山东省青州市2016届中考数学第一轮复习11二次函数的图像与性质学案(新)

一元二次方程一元二次函数与一元二次不等式一、知识结构一元二次方程一元二次函数与一元二次不等式的联系【基础演练】已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．2、抛物线122+-=x x y 则图象与x 轴交点有（） 个3、一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）4、 已知二次函数y= (a - 1) x +2ax + 3a - 2 图象最底点在x 轴上，则a =_______。

二、典型例题1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 2.我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）（1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ 三、题组训练 【题组一】1、关于02=--n x x 没有实数根，则n x x y --=2的图象的顶点在 （ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y =ax +b 与反比例函数y =在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3、已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根第3题图 第4题图4、如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，下列结论：①二次三项式ax 2+bx +c 的最大值为4；②4a +2b +c ＜0；③一元二次方程ax 2+bx +c =1的两根之和为﹣1；④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0． 其中正确的个数有（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【题组二】已知抛物线2y ax bx c =++过点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其顶点E 的横坐标为2，此抛物线与x 轴分别交于()10B x ，，()20C x ，两点()12x x <，且221216x x +=．（1）求此抛物线的解析式及顶点E 的坐标；（2）若D 是y 轴上一点，且CDE △为等腰三角形，求点D 的坐标．四、课后作业1、二次函数y =x 2﹣2x ﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）A ． 函数图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）B ． 顶点坐标是（1，﹣3）C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0 ）（﹣1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而减小2．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0 其中正确的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4第2题图第3题图第5题图3．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B （﹣，y1）、C （﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（）A．②④B．①④C．①③D．②③4.已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数5.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为m2．6.荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．公顷蔬菜年均可卖7.5万元．（1）基地的菜农共修建大棚x（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y（万元），写出y关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．7.如图，抛物线y=21x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．答案一．基础练习 1.x1=3 x2=-1 2.1 3. 12 4.2二、典型例题1、（1）.x1=3 x2=1 （2）1＜x＜3 （3）x＞2 （4）k＜22.解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：第7题图2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤（2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >．（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593； ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56． 综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．三、题组训练【题组一】1、A 2、C 3、D 4、B【题组二】解：（1）设所求抛物线为2(2)y a x n =-+． 即244y ax ax a n =-++．点3(1)2A ，在抛物线上，32a n ∴=+．①12x x ，是方程2440ax ax a n -++=的两实根，121244a nx x x x a+∴+==，． 又22221212124()24216a nx x x x x x a++=+-=-⨯=，40a n ∴+=．② 由①②得 122a n =-=，． ∴所求抛物线解析式为21(2)22y x =--+，即2122y x x =-+． 顶点E 的坐标为(22)，． （2）由（1）知(00)(40)B C ，，，．又(22)E ，，故BCE △为等腰直角三角形，如图． 由等腰CDE △知，CE 为腰或CE 为底．①当CE 为腰时，又D 在y 轴上，则只能有DE EC =，显然D 点为(00)，或(04)，（这时D E C ，，共线，舍去）．D ∴点只能取(00)，． ②当CE 为底时，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，因CEF △为等腰直角三角形， 则线段CE 的垂直平分线过点F ，设交y 轴于点D ． 故45OFD =︒∠．2OD DF ∴==．D ∴点坐标为(02)-，． 综上所述，点D 的坐标为(00)，或(02)-， 四、课后作业1、B 2．C 3．B 4. 5.756. 答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．（2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可） 7.【答案】（1）∵点A （-1，0）在抛物线y =21x 2 + bx -2上，∴21× (-1 )2 + b × (-1) –2 = 0，解得b =23- ∴抛物线的解析式为y =21x 2-23x -2. y =21x 2-23x -2 =21 ( x 2-3x - 4 ) =21(x -23)2-825,∴顶点D 的坐标为 (23, -825).（2）当x = 0时y = -2, ∴C （0，-2），OC = 2。

一次函数知识结构【基础演练】1、下图中，分别给出了变量x与y之间的对应关系，y不是x的函数的是①②③④⑤⑥⑦)0(22≥=xxy⑧)0(≥±=xxy2、函数1)1(2-+-=kxky中，当k时，它是一次函数，当k它是正比例函数.3、一次函数42+-=xy的图象经过第象限，y的值随x的值增大而，图象x轴交点坐标是，与y轴的交点坐标是，当y＞0时，x的取值范围是。

直线41+=xy与232-=xy相交于点P，P点的坐标是，若21yy>，x取值范围是。

5、已知y是x的一次函数，当3=x时1=y，当2-=x时4-=y，则一次函数解析式。

二、典型例题1、一次函数bkxy+=，当41≤≤x时，63≤≤y，求一次函数解析式。

分析：根据题意，此题可分为两种情况。

第一种情况：直线经过（1,6）（4,3）两点第二种情况：直线经过（1,3）（4,6）两点2、王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度v（米/分钟）随时间t（分钟）变化的函数图象如图所示，图象由三条线段OA、AB和BC组成．设线段OC上有一点T（t，0），直线l左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）．当150≤≤t时，求出路程s关于时间t的函数解析式；求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t．a分析：此题是一个分段函数（30≤≤t 和153≤<t ）三、题组训练 【题组一】1、已知直线b kx y +=，若,6,5=-=+kb b k 则该直线不经过的象限是（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2、如图，经过点B （﹣2，0）的直线b kx y +=与直线24+=x y 相交于点 A （﹣1，﹣2），则不等式024<+<+b kx x 的解集为 ． 如图是一次函数1y kx b =+和反比例函数xmy =2的图象，•观察图象 写出21y y >时，x 的取值范围是_________． 一次函数的图象与直线1+-=x y 平行，且过（8，2），函数的解析式为（ ） A 、2--=x y B 、6--=x y C 、10+-=x y D 、6-=x y 【题组二】1、如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 从A 出发沿A→B→C→D 的路线移动，设点P 移动的路线为x ，△PAD 的面积为y ．写出y 与x 之间的函数关系式。

2.3《二次函数的图象和性质》学案学习目标 (一)知识目标1．能够利用描点法作出函数y ＝x 2的图象．能根据图象认识和理解二次函数y ＝x 2的性质．2．猜想并能作出y ＝－x 2的图象，能比较它与y ＝x 2的图象的异同． (二)能力目标：1．经历探索二次函数y ＝x 2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数y ＝x 2的图象及性质，对比地得出y ＝－x 2的图象及性质，并能比较出它们的异同点．(三)情感目标：．在利用图象讨论二次函数的性质时，合作交流，以便能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．学习重点1．能够利用描点法作出函数y ＝x 2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x 2的性质．2．能够作出二次函数y ＝－x 2的图象，并能比较它与y ＝x 2的图象的异同． 学习难点经历探索二次函数y ＝x 2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y ＝－x 2的图象与性质方面．在引申到2ax y 的图象和性质，实现“探索——经验——运用”的思维过程．学习导航：探索——总结——运用法．知识连接：我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征．知道正比例函数的图象是＿＿＿＿＿，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是＿＿＿．上节课我们学习了二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c．(其中a，b，c是常数且a≠0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来探索这个问题．探究新知：一、作函数y＝x2的图象．画函数图象的一般步骤？＿＿＿，＿＿＿，＿＿＿．(1)列表：xy(2)在直角坐标系中描点．(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．二、探索图象的性质对于二次函数y＝x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗？(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？(3)当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？(4)当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？(5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流三、y＝x2的图象的性质下面请我们系统地总结出y＝x2的图象的所有性质．(1)抛物线的开口方向＿＿＿．(2)它的图象有最＿点，最＿点坐标是( )．(3)它是轴对称图形，对称轴是＿轴．在对称轴左侧，y随x的增大＿＿＿；在对称轴的右侧，y随x的增大＿＿＿(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是＿＿＿＿，坐标为( )．(5)因为图象有最＿点，所以函数有最＿值，当x＝＿时，y最小＝0．拓展延伸．二次函数y＝－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y ＝x2的图象有什么关系？下面我们试着讨论y＝－x2的图象的性质．函数y＝x2与y＝－x2的图象的比较．友情提示不同点：1．开口方向不同，y ＝x 2开口＿＿，y ＝－x 2开口＿＿2．函数值随自变量增大的变化趋势不同，在y ＝x 2图象中，在对称轴＿＿，y 随x 的增大而减小，在对称轴＿＿，y 随x 的增大而增大．在y ＝－x 2的图象中正好相反．3．在y ＝x 2中y 有最小值，即x ＝0时，y 最小＝0，在y ＝－x 2中y 有最大值．即当x ＝0时，y 最大＝0．4．y ＝x 2有最低点，y ＝－x 2有最高点 相同点： 1．图象都是＿＿2．图象都与x 轴交于（ ） 3．图象都关于＿＿对称 联系它们的图象关于＿＿对称 探索新知 拓展延伸：1．在同一直角坐标系中画出函数y ＝4x 2与y ＝41x 2的图象． ２．分别说出抛物线y ＝4x 2与y ＝41x 2的开口方向，对称轴与顶点坐标． ３．尝试总结二次函数分别说出抛物线y ＝－4x 2与y ＝－41x 2的开口方向，对称轴与顶点坐标．４尝试总结2ax y =的图象和性质５．图象开口大小与＿＿＿有关，＿＿越大，开口反而越＿＿． 巩固新知已知函数y ＝m ·m m x-2．m 取何值时，它的图象开口向上．当x 取何值时，y 随x 的增大而增大．当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．x 取何值时，函数有最小值．运用新知课本５１页随堂练习１，习题１，３回顾反思1．交流评价本节课的收获和体会2．本节课我们学习了如下内容：（1）画函数y ＝x 2的图象，并对图象的性质作了总结． （2）画函数y ＝－x 2的图象，并研究其性质． （3）比较y ＝x 2与y ＝－x 2的图象的异同点及联系．（４）2ax y 的图象和性质布置作业练习册４２，１．２．３．４．５。

5.4.3 二次函数的图象与性质【学习目标】1．会用描点法画出二次函数 的图像；2．知道抛物线 的对称轴与顶点坐标；【学习重难点】 1、会画形如 的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标.2、确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。

【学习过程】 一、学习准备：提问：1．什么是二次函数？2．形如2y ax k =+和2()y a x h =-的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？ 二、自主探究1、请你在同一直角坐标系内，画出函数的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．（见课本P33页）2、你能否指出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：抛物线开口方向 对称轴 顶点坐标4：我们已知抛物线的开口方向是由二次函数中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？5、抛物线有什么关系？6、它们的位置有什么关系？①抛物线是由抛物线怎样移动得到的？②抛物线是由抛物线怎样移动得到的？③抛物线是由抛物线怎样移动得到的？④抛物线是由抛物线怎样移动得到的？⑤抛物线是由抛物线怎样移动得到的？三、课堂小结：一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：1．a能决定什么？怎样决定的？2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？3、抛物线可以由抛物线经过怎样的平移得到？四、随堂训练1、抛物线y=（x —l ）2 +2的对称轴是（ ）A ．直线x=－1B ．直线x=1C ．直线x=2D ．直线x=22、、已知抛物线的解析式为y=－（x —2）2＋l ，则抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1）B ．（2，l ）C ．（2，－1）D ．（1，2）3、将抛物线y=-2(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为___ ___．4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须（ ） A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位．5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 （ ）A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2． 6、要从抛物线y=2x 2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x 2必须 [ ] A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．7、抛物线232y x =-向左平移1个单位得到抛物线（ ） A ．2312y x =--Ｂ．2312y x =-+Ｃ．23(1)2y x =-+Ｄ．8、把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( )A. ()522+--=x y B. ()522++-=x yC. ()522---=x y D. ()522-+-=x y。

二次函数表达式知识结构二次函数表达式：【基础演练】1、抛物线y=－2x 2－x+1的顶点在第_____象限A.一B.二C.三D.四2、任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y=2x 2+n ，如当n=0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是_____A.1个B.2个C.3个D.4个3、函数y= x －2－3x 2有最_____值为_____.4、求二次函数的解析式，图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点。

二、典型例题1、已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。

把抛物线y=－3(x －1)2向上平移k 个单位，所得的抛物线与x 轴交于点A(x 1，0)，B(x 2，0)，若x 12+x 22=926 ，请你求出k 的值.三、题组训练【题组一】1、抛物线y= (x+3)2的顶点坐标是______.2、不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都_____A.在y=x 直线上B.在直线y=－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上3、二次函数y=x 2+px+q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中_____A.(－1，1)B.(1，－1)C.(－1，－1)D.(1，1)4、下列说法错误的是_____A.二次函数y=－2x 2中，当x=0时，y 有最大值是0B.二次函数y=4x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大C.在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x 2，y=－x 2中，y=2x 2的图象开口最大，y=－x 2的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a≠0)的顶点一定是坐标原点根据下列条件5、将抛物线y=3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.【题组二】1、.根据已知条件确定二次函数的表达式（1）图象的顶点为（2，3），且经过点（3，6）；2 （2）图象经过点（1，0），（3，0）和（0，9）；（3）图象经过点（1，0），（0，-3），且对称轴是直线x=2。

第14讲二次函数的图象及其性质一、复习目标1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律．二、课时安排 1课时三、复习重难点把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。

四、教学过程 （一）知识梳理二次函数的概念定义一般地，如果____________ (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c的结构特征①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2; ②二次项系数a ≠0二次函数的图象及画法图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是以____________为顶点，以直线______________为对称轴的抛物线用描点法画 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c的图象的步骤 (1)用配方法化成________________的形式； (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图二次函数的性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)a >0 a <0图象开口方向抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸 对称轴直线x ＝－b2a直线x ＝－b2a顶点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b24a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b24a增减性在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－b2a 时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－b2a 时，y 随x 的增大而减小，简记左增右减函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)a >0a <0最值抛物线有最低点，当x ＝－b2a时，y 有最小值，y 最小值＝4ac －b24a抛物线有最高点，当x ＝－b2a 时，y有最大值，y 最大值＝4ac －b24a二次项系数a 的特性 ||a 的大小决定抛物线的开口大小；||a 越大，抛物线的开口越小，||a 越小，抛物线的开口越大常数项c 的意义c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，即x ＝0时，y ＝c用待定系数法求二次函数的解析式方法 适用条件及求法1.一般式若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将已知三个点的坐标代入，求出a 、b 、c 的值2.顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为y ＝a (x －h )2＋k ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式3.交点式若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y ＝a(x －x1)(x －x2)，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式（二）题型、技巧归纳 考点1二次函数的定义技巧归纳：利用二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0. 考点2二次函数的图象与性质技巧归纳：(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①配方法；②顶点公式法，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a .(2)画抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的草图，要确定五个方面，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y 轴交点；⑤与x 轴交点．考点3二次函数的解析式的求法 技巧归纳：二次函数的关系式有三种： 1．一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ；2．顶点式y ＝a(x －m)2＋n ，其中(m ，n)为顶点坐标；3．交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中(x 1,0)，(x 2,0)为抛物线与x 轴的交点．一般已知三点坐标用一般式求关系式；已知顶点及另一个点坐标用顶点式；已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式．此题属于第三种情形．（三）典例精讲 例1若是二次函数，则m ＝( )A ．7B ．－1C ．－1或7D ．以上都不对[解析] 让x 的次数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可． 由题意得：m2－6m －5＝2，且m ＋1≠0. 解得m ＝7或－1，且m≠－1， ∴m ＝7，故选A.例2 (1)用配方法把二次函数y ＝x 2－4x ＋3变成y ＝(x －h)2＋k 的形式； (2)在直角坐标系中画出y ＝x 2－4x ＋3的图象；(3)若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数y ＝x 2－4x ＋3图象上的两点，且x 1<x 2<1，请比较y 1、y 2的大小关系(直接写结果)；(4)把方程x 2－4x ＋3＝2的根在函数y ＝x 2－4x ＋3的图象上表示出来． 解：(1)y ＝x 2－4x ＋3＝(x 2－4x ＋4)＋3－4＝(x －2)2－1.(2)由(1)知图象的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，－1)，列表：x … 0 1 2 3 4 … y…3－13…描点作图如下图． (3)y 1>y 2.(4)如图，点C ，D 的横坐标x 3，x 4即为方程x 2－4x ＋3＝2的根例3 已知抛物线经过点A (－5，0)，B (1，0)，且顶点的纵坐标为92，求二次函数的解析式． 解：解法一：∵抛物线与x 轴的两个交点为A(－5，0)，B(1，0)，由对称性可知，它的对称轴为直线x ＝－5＋12＝－2，∴抛物线的顶点为P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，92，已知抛物线上的三点A(－5，0)，B(1，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，92，设一般式，设y ＝ax 2＋bx ＋c ，把A(－5，0)，B(1，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，92的坐标代入，得∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，25a －5b ＋c ＝0，4a －2b ＋c ＝92， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，c ＝52，∴ 所求抛物线的关系式为y ＝－12x 2－2x ＋52.（四）归纳小结本部分内容要求熟练掌握二次函数的概念、图象及画法及其性质。

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级: 九年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：许晶晶授课类型C二次函数的图像与性质C 二次函数的图像与系数的关系C二次函数解析式的求法授课日期时段教学内容一、专题精讲1．二次函数的定义：形如cbxaxy++=2（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：⑴二次函数y=ax2(a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。

⑵二次函数cbxaxy++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2ba，244ac ba-），对称轴x=－2ba；当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－2ba，y随x的增大而增大，x＜－2ba，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－2ba，y随x的增大而减小，x＜－2ba，y随x的增大而增大．注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。

首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。

解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（yx,1），（yx,2），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线221xxx+=。

⑶当a＞0时，当x=－2ba时，函数有最小值244ac ba-；当a＜0时，当 x=－2ba时，函数有最大值244ac b a-。

3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2+k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．注意：二次函数y=ax 2 与y=－ax 2的图像关于x 轴对称。

二次函数图像和性质导学案九年级数学教案
1. 二次函数的图像和性质
&gt;0
&lt;0
开口
对称轴
顶点坐标
最值当x= 时,y有最值当x= 时,y有最值
增减性在对称轴左侧y随x的增大而y 随x的增大而在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而
2. 二次函数用配方法可化成的形式,其中
= , = .
3. 二次函数的图像和图像的关系.
4. 二次函数中的符号的确定.
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例1.已知二次函数,
(1) 用配方法把该函数化为
(其中a、h、k都是常数且a≠0)形式,并画
出这个函数的图像,根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标.
(2) 求函数的图象与x轴的交点坐标.
例2. (____年大连)如图,直线和抛物线
都经过点A(1,0),B(3,2).
⑴求m的值和抛物线的解析式;
⑵求不等式的解集.(直接写出答案)
【当堂检测】
1. 抛物线的顶点坐标是.
2.将抛物线向上平移一个单位后,得到的抛物线解析式是.
3. 如图所示的抛物线是二次函数
的图象,那么的值是&n。

yxO第12课时二次函数图象及其性质(1) "一、学习目标：1、会用描点法画出二次函数的图象。

2、会根据二次函数解析式y=a(x-h)2+k 、 y=ax 2+bx+c 确定图象的开口方向、对称轴与顶点坐标，能从图象上认识二次函数的性质。

3、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

二、重点、易错点分析：1、重点：二次函数的图象与性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值；二次函数图象的平移2、易错点：二次函数图象的左右平移；配方法化顶点式；图象位置与系数符号互判 三、基础知识梳理1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0a ＜0图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减性在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧y 随x 的增大而y 随x 的增大而2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定.四、考题集锦：1、（2013•毕节地区）将二次函数y=x 2的图象向右 平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）A ． y=（x ﹣1）2+3B ． y=（x+1）2+3C ． y=（x ﹣1）2﹣3D ． y=（x+1）2﹣32、（2013•淮安）二次函数y=x 2+1的图象的顶点坐标是3、（2013•常州）二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 给出了结论：（1）二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值，最小值为﹣3； （2）当时，y ＜0；（3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是（ ） A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ． 0五、典型例题：例1、将抛物线2241y x x =-++的图象，如何平移就得到22y x =-的图象？ [点拨]:本题涉及的知识点：二次函数的平移规律本题用到的重要方法：先将一般式c bx ax y ++=2化顶点式（二次项系数a 不为1时，配方易出错），然后，抛物线2()y a x h k =-+可以由2ax y =经过适当的平移得到，其规律是“ -h 左加右减，k 上加下减”即自变量加减左右移，函数值加减上下移。

九年级第一轮复习中考复习二次函数的图象与性质教案授课教师：一、中考要求：1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x-h)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式；5.利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

二、知识要点：1.二次函数的图象在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+ )2+ 的形式,先确定顶点( , ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而 ;在对称轴的= ;反之当右侧,y随x的增大而 ;简记左减右增,这时当x= 时,y最小值= .a<•0时,简记左增右减,当x= 时y最大值3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法(1)一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;(2)在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k，顶点是（h，k）;4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即(1)当抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;（3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,•方程ax2+bx+c=0无实根.5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定(一) 热身练习 针对实际中考考题及学生的实际情况，学生先独立完成，然后小组讨论，准确求解（教师注重个别学生的辅导，使绝大多数学生能够考好基本知识，不丢失基本分） 1. 二次函数52++=bx x y 配方后k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（ ） （A ）0.5 （B ）0.1 （C ）—4.5 （D ）—4.12. 如图1所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．3. 二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是 （ ）A ．（-1，8）B ．（1，8）C ．（-1，2）D ．（1，-4）4.把抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象为y =x 2－3x ＋5，则 （ ）A ．b =3，c =7B ．b =6，c =3C ．b =-9，c =-5D ．b =-9，c =21 5.下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是（ ）(二)重点练习 利用实际中考考题，通过板演让学生重点突破，教师加强个别辅导 例1已知实数y x y x x y x +=-++则满足,033,2的最大值为？例2如图，抛物线254y ax ax a =-+与x 轴相交于点A 、B ，且过点(54)C ，． （1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．5,4）例3：（10广州）已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋2．（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；（2（3）若该抛物线上两点A （1，1），B （2，2）的横坐标满足1＞2＞1，试比较1与y 2的大小．（三）课堂小结今天复习二次函数的图象与性质，你有什么收获？你做错的题目找到原因了吗？你订正了吗？ (四)当堂检测（主要是基础练习，强化学生基本分得分能力）1．已知抛物线103:2-+=x x y C ，将抛物线C 平移得到抛物线C '若两条抛物线C 、C ' 关于直线1=x 对称，则下列平移方法中，正确的是 ( ) A ．将抛物线C 向右平移25个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位C ．将抛物线C 向右平移5个单位D ．将抛物线C 向右平移6个单位2.已知二次函数y ＝Ax 2＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞03.已知二次函数c bx axy ++=2的图象如图所示,记b a c b a q b a c b a p -+++=+++-=2,2,则p 与q 的大小关系为 ( )A.q p >B.q P =C.q p <D.p 、q 大小关系不能确定4．将抛物线y ＝－(x －1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．5.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =6.将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，抛物线解析式是（ ）．A ．221216y x x =--+B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+-D ．221220y x x =-+- 7、提高题：（有能力的同学自己课后完成）（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x 2+4x 与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m (m >0)个单位，所得抛物线与x 轴交与C 、D 两点，与原抛物线交与点P. （1）求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状（不要求说理）（2）在x 轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）△CDP 的面积为S ，求S 关于m 的关系式。