩形。
