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极坐标与参数方程高考真题1、（2018北京理10）在极坐标系中，直线cos sin a ρθρθ+=（0a >）与圆2cos ρθ=相切，则_______a =．2、（2018江苏21C ）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．3、（2018新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.4、（2018新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．5、（2018新课标Ⅲ理22）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．6、（2018天津理12）已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1232x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为_______.7、（2017新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．8、（2017新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．9、（2017新课标Ⅲ理22）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．10、（2017北京理11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________．11、（2017江苏21C ）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t ty ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,曲线C的参数方程为2x 2s ,y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）。
2020年高考数学复习——参数方程选讲（三）46.已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 22422（t 为参数），在极坐标系（以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴）中，曲线C 2的方程为ρsin 2θ=2ρcos θ（ρ＞0），曲线C 1、C 2交于A 、B 两点．（Ⅰ）若ρ=2且定点P （0，﹣4），求|P A |+|PB |的值； （Ⅱ）若|P A |，|AB |，|PB |成等比数列，求ρ的值．47.已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），若P 是圆C 与x 轴的交点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程（Ⅱ）求圆C 上到直线ρ（cos θ+3sin θ）+6=0的距离最大的点的直角坐标．48.极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23212（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=8cos θ．（I ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求弦长|AB |．49.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧α+=α+=sin t 3y cos t 2x （t 是参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣3π）． （1）求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB|的最大值和最小值．50.已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 53y x （α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）若直线的极坐标方程为ρθθ1cos sin =-，求直线被曲线C 截得的弦长．51.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．52.极坐标系中，已知圆⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ3cos 10. （1）求圆的直角坐标方程．（2）设P 是圆上任一点，求点P到直线距离的最大值．53.在极坐标系中，曲线C ：ρ=2acosθ（a ＞0），l ：ρcos （θ﹣3π）=23，C 与l 有且仅有一个公共点． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB=3π，求|OA|+|OB|的最大值．54.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C ：ρsin 2θ=2acosθ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=422222t y t x （t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点． （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．55.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（Ⅱ）设点P （0，2），l 和C 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|．56.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2=，直线l 的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．57.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．58.已知直线l：x﹣y﹣1=0，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π））的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点A，B（点A在第一象限）两点，若点M的直角坐标为（1，0），求△OMA的面积．59.已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ；C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围．60.已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，以极点为直角坐标系原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系，曲线C1的参数方程为（α为参数），．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值及该点坐标．61.已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．62.已知C1在直角坐标系下的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：ρ=2cosθ﹣4sinθ．（Ⅰ）将C1的方程化为普通方程，并求出C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C1和C2两交点之间的距离．63.在直角坐标xOy 中，圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：（x ﹣2）2+y 2=4．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标（用极坐标表示）； （Ⅱ）求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．64.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C 1的参数方程为，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C 2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ． （1）求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；（2））若P 是C 1上任意一点，过点P 的直线l 交C 2于点M ，N ，求|PM|•|PN|的取值范围．65.在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ．（I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．66.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，且|AB|=，求l的斜率．67.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点（1）求圆C的直角坐标方程；（2）求△PAB面积的最大值．参考答案46.解：（Ⅰ）∵曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），∴曲线C2的直角坐标方程为y2=2px，p＞2．又已知p=2，∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．将曲线C1的参数方程（t为参数）与y2=4x联立得： t+32=0，由于△=﹣4×32＞0，设方程两根为t1，t2，∴t1+t2=12，t1•t2=32，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．（Ⅱ）将曲线C1的参数方程（t为参数）与y2=2px联立得：t2﹣2（4+p）t+32=0，由于△=﹣4×32=8（p2+8p）＞0，∴t1+t2=2（4+p），t1•t2=32，又|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，∴|AB|2=|PA||PB，∴=|t1||t2|，∴=5t1t2，∴=5×32，∴p2+8p﹣4=0，解得：p=﹣4，又p＞0，∴p=﹣4+2，∴当|PA|，|AB|，|PB|成等比数列时，p的值为﹣4+2．47.解：（Ⅰ）∵圆C的参数方程为（θ为参数），∴圆C的参数方程消去参数θ，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=4，∵P是圆C与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C的切线为l由题设知，圆心C（1，），P（2，0），∠CPO=60°，故过P点的切线的倾斜角为30°，设M（ρ，θ）是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，∠MOP=θ，∠OMP=30°﹣θ，∠OPM=150°，由正弦定理得，∴，∴直线l的极坐标方程为ρcos（θ+60°）=1．（Ⅱ）∵直线ρ（cosθ+s inθ）+6=0，∴直线的直角坐标方程为x+y+6=0，设圆上的点M（1+2cosθ，），点M到直线的距离：d==，∴当θ=时，点M到直线的距离取最大值．此时M（2，2），∴圆C上到直线ρ（cosθ+sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标为（2，2）．48.解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为y2=8x．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0．解得t1=8，t2=．∴弦长|AB|=|t1﹣t2|==．49.解：（1）对于曲线C2有，即，因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．50.解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，曲线C表示以（3，1）为圆心，为半径的圆，将代入并化简：ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+5=0．（2）直角坐标方程为y﹣x=1，∴圆心C到直线的距离为，∴弦长为．51.解：（Ⅰ）∵圆C的方程为．∴，即圆C的直角坐标方程：．（Ⅱ），即，由于，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以，故|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=52.解（1）圆ρ=10cos化简可得：ρ=10cos cosθ+10sin sinθρ2=5ρcosθ+5ρsinθ∴．故得圆的直角坐标方程为：．（2）由（1）可知圆的圆心为（，），半径r=5，题意：点P到直线距离的最大值为：圆心到直线的距离+半径，即d+r．d=∴最大距离为：1+5=6．53.解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．54.解：（1）曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），转化成直角坐标方程为：y2=2ax线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：x﹣y﹣2=0．（2）将直线的参数方程（t为参数），代入y2=2ax得到：，所以：，t1t2=32+8a，①则：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1﹣t2||PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：，②由①②得：a=1．55.解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．56.（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．57.解：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t 2+60t ﹣125=0设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则．∴．（2）由P 的极坐标为，可得x p ==﹣2，=2．∴点P 在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为．∴由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为．58.解：（Ⅰ）∵直线l ：x ﹣y ﹣1=0的倾斜角为，∴将直线l 写成参数方程为，∵曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5， ∴x 2+y 2﹣4y=5，即x 2+（y ﹣2）2=9． ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2=9． （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2﹣﹣4=0，设t 1，t 2是方程的两根，解得，，又点A 在第一象限，故点A 对应，代入到y=tsin，得到点A 纵坐标y A =2，因此△OMA 的面积S △OMA =|OM|•|y A |==1．59.解：（I）曲线C1方程为ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，可得x2+y2=2y，∴C1的直角坐标方程：x2+（y﹣1）2=1，C2的参数方程为，消去参数t可得：C2的普通方程：．…（II）由（I）知，C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，C1的圆心（0，1）到C2的距离为，则C1与C2相交，P到曲线C2距离最小值为0，最大值为，则点P到曲线C2距离的取值范围为．…60.解：（1）由2ρsinθ+ρcosθ=10，得x+2y﹣10=0，∴曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0．由，得，代入cos2α+sin2α=1，得，∴曲线C1的普通方程为；（2）曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0，设点M（3cosα，2sinα），由点到直线的距离公式得：，其中，∴α﹣φ=0时，，此时．61.解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，∴直线l的参数方程为（t为参数）∵半径为4的圆C的圆心的极坐标为，∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=16∵，∴圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；（Ⅱ）直线l的普通方程为，∴圆心到直线的距离为∴直线l和圆C相离．62.解：（Ⅰ）C1在直角坐标系下的参数方程为，消参后得C1为y﹣2x+1=0．由ρ=2cosθ﹣4sinθ得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ．∴x2+y2=2x﹣4y，∴C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+2）2=5..…（Ⅱ）∵圆心（1，﹣2）到直线的距离．∴．…63.解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为 （或圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为．64.解：（1）消去参数可得x 2+y 2=1，因为α∈[0，π），所以﹣1≤x≤1，0≤y≤1，所以曲线C 1是x 2+y 2=1在x 轴上方的部分，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ=1（0≤θ≤π）．…曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y+1）2=1…（2）设P （x 0，y 0），则0≤y 0≤1，直线l 的倾斜角为α， 则直线l的参数方程为：（t 为参数）．…代入C 2的直角坐标方程得（x 0+tcosα）2+（y 0+tsinα+1）2=1，由直线参数方程中t 的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y 0|， 因为0≤y 0≤1，所以|PM|•|PN|=∈[1，3]…65.解：（I ）由曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），可得C 的普通方程是221x y -=． …………………………2分当3πα=时，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，得26160t t --=， ……………………………3分 得126t t +=，则线段AB 的中点对应的1232t t t +==，故线段AB 的中点的直角坐标为9(2． ……………………………5分（II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得222(cos sin )6cos 80t t ααα-++=， …………………………………7分 则21222288(1tan )||||||||||cos sin 1tan PA PB t t αααα+⋅===--，…………………9分由已知得tan 2α=，故40||||3PA PB ⋅=． ……………………………10分66.解：（Ⅰ）∵在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25， ∴x 2+y 2+12x+11=0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x 2+y 2， ∴C 的极坐标方程为ρ2+ρcosθ+11=0．（Ⅱ）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），α为直线l 的倾斜角，∴直线l 的直角坐标方程为=0，∵l 与C 交于A ，B 两点，且|AB|=，∴圆心（﹣6，0）到直线l 的距离d==，解得cosα=，当cosα=时，l 的斜率k=tanα=2；当cosα=﹣时，l 的斜率k=tanα=﹣2．67.解：（1）圆C 的极坐标方程为ρ=2sin （θ﹣），即ρ2=ρ×（sinθ﹣cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程：x 2+y 2+2x ﹣2y=0，即（x+1）2+（y ﹣1）2=2．（2）圆C 的圆心C （﹣1，1），半径r=．直线l的参数方程为，可得普通方程：3x+4y+4=0．∴圆心C到直线AB的距离d==1．∴圆C上的点到直线AB的最大距离=1+，|AB|=2=2．∴△PAB面积的最大值=×（d+r）==1+．。
2014年高三数学二轮复习第21讲 坐标系与参数方程1．[2011·新课标全国卷改编] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数) ①，M 是曲线C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，则P 点轨迹的参数方程是________．⇒ 直角坐标系中的伸缩变换关键词：伸缩变换、坐标变换，如①.2．[2012·江西卷] 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程②为________．⇒ 直角坐标、极坐标互化关键词：直角坐标、极坐标、互化公式，如②.3．[2012·上海卷] 如图9－21－1所示，在极坐标系中，过点M (2，0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f （θ）的形式③，则f (θ)＝________.图9－21－1 ⇒ 曲线的极坐标方程关键词：极坐标系、直线的极坐标方程、曲线的极坐标方程，如③.4．[2013·湖南卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数) ④过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． ⇒ 直线的参数方程关键词：直线方程、参数，如④.5．[2013·陕西卷] 如图9－21－2所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程⑤为________．⇒ 曲线的参数方程关键词：曲线、参数方程，如⑤.6．[2012·北京卷] 直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点 ⑥个数为________．⇒ 参数方程化为普通方程关键词：参数方程、普通方程、相互转化，如⑥.► 考向一 极坐标系与简单曲线的极坐标方程考向：求点的极坐标、曲线的极坐标方程，把直角坐标化为极坐标、极坐标化为直角坐标．考例：2011年T23、2012年T23、2013年卷ⅠT23，近五年新课标全国卷共考查了3次．例1 已知圆C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3. (1)将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)圆C 1，C 2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．小结：在解决以极坐标的形式给出的直线、曲线的综合问题时，把它们化为直角坐标方程后使用直角坐标方法解决是一种重要解题思路．► 考向二 简单曲线的参数方程考向：求曲线的参数方程，化参数方程为普通方程，参数方程的应用．考例：2009年T23、2010年T23、2013年卷ⅡT23，近五年新课标全国卷共考查了3次．例2 已知直线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求直线C 1与曲线C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作直线C 1的垂线，垂足为点A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．小结：求以参数形式给出的两条曲线的交点坐标时，一般把它们化为普通方程．求曲线的参数方程就是使用一个参数表达动点的坐标．注意运用三角函数的知识化曲线参数方程为普通方程．► 考向三 极坐标与参数方程的综合考向：极坐标方程与参数方程交汇考查是坐标系与参数方程试题的基本考查方式． 考例：2011年T23、2012年T23、2013年卷ⅠT23，近五年新课标全国卷共考查了3次．例3在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2 3cos θ－2sin θ，点A 的极坐标为(3，2π)，把极点作为平面直角坐标系的原点，极轴作为x 轴的正半轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(1)求圆C 在直角坐标系中的标准方程；(2)设P 为圆C 上任意一点，圆心C 为线段AB 的中点，求|P A |＋|PB |的最大值． 小结：曲线的极坐标方程、参数方程在解决一些与距离有关的问题时显得非常的方便．在求曲线上的点到点的距离、点到直线的距离的最值问题中使用参数方程更为有效．变式题 在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (－1，0)，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋5＝0.(1)若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．[变换与运算]1．数学中绝大多数内容实质就是变换，把问题从一个方面变换为另一个方面，达到便于解决问题的目的，这也是化归与转化思想的体现．2．坐标之间的变换涉及的内容很广泛，其中直角坐标与极坐标互化、参数方程与普通方程互化就是两个重要内容．在解决解析几何问题时，有时直角坐标方程显得方便，有时极坐标方程、参数方程显得方便．在进行运算时能够根据不同的问题选用合理的方程是运算能力的表现．示例 设圆C 的极坐标方程为ρ＝2，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆C 上的一点M (m ，s )作垂直于x 轴的直线l ：x ＝m ，设l 与x 轴交于点N ，向量OQ→＝OM →＋ON →. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)设点R (1，0)，求|RQ→|的最小值．小结：本题(2)是求椭圆上的点到一个定点的距离的最值问题，使用普通方程的方法也能解决，但使用椭圆的参数方程问题就归结为三角函数的最值问题，解决起来相对方便．踪练 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．[备选理由] 下面两题均是参数方程与极坐标方程的综合，这是高考考查该考点的主要形式，可在本讲结束时选用．例1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－3t ，y ＝2－4t ，它与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求|AB |的长；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2 2，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离．例2 直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与曲线C 的公共点为T .(1)求点T 的极坐标；(2)过点T 作直线l ′，l ′被曲线C 截得的线段长为2，求直线l ′的极坐标方程．。
选修4-4一、解答题1.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin （θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．2.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．4.在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．5.已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．6.已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1.（1）求曲线C的直角坐标方程.（2）求直线l被曲线C截得的弦长.7.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．8.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．9.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。
2020年全国高考新课标1卷理科数学试题一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若z =1+i ，则|z 2–2z |=( )A ．0B ．1C 2D ．22．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =( )A ．–4B ．–2C ．2D ．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积 等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形 底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A ．514B ．512C ．514D ．5124．已知A 为抛物线C ：y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下 进行种子发芽实验，由实验数据 (x i . y i )(i =1,2,···,20)得到散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之 间，下面四个回归方程类型中最 适宜作为发芽率y 和温度x 的回 归方程类型的是( )D A ．y=a+bx B ．y=a+bx 2 C ．y=a+be x D ．y=a+b ln x 6．函数f (x )=x 4-2x 3的图像在点(1, f (1))处的切线方程为( )A ．y=-2x -1B ．y=-2x +1C ．y=2x -3D ．y=2x +17．设函数f (x )=cos(ωx +6π)在[-π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为( )A ．109πB ．76πC ．43πD ．32π8．25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．209．已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cos α=5，则sin α= ( )A ．53B ．23C ．13D ．5910．已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为∆ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A．64πB．48πC．36πD．32π11．已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线P A,PB，切点为A,B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( ) A．2x-y-1=0 B．2x+y-1=0 C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=012．若2a+log2a=4b+2log4b，则( )A．a>2b B．a<2b C．a>b2D．a<b2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．若x,y满足约束条件220,10,10,x yx yy+-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z=x+7y的最大值为.14．设为a b，单位向量，且|+a b|=1，则|-a b|= .15．已知F为双曲线C：22221x ya b-=(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴. 若AB的斜率为3，则C的离心率为. 16．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=3 AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB= .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017•新课标Ⅱ）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：===2﹣i，故选D．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故选：C．3．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．4．（5分）（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选：B．5．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．6．（5分）（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×=36种．故选：D．7．（5分）（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D．8．（5分）（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；7≤6不成立，退出循环输出，S=3；故选：B．9．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得e2=4，即e=2．故选：A．10．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．11．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．1【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）=（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，=（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选：A．12．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX= 1.96．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．14．（5分）（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是1．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：115．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．16．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=6．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6．故答案为：6．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，∵S=ac•sinB=2，△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．（12分）（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k）0.0500.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828K2=．【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（2）2×2列联表：箱产量＜50kg箱产量≥50kg 总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200则K2=≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由题意可知：方法一：=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．19．（12分）（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．20．（12分）（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l 过C的左焦点F．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=．可得（x﹣x0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，解得m=，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由k OQ=﹣，k PF=，由k OQ•k PF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．21．（12分）（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（22．（10分）（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当=，即a=b=1时取等号，（2）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；双曲线；海燕；whgcn；qiss；742048；maths；sxs123；cst；zhczcb（排名不分先后）菁优网2017年6月12日。
2019年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设z=1-i1+i+2i ，则|z|= A ．0 B ．12 C ．1 D ． 2解析：选C z=1-i1+i+2i=-i+2i=i2．已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则∁R A =A ．{x|-1<x<2}B ．{x|-1≤x ≤2}C ．{x|x<-1}∪{x|x>2}D ．{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2} 解析：选B A={x|x<-1或x>2}3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析：选A4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=A ．-12B ．-10C ．10D ．12 解析：选 ∵3(3a 1+3d)=(2a 1+d )+(4a 1+6d) a 1=2 ∴d=-3 a 5=-105．设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A ．y=-2x B ．y=-x C ．y=2x D ．y=x解析：选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x 3+x f′(x)=3x 2+1 f′(0)=1 故选D 6．在ΔABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →= A ．34AB → - 14AC →B ． 14AB → - 34AC →C ．34AB → + 14AC →D ． 14AB → + 34AC →解析：选A 结合图形，EB →=- 12(BA →+BD →)=- 12BA →-14BC →=- 12BA →-14(AC →-AB →)=34AB → - 14AC →7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．2 5C ．3D ．2解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →=A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D F(1,0)，MN 方程为y=23 (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则FM →=(0,2),FN →=(3,4) ∴FM →·FN →=89．已知函数f(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧e x， x ≤0lnx ，x>0，g(x)=f(x)+x+a ．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）解析：选C g(x)=0即f(x)=-x-a ，即y=f(x)图象与直线y=-x-a 有2个交点，结合y=f(x)图象可知-a<1 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p1，p2，p3，则A ．p1=p2B ．p1=p3C ．p2=p3D ．p1=p2+p3BC=52+12×π×22=258π(52)2- 12×3×-6；-(258π-6)=6=ΔABC 面积∴p1=p211．已知双曲线C ：x 23 - y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形，则|MN|=A ．32B ．3C ．2 3D ．4解析：选B 依题F(2,0),曲线C 的渐近线为y=±33x,MN 的斜率为3，方程为y=3(x-2),联立方程组解得M(32,- 32),N(3, 3),∴|MN|=3 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．334 B ．233 C ．324 D ．32解析：选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙理科)数学注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z =2+i1+i 2+i5，则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i2.设集合U =R ，集合M ={x x <1 }，N ={x -1<x <2 }，则{x x ≥2 } =()A.C U (M ∪N )B.N ∪C U MC.C U (M ⋂N )D.M ∪C U N3.3、如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.304.已知f (x )=xe x e ax -1是偶函数，则a =()A.-2B.-1C.1D.25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x ,y )1≤x 2+y 2≤4 }内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.126.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间(π6,2π3)单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f (x )的图像的两条对称轴，则f (-5π12)=()A.-32B.-12C.12D.327.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120∘，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π9.已知△ABC 为等腰三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150° ,则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.225C.35D.2510.已知等差数列{a n }的公差为2π3，集合S =cosa n n ∈ N * ，若S ={a b }，则ab =()A.-1B.-12C.D.1211.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1，-4)12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=2，则PA ∙PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷I）文科数学试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2}，则A∩B=A．{0,2} B．{1,2} C．{0} D．{-2,-1,0,1,2}解析：选A2．设z=1-i1+i+2i，则|z|=A．0 B．12C．1 D． 2解析：选C z=1-i1+i+2i=-i+2i=i3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．22D ．223解析：选C ∵ c=2，4=a 2-4 ∴a=2 2 ∴e=225．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π解析：选 B. 设底面半径为R,则(2R)2=8 ∴R=2,圆柱表面积=2πR ×2R+2πR 2=12π6．设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A ．y=-2xB ．y=-xC ．y=2xD ．y=x解析：选 D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x 3+x f ′(x)=3x 2+1 f ′(0)=1 故选D7．在ΔABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=A ．34AB → - 14AC →B ． 14AB → - 34AC →C ．34AB → + 14AC →D ． 14AB → + 34AC →解析：选A 结合图形，EB →=- 12(BA →+BD →)=- 12BA →-14BC →=- 12BA →-14(AC →-AB →)=34AB → - 14AC →8．已知函数f(x)=2cos 2x-sin 2x+2，则 A ．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B ．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C ．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B f(x)= 32cos2x+52故选B9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．2 5C ．3D ．2解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长.10．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为300，则该长方体的体积为 A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3解析：选C ∵AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为300 ，AB=2 ∴AC 1=4 BC 1=2 3 BC=2 ∴CC 1=2 2. V=2×2×22=8 2.11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=23，则|a-b|=A ．15B ．55C ．255D ．1解析：选B ∵cos2α=23 2cos 2α-1=23 cos 2α=56 ∴sin 2α=16 ∴tan 2α=15又|tan α|=|a-b| ∴|a-b|=5512．设函数f(x)= ⎩⎨⎧2-x，x ≤01，x>0，则满足f(x+1)< f(2x)的x 的取值范围是A ．(-∞,-1]B ．(0,+ ∞)C ．(-1,0)D ．(-∞,0)解析：选D x ≤-1时，不等式等价于2-x-1<2-2x ,解得x<1,此时x ≤-1满足条件 -1<x ≤0时，不等式等价于1<2-2x , 解得x<0, 此时-1<x<0满足条件x>0时，1<1不成立 故选D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数f(x)=log 2(x 2+a)，若f(3)=1，则a=________． 解析：log 2(9+a)=1,即9+a=2,故a=-714．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x-2y-2≤0x-y+1≥0 y ≤0 ，则z=3z+2y 的最大值为_____________．解析：答案为615．直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A,B 两点，则|AB|=________． 解析：圆心为(0,-1),半径R=2,线心距d=2,|AB|=2R 2-d 2=2 216．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知bsinC+csinB=4asinBsinC ，b 2+c 2-a 2=8，则△ABC 的面积为________．解析：由正弦定理及bsinC+csinB=4asinBsinC 得2sinBsinC=4sinAsinBsinC ∴sinA=12由余弦定理及b 2+c 2-a 2=8得2bccosA=8,则A 为锐角，cosA=32, ∴bc=833∴S=12bcsinA=233三、解答题：共70分。
考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2020·全国Ⅱ·理22)已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数),C 2:{x =t +1t,y =t -1t(t 为参数).(1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.2.(2022·陕西榆林三模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0. (1)求C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程.(2)若P 为C 上任意一点,A 为l 上任意一点,求|PA|的最小值.3.(2022·安徽怀南一模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =t 2,y =2t (t 为参数),以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为2cos α-sin α=4ρ. (1)求曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程.4.(2022·陕西榆林二模)在数学中,有许多方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为ρ=1-sin θ(0≤θ<2π,ρ≥0),M 为该曲线上一动点. (1)当|OM|=12时,求M 的直角坐标;(2)若射线OM 逆时针旋转π2后与该曲线交于点N ,求△OMN 面积的最大值.5.(2022·安徽合肥二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=acos2θ(a>0,ρ∈R ). (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线θ=π4(ρ∈R )与直线l 交于点M ,直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于点A ,B ,且AM ⊥BM ,求实数a 的值.6.(2022·安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2sinα,y =2cosα+1(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的直角坐标方程为x+√3y-2√3=0. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程;(2)若直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于A ,B 两点,与直线l 交于点M ,求|MA|·|MB|的值.7.(2022·河南郑州二模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数).已知M是曲线C 1上的动点,将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ,设点N 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)设点Q (1,0),若射线l :θ=π3与曲线C 1,C 2分别相交于异于极点O 的A ,B 两点,求△ABQ 的面积.8.(2022·山西太原一模)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =-2+35t ,y =2+45t (t 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρsin θ-3=0,点P 的极坐标为2√2,3π4.(1)求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,求点P 到线段AB 的中点M 的距离.考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.解 (1)C 1的普通方程为x+y=4(0≤x ≤4). 由C 2的参数方程得x 2=t 2+1t2+2,y 2=t 2+1t2-2, 所以x 2-y 2=4.故C 2的普通方程为x 2-y 2=4. (2)由{x +y =4,x 2-y 2=4得 {x =52,y =32,所以P 的直角坐标为(52,32). 设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0),由题意得x 02=(x 0-52)2+94,解得x 0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为ρ=175cos θ.2.解 (1)因为曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数),所以C 的普通方程为x 216+y 29=1.又因为直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0,所以直线l 的直角坐标方程为x+y-12=0. (2)设P (4cos θ,3sin θ),|PA|的最小值即点P 到直线l 的距离的最小值,由√2=√2≥7√22,其中tan φ=43.当且仅当θ+φ=π2+2k π,k ∈Z 时取等号,故|PA|的最小值为7√22. 3.解 (1)由{x =t 2,y =2t (t 为参数),得{x =t 2,y 2=t (t 为参数),消去参数t ,得y 2=4x ,即曲线C 的普通方程为y 2=4x.(2)由2cos α-sin α=4ρ,得2x-y=4, 联立{y 2=4x ,2x -y =4得A (1,-2),B (4,4),所以AB 的中点坐标为52,1,|AB|=√45=3√5,故以AB 为直径的圆的极坐标方程为(x -52)2+(y-1)2=454,即x 2+y 2-5x-2y-4=0,将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入,得ρ2-5ρcos θ-2ρsin θ-4=0.4.解 (1)令ρ=12,可得sin θ=12,所以θ=π6或θ=5π6,M 的直角坐标为±√34,14.(2)△OMN 的面积S=12ρ1ρ2=12(1-sin θ)1-sin θ+π2=12(1-sin θ)(1-cos θ)=12[1-(sin θ+cos θ)+sinθcos θ],令t=sin θ+cos θ=√2sin θ+π4∈[-√2,√2], S=121-t+t 2-12=14(t-1)2,当t=-√2时,S 取得最大值3+2√24. 5.解 (1)由{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数)得x+y=2,∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2.由ρ2=acos2θ,得ρ2cos 2θ=a ,∴ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=a ,ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=a , ∴x 2-y 2=a ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2=a.(2)直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,将θ=π4代入直线l 的极坐标方程得ρ=√2,∴点M 的极坐标为√2,π4.将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程ρ2=acos2θ,得ρ1=√2a ,ρ2=-√2a ,∴|AB|=|ρ1-ρ2|=2√2a . ∵AM ⊥BM ,且O 为线段AB 的中点, ∴|OM|=12|AB|=√2a ,即√2a =√2,得a=1.6.解 (1)由{x =2sinα,y -1=2cosα(α为参数),得曲线C 的普通方程为x 2+(y -1)2=4.由x+√3y-2√3=0,得直线l 的极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ-2√3=0,即ρsin θ+π6=√3.(2)(方法1)曲线C :x 2+(y-1)2=4的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ-3=0,将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程,得ρ2-ρ-3=0,∴ρ1+ρ2=1,ρ1·ρ2=-3. 将θ=π6代入直线l 的极坐标方程,得ρ=2.|MA|·|MB|=|ρ-ρ1|·|ρ-ρ2|=|(2-ρ1)·(2-ρ2)|=|4-2(ρ1+ρ2)+ρ1·ρ2|=1.(方法2)直线θ=π6的普通方程为y=√33x ,与直线l :x+√3y-2√3=0的交点为M (√3,1),直线θ=π6的参数方程为{x =√3+√32t ,y =1+12t(t 为参数),代入曲线C :x 2+(y-1)2=4,得t 2+3t-1=0,则|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=1.7.解 (1)C 1的普通方程为(x-1)2+y 2=1,则x 2+y 2-2x=0,由ρ2=x 2+y 2,x=ρcos θ,得ρ2=2ρcos θ,故C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ.设N (ρ,θ),则M ρ,θ-π2,将M ρ,θ-π2代入ρ=2cos θ,得ρ=2cos θ-π2=2sin θ,即C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)将θ=π3分别代入曲线C 1,C 2的极坐标方程,得|OA|=ρA =2cos π3=1,|OB|=ρB =2sin π3=√3, 所以|AB|=||OB|-|OA||=√3-1. 又Q 到射线l 的距离d=|OQ|sin π3=√32,故△ABQ 的面积为S=12×(√3-1)×√32=3-√34. 8.解 (1)点P 的极坐标为2√2,3π4,由{x =ρcosθ,y =ρsinθ可得点P 的直角坐标为(-2,2),曲线C :ρ2cos2θ+4ρsin θ-3=0,即ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ+4ρsin θ-3=0, 于是得曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2+4y-3=0. (2)显然点P (-2,2)在直线l 上,将直线l 的参数方程{x =-2+35t ,y =2+45t代入方程x 2-y 2+4y-3=0,得-2+35t 2-2+45t 2+42+45t -3=0,整理得725t 2+125t-5=0,。
2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{1，2}C．{0}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+ 8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为49．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．210．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A．8B．6C．8D．811．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）A．B．C．D．112．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分。
专题18坐标系与参数方程考向一极坐标与参数方程【母题来源】2022年高考浙江卷【母题题文】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标．【试题解析】【小问1详解】因为26t x +=，y =，所以226y x +=，即1C 的普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】因为2,6sx y +=-=，所以262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--≤，由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=，即3C 的普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2--．【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目．【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义.【得分要点】(1)运用极坐标，借助极径的几何意义；(2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义；1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率．2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C的极坐标方程为ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率．3．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l的参数方程为：2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且AB =，求直线l 的倾斜角．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B，已知)1P-，求PA PB ⋅.5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；(2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围.6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求C 的参数方程；(2)判断l 与C 的位置关系．7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值.8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C的参数方程为2222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程是11cos221sin2xyϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为1()ρθρ=∈R．(1)求曲线1C和曲线2C除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A，B分别为曲线1C和2C上的异于极点O的两点，且OA OB⊥，求OAB面积的最大值．10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且π2,6P⎛⎫-⎪⎝⎭，π2,6Q⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，曲线1C的参数方程为2112x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数）．(1)求 PQ的极坐标方程和OQ所在圆2C的直角坐标方程；(2)已知点M的直角坐标为()0,1-，曲线1C和圆2C相交于A，B两点，求11||||MA MB-．1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)tan (1)1y x α=⋅-+；22240x y y +--=(2)±1【解析】【分析】（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解2cos 2α=±，进而可求tan α.(1)1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩()tan 11y x α⇒=⋅-+，2222sin 40240x y y ρρθ--=⇒+--=；(2)将1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22240x y y +--=得22cos 40t t α+-=，12122cos 4t t t t α+=-⎧⎨=-⎩，因为点P 在圆内，故,A B 在点P 两侧，由题意知，122t t =-，因此122152t t t t +=-，即21212()12t t t t +=-，故2(2cos )142α-=--，解得2cos 2α=，进而tan 1k α==±因此斜率为±1．2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C ，半径为2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为2ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，2C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率．【答案】(1)2cos 2sin r q q =+，1C ，2C 相交21【解析】【分析】（1）先求解1C 的标准方程，再根据直角坐标与极坐标的转换求解1C 的极坐标方程，再根据2C 的直角坐标方程，分析1C ，2C 圆心之间的距离与半径之和差的关系判断即可；（2）根据1C ，2C 均过极点，联立极坐标方程，求解tan θ即可(1)由题意，1C 的标准方程为()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=，故1C 的极坐标方程为22cos 2sin =+ρρθρθ，即2cos 2sin r q q =+，又，2C 的极坐标方程为222cos ρθ=，即2222x y +=，(2222x y +=.因为()()22122110422C C -+-=-1C ，2C 半径相等，半径和为22124224222C C =-=<1C ，2C 相交.故1C 的极坐标方程2cos 2sin r q q =+，1C ，2C 相交.(2)由（1）1C ：2cos 2sin r q q =+，2C ：22ρθ=均经过极点且相交，联立2cos 2sin 22ρθθρθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩有2cos 2sin 22θθθ+=，显然cos 0θ≠，故22tan 22θ+=，即tan 21θ=，即经过曲线1C ，2C 213．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且42AB =，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =；当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-；22280x y x +--=(2)π6或π2【解析】【分析】（1）因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），讨论π2α=和π2α≠时，消去参数t ，即可求出直线l 的普通方程，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=即可求出曲线C 的直角坐标方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，()2232cos 50t t αα++-=．因为0∆>，可设该方程的两个根为2,l t t ，所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-线l 的倾斜角.(1)因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =．当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-．因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，因为22cos 8ρρθ=+，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为22280x y x +--=．(2)曲线C 的直角坐标方程为22280x y x +--=，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得()2232cos 50t t αα++-=．因为()2232cos 200αα∆=++>，可设该方程的两个根为2,l t t ，则()2232cos l t t αα+=-+，25l t t =-．所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-()2[23sin 2cos ]2042αα=-++=整理得()23cos 3αα+=，故π2sin 36α⎛⎫+=± ⎪⎝⎭因为0πα≤<，所以ππ63α+=或π2π63α+=，解得或π6α=或π2α=，综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π2．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为3x ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B ，已知)3,1P-，求PA PB ⋅.【答案】(1)1:C πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈），2:C ρ＝4.(2)12【解析】【分析】（1）利用消参法进行化简曲线方程，然后通过公式将曲线的普通方程转化成极坐标方程；（2）利用直线的极坐标方程，结合参数的几何意义，联立曲线普通方程进行计算即可.(1)由曲线13:x tC y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得30x =，化成极坐标方程得cos 3sin 0ρθρθ=.化简极坐标方程为πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈）.曲线24cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数θ得2216x y +=.化简极坐标方程为ρ＝4.(2)由已知得P 在曲线1C 上，将曲线1C 化为标准参数方程332112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入2C 的直角坐标方程2216x y +=，得2231311622t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，即24120t t --=，即A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，所以121212PA PB t t t t ⋅===.5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；(2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围.【答案】52(2)5151(,0))22⋃【解析】【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标互化公式得到曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设出曲线上点()2,A s s ±，求出直线方程230x y -+=，利用点到直线距离公式，得到曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；（2）直线l 的普通方程为：()11y k x -=+，与曲线C ：24y x =联立消去x 后用根的判别式得到不等式，求出斜率k 的取值范围.(1)2sin 4cos 0ρθθ-=两边同乘以ρ得：22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，所以曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设曲线上的一点坐标为()2,2A s s ±，当直线l 的斜率k =2时，直线方程为()121y x -=+，即230x y -+=，则A 点到直线距离为2215222223415s s s d ⎛⎫±+⎪±+⎝⎭==+当12s =±时，d 52，故曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 52；(2)直线l 的普通方程为：()()110y k x k -=+≠，与曲线C ：24y x =联立得：24440y y k k-++=，由0∆>得：1152k +>1152k -解得：5151()22k ---∈⋃6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求C 的参数方程；(2)判断l 与C 的位置关系．【答案】(1)cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）(2)直线l 与圆C 相切.【解析】【分析】（1）先将圆C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心及半径，再转化为参数方程即可；（2）将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离判断直线l 与圆C 的位置关系即可.(1)解：因为圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则22sin ρρθ=，则其直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.(2)解：因为直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos cos sin sin 3066ππρθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭3cos sin 30ρθρθ+-=，所以直线l 330x y +-=，由（1）得圆C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆心(0,1)到直线l 22301131(3)1⨯+⨯-=+，故直线l 与圆C 相切.7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值.【答案】(1)曲线2:2C y x =；直线:20+-=l x y (2)344【解析】【分析】（1）消去参数t 即可得C 的普通方程，并用极坐标与直角坐标互化即可得直线的普通方程；（2）写出直线l 参数方程的标准形式，再与C 的普通方程联立，借助参数的几何意义得解.(1)曲线C 的参数方程为2,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为22y x =，可得22y x =；直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=，转化为直角坐标方程为20x y +-=；(2)把直线l 的方程换成参数方程，得2,2222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入22y x =.得22202t t --=，∴12122,22t t t t +==-，显然12,t t 异号.由22111211||,||22MP t t t MQ t =+==，∴()212121212121212121841111342||||24t t t t t t t t MP MQ t t t t t t t t ++-+-+=+=====.8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为222222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．【答案】(1)22(2)4x y -+=，22AB =(2)45【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出1C 的普通方程，求出2C 的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出AB 的长度，（2）由伸缩变换可求出曲线3C 的方程为2214xy +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，求出点P 到直线AB 的距离，化简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从而可求出PAB △的面积的最小值(1)由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以22(2)4x y -+=．由22222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去参数得4x y -=，1C 的圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线4x y -=的距离为2422d -==，所以()2222222AB =-=(2)曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C ，则()()222224+-+=x y ，即曲线3C 的方程为2214x y +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，则点P 到直线AB 的距离为2555cos sin 4552cos sin 422d ϕϕϕϕ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==()5sin 4522αϕ--==25sin 5α=，5cos 5α=），故当()sin 1αϕ-=时，d 取得最小值，且min 52d =，因此，当点P 到直线AB 的距离最小时，PAB △的面积也最小，所以PAB △的面积的最小值为min 1152245222AB d ⋅⋅=⨯=．9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是11cos 221sin 2x y ϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为13sin ()ρθρ=+∈R ．(1)求曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的异于极点O 的两点，且OA OB ⊥，求OAB 面积的最大值．【答案】(1)()1,0，14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭31【解析】【分析】（1）求出曲线1C 的普通方程，进而求出极坐标方程，与2C 的极坐标方程联立，求出曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标；（2）设出,A B 两点的极坐标方程，表达出OAB 的面积，利用三角函数的有界性求出最大值.(1)曲线1C 的普通方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化为极坐标方程为：()2211cos sin 24ρθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到：cos ρθ=，与13sin ()ρθρ=+∈R 联立，得：cos 13θθ=，即π1cos 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为02πθ≤<，所以ππ7π333θ≤+<，所以π5π33θ+=，或ππ33θ+=，解得：14π3θ=或20θ=，当4π3θ=时，此时4π1cos 32ρ==-，当0θ=时，此时cos01ρ==所以曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标为()1,0与14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)因为OA OB ⊥，①设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α=⎭因为[]cos 1,1α∈-，所以当cos 1α=时，OAB 31+；②设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α⎫=-+⎪⎪⎭，因为[]cos 1,1α∈-，所以当3cos 6α=时，OAB 面积取得最大值，最大值为312；33112>OAB 31.10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox 中，曲边三角形OPQ 为勒洛三角形，且π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O 为直角坐标原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为32112x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．(1)求 PQ的极坐标方程和 OQ 所在圆2C 的直角坐标方程；(2)已知点M 的直角坐标为()0,1-，曲线1C 和圆2C 相交于A ，B 两点，求11||||MA MB -．【答案】(1)ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭；222:(3)(1)4++=C x y (2)3【解析】【分析】（1）由已知，可根据题意直接写出 PQ 的极坐标方程，并标注范围，然后求解出点P 的直角坐标，写出 OQ所在圆的直角坐标方程即可；（2）由已知，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将曲线1C 的参数方程带入圆2C ，并根据根与系数关系，求解11||||MA MB -即可.(1)因为π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以 PQ 的极坐标方程：ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，因为点P 的直角坐标是(3,1)-，所以 OQ所在圆的直角坐标方程为222:(3)(1)4++=C x y ．（注： PQ的极坐标方程不标明θ的取值范围或写错扣1分）(2)设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将32112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22(3)(1)4x y ++=得：2310,0--=∆>t t 所以12123,1+==-t t t t 因为120t t <，由t 的几何意义得：121212121111113||||+-=-=+==t tMA MB t t t t t t。
极坐标知识点总结1.直角坐标系与极坐标系的转化直角坐标（x ，y ）→极坐标（ρ，θ）：ρ=22y x + tan θ=xy 极坐标（ρ，θ）→直角坐标（x ，y ）：x=ρθcos y=ρθsin例1:将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
（1）x y 42= （2）3πθ=（3）12cos 2=θρ （4）42cos 2=θρ练习：将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
（1）01222=--+x x y （2）θρcos 21-=例2:曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x ,以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程和圆心的极坐标。
练习：求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程.例3:已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径.练习：求圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标与半径.例4:⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． (Ⅰ)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)求经过⊙1O ，⊙2O 交点的直线的直角坐标方程．练习：在极坐标系()(02ρθθ,≤<π)中,求曲线2ρ=sin θ与ρcos 1θ=-的交点的极坐标.2.极坐标系中的距离问题例1:求极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距离.练习：在极坐标系中，求点)3,2(π与圆θρcos 2=的圆心之间的距离。
例2:在极坐标系中，求圆θρsin 4=的圆心到直线6πθ=)(R ∈ρ的距离。
练习：在极坐标系中，求圆2cos ρθ=的圆心到直线2sin()13πρθ+=的距离．例3:已知直线l 的方程为y=2x+1和圆C 的极坐标方程：ρ=2√2.sin (θ+π4) (1)将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l 和圆C 的位置关系．练习：已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，判断两曲线的位置关系．例4:在极坐标系中，求圆2=ρ上的点到直线6)sin 3(cos =+θθρ的距离的最小值.练习：极坐标系中，求圆03cos 22=-+θρρ上的动点到直线07sin cos =-+θρθρ的距离的最大值.例5:已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知P 为椭圆221169:x y C +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．练习：在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为1322=+y x .以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.3.极坐标系中求解弦长问题 例1:求直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=相交的弦长.练习：在极坐标系中，求直线2)4sin(=+πθρ被圆4=ρ所截得弦长.。
专题检测（十九） 选修4-4 坐标系与参数方程1．(2021·合肥一检)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3＋3t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为sin θ－3ρcos 2θ＝0.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标．解：(1)∵sin θ－3ρcos 2θ＝0，∴ρsin θ－3ρ2cos 2θ＝0， 即y －3x 2＝0.故曲线C 的直角坐标方程为y －3x 2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3＋3t ，代入y －3x 2＝0得，3＋3t －3⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＝0， 解得t ＝0，从而交点坐标为(1，3)， ∴交点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. 2．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求半圆C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标． 解：(1)半圆C的一般方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2,0)，(5，3)， 于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33. 由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6， 所以切点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫2＋2cos π6，2sin π6， 即(2＋3，1)．3．(2021·宝鸡质检)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．(1)求C 的直角坐标方程；(2)直线l ：⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点E ，求|EA |＋|EB |.解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)得ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 化简得t 2－t －1＝0， 点E 对应的参数t ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1， 所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝ 5.4．(2021·张掖一诊)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－22，曲线C 3：ρ＝2sin θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．解：(1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α消去参数α，得y ＋x 2＝1，x ∈[－1,1]．①曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－22⇒x ＋y ＋1＝0， ②联立①②，消去y 可得：x 2－x －2＝0， 解得x ＝－1或x ＝2(舍去)，所以M (－1,0)． (2)曲线C 3：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，是以(0,1)为圆心，半径r ＝1的圆．设圆心为C ，则点C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|0＋1＋1|2＝2，所以|AB |的最小值为2－1.5．(2021·成都一诊)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ－4sin θ＝0.(1)写出直线l 的一般方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,0)．若点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ |的值．解：(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，∴直线l 的一般方程为y ＝tan α·(x －1)．由ρcos 2θ－4sin θ＝0，得ρ2cos 2θ－4ρsin θ＝0， 即x 2－4y ＝0.∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y . (2)∵点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2， ∴点M 的直角坐标为(0,1)．∴tan α＝－1，直线l 的倾斜角α＝3π4.∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)．代入x 2＝4y ，得t 2－62t ＋2＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2. ∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q 对应的参数值为t 1＋t 22＝622＝3 2.又点P (1,0)，则|PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝3 2.6．(2021·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.7．(2021·成都二诊)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． 解：(1)由题意知，曲线C 的一般方程为x 2＋(y －2)2＝4，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4， 即ρ＝4sin θ. 由ρ＝23，得sin θ＝32， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴θ＝2π3. (2)由题易知直线l 的一般方程为x ＋3y －43＝0， ∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0. 又射线OA 的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝2π3(ρ≥0)，ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝4 3.∴点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，2π3， ∴|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.8．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2cos θ和曲线C 2：ρcos θ＝3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值． 解：(1)C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＝3. (2)设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A ， ∵PQ ⊥OP ， ∴PQ 过点A (2,0)． 设直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)， 代入C 1可得t 2＋2t cos θ＝0， 解得t 1＝0，t 2＝－2cos θ，可知|AP |＝|t 2|＝|2cos θ|. 代入C 2可得2＋t cos θ＝3， 解得t ′＝1cos θ， 可知|AQ |＝|t ′|＝⎪⎪⎪⎪1cos θ，∴|PQ |＝|AP |＋|AQ |＝|2cos θ|＋⎪⎪⎪⎪1cos θ≥22，当且仅当|2cos θ|＝⎪⎪⎪⎪1cos θ时取等号， ∴线段PQ 长度的最小值为2 2.。
经典好题：参数方程中的取值范围与最值问题1．已知曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），点P 是曲线C 上的动点.（1）求曲线C 的普通方程；（2）已知点Q 是直线:2(0)l y x m m =+>上的动点，若P Q 、之间的距离PQ 最小m 的值.解：（1）Q 曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数）可得cos sin y αα==⎩，故()()2222sin cos 1y αα+=+= ∴曲线C 的普通方程：2212x y +=（2）Q 点P 是曲线C 上的动点， 由曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），可设点),sin Pαα又Q Q 是直线:2(0)l y x m m =+>上的动点， 要保证P Q 、之间的距离PQ 取最小值，只需保证点),sin P αα到直线:2(0)l y x m m =+>距离最小设),sin Pαα到直线:20l x y m -+=距离为d根据点到直线距离公式可得：d==tan ϕ=Q 0m >∴()sin 1αϕ-=时d取最小值，=8m =或2m =-(舍)∴8m =点评：考查了参数方程化为直角方程和直线与椭圆动点距离最值问题，解题关键是掌握点到直线距离公式和辅助角公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为221124x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l()cos 40a a πθ⎛⎫- ⎪⎝=>⎭. （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）已知P 是曲线C 上的一动点，过点P 作直线1l 交直线于点A ，且直线1l 与直线l 的夹角为45°，若PA 的最大值为6，求a 的值. 解：（1cos 4a πθ⎛⎫- ⎪⎭=⎝cos cos sin sin 44a ππθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即cos sin a ρθρθ+=. ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l 的直角坐标方程为x y a +=，即0x y a +-=.（2）依题意可知曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.设(),2sin P αα，则点P 到直线l 的距离为：d ==∵0a >， ∴当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d =.又过点P 作直线1l 交直线于点A ，且直线1l 与直线l 的夹角为45o ，∴cos 45dPA=o，即PA =. ∴PAmax 6=6=.∵2a >，∴解得2a =.点评：考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，第二问考查了利用椭圆的参数方程求最值，属于中档题.3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=-.（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）设曲线1C 与2C 交于,A B两点，若(2,P ，求||||PA PB +的取值范围. 解：（1）cos ,sin x y ρθρθ==Q ，由ρθ=-，∴曲线2C的直角坐标方程为220x y ++=.（2）将曲线1C 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程， 化简得24cos 10t t α++=， 由>0∆，得21cos4α>. 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则12124cos ,10t t t t α+=-=>，12||||4|cos |PA PB t t α∴+=+=，又1cos 12α<≤，24|cos |4α∴<≤， ||||PA PB ∴+的取值范围为(2,4].点评：考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,重点考查了直线参数方程中参数的几何意义,属基础题.4．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为102x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+．（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；（2）过曲线C 上任意一点M 作与直线l 的夹角为60︒的直线，交l 于点N ，求MN 的最小值解：（1）将直线l 的参数方程消去参数t ， 可得直线l 的普通方程为210x y +-=0．将222p x y =+，cos x ρθ=代入曲线C 的极坐标方程， 可得曲线C 的直角坐标方程为229436x y +=，即22149x y +=故曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）（2）设()2cos ,3sin M ϕϕ，则M 到l 的距离d ==，其中tan 43r =．如图，过点M 作MP l ⊥于点P ，则d MP =，则在Rt MNP △中，sin60||dMN ︒==．当()sin 1r ϕ+=时，d故MN =点评：考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式，考查学生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查数形结合思想. 5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为22413sin ρθ=+．（1）写出曲线C 1和C 2的直角坐标方程；（2）已知P 为曲线C 2上的动点，过点P 作曲线C 1的切线，切点为A ，求|PA |的最大值．解：（1）由cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），消去参数α，可得22(2)1x y +-=．∴曲线C 1的直角坐标方程为22(2)1x y +-=； 由22413sin ρθ=+，得ρ2+3ρ2sin 2θ＝4， 即x 2+y 2+3y 2＝4，即2214x y +=．∴曲线C 2的直角坐标方程为2214x y +=；（2）∵P 为曲线C 2上的动点，又曲线C 2的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩∴设P （2cos α，sin α）， 则P 与圆C 1的圆心的距离d ===． 要使|P A |的最大值，则d 最大，当sin α23=-时，d∴|P A |3==． 点评：考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．6．在中面直角坐标系xOy 中，已知1C：6x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数），2C ：2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（其中θ为参数）.以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）.（1）求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设以O 为端点、倾斜角为α的射线l 与1C 和2C 分别交于A ，B 两点，求OA OB的最小值.解：（1）在6x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩中，消去参数t，得)6y x =-0y +-=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得)sin ρθθ+=，所以1C的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（未化成这种形式可不扣分） 在2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩中，消去参数θ，得()2224x y +-=，即2240x y y +-=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得24sin 0ρρθ-=，即4sin ρθ=.（2）射线l 的极坐标方程为θα=，则OA =4sin OB α=.所以OAOB==12sin 26α=+- ⎪⎝⎭. 故OA OB当且仅当πsin 216α⎛⎫-= ⎪⎝⎭即π3α=时取得. 点评：考查把参数方程化成极坐标方程和利用极径的几何意义求最值，中档题. 7．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 60ρθρθ+-=，曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，设点P 为C 上的一点，求PAB △的面积的最小值.解：（1）直线l 的直角坐标方程为260x y +-=；因为22cos sin 1αα+=，所以曲线C 的普通方程为22149x y +=；（2）对直线l ，令0y =可得3x =，则(3,0)A ；令0x =可得6y =，则(0,6)B ，设(2cos ,3sin )P αα，点P 到直线l的距离d ==其中34cos ,sin 55ϕϕ==， PAB △的面积35sin()611222S AB d αϕ⨯+-=⋅⋅=⨯=，当sin()=1αϕ+时，PAB △的面积取得最小值32. 点评：考查参数方程、普通方程、极坐标方程的相互转化，利用参数方程及三角函数的有界性解决三角形面积的最值问题，涉及辅助角公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题.8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙O的极坐标方程为ρθ=． （1）写出⊙O 的直角坐标方程；（2）P 为直线上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：（1）由222,sin x y y ρρθ=+=得222sin x y ρθρθ=⇒=⇒+=，即⊙O的直角坐标方程为220x y +-=，即22(3x y +=；（2）设P点坐标为1(3)2t +， P 到圆心C的距离d ==≥= 当0t =时，P 到圆心C的距离取最小值 此时(3,0)P .点评：考核极坐标方程和普通方程的互化，考查直线参数方程的应用，是基础题. 9．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2212,1sin ρθ=+射线(0)4πθρ=≥交曲线C 于点A ,倾斜角为α的直线l 过线段OA 的中点B 且与曲线C 交于P 、Q 两点. (1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程;(2)当直线l 倾斜角α为何值时, |BP |·|BQ |取最小值, 并求出|BP |·|BQ |最小值. 解：（1）由题,因为22121sin ρθ=+,即()221sin 12ρθ+=, 因为222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩, 所以22212x y y ++=,即22212x y +=,则曲线C 的直角坐标方程为221126x y +=,因为射线(0)4πθρ=≥交曲线C 于点A ,所以点A 的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则点A 的直角坐标为()2,2,所以OA 的中点B 为()1,1,所以倾斜角为α且过点B 的直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（2）将直线l 的参数方程1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程221126x y+=中,整理可得()()222cos2sin 2cos 4sin 90t t αααα+++-=,设P 、Q 对应的参数值分别是1t 、2t ,则有12229cos 2sin t t αα-=+, 则1222299cos 2sin 1sin BP BQ t t ααα⋅===++,因为(]0,απ∈,当sin 1α=,即2πα=时,BP BQ ⋅取得最小值为92点评：考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查直线的参数方程,考查最值问题.10．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.解：（Ⅰ）∵曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），∴曲线C 的普通方程为22149x y +=，∵直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=，∴2cos sin 6ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为260x y +-=. （Ⅱ）∵点P 是曲线C 上的动点，∴设()2cos ,3sin P ϕϕ，则P 到直线l 的距离：d ==，∴当()sin 1ϕθ+=-时，点P 到直线l距离取最大值max d ==； 当()sin 1ϕθ+=时，点P 到直线l距离取最小值min d ==点评：考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化以及曲线上的点到直线的距离的最值的求法，还考查了运算求解能力，属于中档题.11．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 26πρα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）以曲线C 上的动点M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线l 相切，求r 的最大值. 解：（1）由sin 26πρα⎛⎫+=⎪⎝⎭1sin cos 22ραρα+=， 将sin y ρα=，cos x ρα=代入上式，得直线l 的直角坐标方程为40x +-=.由曲线C的参数方程2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），得曲线C 的普通方程为22143x y +=.（2）设点M的坐标为()2cos θθ， 则点M 到直线l：40x +-=的距离为2cos 3sin 42d θθ+-==2tan 3ϕ=，ϕ为锐角）， 当d r =时，圆M 与直线l 相切，故当()sin 1θϕ+=-时，r 取最大值，且r. 点评：考查极坐标方程与直角坐标方程互化，参数方程与普通方程互化，考查椭圆参数方程的应用，属于中档题．12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=．（1）直接写出曲线2C 的普通方程；（2）设A 是曲线1C 上的动点，B 是曲线2C 上的动点，求AB 的最大值．解：（1）曲线2C 的普通方程为2214y x +=；（2）由曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得曲线1C 的普通方程为2224x y -+=（）， 它是一个以20C （，）为圆心，半径等于2的圆， 则曲线2C 的参数方程为：cos (2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数），∵A 是曲线1C 上的点，B 是曲线2C 上的点，∴max max 2AB BC =+．设cos 2sin B ββ（，），则BC， ∴当2cos =3β-时，max 3BC∴max23AB =+． 点评：考查利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程，利用消参法将参数方程化为普通方程，运用曲线的参数方程表示点坐标，以及结合两点间的距离和二次函数的性质，求出距离最值，考查转化思想和计算能力.13．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程是sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数）.以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是sin 4πρθ⎛⎫ ⎪⎭=⎝+（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，过P 点且与x 垂直的直线交2C 于点A ，求||PA 的最小值，并求此时点P 的直角坐标.解：（1）由曲线1:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得：cos sin yαα⎧=⎪⎨⎪=⎩两式两边平方相加可得：曲线1C 的普通方程为：2213x y +=.由曲线2:sin 4C πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(sin cos )2ρθθ+= 即()sin cos 8ρθθ+=，所以曲线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=. （2）由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，椭圆上的点),sin Pαα到直线80x y +-=的距离为d ==， 当sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d的最小值为 此时||PA 的最小值为6，此时点P 的坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭. 点评：考查利用消去参数的方法将参数方程化为普通方程，利用关系式222cos ,sin tan x y x y y x ρρθρθθ⎧⎧+==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩等可以将极坐标方程与直角坐标方程互化，利用点到直线距离的公式和三角恒等变换的辅助角公式求距离最值问题.14．在平面直角坐标系xOy 中，将曲线方程()()22221164x y -++=，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到曲线C .（1）点M （x ，y ）为曲线C 上任意一点，写出曲线C的参数方程，并求出12x 的最大值；（2）设直线l 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=-⎩，（t 为参数），又直线l 与曲线C 的交点为E ，F ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段EF 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 解：（1）将曲线方程()()22221164x y -++=，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到曲线C 的方程为()()2222221164x y -++-+=，即221164x y +=， 故曲线C 的参数方程为42x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；又点M （x ，y ）为曲线C 上任意一点，所以12x =2cos θθ-=4cos （3πθ+）.所以12x 的最大值为4； （2）由（1）知曲线C 的直角坐标方程为221164x y +=，又直线l 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=-⎩，（t 为参数），所以直线l 的普通方程为x +2y ﹣4＝0，所以有222401164x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩.所以线段EF 的中点坐标为（402022++，）， 即线段EF 的中点坐标为（2，1）， 直线l 的斜率为12-， 则与直线l 垂直的直线的斜率为2，故所求直线的直角坐标方程为y ﹣1＝2（x ﹣2）， 即2x ﹣y ﹣3＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得其极坐标方程为2ρcos θ﹣ρsin θ﹣3＝0.点评：考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式，直线与曲线位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.15．在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数，0πθ≤≤，π2θ≠），以标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2π:cos 4C ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值． 解：（1）由已知可得222224tan 2tan 112tan 1x y θθθ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以2222x y +=，又0θπ≤≤且2πθ≠，所以(]0,1y =，故1C 普通方程为2212x y +=（01y <≤），由2π:cos 4C ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 20ρθρθ+-=， 所以2C ：20x y +-=． （2）设),sin Pϕϕ，（0ϕπ<<）．则点P 到直线20x y +-=的距离2d ϕα-+===，其中tan α=当()sin1ϕα+=时，min 2d ==．所以PQ点评：考查参数方程转化为普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程和利用参数坐标求点到直线距离的最值，考查学生转化思想和计算能力，属于中档题.。
2020年湖南省湘潭市⾼考数学⼆模试卷（⼆）（有答案解析）2020年湖南省湘潭市⾼考数学⼆模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|-3＜x＜1}，则?U（A∪B）=（）A. {x|0＜x＜1}B. {x|x＞-3}C. {x|x≤0或x≥1}D. {x|x≤-3}2.已知复数z=，则复数z在复平⾯内对应点的坐标为（）A. （-2，-2）B. （-2，2）C. （2，2）D. （2，-2）3.若双曲线=1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线与直线x-3y+1=0垂直，则该双曲线的离⼼率为（）A. 2B.C.D. 24.⾼铁、扫码⽀付、共享单车、⽹购并称中国“新四⼤发明”，近⽇对全国100个城市的共享单车和扫码⽀付的使⽤⼈数进⾏⼤数据分析，其中共享单车使⽤的⼈数分别为x1，x2，x3，…x100，它们的平均数为，⽅差为s2；其中扫码⽀付使⽤的⼈数分别为3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x100+2，它们的平均数为′，⽅差为s′2，则′，s′2分别为（）A. 3+2，3s2+2B. 3，3s2C. 3+2，9s2D. 3+2，9s2+25.已知变量x，y束条件，则z=x+2y的最⼩值为（）A. 9B. 8C. 7D. 66.已知数列{a n}等⽐数列，⾸项a1=2，数列{b n}满⾜b n=log2a n，且b2+b3+b4=9，则a5=（）A. 8B. 16C. 32D. 647.已知x=是函数f（x）=x ln（ax）+1的极值点，则a=（）A. B. 1 C. D. 28.某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π9.已知x∈（0，π），则f（x）=cos2x+2sin x的值域为（）A. （-1，]B. （0，2）C. （）D. [1，]10.2002年在北京召开的国际数学家⼤会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直⾓三⾓形与⼀个⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形（如图），设其中直⾓三⾓形中较⼩的锐⾓为θ，且tan2θ=，如果在弦图内随机抛掷1000⽶⿊芝⿇（⼤⼩差别忽略不计），则落在⼩正⽅形内的⿊芝⿇数⼤约为（）A. 350B. 300C. 250D. 20011.已知函数，若实数m满⾜，则m的取值范围是（）A. （0，25]B. [5，25]C. [25，+∞）D. [，5]12.直线y=kx+1与抛物线C：x2=4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB的⾯积为S，则S-|AB|的最⼩值为（）A. B. C. D.⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知m＞0，若（1+mx）5的展开式中x2的系数⽐x的系数⼤30，则m=______．14.已知两个单位向量和夹⾓为120°，则在⽅向上的投影为________．15.已知函数f（x）=ax2-1的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+8y=0垂直，若数列{}的前n项和为S n，则S n=______．16.如图，在长⽅体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=，点M在棱CC1上，当MD1+MA取得最⼩值时，MD1⊥MA，则棱CC1的长为______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求sin A；（2）若，△ABC的⾯积为，求△ABC的周长18.如图，四棱锥P-ABCD的底⾯是直⾓梯形，AB∥DC，AB⊥BC，△PAB和△PBC是两个边长为2的正三⾓形，DC=4，O为AC的中点，E为PB的中点．（Ⅰ）求证：OE∥平⾯PCD；（Ⅱ）在线段DP上是否存在⼀点Q，使直线BQ与平⾯PCD所成⾓的正弦值为？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由．19.唐三彩是中国古代陶瓷烧制⼯艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等⼯艺美术的特点，在中国⽂化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的⼀笔．唐三彩的⽣产⾄今已有1300多年的历史，制作⼯艺⼗分复杂，⽽且优质品检验异常严格，检验⽅案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为．如果，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验．假设这批唐三彩的优质品率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独⽴．（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；（2）已知每件唐三彩的检验费⽤为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费⽤记为元，求的分布列及数学期望．20.设D是圆O：x2+y2=16上的任意⼀点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满⾜2|EQ|=|ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的⽅程．（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x=8于点M．判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．21.设函数f（x）=ln（x+1）（x≥0），g（x）=．（1）证明：f（x）≥x-x2．（2）若f（x）+x≥g（x）恒成⽴，求a的取值范围；（3）证明：当n∈N*时，ln（n2+3n+2）＞．22.在直⾓坐标系xOy中，曲线C1的参数⽅程为（t为参数），其中，∈k∈Z．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C2的极坐标⽅程ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0．（1）求曲线C1和曲线C2的直⾓坐标⽅程；（2）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，点P（-1，2），求|PA|2+|PB|2的取值范围．23.已知函数f（x）=|x-1|（1）解不等式f（x-2）+f（x+2）≥8（2）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0．求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|-3＜x＜1}，则A∪B={x|x＞-3}则?U（A∪B）={x|x≤-3}，故选：D．由全集U=R，以及A，B，求出A与B的并集，再求出补集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各⾃的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：z==-=-=-=-2+2i，对应点的坐标为（-2，2），故选：B．结合复数的运算法则以及复数的⼏何意义进⾏求解即可．本题主要考查复数的⼏何意义，结合复数的运算法则进⾏化简是解决本题的关键．3.答案：C解析：解：∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线与直线x-3y+1=0垂直．∴双曲线的渐近线⽅程为y=±3x，∴=3，得b2=9a2，c2-a2=9a2，此时，离⼼率e==．故选：C．渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平⽅关系，得出a、c的关系式，结合离⼼率的定义，可得该双曲线的离⼼率．本题给出双曲线的渐近线⽅程，求双曲线的离⼼率，考查了双曲线的标准⽅程与简单⼏何性质等知识，属于基础题．4.答案：C解析：【分析】根据题意，由平均数公式可得=（x1+x2+…+x100），s2=[（x1-）2+（x2-）2+……+（x100-）2]，进⽽分析数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x100+2的平均数与⽅差，即可得答案．本题主要考查了样本数据的平均数和⽅差的计算与应⽤，应该熟记样本数据的平均数和⽅差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能⼒，属于基础题．【解答】解：根据题意，数据x1，x2，…x100的平均数为，⽅差为s2；则=（x1+x2+…+x100），s2=[（x1-）2+（x2-）2+……+（x100-）2]，若3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x100+2的平均数为′，则′=[（3x1+2）+（3x2+2）+……+（3x100+2）]=3+2，⽅差s′2=[（3x1+2-3-2）2+（3x2+2-3-2）2+……+（3x100+2-3-2）2]=9s2，故选：C．5.答案：D解析：解：由变量x，y束条件作出可⾏域如图，联⽴，得A（1，），化⽬标函数z=x+2y为y=-+，由图可知，当直线y=-+过A时，直线在y轴上的截距最⼩，z有最⼩值为1+2×=6，故选：D．由约束条件作出可⾏域，化⽬标函数为直线⽅程的斜截式，数形结合得到最优解，联⽴⽅程组求得最优解的坐标，代⼊⽬标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想⽅法，是中档题．6.答案：C解析：解：设等⽐数列{a n}的公⽐为q，⾸项a1=2，∴a n=2q n-1，∴b n=log2a n=1+（n-1）log2q，∴数列{b n}为等差数列．∵b2+b3+b4=9，∴3b3=9，解得b3=3．∴a3=23=8．∴2×q2=8，解得q2=4．∴a5=2×42=32．故选：C．设等⽐数列{a n}的公⽐为q，⾸项a1=2，可得a n=2q n-1，代⼊b n=log2a n，可得数列{b n}为等差数列．根据b2+b3+b4=9，可得b3，再利⽤等⽐数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列与等⽐数列的通项公式及其性质、对数运算性质，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．7.答案：B解析：解：函数f（x）=x ln（ax）+1，可得f′（x）=ln（ax）+1，已知x=函数f（x）=x ln（ax）+1的极值点，可得：ln（a）+1=0，解得a=1，经验证a=1时，x=函数f（x）=x ln（ax）+1的极值点，故选：B．求出函数的导数，利⽤极值点，求出a，即可．本题考查函数的导数的应⽤，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能⼒．8.答案：A解析：解：由三视图知，⼏何体是⼀个简单组合体，左侧是⼀个半圆柱，底⾯的半径是1，⾼为：4，右侧是⼀个半圆柱，底⾯半径为1，⾼是2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A．⼏何体是⼀个简单组合体，左侧是⼀个半圆柱，底⾯的半径是1，⾼为：4，右侧是⼀个半圆柱，底⾯半径为1，⾼是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求⼏何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是⼀个基础题，题⽬的运算量⽐较⼩，若出现是⼀个送分题⽬．9.答案：D解析：解：由f（x）=cos2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x设sin x=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1]∴g（t）=-2（t-）2+，∴g（t）∈[1，]；即f（x）=cos2x+2sin x的值域为[1，]；故选：D．利⽤⼆倍⾓公式转化为⼆次函数问题求解最值即可；本题考查三⾓函数的有界性，⼆次函数的最值，考查转化思想以及计算能⼒．10.答案：D解析：【分析】本题考查⼏何概型概率的求法，求得⼩正⽅形与⼤正⽅形的⾯积⽐是关键，属于基础题．由已知求得tanθ，找出⼩正⽅形与⼤正⽅形边长的关系，得到⾯积⽐，则答案可求．【解答】解：由tan2θ=，得，解得tanθ=，设⼤正⽅形为ABCD，⼩正⽅形为EFGH，如图，则tanθ=，设⼩正⽅形边长为a，则，即AF=2a，∴⼤正⽅形边长为，则⼩正⽅形与⼤正⽅形⾯积⽐为．∴在弦图内随机抛掷1000⽶⿊芝⿇，则落在⼩正⽅形内的⿊芝⿇数⼤约为1000×．故选：D．11.答案：A解析：解：由化简整理得，，且，所以g（x）为奇函数，当x＞0时，y=x2＞0，在（0，+∞）上均为增函数，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，⼜知g（x）为奇函数，所以g（x）在R上为增函数，所以g（log5m）≤g（2）转化为log5m≤2，解之得0＜m≤25，故选：A．先对化简整理，然后研究函数g（x）=的单调性，从⽽求解不等式．本题考查函数的单调性的性质、对数函数的性质；属于中档题⽬．12.答案：D解析：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联⽴，得x2-4kx-4=0，则x1+x2=4k，．则|AB|=．由x2=4y，得，，设P（x0，y0），则，x0=2k，．则点P到直线y=kx+1的距离d=，从⽽S=．S-|AB|=（d≥1）．令f（x）=2x3-4x2，f′（x）=6x2-8x（x≥1）．当1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故，即S-|AB|的最⼩值为．故选：D．设出A，B的坐标，联⽴直线⽅程与抛物线⽅程，利⽤弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得P到AB的距离，得到△PAB的⾯积为S，作差后利⽤导数求最值．本题考查直线与抛物线位置关系的应⽤，训练了利⽤导数求最值，是中档题．13.答案：2解析：解：∵m＞0，若（1+mx）5的展开式中x2的系数⽐x的系数⼤30，∴?m2-?m=30，求得m=-（舍去），或m=2，故答案为：2．由题意利⽤⼆项展开式的通项公式，⼆项式系数的性质，求得m的值．本题主要考查⼆项式定理的应⽤，⼆项展开式的通项公式，⼆项式系数的性质，属于基础题．14.答案：解析：解：∵；∴；∴；∴在⽅向上的投影为：=．故答案为：．根据条件即可求出，从⽽得出在⽅向上的投影为：．考查单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式．15.答案：解析：【分析】本题考查导数的运⽤：求切线的斜率，数列的裂项相消求和，两直线垂直的条件，考查运算能⼒，属于基础题．求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a=4，再由裂项相消求和，可得所求和．【解答】解：函数f（x）=ax2-1的导数为f′（x）=2ax，可得f（x）在x=1处的切线斜率为2a，切线与直线x+8y=0垂直，可得2a=8，即a=4，则f（x）=4x2-1，==（-），可得S n=（1-+-+…+-）=（1-）=．故答案为：．16.答案：解析：解：∵AB=1，BC=，∴AC=2，延长DC到N使得CN=AC=2，则MA=MN，设CC1=h，连接D1N交CC1于M′，则MD1+MA的最⼩值为D1N=．∵==，∴CM′=，C1M′=．∴DM′==，AM′=，⼜AD1=，M′A⊥M′D1，∴AD12=M′A2+M′D12，即3+h2=1++4+，解得h=．故答案为：．设长⽅体的⾼为h，求出MD1+MA的最⼩值对应的位置，根据勾股定理解⽅程得出h 的值．本题考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：解：（1）∵3b2+3c2-4bc=3a2，∴由余弦定理得cos A==，⼜0＜A＜π，∴sin A==；（2）∵3c sin A=a sin B，∴由正弦定理可得：3ac=ab，解得：b=，∵△ABC的⾯积为=bc sin A=×，∴解得：c=2，∴b=3，由余弦定理得：∴a==，可得：△ABC的周长a+b+c=2+3+.解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三⾓形的⾯积公式的综合应⽤，考查了学⽣对基础知识的掌握和基本的计算能⼒，属于基础题．（1）先把题设条件代⼊关于A的余弦定理中，求得cos A的值，进⽽利⽤同⾓三⾓函数的基本关系求得sin A的值．（2）由已知及正弦定理可解得b=，利⽤三⾓形的⾯积公式可求c的值，进⽽可求b，利⽤余弦定理可求a，即可得解△ABC的周长的值．18.答案：证明：（Ⅰ）四棱锥P-ABCD的底⾯是直⾓梯形，AB∥DC，AB⊥BC，△PAB和△PBC是两个边长为2的正三⾓形，DC=4，O为AC的中点，E为PB的中点，取CD中点F，则CF=AB，∵AB⊥BC，AB=BC，AB∥DC，∴四边形ABCF为正⽅形，∵O为AC的中点，∴O为BF，AC的交点，∴O为BF的中点，∵E为PB中点，∴OE∥PF，∵OE?平⾯PDC，PF?平⾯PDC，∴OE∥平⾯PDC；（Ⅱ）∵PA=PC=2，O为AC的中点，∴PO⊥AC，∵=，∴，∴=，，在△PBO中，PO2+BO2=PB2=4，∴PO⊥BO，⼜∵AC∩BO=O，AC，BO平⾯ABCD，∴PO⊥平⾯ABCD，⼜因为AB⊥BC，如图所⽰：所以过O分别作AB，BC的平⾏线，分别以它们作为x，y轴，以OP为z轴建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，则B（1，-1，0），C（1，1，0），D（-3，1，0），，假设线段DP上存在⼀点Q，使直线BQ与平⾯PCD所成⾓的正弦值为，设（0≤λ≤1），则，即，设平⾯PCD的⼀个法向量为，则，即，取z=1，得平⾯PCD的⼀个法向量为，设直线BQ与平⾯PCD所成⾓为θ，令，得，化简并整理得3λ2-7λ+2=0，解得λ=2（舍去）或，当时，直线BQ与平⾯PCD所成⾓的正弦值为．解析：本题考查的知识要点：线⾯平⾏的判定的应⽤，法向量和平⾯直⾓坐标系的建⽴，向量的共线的应⽤，勾股定理的应⽤，向量的夹⾓的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于中档题．（Ⅰ）直接利⽤题中的已知条件，把线线平⾏转换为线⾯平⾏；（Ⅱ）根据垂直的关系，建⽴平⾯直⾓坐标系，进⼀步利⽤向量的共线和向量的夹⾓及法向量求出结果．19.答案：解：（1）设第⼀次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件A1，第⼀次取出的3件唐三彩全是优质品为事件A2，第⼆次取出的3件唐三彩都是优质品为事件B1，第⼆次取出的1件唐三彩是优质品为事件B2，这批唐三彩通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），∴P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=+=．（2）X可能的取值为300，400，600，P（X=300）==，P（X=400）==，P（X=600）==．所以X的分布列为：X300400600PE（X）=300×+400×+600×=．解析：本题考查离散型随机变量的分布列与期望，概率加法公式，理解题意准确计算是关键，属于基础题．（1）分两种情况研究唐三彩通过检验的概率相加即可求解．（2）先列出X可能的取值，再分别求出概率分布列，求解即可．20.答案：解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ|=|ED|，Q在直线m上，∴x0=x，|y0|=|y|．①∵点D在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16，将①式代⼊②式即得曲线C的⽅程为x2+y2=16，即+=1，（2）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆C：3x2+4y2=48，直线l的⽅程为y=k（x-2），代⼊椭圆⽅程并整理，得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-48=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，则有x1+x2=，x1x2=，可知M的坐标为（8，6k）．∴k1+k3=+=+=2k-3?=2k-3?=2k-1，2k2=2?=2k-1．∴k1+k3=2k2．故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．解析：（1）由题意设Q（x，y），D（x0，y0），根据2|EQ|=|ED|，Q在直线m上，则椭圆的⽅程即可得到；（2）设出直线l的⽅程，和椭圆⽅程联⽴，利⽤根与系数的关系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k3=2k2说明直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应⽤，直线与曲线联⽴，根据⽅程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常⽤的⽅法，但圆锥曲线的特点是计算量⽐较⼤，要求考试具备较强的运算推理的能⼒，该题是中档题．21.答案：（1）证明：函数f（x）=ln（x+1）（x≥0），则不等式f（x）≥x-x2化为ln（x+1）-x+x2≥0，设h（x）=ln（x+1）-x+x2，x∈[0，+∞）；则h′（x）=+2x-1=≥0，所以h（x）为单调递增函数，且h（x）≥h（0）=0，所以ln（x+1）≥x-x2；（2）解：不等式f（x）+x≥g（x），即为ln（x+1）≥，令m（x）=ln（x+1）-，即m（x）≥0恒成⽴，则m′（x）=-=，令m′（x）＞0，即x+1-a＞0，得x＞a-1；当a-1≤0，即a≤1时，m（x）在[0，+∞）上单调递增，m（x）≥m（0）=0，所以当a≤1时，m（x）≥0在[0，+∞）上恒成⽴；当a-1＞0，即a＞1时，m（x）在[0，a-1]上单调递减，在（a-1，+∞）上单调递增，所以m（x）的最⼩值为m（x）min=m（a-1）＜m（0）=0，所以m（x）≥0不恒成⽴；综上所述，a的取值范围是（-∞，1]；（3）证明：由（1）知，ln（x+1）≥x-x2，令x=，n∈N*，x∈（0，1]；由ln＞，即ln（n+1）-l n n＞，所以有ln2-ln1＞0，ln3-ln2＞，…，ln（n+1）-l n n＞，以上各式相加，可得ln（n+1）＞++…+；因为n2+3n+2-（n+1）=（n+1）2＞0，所以n2+3n+2＞n+1，所以ln（n2+3n+2）＞ln（n+1），所以当n∈N*时，ln（n2+3n+2）＞．解析：（1）不等式为ln（x+1）-x+x2≥0，求出函数h（x）=ln（x+1）-x+x2，x∈[0，+∞）时的最⼩值⼤于等于0即可；（2）不等为ln（x+1）≥，令m（x）=ln（x+1）-，利⽤导数判断函数的单调性，并求函数的最⼩值，从⽽求出a的最⼩值；（3）由（1）知ln（x+1）≥x-x2，令x=，n∈N*，得出ln（n+1）-l n n＞，利⽤列项求和法求出ln（n+1）＞++…+．本题考查了利⽤导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成⽴应⽤问题，是难题．22.答案：解：（1）曲线C1的普通⽅程y=（x+1）tanα+2，其中α≠kπ+，k∈Z，曲线C2的直⾓坐标⽅程（x-1）2+（y-2）2=1，（2）将代⼊（x-1）2+（y-2）2=1，化简得t2-4t cosα+3=0，因为△＞0，所以cos2α＞，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则有t1+t2=4cosα，t1t2=3＞0，|PA|2+|PB|2=（|PA|+|PB|）2-2|PA||PB|=（|t1|+|t2|）2-2|t1||t2|=（t1+t2）2-2t1t2=16cos2α-6∈（6，10]．所以|PA|2+|PB|2的取值范围是（6，10]．解析：（1）根据参数⽅程与普通⽅程的互化，可得曲线C1的普通⽅程；根据极坐标与直⾓坐标的互化公式，即可得到曲线C2的直⾓坐标过程．（2）将直线l的参数⽅程代⼊曲线C2，利⽤韦达定理和参数t的⼏何意义，即可求解，得到答案．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．23.答案：解：（1）函数f（x）=|x-1|那么f（x-2）+f（x+2）=|x-3|+|x+1|≥8，∴或或解得：x≥5或x≤-3；∴原不等式的解集为{x|x≥5或x≤-3}；（2）要证．只要证|ab-1|＞|a|?||．即|ab-1|＞|b-a|，只要证|ab-1|2＞|b-a|2作差：|ab-1|2-|b-a|2=a2b2-2ab+1-b2+2ab-a2=a2b2+1-b2-a2=（a2-1）（b2-1）∵|a|＜1，|b|＜1，∴（a2-1）（b2-1）＞0即|ab-1|＞|b-a|成⽴故得．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和证明．属于中档题．（1）利⽤零点分段即可求解；（2）由．可得|ab-1|＞|a|?||．|ab-1|＞|b-a|，平⽅后作差即可证明；。
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2+=x k y ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为03cos 22=-+θρρ．
（1）求2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．
分析：本题考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用。
（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，
转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．
（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．
由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．
故：，或
解得：k=或0，（0舍去）或k=或0
经检验，直线与曲线C2没有公共点．
故C1的方程为：．。
