山东大学网络教育高等数学模拟题2试题及答案

模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。

（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。

2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。

2021年山东省高考数学仿真模拟试卷（二）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}，B ={x||x|<3}，则A ∩B =( )A. (−2,3)B. (−2,3]C. (−12,2)D. [−12,3)2. 设复数z 满足z(√3−i)=(1+i)2，则|z|=( )A. 12B. √22C. 1D. √323. 关于命题，下列判断正确的是( )A. 命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C. 命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ” D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”4. 已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<0成立，则a 的取值范围是( )A. a ∈(0,1)B. a ∈[34,1)C. a ∈(0,13]D. a ∈[34,2)5. 函数f(x)=√2sinx −1的奇偶性为( )A. 奇函数B. 既是奇函数也是偶函数C. 偶函数D. 非奇非偶函数6. 已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则( ) A. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1，若目标函数y =yx−m 的最大值为2，则m 的值为( )A. −32B. −2C. 12或2D. −32或−28. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有( )A. 630种B. 600种C. 540种D. 480种二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，则下列说法中正确的是()A. 由样本数据得到的回归方程ŷ=b̂x+â必过样本中心(x−,y−)B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D. 若变量y和x之间的相关系数为r=−0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系10.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是()A. 该截角四面体的表面积为7√3a2B. 该截角四面体的体积为23√212a3C. 该截角四面体的外接球表面积为112πa2D. 该截角四面体中，二面角A−BC−D的余弦值为1311.已知等比数列{a n}的公比q=−23，等差数列{b n}的首项b1=12，若a9>b9且a10> b10，则以下结论正确的有()A. a9⋅a10<0B. a9>a10C. b10>0D. b9>b1012.在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则()A. y1y2=14B. 以AB为直径的圆与直线y=−12相切C. |OA|+|OB|的最小值2√2D. 经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.二项式(2√x −x2)6的展开式中，常数项为______ ．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2=2a2，则cos A的最小值为______ ．15. 过圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)外一点(2,0)引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于±√33，则r 的值为______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 16. 设函数f(x)=x 2+1x，g(x)=x e x ，则函数g(x)=xe x (x >0)的最大值为 (1) ；若对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，则正数k 的取值范围是 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足√3c =b(sinA +√3cosA)．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =2，求b 的取值范围．18. 已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1=1，a n+12=a n 2+2(a n+1+a n ).(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n =a +a ，求数列{b n }的前n 项和S n ．19. 某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表．y的分组[−0.4,−0.2)[−0.2,0)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610(1)估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示)．(2)估计这120个企业产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．(3)以表中y的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查.若采访的企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)，则采访价值为1；采访的企业的增长率y∈[−0.2,0)，则采访价值为2；采访的企业的增长率y∈[0,0.6)，则采访价值为3.设选取的两个企业的采访价值之和为X，求X的分布列及数学期望．20.如图所示，四棱锥S−ABCD的底面ABCD为梯形，平面SCD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=∠SCD=90°，CD=1．AB=AD=12(1)求证：平面SBD⊥平面SBC；(2)若二面角A−SB−C的余弦值为−3√20，求SC的长20度．21. 已知圆F 1：(x +1)2+y 2=r 2与圆F 2：(x −1)2+y 2=(4−r)2(1≤r ≤3)的公共点的轨迹为曲线E ． (1)求E 的方程；(2)设点A 为圆O ：x 2+y 2=127上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q两点.试问：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22. 已知函数f(x)=lnx x．(1)若直线y =kx −1是曲线y =f(x)的切线，求实数k 的值； (2)若对任意x ∈(0,+∞)，不等式f(x)≤ax −1−lna x成立，求实数a 的取值集合．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}={x|(2x +1)(x −4)≤}={x|−12≤x ≤4}，又B ={x||x|<3}={x|−3<x <3}， 所以A ∩B ={x|−12≤x <3}. 故选：D ．先分别求出集合A 和集合B ，然后利用集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由z(√3−i)=(1+i)2=2i ， 得z =3−i=√3+i)(3−i)(3+i)=−12+√32i ， ∴|z|=12)(√32)=1．故选：C ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词，是全称命题，所以A 不正确； 命题“有一个素数不是奇数”是存在量词命题，所以B 不正确；命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ”，满足命题的否定形式，所以C正确；命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，所以D 不正确； 故选：C ．利用量词判断AB 的正误；命题的否定判断CD 的正误．本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]． 故选：C ．根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，解出a 的范围即可．本题考查了减函数的定义，指数函数、一次函数和分段函数的单调性，考查了计算和推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)=√2sinx −1，必有2sinx ≥1，即sinx ≥12， 则有2kπ+π6≤x ≤2kπ+5π6，k ∈Z ，即函数f(x)的定义域为[2kπ+π6,2kπ+5π6]，k ∈Z ，定义域不关于原点对称，则f(x)为非奇非偶函数， 故选：D ．根据题意，求出函数的定义域，分析可得其定义域不关于原点对称，结合函数奇偶性的定义分析可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数定义域的分析，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以点P 为△ABC 的重心， 延长PA 交BC 于点M ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =B ⃗⃗ C −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23B ⃗⃗ A −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．利用已知条件确定点P 为△ABC 的重心，然后利用重心的几何性质以及平面向量基本定理求解即可．本题考查了平面向量基本定理的应用，解题的关键是确定点P 为三角形的重心，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1作出可行域如图，联立{x +y =1mx −y =0，解得A(11+m ,m1+m )，由图可知，要使目标函数y =yx−m 的最大值为2， 即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率的最大值为2， 则P 在直线x =11+m 的左边，此时k PA =m 1+m 11+m−m =m 1−m−m 2=2，解得m =12(舍)或m =−2． 故选：B ．由约束条件作出可行域，再由yx−m 的几何意义，即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率列式求解．本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想与数形结合的解题思想，是中档题．8.【答案】C【解析】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：C 61C 51C 44A 22⋅A 33=90种，把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：C 62C 42C 22A 33⋅A 33=90种，把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：C 61C 52C 33⋅A 33=360种，综上，不同的安排方式共有90+90+360=540种， 故选：C ．把6名工作人员分别分为(1,1，4)，(2,2，2)，(1,2，3)三种情况讨论，然后分别计算即可求解．本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了分类讨论思想以及学生的运算能力，属于基础题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，由样本数据得到的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂必过样本中心(x −,y −)，故选项A 正确；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故选项B 正确；对于C ，用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故选项C 错误；对于D ，若变量y 和x 之间的相关系数为r =−0.9362，r 的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故选项D 正确． 故选：ABD ．利用回归分析中的基本概念和原理对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了回归分析的基本知识的理解，涉及了回归方程、残差平方和、相关指数的理解和应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，故S =4×√34a 2+4×6×√34a 2=7√3a 2，故选项A 正确；因为棱长为a 的正四面体的高ℎ=√63a ，所以V =13⋅√34⋅(3a)2⋅√63⋅(3a)−4⋅13⋅√34a 2⋅√63a =23√212a 3，故选项B 正确‘因为截角四面体上下底面距离为√6a −√63a =2√63a ， 所以√R 2−O′C 2+√R 2−O′H 2=2√63a ， 所以√R 2−a 23=2√63a −√R 2−a 2，即R 2−a 23=83a 2+R 2−a 2−4√63a ⋅√R 2−a 2，所以R 2=118a 2，故S =4πR 2=112πa 2，故选项C 正确；二面角A −BC −D 的余弦值应该为负值，故选项D 错误． 故选：ABC ．确定截角四面体是由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积、体积、外接球的表面积，即可判断选项A ，B ，C ，然后由二面角的余弦值的正负判断选项D ．本题以命题真假的判断为载体考查了空间几何体的表面积和体积的求解，解题的关键是分析出截角四面体的结构特征，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：数列{a n }是公比q 为−23的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则a 9=a 1(−23)8，a 10=a 1(−23)9，∴a 9⋅a 10=a 12(−23)17<0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10>b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9>b 9且a 10>b 10，则a 1(−23)8>12+8d ，a 1(−23)9>12+9d ， 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d <0， 即有a 9>b 9>b 10，故D 正确． 故选：AD ．设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D正确．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及单调性的判断，考查运算能力和推理能力，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(0,12)，显然过焦点F的直线的斜率显然存在，设直线l的方程为：y=kx+12，联立{y=kx+12x2=2y，整理可得：x2−2kx−1=0，可得x1+x2=2k，x1x2=−1，所以y1+y2=k(x1+x2)+1=2k2+1，y1y2=x12x224=14；所以A正确；以AB为直径的圆的圆心坐标为：(x1+x22,y1+y22)，即(k,k2+12)，半径|AB|2=y1+y2+12=k2+1，所以圆心到直线y=−12的距离为：k2+12+12=k2+1等于半径，所以圆与直线相切，所以B正确；当直线AB与x轴平行时，|OA|=|OB|=√52，|OA|+|OB|=√5<2√2，所以|OA|+|OB|的最小值不是2√2，故C不正确；直线OA的方程为：y=y1x1x=x12x，与x=x2的交点坐标为：(x2,x1x22)，因为x1x22=12，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点在定直线y=−12上，故D正确；故选：ABD．由抛物线的方程可得焦点，设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得A正确；可得AB的中点的坐标，及弦长|AB|的值，进而求出圆心到直线y=−12的距离恰好等于半径，可得与直线相切；当直线AB与x轴平行时可得|OA|=|OB|的值，可得|OA|+|OB|的最小值不为2√2，判断C不正确，设过B的直线与直线OA的直线的交点的纵坐标为定值，可得D正确．本题考查直线与抛物线的综合，命题真假的判断，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(√x )6−r⋅(−x2)r=C6r⋅26−2r⋅(−1)r x3r−62，令3r−62=0，解得r=2，所以展开式的常数项为C62⋅22⋅(−1)2=60，故答案为：60．先求出通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取等号，∴12bc ≥1b2+c2，且b2+c2=2a2，∴根据余弦定理，有cosA=b2+c2−a22bc ≥2a2−a2b2+c2=a22a2=12，当且仅当b=c=a时等号成立，∴cosA的最小值为12．故答案为：12．根据条件，利用不等式b2+c2≥2bc和余弦定理，即可求出cos A的最小值．本题考查了余弦定理和重要不等式，考查了计算能力，属于中档题．15.【答案】√2【解析】解：S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB=12r2sin∠AOB，当∠AOB=90°时，△AOB面积最大，此时圆心O到直线AB的距离d=√22r，设直线AB的方程为y=k(x−2)，k2=13，则d=√k2+1=√22r，∴4k2k2+1=12r2，将k2=13代入，解得r=√2．故答案为：√2．利用三角形面积公式可知，当∠AOB=90°时，△AOB面积取得最大值，再利用点到直线的距离公式求得结果．本题考查直线与圆的位置关系，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】1e[12e −1,+∞)【解析】解：g(x)=xe x 的导数为g′(x)=1−x e x，则0<x <1时，g′(x)>0，g(x)递增；x >1时，g′(x)<0，g(x)递减， 可得g(x)在x =1处取得极大值，且为最大值1e ；又x >0时，f(x)=x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1时取得最小值2，由对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1ek ≤2k+1，由k >0，可得k ≥12e−1， 故答案为：1e ；[12e−1,+∞)．求得g(x)的导数，可得单调区间和极值、最值，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1k g(x)max ≤1k+1f(x)min ，结合基本不等式可得所求范围． 本题考查函数的导数的运用：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理知，b sinB =csinC ，∵√3c =b(sinA +√3cosA)， ∴√3sinC =sinB(sinA +√3cosA)，又sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴√3sinAcosB =sinBsinA ， ∵sinA ≠0，∴tanB =√3， ∵B ∈(0,π)，∴B =π3．(Ⅱ)由余弦定理知，b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =(a +c)2−2ac −2ac ⋅cos π3=(a +c)2−3ac ， ∵a +c =2，∴b2=4−3ac，即ac=4−b23，而ac≤(a+c)24=1，当且仅当a=c=1时，等号成立，∴4−b23≤1，解得b≥1，又b<a+c=2，∴1≤b<2，故b的取值范围为[1,2)．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求出tan B的值，从而得解；(Ⅱ)由余弦定理可推出b2=4−3ac，再利用基本不等式可得ac≤1，然后结合b<a+c，得解．本题主要考查解三角形，还涉及基本不等式，熟练掌握正弦定理、余弦定理与两角和的正弦公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)各项均为正数的等差数列{a n}满足a1=1，a n+12=a n2+2(a n+1+a n)，整理得(a n+1+a n)(a n+1−a n)=2(a n+1−a n)，由于a n+1+a n≠0，所以a n+1−a n=2(常数)，故数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以a n=2n−1．(2)b n=√a+a =√2n−1+√2n+1=√2n+1−√2n−12，所以S n=12×(√3−1+√5−√3+...+√2n+1−√2n−1)=12(√2n+1−1)．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)产值负增长的企业频率为：30+24120=0.45=45%，用样本频率分布估计总体分布得这些企业中产值负增长的企业比例为45%．(2)企业产值增长率的平均数y−=1120(−0.3×30−0.1×24+0.1×40+0.3×16+0.5×10)=0.02；(3)企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)的概率为30120=14，企业的增长率y∈[−0.2,0)的概率为24120=15，企业的增长率y∈[0,0.6)的概率为40+16+10120=1120，由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，6，则P(X=2)=14×14=116，P(X=3)=2×14×15=110，P(X=4)=15×15+2×14×1120=63200，P(X=5)=2×15×1120=1150，P(X=6)=1120×1120=121400，所以X的分布列为：X 2 3 4 5 6P116110632001150121400故E(X)=2×116+3×110+4×63200+5×1150+6×121400=235．【解析】(1)根据频数分布表计算即可；(2)根据平均值的计算公式代入数据计算即可；(3)先求出各个对应的概率，然后求出X的可能取值，由此求出对应的概率，进而可以求解．本题考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望、考查了学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：由题意，在底面梯形ABCD中，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2，∴BD=BC=√2，∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，且SC⊥CD，SC⊂平面SCD，∴SC⊥平面ABCD，∵BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SBC．(2)由(1)知SC⊥平面ABCD，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴， CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,1，0)，B(1,1，0)，D(2,0，0)， 设SC =ℎ(ℎ>0)，∴S(0,0，ℎ)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 由(1)得BD ⊥平面SBC ，∴平面SBC 的一个法向量为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设平面ABS 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +ℎz =0，令z =1，得n⃗ =(0,h ，1)， ∴cos <n ⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√2⋅√1+ℎ2=−3√2020，解得ℎ=3，∴SC =3．【解析】(1)根据条件得到BD ⊥BC ，由面面垂直的性质得到SC ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面SBD ⊥平面SBC ；(2)由SC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴，CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用和向量法能求出结果．本题考查面面垂直的证明，二面角和线段长的求法，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设公共点为P ，则PF 1=r ，PF 2=4−r ，所以PF 1+PF 2=4>F 1F 2，故公共点P 的轨迹为椭圆， 则2a =4，所以a =2，又c =1，所以b 2=3， 所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的方程为x =±√127，代入椭圆x 24+y 23=1，y =±√127，所以OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y =kx +m ， 因为直线PQ 与圆O 相切，所以√k 2+1=r ，解得m 2=127(k 2+1)，将直线PQ 的方程代入椭圆x 24+y 23=1中，可得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 所以x 1+x 2=−8km4k 2+3,x 1x 2=4m 2−124k 2+3，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(k 2+1)(4m 2−12)4k 2+3−8k 2m 24k 2+3+m 2 =7m 2−12(k 2+1)4k 2+3，将m 2=127(k 2+1)代入上式，化简可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故OP ⊥OQ ， 综上所述，恒有OP ⊥OQ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−127．【解析】(1)设公共点为P ，求出PF 1=r ，PF 2=4−r ，利用椭圆的定义，即可得到点P 的轨迹为椭圆，然后再求解椭圆的标准方程即可；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，可得OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，得到韦达定理，然后利用直线与圆相切得到m 与k 的关系，利用向量的作标表示证明OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而可求得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx x(x >0)，∴f′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，设切点为(x 0,lnx 0x 0)，则k =f′(x 0)=1−lnx 0x 02，代入直线y =kx −1得：lnx 0x 0=1−lnx 0x 02x 0−1，即lnx 0=1−lnx 0−x 0，∴2lnx 0+x 0−1=0， 令ℎ(x)=2lnx +x −1，有ℎ(1)=0，∴ℎ′(x)=2x +1>0，∴ℎ(x)在(0,+∞)单调递增， ∴方程2lnx +x −1=0有唯一解x 0=1， ∴k =1−lnx 0x 02=1−ln112=1；(2)∵lnx x≤ax −1−lna x，x >0，∴ax 2−x −lnx −lna ≥0恒成立， 设F(x)=ax 2−x −lnx −lna ，则F′(x)=2ax 2−x−1x，令G(x)=2ax 2−x −1，∵a >0，△=1+8a >0，∴G(x)=0有2个不相等实根x1，x2，则x1x2=−12a<0，不妨设x1<0<x2，当x∈(0,x2)，G(x)<0，当x∈(x2,+∞)，G(x)>0，∴F(x)在(0,x2)单调递减，在(x2,+∞)单调递增，∴F(x)min=F(x2)=ax22−x2−ln(ax2)，由G(x2)=2ax22−x2−1=0得到ax2=x2+12x2，∴F(x2)=x2+12−x2−ln x2+12x2=1−x22−ln1+x22x2≥0，令H(x)=1−x2−ln1+x2x=1−x2+ln2x−ln(x+1)，则H′(x)=−12+22x−1x+1=−(x−1)(x+2)2x(x+1)，∴当x∈(0,1)时，H′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，H′(x)<0，则H(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，∴H(x)≤H(1)=0，∵F(x2)=H(x2)≥0，∴F(x2)=0，则x2=1，故a=1，∴实数a的取值集合是{1}．【解析】(1)求出函数的导数，设出切点，代入切线方程，求出切点横坐标，求出k的值即可；(2)问题转化为ax2−x−lnx−lna≥0恒成立，设F(x)=ax2−x−lnx−lna，根据函数的单调性求出F(x)的最小值，确定a的值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是难题．。

《高等数学》模拟题（1）年级_____________ 姓名_______________ 学号________________ 成绩__________第一题 名词解释1．区间：2. 邻域;3. 函数的单调性：4. 导数：5. 最大值与最小值定理：第二题 选择题1．函数21arccos1++-=x x y 的定义域是（ ）(A)1≤x ； (B)13≤≤-x ；(C))1,3(-； (D){}{}131≤≤-⋂<x x x x .2、函数)(x f 在点0x 的导数)(0x f '定义为（ ）（A ）xx f x x f ∆-∆+)()(00；（B ）xx f x x f x x ∆-∆+→)()(lim 000；（C ）xx f x f x x ∆-→)()(lim 00；（D ）0)()(lim 0x x x f x f x x --→； 3、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ） （A ） 它们都给出了ξ点的求法 .（B ） 它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

（C ） 它们都先肯定了ξ点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 .（D ） 它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . 4、设)(,)(21x F x F是区间I 内连续函数)(x f 的两个不同的原函数，且0)(≠x f ,则在区间I 内必有（ ）(A) C x F x F =+)()(21； （B ） C x F x F =⋅)()(21；(C) )()(21x CF x F =； (D) C x F x F =-)()(21.5、=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→2222221lim n n n n n n nn Λ ( ) （A ）0； （B ）21；（C ）4π； （D ）2π .6、曲线xyln =与直线ex 1=，e x=及0=y 所围成 的区域的面积=S （ ）； （A ）)11(2e-； （B ）e e 1-；（C ）e e 1+； （D ）11+e.7、 若→a ，→b 为共线的单位向量，则它们的数量积 =⋅→→b a （ ）.（A ） 1； （B ）-1； （C ） 0； （D ）),cos(→→b a . 8、二元函数22221arcsin 4ln y x y x z +++=的定义域是( ).（A ）4122≤+≤y x ； （B ）4122≤+<y x ；（C ）4122<+≤y x ； （D ）4122<+<y x .9、⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(=(D )(A)⎰⎰-110),(dx y x f dy x ； (B)⎰⎰-xdx y x f dy 101),(；(C)⎰⎰11),(dx y x f dy ； (D)⎰⎰-ydx y x f dy 101),(.10、设L 为230,0≤≤=y x x ,则⎰Lds 4的值为( B).(A)04x ， (B),6 (C)06x .第三题.)16(log 2)1(的定义域求函数x y x -=-第四题).0(),100()2)(1()(f x x x x x f '---=求设Λ第五题.)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题.4932⎰-dx xx xx 求第七题.2sin 120⎰-πdx x 求《高等数学》模拟试卷 （1） 参考答案第四题).0(),100()2)(1()(f x x x x x f '---=求设Λ第五题解)0()(lim)0(0--='→x f x f f x )100()2)(1(lim 0---=→x x x x Λ!100=.)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题.4932⎰-dx xx xx 求第七题解.2的次数为分子关于x Θ515)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +⋅-⋅++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=⎰-=dxxx1)23()23(2原式解⎰-=1)23()23(23ln 12x xd ⎰-123ln 12t dt ⎰+--=dt t t )1111(23ln21Ct t ++--=11ln )2ln 3(ln 21.2323ln )2ln 3(ln 21C xx xx ++--=tx =)23(令解 ]5)1[ln(2'+++x x Θ,112x+=]5)1[ln(5)1ln(22+++⋅+++=⎰x x d x x 原式.]5)1[ln(32232C x x ++++=)1221(1122xx xx ++⋅++=1. .2sin 120⎰-πdx x 求解⎰-=20cos sin πdxx x 原式⎰⎰-+-=2440)cos (sin )sin (cos πππdxx x dx x x .222-=。

高等数学模拟卷1一 求下列极限1 1limsin n n n→∞ =0 2 求0lim x x x→ = 1 ，x →+0 -1 ,x →-03 求10lim xx e → =∞0sin 4lim sin5x x x x x →++ =1/3二 a 取什么值，0()0xe xf x a x x ⎧<=⎨+≥⎩连续解：)i 0x <，0x >时，()f x 均连续)ii 0x =时，(0)f a =(00)1f -=(00)f a +=所以1a =时(0)(0)1f f ±==，()f x 在0x =处连续综上所述，a=1时()f x 连续三 计算下列各题1 已知2sin ln y x x =⋅ 求,y解：y ’=2cosx.lnx+2sinx.(1/x)2 (),()x f x y f e e y =⋅已知，求解：y ’ =f ’(e x ).e x .e f(x)+f(e x ).e f(x).f(x)23x xe dx⎰求 解：原式=1/2∫e x2d(x 2)=1/2(e x2+C)四、若202tan()sec x y x x y tdt ---=⎰，求dy dx解：两边对x 求导，其中y 是x 的函数 2'2'2sec ()(1)sec ()(1)x y y x y y --⋅-=-⋅-2'2sec ()(1)2x y y -⋅-='21(1)sec ()y x y -=- 所以'221cos ()sin ()y x y x y =--=-五 求y x =，2y x =和2y x =所围平面图形的面积解：12201223(2)(2)121101231814123376A x x dx x x dx x x x =-+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=+--+=⎰⎰高等数学模拟卷 2一 求下列极限1 1lim cos n n n→∞=02 求22lim 2x x x →--=2222lim 22lim 22lim 2x x x x x x x x x→→→-⎧⎪-⎪-⎨--⎪⎪-⎩－＋＝1＝＝-1 3 求10lim 2x x →=110100lim 2lim 2lim 20x x x x x x +-→→→⎧=∞⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 02sin 4lim 3sin x x x x x →++求2sin 3lim 3sin 4x x x x x →++解＝ sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩二讨论在 x=0 处的连续性 答：因为f(x)在0点的左右极限都为1，不等于其在0点的函数值，所以f(x)在0点不连续三 计算下列各题1 ,ln[ln(ln )]y x y =求 ,1111.[ln(ln )]..[ln(ln )][ln(ln )]ln y x x x x x'== 2 ,,yx x y y =求,ln ln .ln .ln 1.ln ln ..ln ln ln ln y xx y y x x yy y x y y x x yx y y x y y xyy x y x x y =='+=+⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭-'∴=-解： 22220100220100490480cos lim sin cos lim 22cos lim 101cos lim 50x x x x x x x t dt xx t dt x x x x x x x →→→→--=-⋅=-=⎰⎰四求解原式34704sin 1lim 4010x x x x →== 五 求225y x =-和4y x =-所围平面图形的面积解：)8002(4)A x dx =+--⎰⎰28331242222126323218x x ⎫=+-+⎪⎭=+-+=六 22(1)24dy x xy x dx++= 解：此方程为一阶非齐次线性微分方程 22()1x P x x =+ 224()1x Q x x =+2222231122414()()113x x dx dx x x x y e e dx c c x x x -++⎰⎰=+=+++⎰ 所以原方程通解为3214()13y c x x =++ 高等数学模拟卷3一 求下列极限1 1lim n tgn n→∞ 解：不存在2 求lim x a x a x a →--=lim 1lim lim 1x a x a x a x a x a x a a x x a x a→→→-⎧⎪-⎪-⎨--⎪=-⎪-⎩＋－＝＝ 3 求120lim x x e →=121021020lim lim lim 0x x x x x x e e e +-→→→⎧=∞⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 00sin 4lim lim sin x x mx mx m nx nx n →→==20()0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩二已知，讨论f （x ）在0x =处的导数 ()()()()0020000lim lim 100lim lim 0()0x x x x f x f x x xf x f x x xf x x ∆→∆→∆→∆→+∆-∆==∆∆+∆-∆==∆∆∴=＋＋--解：在不可导 三 计算下列各题1、3,tan (ln )y x y =已知求 ()2213tan (ln ).sec ln .y x x x'=解： 2、2,()y f x y =已知，求 2().2y f x x ''解： ＝四 232001()()2a a x f x dx xf x dx =⎰⎰证明，(0)a >，其中()f x 在讨论的区间连续。

山东大学网络教育专升本入学考试高等数学（二）模拟题 (1)一、 选择题：本大题5个小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

1、函数291)(xx f -=的定义域是（ A ）A 、（-3，3）B 、[-3，3 ]C 、（3,3-，）D 、（0，3）2、x1sin lim x ∞→=（A ） A. 0 B. 1 C.∞ D. 不存在 3、设4)3)(2)1)-x -(x -(x -x(x f(x)=则)2('f =（D ）A 、0B 、1C 、2D 、4 4、设函数x f(x)=，则)1(f '等于 ( C )A.1B.－1C.21D.－21 5、曲线3x y =在点)1,1(M 处的切线方程是 ( C ) A. 023=-+x y B. 03231=-+x y C.023=+-x y D. 043=--x y二、填空题：本大题共15个小题，共15个空，每空3分，共45分。

把答案填在题中横线上。

1、设1)1(2--=+x x x f ，则=)(x f231x x -+2、判断函数的奇偶性：cosx )(3x x f = 是 偶函数 3、=-+∞→531002lim 33x x x x 234、13+=x y 的反函数是 3y=log (1)(1,)x x -∈+∞5、已知32)tan(lim 0=→xkx x ，则k = 6 6、=++∞→xx x x )12(lime 7、设x x x y -=ln ，则y '＝ Inx8、曲线22xy =在)2,1(处的切线方程是 y=-4x+69、设x x y sin =，则''y = 2cosx-xsinx10、=-=dy x y 则设,)1(43 ()332121x x dx -11、不定积分⎰=+dx x 121()1212In x c ++ 12、不定积分⎰dxx xe = ()1xx e c -+ 13、定积分dx x⎰-+11211＝ 2∏ 14、定积分=⎰exdx 1ln 115、⎰-+⋅=x dt t t x 0321)(φ设，)('x φ则=三、计算题：本大题共10个小题，每小题6分， 共60分。

山东大学网络教育专升本入学考试高等数学（二）模拟题 (1)一、选择题：本大题5个小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

1、函数291)(xx f -=的定义域是（ A ）A 、（-3，3）B 、[-3，3 ]C 、（3,3-，） D 、（0，3） 2、xx 1sinlim ∞→=（ A ） A. 0 B. 1 C.∞ D. 不存在3、设()()()()()4321----=x x x x x x f 则()2f '=（ D ）A 、0B 、1C 、2D 、4 4、设函数()x x f =，则)1(f '等于 ( C )A.1B.－1C.21 D.－215、曲线3x y =在点)1,1(M 处的切线方程是 ( C ) A. 023=-+x y B. 03231=-+x y C.023=+-x y D. 043=--x y 二、填空题：本大题共15个小题，共15个空，每空3分，共45分。

把答案填在题中横线上。

1、设()112--=+x x x f ，则()x f =132+-x x2、判断函数的奇偶性：()x x x f cos 3= 是 奇函数3、=-+∞→531002lim33x x x x 324、13+=xy 的反函数是 C5、已知()32tan lim0=→xkx x ，则k = 66、=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→xx x x 12lim e7、设x x x y -=ln ，则y '＝x ln8、曲线22xy =在()2,1处的切线方程是064=-+y x 9、设x x y sin =，则y ''=x x x sin cos 2- 10、设()431-=x y ，则=dy ()dx x x 233314⋅-11、不定积分⎰+dx x 121= ()C x ++12ln 2112、不定积分⎰=dx xe x C e xe xx +-13、定积分=+⎰-11211dx x 2π 14、定积分=⎰exdx 1ln 115、设()dt t t x x⎰-+⋅=321φ，则()='x φ 三、计算题：本大题共10个小题，每小题6分，共60分。

专科数学模拟题 卷1一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在-3，21，π，0.35中，无理数是（ C ） A ．3- B ．21 C ．π D ．0.35 2.下列事件中，必然事件是（ B ） A ．6月14日晚上能看到月亮 B ．早晨的太阳从东方升起C ．打开电视，正在播放新闻D ．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上3．下面的几何体中，俯视图为三角形的是 （ D ）A ．B ．C ．D ．4.下列根式中，与24是同类根式的是（ D ）A ．2B ．3C ．5D ．65.如果关于x 的一元二次方程042=+-k x x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ A ）A ．4<kB ．4>kC ．0<kD ．0>k6.分式方程13121-=--x x x 的解为（ D ） A ．3=x B ．3-=x C ．4=x D ．4-=x7．据报道，中国内地首次采用“全无人驾驶”的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和燕山居民的出行条件，预计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为（ B ）A ．21073⨯B ．3103.7⨯C ．41073.0⨯D ．2103.7⨯8.已知一次函数y =kx ﹣1，若y 随x 的增大而增大，则它的图像经过（ B ）A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限9.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD交于点F ，254：：=∆∆ABF DEF S S ，则DE ：EC= （ B ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：210.一组数据：-1，1，3，4，a ，若它们的平均数为2，则这组数据的众数为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．411.已知在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ C ）A ．AD =BCB ．AC =BD C ．∠A =∠C D ．∠A =∠B12．如图，直线l 与反比例函数xk y =在第一象限内的图象交于A 、B 两点，且与x 轴的正半轴交于C 点，若AB=2BC ，OAB ∆的面积为8，则k 的值为（ A ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．1813.若二次根式42-x 有意义，则x 的取值范围是（ D ）A ．2=xB ．2≠xC ．2≤xD ．2≥x14.学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为（ C ）A ．32 B ．21 C ．31 D ．41 15.打开某洗衣机开关。

《高等数学》模拟题二第一题名词解释1. 邻域; 以a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作U(a)设δ是任一正数，则在开区间（a-δ，a+δ）就是点 a 的一个邻域，这个邻域称为点 a 的δ邻域，记作U(a,δ)，即U(a,δ)={x|a- δ<x<a+δ}。

点a 称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径。

a 的δ邻域去掉中心 a 后，称为点 a 的去心δ邻域，有时把开区间（a-δ，a）称为 a 的左δ邻域，把开区间（a，a+δ）称为 a 的右δ邻域。

2. 函数的单调性：函数的单调性（monotonicity ）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。

当函数f(x ) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。

3. 导数：4. 最大值与最小值定理：5. 定积分的几何意义：第二题选择题1、如果f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，c为介于a,b之间的任一点，那么在(a,b)（ A ）找到两点x2,x1，使f(x2)f(x1)(x2x1)f(c)成立.（A）必能；（B）可能；（C）不能；（D）无法确定能.2、下列结论正确的是（ D ）（A）初等函数必存在原函数；（B）每个不定积分都可以表示为初等函数；（C）初等函数的原函数必定是初等函数；（D）A,B,C都不对.3、定积分10e x的值是（D）dx1（A）e；（B）12；（C）2e；（D）2.4、由球面x2y2z29与旋转锥面z轴的部分的体积V(B ) ；2y28z2x之间包含（A）144；（B）36；（C）72；（D）24.5 、设平面方程为Bx Cz D0，且B,C,D0，则平面（B）.(A) 平行于x轴；(B) 平行于y轴；(C) 经过y轴；(D) 垂直于y轴 .6 、函数f(x,y)在点(,)x0y处连续, 且两个偏导数f x y存在是f(x,y)在该点可微的( B ).(x0,y0),f(x0,y0)（A）充分条件, 但不是必要条件；（B）必要条件, 但不是充分条件；（C）充分必要条件；（D）既不是充分条件, 也不是必要条件.7 、设是由三个坐标面与平面x2y z=1 所围成的空间区域, 则=( C ).xdxdydz(A) 1；(B) 1；48481(C) 1；(D) .24248、设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数, 则在D内与L Pdx Qdy路径无关的条件Q P x y D,(,)x y是( C ).(A) 充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件.9、部分和数列s有界是正项级数nu收敛的( C)nn1(A) 充分条件；(B) 必要条件；(C) 充要条件；(D) 既非充分又非必要条件.10、方程y sin x的通解是( A ).(A)1y2；cosx C x C x C1232(B)12y；sin x C x C x C1232 (C) y cosx C；1 (D) y2sin2x.x1第三题f(x)f()2x,其中x0,x 1.求f(x).设x第四题2111x12y2. ,.设y arctan1x ln求2 41x12解设u12x,则y12arctan u14lnuu11,11111 y u()42u u2(1u)4111u12x4 2x,u x(12x)x1x2,yx(2x13x x)12.2 x第五题.求极限l i m5x015x(1x)解分子关于x的次数为 2.12o x2 1111x x2o x2515x(15x)1)(5)()51(5)(xx12()52!552 1x原式.lim222x[12()](1)0x x o x xxe(1s i n x)第六题.求dx1c o x sx x xe(12sin cos)1xx)x22原式(e e tan dx 解x dx2x2 22cos2cos22[(e(tan)tan]d(e tan) x d x x dex d x x dexx x222x extan C.2第七题求2s i n xdx. s i n x c o x s解sin x cos x由I dx,, 2dx设J2sin x cos x sin x cos x00则I J dx,22sin x cos x d(cos x sin x)I J22dx0sin x cos x0sin x cos x4.故得.2I,即I24。

山东大学网络教育专升本数学模拟题模拟一单项选择题（共个小题，每小题分）、函数()291x x f -=的定义域是（ ）、()3,3-、[]3,3- 、()3,3-、()3,0、函数3519222+-x x 的定义域是（ ）、 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠≠725|x x x 且、 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><725|x x x 或、 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<725|x x、 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠≠725|x x x 或、设函数()2sin f x x x =，则()f x 在(),-∞+∞内为（）、奇函数、偶函数、非奇非偶函数、以上均不对、函数()2655xx f x x +-=-（ ）、是偶函数、是奇函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，也不是偶函数、在下列函数中，当0→x 时，函数()x f 的极限存在的是（ ）、 ()⎪⎩⎪⎨⎧>=<+=0,20,30,22x x x x x f、 ()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,||x x xx x f、 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<-=0,210,00,21x x x x x x f、 ()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,1sin x x xx f、下列极限存在的是（ ）、 x x x 1lim 2++∞→、 ()21lim x x x x +∞→ 、 121lim -+∞→x x、 ()21ln lim x x +∞→、极限=--+→12lim 20x x x x （ ）、、、、、=→x x x 5sin lim0（ ） 、 0、 51、 1、 5、设0sin lim3x ax x →=，则a 的值是（ ） 、 13、、、、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤<+=21,210,0,12x x x x x x x f ，则()x f 在（ ）、 1,0==x x 处都间断、 1,0==x x 处都连续、 0=x 处间断，1=x 处连续、 0=x 处连续，1=x 处间断、设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,230,0,2sin x x x k x x x x f ，若()x f 在0=x 处连续，则=k （ ）、0、1、2、2-、函数()x f在点0x处有()()Axfxf=+=-00，则它是函数()x f在点0x处连续的（）、充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既非必要条件又非充分条件、设函数()x f在1=x处可导，且()31='f，则lim→h()()=-+hfhf11（）、0、1、3、6、设函数()x f在0=x处可导，且()10='f，则lim→x()()=-xfxf03（）、0、1、3、6、设函数()cos2f x x =，则()0f '=（ ）、、、、、极限∞→x lim x x x +-2231（ ）、 61、 、31、、极限∞→x lim 3212-+x x （ ）、 0、 1 、21、 2、极限0lim →xx e e x x --（ ）、 41-、 0、 2、 1、极限0lim →x 21x e x x-+（ ）、 21-、 0、 21、 1、下列函数中，不是22x x e e --的原函数的是（）、 ()2212x x e e -+、 ()212xx e e -+、 ()212x x e e --、 ()222x x e e --、()=+⎰dx x 1cos （ ）、C x x ++sin、C x x ++-sin、 C x x ++cos、 C x x ++-cos、定积分0sin xdx π=⎰（ ）、、、、、定积分30x dx π=⎰（ ）、 313π、 1-、 0、 1、 个学生站成一排，共有几种不同的站法？（ ）、、、、、用A 表示事件“甲考核通过且乙考核不通过”，则其对立事件A 为（ ） 、 “甲考核不通过，乙考核通过”、 “甲、乙考核都通过”、 “甲考核不通过”、 “甲考核不通过或乙考核通过”、在个乒乓球中，有个白球，，个黄球，从中抽取个的必然事件是（ ） 、“三个都是白球”、“三个都是黄球”、“至少有一个黄球”、“至少有一个白球”、若事件A 与B 满足()|1P B A =，则A 与B 一定是（ ）、 A 是必然事件、 ()|1P B A =、 A B ⊃、 A B ⊂、设事件A 与B 相互独立，且()()()71,9P A P B a P A B ==-+=,则常数a = ( ) 、4533或 、43 、53、1、当0x +→时，下列变量与x 为等价无穷小量的是（ ）、、 sin xx、 1sin x x、()ln 1x + 、当0→x 时，()x +1ln 与x 比较是（ ）、高阶的无穷小量、等阶的无穷小量、非等阶的同阶无穷小量、低阶的无穷小量、设()()()()()4321----=x x x x x x f ，则()='2f（ ）、、、、、函数()2f x x =的一个原函数是（ ）、 313x、2x、33x、3x、由数字组成没有重复数字的两位数，这样不同的两位数共有（ ） 、个、个、个、个、已知事件A 与B 为相互独立事件，则()=AB P （ ）、 ()()B P A P +、 ()()B P A P -、 ()()()()B P A P B P A P -+、 ()()B P A P、函数ln y x x =，则y '=（ ）、 ln 1x +、 ln x x +、 ln 1x x +、 ln x、函数cot y x arc x =-在(),-∞+∞内（ ）、单调增加、单调减少、不单调、不连续、以下结论正确的是（ ）、函数()x f 的导数不存在的点，一定不是()x f 的极值点、若0x 为函数()x f 的驻点，则0x 必为()x f 的极值点、若函数()x f 在点0x 处有极值点，且()0x f '存在，则必有()00='x f、若函数()x f 在点0x 处连续，则()0x f '一定存在.ln xdx =⎰（ ）、ln x x x C -+、 ln x x C +、 ln x x C -+、 ln x x x C ++、=⎰dx x x cos （ ）、 C x x +sin、 C x x x ++cos sin、 C x x +cos、 C x x x ++sin cos、设函数2z x y =，则2z x y ∂=∂∂（ ）、x y、x、y、2x、建筑一个容积为³，深为M 的长方体蓄水池，池壁每平方M 的造价为元，池底每平方M 的造价为元。

山东大学网络教育高起专数学模拟题模拟一单项选择（共50题，每题3分）1、用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为，内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度会下降多少？（）A、B、C、D、A2、机械厂加工车间共有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个。

已知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套。

（）A、35 50B、20 65C、30 55D、25 60D3、一项工作，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要12天完成。

现先由甲乙两人合作3天后，甲有其他任务，剩余的工作由乙单独完成，问乙还需要几天才能完成剩余的工作。

（）A、B、C、D、B4、甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶90公里，一列快车从乙站开出，每小时行驶140公里。

如果慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行，问快车开出多少小时后，两车相遇。

（）A、B、C、D、A5、一家商店将某款服装按进价提高40%后出售，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元。

问这款服装每件进价是多少（）A、115B、120C、125D、130C6、小明同学将250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。

半年后共得本息252.7元，求银行半年期的年利率是多少（不计利息税）（）A、0.0216B、0.0218C、0.0220D、0.0222A7、戴着红凉帽的若干女生和带着白凉帽的若干男生同租一游船在公园划船，一女生说：“我看到船上红白帽子一样多。

”一男生说：“我看到红帽子是白帽子的2倍”，问该船上男、女生各多少人（）A、3 4B、3 5C、4 5D、3 6A8、济南市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品价格。

某种药品的原价格为200元，经过连续两次降价后，现在价格为128元。

问此药品每次降价的百分率是多少（）A、30%B、25%C、20%D 、24%C9、在我市某项市政建设工程招标中，有甲乙两个工程队投标，经测算：甲工程队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲乙合作24天可完成。

现代远程教育入学考试《高等数学》模拟试题（专科起点本科）1、设函数的定义域为，则函数的定义域为（A ）.A. B.C. D.2、下列极限中结果等于的是（B ）.A. B.C. D.3、函数，则等于（B ）.A. 1B. 0C. D. 不存在4、函数在下列区间上不满足拉格朗日定理条件的是（B ）.A. B.C. D.5、设是函数的一个原函数，且，则为（B ）.A. B.C. D.6、积分（B ）.A. B.C. D.7、已知，，则（A ）.A. B.C. D.8、由方程所确定的隐函数，则（B ）.A. B.C. D.9、若级数收敛，那么下列级数中发散的是（B ）.A. B.C. D.10、设一阶线性微分方程（是已知的连续函数），则它的通解为（D ）.A.B.C.D.11、函数是（C ）.A. 以为周期的周期函数，且是偶函数B. 以为周期的周期函数，且是偶函数C. 以为周期的周期函数，且是奇函数D. 以为周期的周期函数，且是奇函数12、极限等于（C ）.A. B. 1C. D. 213、设函数在点处可导，则的值依次为（A ）.A. B.C. D.14、函数在区间内单调增加，则应满足（B ）.A. B. 为任意实数C. D.为任意实数15、若，则（D ）.A. B.C. D.16、极限（D ）.A. 1B. 0C. D.17、二次曲面，表示（C ）.A. 球面B. 椭圆锥面C. 椭球面D. 椭圆抛物面18、设，则（C ）.A. 是的驻点，但非极值点B. 是的极大值点C. 是的极小值点D. 无驻点19、级数的和为（A ）.A. B.C. D.20、齐次方程的通解为（A ）.A. B.C. D.21、设，则（D ）.A. 函数在的任意去心邻域内都有界B. 函数在的某个邻域内有定义C. 函数在处无定义D. 函数，其中是时的无穷小22、设函数在点可导，则极限为（D ）.A. B.C. 不存在D.23、设函数，则等于（C ）.A. B.C. D.24、对曲线，下列结论正确的是（D ）.A. 有4个极值点B. 有3个拐点C. 有2个极值点D. 有1个拐点25、下列积分可直接使用牛顿-莱布尼兹公式的是（A ）.A. B.C. D.26、设曲线及直线围成的平面图形的面积为，则下列四个式子中不正确的是（A ）.A. B.C. D.A、AB、BC、CD、D27、过点且与平面平行的平面方程为（B ）.A. B.C. D.28、二次积分（D ）.A. B.C. D.29、设幂级数的收敛半径为，则的收敛半径为（A ）.A. B.C. D.30、微分方程的通解为（B ）.A. B.C. D.31、函数，在点处有（B ）.A. 连续B. 不连续，但右连续C. 不连续，但左连续D. 左、右都不连续32、若曲线和在点处相切（其中为常数），则的值为（A ）.A. B.C. D.33、函数的定义域为（B ）.A. B.C. D.34、若函数可导，且，则有等于（B ）.A. B.C. D.35、下面结论正确的是（C ）.A. B.C. D.36、函数在区间上的最小值是（C ）.A. 1B.C. 0D.37、积分（C ）.A. 2B.C. 4D.38、设，则（A ）.A. 6B. 3C. 2D. 039、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（A ）.A. B.C. D.40、曲线在区间上的曲边梯形的面积为（A ）.A. B.C. 10D.41、若，则（D ）.A. B.C. D.42、二元函数的两个偏导数存在，且，，则（D ）.A. 当保持不变时，是随x的减少而单调增加的B. 当保持不变时，是随y的增加而单调增加的C. 当保持不变时，是随x的增加而单调减少的D. 当保持不变时，是随y的增加而单调减少的43、二重积分，是由所围成的区域，则二重积分的值为（B ）.A. B.C. D.44、函数展开为的幂级数为（B ）.A.B.C.D.45、微分方程的满足初始条件的特解为（C ）.A. B.C. D.46、积分（A ）.A. 1B. 2C. 3D. 447、已知，，则（D ）.A. 0B. 1C. 2D. 348、方程确定隐函数，则（A ）.A. B.C. D.49、级数（为常数）收敛的充分条件是（A ）.A. B.C. D.50、设可微函数满足，且，则的值为（B ）.A. B.C. 1D. 251、设，那么的定义域是（C ）.A. B.C. D.52、极限（C ）.A. 0B.C. 1D.53、，则（A ）.A. B.C. D.54、下列极限中不能使用洛必达法则的是（A ）.A. B.C. D.55、已知，且时，，则（C ）.A. B.C. D.56、积分（C ）.A. B.C. D.57、函数是（D ）.A. 奇函数，非偶函数B. 偶函数，非奇函数C. 既非奇函数，又非偶函数D. 既是奇函数，又是偶函数58、已知向量，，，则（A ）.A. B.C. D.59、极限（B ）.A. B. 0C. 3D.60、由方程所确定的隐函数为，则（A ）.A. B.C. D.高等数学模拟试题答案：1、A2、B3、B4、B5、B6、B7、A8、B9、B 10、D 11、C 12、C 13、A 14、B 15、D 16、D 17、C 18、C 19、A 20、A 21、D 22、D 23、C 24、D 25、A 26、A 27、B 28、D 29、A 30、B 31、B 32、A 33、B 34、B 35、C 36、C 37、C 38、A 39、A 40、A 41、D 42、D 43、B 44、B 45、C 46、A 47、D 48、A 49、A 50、B 51、C 52、C 53、A 54、A 55、C 56、C 57、D 58、A 59、B 60、A。

《高等数学》模拟题（2）年级_____________ 姓名_______________ 学号________________ 成绩__________第一题 名词解释1. 邻域;2. 函数的单调性：3. 导数：4. 最大值与最小值定理：5. 定积分的几何意义：第二题 选择题1、如果)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 可导，c为介于b a ,之间的任一点，那么在),(b a （ ）找到两点12,x x ，使)()()()(1212c f x x x f x f '-=-成立.（A ）必能； （B ）可能；（C ）不能； （D ）无法确定能 .2、下列结论正确的是（ ）（A ） 初等函数必存在原函数；（B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数； （C ） 初等函数的原函数必定是初等函数； （D ）C B A ,,都不对 .3、定积分⎰1dx e x的值是（）（A ）e ； （B ）21；（C ）21e； （D ）2 .4、由球面9222=++z y x 与旋转锥面2228z y x =+之间包含z 轴的部分的体积=V ( )；（A ）π144； （B ）π36； （C ）π72； （D ）π24 . 5、设平面方程为0=++D Cz Bx ，且0,,≠D C B ， 则 平面（ ）.(A) 轴平行于x ； (B) 轴平行于y ；(C) 轴经过y ； (D) 轴垂直于y .6、函数),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x 存在是),(y x f 在该点可微的( ).（A ）充分条件,但不是必要条件； （B ）必要条件,但不是充分条件；（C ）充分必要条件； （D ）既不是充分条件,也不是必要条件. 7、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的 空间区域,则⎰⎰⎰Ωxdxdydz=( ).(A) 481 ； (B) 481-；(C) 241 ； (D) 241- .8、设),(,),(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数,则在D 内与⎰+LQdy Pdx 路径无关的条件 D y x yP xQ ∈∂∂=∂∂),(,是( ).(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.9、部分和数列{}ns有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的 ( )(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 10、方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=；(B)322121sin C x C x C x y +++=；(C)1cos C x y +=；(D)x y2sin 2=.第三题).(.1,0,2)1()(x f x x x xx f x f 求其中设≠≠=-+第四题.,1111ln 411arctan 21222y x x x y '-+++++=求设 第五题1. .)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题.cos 1)sin 1(⎰++dx xx e x 求 第七题.cos sin sin 2⎰+πdx xx x求《高等数学》模拟试卷（2）参考答案第四题2. .,1111ln 411arctan 21222y x x x y '-+++++=求设第五题1. .)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题 2..cos 1)sin 1(⎰++dx xx e x 求解,12x u +=设,11ln 41arctan 21-++=u u u y 则)1111(41)1(212-++++='u u u y uΘ411u -=,2142x x --=)1(2'+='x u x ,12xx +=.1)2(123x x x y x ++-='∴解.2的次数为分子关于x Θ515)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +⋅-⋅++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=第七题.cos sin sin 2⎰+πdx xx x求解⎰+=dx x xx e x 2cos 2)2cos 2sin 21(2原式⎰+=dx xe x e x x)2tan 2cos 21(2]2tan )2(tan [(⎰+=x x de xx d e ⎰=)2tan (xe d x .2tan C xe x +=解,cos sin sin 20⎰+=πdx xx xI 由,cos sin cos 2⎰+=πdx xx xJ 设,220ππ==+⎰dx J I 则⎰+-=-2cos sin cos sin πdxxx xx J I ⎰++-=2cos sin )sin (cos πxx x x d .0=,22π=I 故得.4π=I 即。