椭圆、双曲线中与焦点三角形有关的问题.

椭圆、双曲线的焦点三角形问题一、有关面积的问题，方法：面积公式、余弦定理例1. 如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ， 所以e ＝12.(2)方法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为 y ＝－3(x －c)，将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB|＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c. 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB|·sin ∠F 1AB ＝12a·165c·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.方法二 设|AB|＝t.因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a. 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t)2＝a 2＋t 2－2atcos 60°可得，t ＝85a.由S △AF 1B ＝12a·85a·32＝235a 2＝40 3知，a ＝10，b ＝5 3.例2如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F F 12、分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，∠F PF 123=π，且△PF F 12的面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程.解析：设双曲线的方程为x a y ba b 2222100-=>>()，，F c F c 1200()()-，，，，P x y ()00，.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得||||||||||cos F F PF PF PF PF 12212221223=+-··π=-+(||||)||||PF PF PF PF 12212·，即 442212ca PF PF =+||||·，又因为S PF F △1223=，所以1232312||||sin PF PF ·π=， 所以||||PF PF 128·=，所以44822ca =+即b 22=，又因为e c a==2，所以a 223=. 故所求双曲线方程为322122x y -=. 二、有关21PF F ∠的问题，方法： 正弦定理、等比定理例3已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项． (1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tanF 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为3422y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ，椭圆的离心率21=e 则)60sin(23sin )60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=o o o o ，整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)∴53cos 1sin =+θθ故532tan =θ，tanF 1PF 2＝tan θ＝11352531532=-⋅． 三、有关内切圆的问题，方法：椭圆定义、切线长定理xyF 2F 1OP例4椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一点P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-， 12F PF ∆的内切圆记为M e ，求证：点P 到M e 的切线长为定值.证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a ，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a －2c 即 |PA|=a －c 为定值．四、有关轨迹的问题，方法： 例5例6已知椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一动点P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-，12F PF ∆的内切圆记为⊙M ，试求圆心M 的轨迹方程 .解析： 如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定义有||sin ||sin ||sin[()]PF PF F F 1212180βααβ==-+°，由等比定理有即1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a cαβαβαβαβ+=⇒=++++，又由合分比定理知tan tan 22a c a c αβ-⋅=+.由斜率公式知：12,(0),MF MF y y k k y x c x c==≠+-由前述不难看出，不论P位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有12tantan,(0).22MF MF y y a ck k y x c x c a cαβ-⋅=-⋅∴⋅=-≠+-+ 整理得(a －c)x 2＋(a ＋c)y 2=(a －c)c 2(y≠0)证毕．点评：由上获得的方程不难看出，△PF 1F 2的内切圆圆心M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果△PF F 12中出现两个角，可以考虑应用正弦定理.五、开放性问题，方法：例7、已知12F F ，为双曲线22221(00)a b x y a b a b≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题： ①12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上；②12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上； ③12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上； ④12PF F △的内切圆必通过点0a ()，． 其中真命题的代号是 ．解析：设12PF F △的内切圆分别与PF 1、PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则|PA|＝|PB|，|F 1A|＝|F 1M|，|F 2B|＝|F 2M|，又点P 在双曲线右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|F 1M|－|F 2M|＝2a ，而|F 1M|＋|F 2M|＝2c ，设M 点坐标为（x ，0），则由|F 1M|－|F 2M|＝2a 可得（x ＋c ）－（c －x ）＝2a 解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故①、④正确.六、曲线位置关系问题，方法：椭圆定义例8. 如图，设P 是椭圆上任一点，F 为椭圆的一个焦点，求证；以FP 为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切.。

微重点 椭圆、双曲线的二级结论的应用椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一 焦点三角形核心提炼焦点三角形的面积公式：P 为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F 1，F 2且∠F 1PF 2＝θ， 则椭圆中12PF F S △＝b 2·tan θ2，双曲线中12PF F S △＝b 2tan θ2.例1 (2022·临川模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率为e ＝12，点P 为该椭圆上一点，且满足∠F 1PF 2＝π3，已知△F 1PF 2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 答案 D解析 由e ＝12，得c a ＝12，即a ＝2c .①设△F 1PF 2的内切圆的半径为r ， 因为△F 1PF 2的内切圆的面积为3π， 所以πr 2＝3π，解得r ＝3(舍负)，在△F 1PF 2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式， 知12F PF S △＝b 2tan ∠F 1PF 22＝12r (2a ＋2c )，即33b 2＝3(a ＋c )，② 又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③得c ＝3，a ＝6，b ＝33， 所以该椭圆的长轴长为2a ＝2×6＝12. 易错提醒 (1)要注意公式中θ的含义．(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆．跟踪演练1 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，则有a 22＋b 22＝c 22＝c 21＝4－1＝3.又四边形AF 1BF 2为矩形， 所以△AF 1F 2的面积为b 21tan 45°＝b 22tan 45°， 即b 22＝b 21＝1.所以a 22＝c 22－b 22＝3－1＝2.故双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝32＝62. 考点二 焦半径的数量关系核心提炼焦半径的数量关系式：直线l 过焦点F 与椭圆相交于A ，B 两点，则1|AF |＋1|BF |＝2ab 2，同理，双曲线中，1|AF |＋1|BF |＝2ab 2.例2 已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，过F 2的直线与C 的右支交于A ，B 两点．若AF 2--→＝2F 2B --→，|AB |＝|F 1B |，则双曲线C 的方程为________． 答案 x 23－y 24＝1解析 如图，令|F 2B |＝t ，则|AF 2|＝2t ，∴|AB |＝3t ，|F 1B |＝3t ， 又1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， ∴12t ＋1t ＝2a b 2， 即32t ＝2a b2， 又|F 1B |－|F 2B |＝2a ，∴3t －t ＝2a ，∴2t ＝2a ，∴t ＝a ， ∴32a ＝2ab 2，即3b 2＝4a 2， 又c ＝7，∴a 2＋b 2＝7， 解得b 2＝4，a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 24＝1.易错提醒 公式的前提是直线AB 过焦点F ，焦点F 不在直线AB 上时，公式不成立． 跟踪演练2 已知椭圆C ：x 216＋y 24＝1，过右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF 2|＝2，则|AB |＝______，cos ∠F 1AB ＝________. 答案 83 －13解析 由椭圆方程知a ＝4，b ＝2，|AF 2|＝2，又1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， 即12＋1|BF 2|＝84， 解得|BF 2|＝23，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝83，由椭圆定义知|AF 1|＝8－2＝6，|BF 1|＝8－23＝223，在△AF 1B 中，由余弦定理，得 cos ∠F 1AB ＝62＋⎝⎛⎭⎫832－⎝⎛⎭⎫22322×6×83＝－13.考点三 周角定理核心提炼周角定理：已知点P 为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A ，B 为长轴(或实轴)端点，则椭圆中k P A ·k PB ＝－b 2a 2，双曲线中k P A ·k PB ＝b 2a2.例3 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右两个顶点为A ，B ，点M 1，M 2，…，M 5是AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为k (k ≠0)的一组平行线，交椭圆C 于P 1，P 2，…，P 10，则直线AP 1，AP 2，…，AP 10，这10条直线的斜率乘积为( ) A ．－116B ．－132C.164D.11 024答案 B解析 由椭圆的性质可得11·AP BP k k＝22·AP BP k k ＝－b 2a2＝－12.由椭圆的对称性可得11010111012·.BP AP BP AP AP AP k k k k k k =-＝，＝，同理可得293847561····=.2AP AP AP AP AP AP AP AP k k k k k k k k -＝＝＝∴直线AP 1，AP 2，…，AP 10这10条直线的斜率乘积为⎝⎛⎭⎫－125＝－132. 规律方法 周角定理的推广：A ，B 两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P 为椭圆(双曲线)上异于A ，B 的任一点，则椭圆中k P A ·k PB ＝－b 2a 2，双曲线中k P A ·k PB ＝b 2a2.跟踪演练3 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 2与该椭圆交于A ，M 两点，若∠F 1AF 2＝90°，则直线BM 的斜率为( ) A.13 B.12 C ．－1 D ．－12 答案 B解析 ∵∠F 1AF 2＝90°，∴△F 1AF 2为等腰直角三角形，∴b ＝c ， ∴a 2＝2b 2＝2c 2， ∴b 2a 2＝12， 且∠AF 2O ＝45°，∴k MA ＝－1， 又k MA ·k MB ＝－b 2a 2＝－12，∴k MB ＝12.考点四 过圆锥曲线上点的切线方程核心提炼已知点P (x 0，y 0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P 与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中x 0xa 2＋y 0y b 2＝1，双曲线中x 0x a 2－y 0y b2＝1.例4 已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1.如图，设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝R 2(1<R <2)相切于点A ，与椭圆C 相切于点B ，则|AB |的最大值为________．答案 1解析 连接OA ，OB ，如图所示．设B (x 0，y 0)，所以过点B 与椭圆相切的直线方程为x 0x4＋y 0y ＝1，即x 0x ＋4y 0y －4＝0， 又R 2＝|OA |2＝16x 20＋16y 20， R 为圆半径，R ∈(1,2)，|AB |2＝|OB |2－R 2＝x 20＋y 20－16x 20＋16y 20， 又x 24＋y 20＝1， 所以x 20＝4－4y 20， 所以|AB |2＝4－3y 20－43y 20＋1＝5－(3y 20＋1)－43y 20＋1≤5－24＝1， 当且仅当3y 20＋1＝43y 20＋1， 即y 20＝13，x 20＝83时，等号成立， 所以|AB |max ＝1， 此时R 2＝16x 20＋16y 20＝2， 即R ＝2∈(1,2)， 故当R ＝2时，|AB |max ＝1.规律方法 (1)该切线方程的前提是点P 在圆锥曲线上．(2)类比可得过圆(x －a )2＋(y －b )2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )·(y －b )＝1.跟踪演练4 已知F 为椭圆C ：x 23＋y 22＝1的右焦点，点A 是直线x ＝3上的动点，过点A 作椭圆C 的切线AM ，AN ，切点分别为M ，N ，则|MF |＋|NF |－|MN |的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 D解析 由已知可得F (1,0)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (3，t )则切线AM ，AN 的方程分别为x 1x 3＋y 1y2＝1，x 2x 3＋y 2y2＝1， 因为切线AM ，AN 过点A (3，t )， 所以x 1＋ty 12＝1，x 2＋ty 22＝1，所以直线MN 的方程为x ＋ty2＝1，因为F (1,0)， 所以1＋t ×02＝1，所以点F (1,0)在直线MN 上， 所以M ，N ，F 三点共线， 所以|MF |＋|NF |－|MN |＝0.专题强化练1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点P 作双曲线C 的切线l ，若直线OP 与直线l 的斜率均存在，且斜率之积为25，则双曲线C 的离心率为( )A.295B.303C.355D.305答案 C解析 设P (x 0，y 0)，由于双曲线C 在点P (x 0，y 0)处的切线方程为xx 0a 2－yy 0b 2＝1，故切线l 的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0，因为k ·k OP ＝25，则b 2x 0a 2y 0·y 0x 0＝25，则b 2a 2＝25， 即双曲线C 的离心率e ＝1＋25＝355. 2．(2022·保定模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与C 交于M ，N 两点，且四边形MF 1NF 2的面积为8a 2.若点M 关于点F 2的对称点为M ′，且|M ′N |＝|MN |，则C 的离心率是( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．5 答案 B解析 如图，由对称性知MN 与F 1F 2互相平分，∴四边形MF 2NF 1为平行四边形， ∵F 2为MM ′的中点，且|MN |＝|M ′N |， ∴NF 2⊥MF 2，∴四边形MF 2NF 1为矩形， ∴1224NF F S a △＝，又12NF F S △＝b 2tan π4＝4a 2，即b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，即c 2＝5a 2，即e ＝ca＝ 5.3．椭圆C ：x 29＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 2--→＝2F 2B --→，则△AF 1B 的外接圆面积为( ) A.5π2 B ．4π C ．9π D.25π4答案 D解析 如图，a ＝3，b ＝2，c ＝5，令|F 2B |＝t ，则|AF 2|＝2t ， ∵1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， ∴1t ＋12t ＝32⇒t ＝1， ∴|BF 2|＝1，|AF 2|＝2，由椭圆定义知|BF 1|＝5，|AF 1|＝4，∴△ABF 1中，|AB |＝3，|AF 1|＝4，|BF 1|＝5， ∴AF 1⊥AB ，∴△ABF 1外接圆半径R ＝|BF 1|2＝52，其面积为25π4.4．(2022·石家庄模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点O 的直线交C 于A ，B两点(点B 在右支上)，双曲线右支上一点P (异于点B )满足BA →·BP →＝0，直线P A 交x 轴于点D ，若∠ADO ＝∠AOD ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 答案 A 解析 如图，∵BA →·BP →＝0，∴BA ⊥BP ，令k AB ＝k ， ∵∠ADO ＝∠AOD ， ∴k AP ＝－k AB ＝－k ， 又BA ⊥BP ，∴k PB ＝－1k ，依题意知k PB ·k P A ＝b 2a 2，∴－1k ·(－k )＝b 2a 2，∴b 2a2＝1，即e ＝ 2. 5．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是C 上异于A 1，A 2的一点，则下列结论正确的是( )A ．若C 的离心率为12，则直线P A 1与P A 2的斜率之积为－43B ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为b 2C ．若C 上存在四个点P 使得PF 1⊥PF 2，则C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，22 D ．若|PF 1|≤2b 恒成立，则C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，35 答案 BD解析 设P (x 0，y 0)，所以x 20a 2＋y 20b2＝1，∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴a 2＝43b 2，∴12·PA PA k k ＝－b 2a 2＝－34， ∴选项A 错误；若PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为b 2tan π4＝b 2，∴选项B 正确；若C 上存在四个点P 使得PF 1⊥PF 2，即C 上存在四个点P 使得△PF 1F 2的面积为b 2， ∴12·2c ·b >b 2，∴c >b ，∴c 2>a 2－c 2， ∴e ∈⎝⎛⎭⎫22，1，∴选项C 错误；若|PF 1|≤2b 恒成立，∴a ＋c ≤2b ， ∴a 2＋c 2＋2ac ≤4b 2＝4(a 2－c 2)， ∴5e 2＋2e －3≤0，∴0<e ≤35，∴选项D 正确．6．(多选)(2022·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为双曲线的左支上一点，且直线P A 1与P A 2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线C 的离心率为2B ．若PF 1⊥PF 2，且12PF F S △＝3，则a ＝2C ．以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆外切D ．若点P 在第二象限，则∠PF 1A 2＝2∠P A 2F 1 答案 ACD解析 对于A ，设P (x ，y )，则y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫x 2a 2－1，因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，所以12·PA PA k k ＝b 2a 2＝3， 得e ＝1＋b 2a2＝2，故A 正确； 对于B ，因为c a＝2， 所以c ＝2a ，根据双曲线的定义可得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，又因为PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为b 2tan π4＝b 2＝3， 又b 2a2＝3，所以a ＝1，故B 错误； 对于C ，设PF 1的中点为O 1，O 为原点．因为OO 1为△PF 1F 2的中位线，所以|OO 1|＝12|PF 2|＝12(|PF 1|＋2a )＝12|PF 1|＋a ， 则可知以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆外切，故C 正确；对于D ，设P (x 0，y 0)，则x 0<－a ，y 0>0.因为e ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，则渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠P A 2F 1∈⎝⎛⎭⎫0，π3， ∠PF 1A 2∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 又tan ∠PF 1A 2＝y 0x 0＋c ＝y 0x 0＋2a， tan ∠P A 2F 1＝－y 0x 0－a， 所以tan 2∠P A 2F 1＝－2y 0x 0－a 1－⎝⎛⎭⎫y 0x 0－a 2 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－y 20 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－b 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－3(x 20－a 2) ＝y 0x 0＋2a ＝tan ∠PF 1A 2， 因为2∠P A 2F 1∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 所以∠PF 1A 2＝2∠P A 2F 1，故D 正确． 7．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在两点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，且线段MN 中点的纵坐标为－13，则椭圆的离心率e ＝________. 答案 32解析 如图，设MN 的中点为Q ，∴y Q ＝－13， ∴x Q ＝y Q －1＝－43， ∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，－13，∴k OQ ＝14， M ，N 关于直线l 对称，∴MN ⊥l ，∴k MN ＝－1，由点差法可得k MN ＝－b 2a 2·x Q y Q， 又k OQ ＝y Q x Q， ∴k OQ ·k MN ＝－b 2a2， ∴14×(－1)＝－b 2a 2，∴b 2a 2＝14， 即a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，即3a 2＝4c 2，∴e ＝32. 8.(2022·成都模拟)经过椭圆x 22＋y 2＝1中心的直线与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在第一象限)，过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设直线NE 与椭圆的另一个交点为P ，则cos ∠NMP 的值是________．答案 0解析 设M (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，P (x 0，y 0)，则N (－x 1，－y 1)，E (x 1，0)，所以k MN ＝y 1x 1，k PN ＝k EN ＝y 1＋y 0x 1＋x 0＝y 12x 1， k PM ＝y 1－y 0x 1－x 0， k PN ×k PM ＝y 1－y 0x 1－x 0·y 1＋y 0x 1＋x 0＝y 21－y 20x 21－x 20＝－12， 所以k PN ＝－12k PM ＝y 12x 1， 所以k PM ＝－x 1y 1. 所以k MN ×k PM ＝y 1x 1×⎝⎛⎭⎫－x 1y 1＝－1， 所以MN ⊥MP ，所以cos ∠NMP ＝cos π2＝0.。

椭圆的焦点三角形一 知识梳理定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。

性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。

所以周长为定值2a+2c性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。

证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：(cos 2212221r r r r =-+θ配方得:.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得:2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆性质三:已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.2112cos 222e a b -=-≥θ并且点P 在y 轴上是张角最大。

证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1244242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.21121)2(22222212e a b r r b -=-=-+≥当切仅当21r r =,即点P 在y 轴是θcos 取的最小值，而角θ取得最大值。

椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：)2tan(221αb S F PF =∆． 2、推导过程： 设椭圆的标准方程为：）（012222>>=+b a by a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+==+=αcos 2222122212212222121PF PF PF PF F F c b a aPF PF cF F ⇒)cos 1(2)(21221221α+-+=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221+=+-=bc a PF PF ）)2tan()2(cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 21222222121αααααααααb b b b PF PF S F PF =⨯=+⨯=⨯+⨯==∆ 即)2tan(221αb S F PF =∆．二、双曲线中的焦点三角形面积公式1、公式：1-2)2tan(21αb S F PF =∆． 2、推导过程：设双曲线的标准方程为：），（001-2222>>=b a by a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+===αcos 22-22122212212222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF cF F ⇒ )cos 1(2)(21221221α-+-=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ ααcos 12cos 1(222221-=--=b a c PF PF ）12222221)2(tan )2(sin 22cos2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==αααααααααb b b b PF PF S F PF 即1-2)2tan(21αb S F PF =∆．。

38中学数学研究2020年第10期(上)椭圆(双曲线)焦点三角形中的一个不等式广州市禺山高级中学(511483)蓝贤光在高三的一次综合训练中有这样一道填空题:题目1设P 是椭圆x 24+y 2=1上异于长轴端点的任意一点,F 1,F 2是该椭圆的两个焦点,∠F 1P F 2=60◦,R ,r 是∆P F 1F 2的外接圆和内切圆半径,则r R=.解析显然a =2,b =1,c =√3,在∆P F 1F 2中由正弦定理得2R =|F 1F 2|sin ∠F 1P F 2=2√3sin 60◦,即R =2;又S ∆P F 1F 2=b 2·tan∠F 1P F 22=√33,且S ∆P F 1F 2=12(|P F 1|+|P F 2|+|F 1F 2|)r =12(2a +2c )r =(2+√3)r,所以(2+√3)r =√33,r =√33(2+√3)=2√3−33,从而r R =2√3−36.同理可求得:当∠F 1P F 2=90◦时,r R =2√3−33;当∠F 1P F 2=120◦时,r R =2√3−32.经探究,我们有以下的性质1设P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上异于长轴端点的任意一点,F 1,F 2是该椭圆的两个焦点,e 是该椭圆的离心率,∠F 1P F 2=2θ,R ,r 是∆PF 1F 2的外接圆和内切圆半径,则rR =2(a −c )c·sin 2θ 2e (1−e ).证明在∆P F 1F 2中由正弦定理得2R =|F 1F 2|sin ∠F 1P F 2=2c sin 2θ,即R =csin 2θ;又S ∆P F 1F 2=b 2·tan θ,且S ∆P F 1F 2=12(|P F 1|+|P F 2|+|F 1F 2|)r =12(2a +2c )r =(a +c )r,所以(a +c )r =b 2tan θ,r =b 2tan θa +c=(a −c )tan θ,从而r R =(a −c )tan θc sin 2θ=2(a −c )c·sin 2θ.设B 是该椭圆短轴的一个端点,∠OBF 1=α,则0<θ α<π2,sin θ sin α=ca ,于是r R =2(a −c )c ·sin 2θ 2(a −c )c ·(c a)2=2e (1−e )当且仅当sin θ=sin α=ca,即点P 与点B 重合时“=”成立,证毕!分析本题是选择题,为了降低计算量,提高解题速度,可对n 赋予特殊值1.若用传统方法求解,则需要将圆台填补为圆锥,再利用平面几何关于相似的知识、圆锥的体积公式才能求解,运算量大且繁.若考虑圆台上底面的极限位置—–使上底半径趋于0,则圆台趋近于圆锥,从而R +r2与3√R 3+r 32均趋近于R2,显然不满足已知条件“上面圆台和下面圆台的体积比为1:1”,而3√r 2R +rR22此时趋近于0,也不满足上述条件.排除选项后,本题选D.点评在极限思想的指导下,本题的一种有效做法是探究圆台上底面的极限位置,令其半径大小趋于0,圆台趋于圆锥,从而顺利排除选项A 、B 、C.极限思想是一种基本、重要的数学思想,不仅在几何解题中发挥着事半功倍的作用,同时也被广泛应用于解决函数、概率、不等式方面的问题.在教学中有目的有意识地向学生渗透极限思想,将有助于提高学生处理数学问题(尤其是选填题)的效率,培养学生多角度分析问题的能力和创新意识.参考文献[1]钱珮玲,邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京:北京师范大学出版社,2017.[2]姜育昆.极限思想在立体几何中的应用[J].中学数学教学参考,2018(36):57-58.2020年第10期(上)中学数学研究39将上述性质类比到双曲线上去,我们又有以下的性质2设P 是双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)上异于实轴端点的任意一点,F 1,F 2是该双曲线的两个焦点,e 是该双曲线的离心率,∠F 1P F 2=2θ,R ,r 是∆P F 1F 2的外接圆和内切圆半径,则r R =2b 2c ·tan θ(1+tan 2θ)(√b 2+c 2tan 2θ+c tan θ)e 2−1e (√e 2−1+e )证明在∆P F 1F 2中由正弦定理得2R =|F 1F 2|sin ∠F 1P F 2=2c sin 2θ,即R =c sin 2θ;又S ∆P F 1F 2=b 2tan θ,且S ∆P F 1F 2=12(|P F 1|+|P F 2|+|F 1F 2|)r =12(|P F 1|+|P F 2|+2c )r,12(|P F 1|+|P F 2|+2c )r =b 2tan θ,r =2b 2(|P F 1|+|P F 2|+2c )tan θ.在∆P F 1F 2中由余弦定理得:4c 2=|P F 1|2+|P F 2|2−2|P F 1|·|P F 2|·cos 2θ,所以4c 2=(|P F 1|−|P F 2|)2+2|P F 1|·|P F 2|·(1−cos 2θ)或4c 2=(|P F 1|+|P F 2|)2−2|P F 1|·|P F 2|·(1+cos 2θ),于是,2|P F 1|·|P F 2|=4c 2−(|P F 1|−|P F 2|)21−cos 2θ=4b 21−cos 2θ,(|P F 1|+|P F 2|)2=4c 2+2|P F 1|·|P F 2|·(1+cos 2θ)=4c 2+4b 21−cos 2θ·(1+cos 2θ),|P F 1|+|P F 2|=2√b 2cos 2θ+c 2sin 2θsin θ=2√b 2+c 2tan 2θtan θ,所以r =2b 2(|P F 1|+|P F 2|+2c )tan θ=b 2√b 2+c 2tan 2θ+c tan θ,从而r R =b 2√b 2+c 2tan 2θ+c tan θ/c sin 2θ=2b 2c ·tan θ(1+tan 2θ)(√b 2+c 2tan 2θ+c tan θ).令√b 2tan 2θ+c =t ,则tan 2θ=b 2t 2−c 2且t >c ,于是r R =2b 2c ·tan θ(1+tan 2θ)(√b 2+c 2tan 2θ+c tan θ)=2b 2c·1(1+tan 2θ)(√b 2tan 2θ+c 2+c )=2b 2c·1(1+b 2t 2−c 2)(t +c )=2b 2c ·1(t +c )+b 2t −c =2b 2c ·1(t −c )+b 2t −c+2c .由基本不等式得(t −c )+b 2t −c 2b ,当且仅当t −c =b 2t −c ,即t =b +c ,也即tan θ=√bb +2c时等号成立.从而r R =2b 2c·1(t −c )+b 2t −c +2c2b 2c ·12b +2c=b 2c (b +c )=(b a )2c a (b a +c a )=e 2−1e (√e 2−1+e )当且仅当tan θ=√bb +2c 时等号成立,此时可求得点P 的坐标为(±a (b +c )c ,±b √b (b +2c )c).(上接第2页)以同一个函数为主体,切合高考命题视角,命制多道导数模拟题,覆盖近10年高考导数考点,有助于加强学生对高考题考查的思想方法的掌握,让学生体会到高考题万变不离其宗,换汤不换药.换的是“函数”,不变的是基本思想方法.参考文献[1]黎海燕.2019年高考全国Ⅰ卷函数与导数试题分析与备考建议[J].中学数学研究(华南师范大学版),2019(17):46-50.[2]曾辛金.近六年全国高考数学课标卷试题分析与备考建议—–以课标Ⅰ卷理科试题为例[J].中学数学研究(华南师范大学版),2015(17):4-14.[3]孙维.新课程背景下高考函数与导数解答题命题研究及分析[D].青海师范大学,2015.。

双曲线曲线中焦点三角形和内切椭圆的解法技巧总结与赏析双曲线曲线中焦点三角形和内切椭圆是数学中的重要概念，它们在几何学和代数学中有广泛的应用。

本文将总结和赏析双曲线曲线中焦点三角形和内切椭圆的解法技巧。

焦点三角形焦点三角形是由一个双曲线的焦点和两条切线所构成的三角形。

解决焦点三角形的关键是确定焦点和切线的位置。

以下是解决焦点三角形的一些常用技巧：1. 首先，确定双曲线的焦点位置。

焦点通常位于曲线的中心位置，通过求导或几何构造等方法可以确定。

2. 接下来，确定焦点的切线。

根据双曲线的定义，切线与焦点的连线垂直，可以利用切线的斜率与焦点的斜率求解切线的方程。

3. 最后，通过求解焦点与切线的交点，确定焦点三角形的顶点位置。

根据交点的坐标，可以计算出焦点三角形的各边长度和角度。

内切椭圆内切椭圆指的是一个双曲线内切于椭圆的现象。

解决内切椭圆的关键是找到双曲线与椭圆的切点和切线方程。

以下是解决内切椭圆的一些常用技巧：1. 首先，确定双曲线和椭圆的方程。

通过给定的信息，可以得到双曲线和椭圆的方程，通常是二次方程或高阶方程。

2. 接下来，求解双曲线与椭圆的交点。

将椭圆的方程代入双曲线的方程，解方程组可以得到交点的坐标。

3. 然后，求解切线。

根据双曲线和椭圆的性质，切线与曲线的斜率相等，可以利用切线的斜率和交点的坐标求解切线的方程。

4. 最后，通过计算切线与椭圆的交点，确定内切椭圆的位置和参数。

根据交点的坐标和切线的方程，可以计算出内切椭圆的主轴长度、离心率等参数。

以上是双曲线曲线中焦点三角形和内切椭圆的解法技巧总结与赏析。

通过掌握这些解法技巧，可以更好地理解双曲线和椭圆的性质，并在实际问题中应用它们。

参考文献[1] 张文博.《高等代数学教程》. 高等教育出版社, 2008.[2] 朱再保, 等.《解析几何与线性代数》. 高等教育出版社, 2007.。

双曲线上的点与焦点围成的三角形面积双曲线是一个非常特殊的数学曲线，它与椭圆、抛物线、圆等曲线有着不同的性质和特点。

双曲线由两个分离的支撑形成，这两个支撑与双曲线上的所有点的距离之和相等。

这两个支撑点被称为焦点，它们在双曲线上具有很重要的作用。

在本文中，我们将探讨双曲线上的点与焦点围成的三角形面积。

这个问题涉及到一些高等数学知识，如双曲线的方程和曲线积分，但我们将尽量用简单的语言和例子来解释它。

首先，我们来看一下什么是双曲线。

双曲线可以用下面的方程表示：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$其中$a$和$b$是双曲线的参数，控制曲线的形状。

双曲线有两个支撑，它们在$x$轴上分别位于$(-c,0)$和$(c,0)$处，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$是焦点之间的距离。

现在假设我们有一个双曲线上的点$P$，它与左侧焦点$F_1$和右侧焦点$F_2$的距离分别为$d_1$和$d_2$。

我们要计算的是点$P$、焦点$F_1$和焦点$F_2$围成的三角形面积$S$。

为了计算这个面积，我们可以使用曲线积分的方法。

具体地说，我们需要计算曲线$C$沿着点$P$到焦点$F_1$的路径的积分，再减去曲线$C$沿着点$P$到焦点$F_2$的路径的积分，即：$$S=\int_{C_1}ydx-\int_{C_2}ydx$$首先考虑曲线$C_1$，它可以表示为：我们可以进行一些代数变换，使得这个积分变为一个和已知函数有关的积分。

具体地说，我们令$x=a\cosh{u}$，得到：$$\int_{C_1}ydx=\int_{\cosh^{-1}{\frac{d_1}{a}}}^0b\sqrt{\cosh^2{u}-1}\sinh{u}du$$这个积分可以用三角代换来求解，最终结果为：进行同样的变换，令$x=a\cosh{u}$，得到：将这两个积分相减，得到：$$S=\frac{1}{2}ab\left(\ln{\frac{a+d_1}{b}}-\ln{\frac{a+d_2}{b}}-\frac{d_1}{a} \sqrt{1+\frac{d_1^2}{a^2}}+\frac{d_2}{a}\sqrt{1+\frac{d_2^2}{a^2}}\right)$$这个式子可以进一步化简，变成：这就是我们要求解的双曲线上的点与焦点围成的三角形面积的公式。

焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。

..椭圆中与焦点三角形有关的问题例 1：椭圆x2y21的焦点为F l、F2，点 P 为其上动点，当F1 PF2为钝角时，9 4点 P 横坐标的取值范围是 _______。

（二）问题的分析问题 1.椭圆 x 2y 21的焦点为F l、F2，点P为其上一点，当F1 PF2为直角时，94点 P 的横坐标是 _______。

问题 2.而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？解题的关键在于点动，发现F1 PF2的大小与点P的位置有关，究竟有何联系。

性质一：当点 P 从右至左运动时，F1 PF2由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点 P 与短轴端点重合时，F1PF 2达到最大。

3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？问题 3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？问题 4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经演算、试验，悟出“欲求F1PF 2的最大值，只需求cos F1 PF2的最小值”问题 5：由上面的分析，你能得出cos F1PF2与离心率 e 的关系吗？性质二：已知椭圆方程为x2y2a 1(ab 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形2b2PF1F2中 F1PF2, 则 cos12e2 . （当且仅当动点为短轴端点时取等号）题x2y21(a b 0) 的两个焦点，椭圆上一2：已知F1、F2是椭圆b 2a 2点 P 使F1 PF2 90 ，求椭圆离心率 e 的取值范围。

变式1：已知椭圆x2y 21(a b 0) 的两焦点分别为F1, F2 , 若椭圆上存在一点P, 使a2b2得F1 PF2 1200 , 求椭圆的离心率 e 的取值范围。

变式 2 ：若椭圆x2y 2 1 的两个焦点 F1、 F2，试问：椭圆上是否存在点P ，使43F1 PF2 90 ？存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。

（三）问题引入2x2y2，则 PF1F2题 3：P是椭圆 1 上的点，F l，F2是椭圆的焦点，若 F1 PF2543的面积等于 _______。