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曲线的参数方程 课件

曲线的参数方程 课件
(为参数).
= 2sin
故点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆.
反思利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型,是圆的
参数方程的主要应用之一.
参数方程与普通方程的互化
= 1 + 4cos,
【例 3】 指出参数方程 = -2 + 4sin (为参数)表示什么曲线.
解:(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,
(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持
一致.
= 1 + 2cos,
【做一做 3-1】 将参数方程
(为参数)
= 2sin
化为普通方程为
.
-1 = 2cos,
解析:由
= 2sin,
两式平方相加,得(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
【做一做3-2】 已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化为参数方程.
解:由x2+y2-6y=0,
得x2+(y-3)2=9.
令x=3cos θ,y-3=3sin θ,
= 3cos,
所以圆的参数方程为
(为参数).
= 3 + 3sin
1.曲线参数方程的特点
剖析曲线的普通方程直接反映了一条曲线上的点的横、纵坐标
之间的联系,而参数方程是通过参数间接反映坐标变量x,y间的联系.
= (),
通方程,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么
= ()
就是所求的曲线的参数方程.
(3)消参的常用方法
①代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表

常见曲线的参数方程

常见曲线的参数方程

2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。

设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。

那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。

由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。

3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。

①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。

曲线的参数方程 课件

曲线的参数方程 课件

【解】 如图，设 OQ 是经过原点的任意一条弦，
OQ 的中点是 M(x，y)，设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ，取 θ 作
为参数，已知圆的圆心是 O′，O′(a,0)⊥OO′，那么|OM|＝acos θ，
所以xy＝＝||OMMM′′||＝＝||OOMM||csoins
名师点评
(1)消去参数的常用方法． ①如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、 加减消元法． ②如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之 前要做必要的变形．
③另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin2α＋cos2α ＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，11＋－kk222＋1＋2kk22＝1 等．
θ＝acos2θ， θ＝acos θsin
θ，
(θ 为参数)
这就是所求轨迹的参数方程．
名师点评
引入参数 θ 后，根据圆的中点弦的性质结合变量 x，y 的几何 意义，用半径 a 及参数 θ 表示坐标 x，y 即可得出曲线的参数方程．
要点二 圆的参数方程的应用 1.圆的参数方程
(1)圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程为
标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角
函数定义，有 cos ωt＝xr，sin ωt＝yr，即圆心在原点 O，半径为 r
的圆的参数方程为xy＝＝rrcsions
ωt， ωt
(t 为参数)，其中参数 t 的物理
意义是__质___点__作__匀__速__圆__周__运__动__的__时__刻_____．
特别提醒
参数 t 是联系 x，y 的桥梁，它可以有物理意义或几何意义， 也可以是没有明显实际意义的变数．
问题探究 1：参数方程与普通方程有什么区别和联系？ 提示：

常见曲线的参数方程PPT课件

常见曲线的参数方程PPT课件

2a
x
.
6
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OMsint y OCOMcost
a(t sint)
a(1cost)
这就是旋轮线的参数方程。
7
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
8
.
9
10
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
a
o
a
xHale Waihona Puke 16y.a
o
来看动点的慢动作
a
x
17
y
a
o 来看动点的慢动作
a
x
2a
.
18
参数方程
y
r = a (1+cosθ) r
o
P
x
2a
.
19
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆
内缘无滑动地
滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。
–a
o
a 4
ax
20
y
.
–a
o
来看动点的慢动作
ax
21
y
–a
o
问答
问题提问与解答
HERE COMES THE QUESTION AND ANSWER SESSION 45
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46

圆锥曲线的参数方程 课件

圆锥曲线的参数方程 课件

规律技巧 利用双曲线的参数方程，可以求目标函数的最 值，这是常见题型的解题方法，一定要熟练掌握．
点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，不是OM的旋转角，
而圆的参数方程中的θ是半径OM的旋转角，椭圆参数方程中的φ称

为点M的离心角．
思考探究2
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程
x＝2pt2， y＝2pt
(t为
参数)中参数t的几何意义是什么？
提示 由抛物线参数方程的推导过程可知，参数t表示抛物线
【例2】
已知A、B分别是椭圆
x2 36
＋
y2 9
＝1的右顶点和上顶
点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方
程．
【解】 如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
(φ为参数)．通常规定参数φ的取值范围为
[0,2π)．
(2)双曲线ay22－bx22＝1的参数方程为xy＝ ＝batsaencφφ， (φ为参数)．
(3)另三种情况抛物线的参数方程如下：
普通方程
参数方程
y2＝－2px(p>0)
x＝－2pt2， y＝2pt
(t为参数)
x2＝2py(p>0)
x＝2pt， y＝2pt2
上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
名师点拨 1.圆、椭圆、双曲线的参数方程
圆、椭圆、双曲线的参数方程如下表：
点所在的 x2＋y2＝r2
曲线
ax22＋by22＝1
ax22－by22＝1
参数方程
x＝rcosθ， y＝rsinθ

曲线的参数方程课件

曲线的参数方程课件

(1)x＝12sin2θ， (θ为参数)； y＝sinθ＋cosθ
x＝1t ， (2)y＝1t t2－1
(t为参数)．
【分析】 观察题目的特点．(1)可用代入消元法．(2)可用加 减消元法，在转化过程中要保证等价性．
【解】 (1)由y2＝(sinθ＋cosθ)2 ＝1＋sin2θ＝1＋2x， ∵－12≤12sin2θ≤12，
2．圆的参数方程 (1)圆 x2＋y2＝r2 的参数方程通常写为________(θ 为参数)． (2) 圆 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 的 参 数 方 程 通 常 写 为
x＝a＋rcosθ， y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
3．曲线的普通方程和参数方程的互相转化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般 地，可以通过________而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如________， 把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系________，那么 ________，就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中， 必须使 x，y 的________保持一致.
往往需要消去参数，化为普通方程，消参的主要方法有代入消元
法，利用三角恒等式消参法两种．
(2)由普通方程化为参数方程
有时为了求变量的范围或求最值我们还需要把曲线的普通方
程化为参数方程．如：椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1就可以化为参数方程
x＝acosθ， y＝bsinθ
(θ为参数)．
应注意：普通方程化为参数方程时，由于选参不同，参数方
2．圆的参数方程
(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程中参数θ的几何意义 圆x2＋y2＝r2的参数方程为

曲线的参数方程资料课件

曲线的参数方程资料课件

曲线类型及特点概述
直线 圆 椭圆
实际应用场景举例
01
物理学
02
工程形式 几何意义 举例
圆和椭圆参数方程
圆的标准形式
椭圆的标准形式
几何意义
举例
双曲线与抛物线参数方程
双曲线的标准形式
抛物线的标准形式
几何意义
举例
螺旋线与其他特殊曲线
手绘技巧分享
01
02
基础绘图工具使用
参数方程是通过引入一个或多个参数 来表示曲线上点的坐标的一种方程形 式。
常见的曲线参数方程
包括直线的参数方程、圆的参数方程、 椭圆的参数方程等。
参数方程中参数的几何意义
参数在参数方程中通常具有几何意义， 如角度、时间等，反映了曲线上点的 位置或运动状态。
参数方程与普通方程的互化
掌握参数方程与普通方程之间的互化 方法，便于不同问题之间的转换和解 决。
拓展延伸：三维空间曲线参数方程简介
三维空间曲线参数方程的概念
01
三维空间曲线参数方程的表示方法
02
三维空间曲线参数方程的应用
03
THANKS
感谢观看
曲线绘制要点
03 细节处理技巧
计算机辅助绘图软件介绍
常用绘图软件简介
01
软件在参数方程绘图中的应用
02
绘图软件使用技巧
03
典型错误分析及避免方法
曲线绘制中的常见错误
错误原因分析及解决方法
物理学中运动轨迹描述
抛物线运动
圆周运动
振动与波动
工程设计中优化问题求解
最短路径问题
结构优化问题 参数化建模
计算机图形学中模型构建
三维曲线绘制
利用参数方程在计算机图形学中 绘制三维曲线，如螺旋线、贝塞

参数方程 课件(共29张PPT)

参数方程 课件(共29张PPT)

解:根据题意,作出如图所示的单位圆.所要求的函数 f(θ)＝
sin cos
θθ－－12的最大值与最小值,就转化为求动点
P
与定点(2,1)
连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知,当直线 PM
和圆相切时,分别得到其最大值与最小值.设直线 PM 的斜
率为 k,所以,其方程为:y－1＝k(x－2),即 kx－y＋1－2k＝0.
2α(0＜α＜2π),M 为 PQ 的中点.
(1)求 M 的轨迹的参数方程;
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的
轨迹是否过坐标原点.
【解】 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此 M(cos α＋cos 2α,sin α＋sin 2α).
2π).
(1)x2＋y2＝(－1＋2cos θ)2＋( 3＋2sin θ)2 ＝4( 3sin θ－cos θ)＋8＝8sin(θ－π6)＋8, ∴当 θ－π6＝π2,即 θ＝23π时,(x2＋y2)max＝16. (2)x＋y＝2(sin θ＋cos θ)＋ 3－1 ＝2 2sin(θ＋π4)＋ 3－1, ∴当 θ＋π4＝32π,即 θ＝54π时, (x＋y)min＝ 3－2 2－1.
变式训练
1.(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参 数方程为yy＝＝2t＋t 1， (t 为参数),曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,
并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线 l 的参数方程为xy＝＝2t＋t 1 (t 为参数),由 x＝t＋ 1,得 t＝x－1,代入 y＝2t,得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2 ＝0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组yy＝2＝22xx－1 ,解得公共点的坐标为(2,2),(12,－ 1).

2.1曲线的参数方程 第二课时 课件(人教A版选修4-4)

2.1曲线的参数方程 第二课时 课件(人教A版选修4-4)

1．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆
x a rcos ， y b rsin (θ为参数)的圆心位于(
B)
A．第一象限 C．第三象限 A．(－1＋cos θ，sin θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ)
B．第二象限 D．第四象限 B．(1＋sin θ，cos θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于点M.当点Q在圆C上运动
时，求点M的轨迹方程．
解析：设点 O 到 AQ 的距离为 d，则 1 1 |AM|· d＝ |OA|· |OM|· sin ∠AOM， 2 2 1 1 |QM|· d＝ |OQ|· |OM|· sin ∠QOM. 2 2 |AM| |OA| 2 → 2 → 又∵∠AOM＝∠QOM，∴ ＝ ＝ .∴AM＝ AQ. |QM| |OQ| 1 3 ∵点 Q 是圆 x2＋y2＝1 上的点， ∴设点 Q 的坐标为(cos θ， sin θ)，M(x，y)，得 2 (x－2，y－0)＝ (cos θ－2，sin θ－0)， 3 2 2 2 即 x－ ＝ cos θ，y＝ sin θ. 3 3 3 2 4 2 2 两式平方相加，得x－3 ＋y ＝ ， 9 2 4 2 2 ∴点 M 的轨迹方程为x－3 ＋y ＝ . 9
∵cos2t＋sin2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|
把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形． 分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方 程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、 乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量范围的 一致性．

参数方程ppt课件

参数方程ppt课件

考虑多种情况
注意单位的统一
在求解参数方程时，需要注意单位的 统一，避免出现单位不匹配的情况。
对于某些参数方程，可能需要考虑多 种情况，分别进行讨论和求解。
03 参数方程的应用实例
物理中的参数方程应用
总结词
描述物理中参数方程的应用，如行星运动、电磁波传播等。
详细描述
在物理学中，参数方程被广泛应用于描述各种现象，如行星运动轨迹、电磁波 传播路径等。这些参数方程通过引入一些变化的参数，能够精确地描述物理量 之间的关系，帮助我们更好地理解物理规律。
参数方程在其他领域的应用将有助于 推动相关领域的技术进步和理论发展 。
随着科技的发展，参数方程在数据科 学、机器学习等领域的应用也将逐渐 增多，为解决实际问题提供更多思路 和方法。
如何提高参数方程的应用水平
加强数学教育和普及工作，提高公众对参数方程的认识和理解，培养更多的数学人才和应用 型人才。
加强学科交叉和合作，促进参数方程与其他学科的融合和应用，共同推动相关领域的发展。
理解。
参数方程与线性代数的关联
参数方程可以用于描述线性代 数中的向量和矩阵的变化规律 。
通过参数方程，可以理解线性 变换的概念，以及矩阵的运算 和性质。
参数方程在解决线性代数问题 中也有一定的应用，例如求解 线性方程组、矩阵的逆和行列 式等。
参数参数方程与复变函数的关系
复变函数是一种描述复数域上的函数的方法，而参数方程可以用于描述复数域上的 函数的变化规律。
参数方程ppt课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 参数方程的基本概念 • 参数方程的求解方法 • 参数方程的应用实例 • 参数方程与其他数学知识的关联 • 参数方程的未来发展与展望
01 参数方程的基本概念

常见曲线的参数方程

常见曲线的参数方程

12
问题5.
（ 1 ） 写 出 直 线 x y 1 0 的 一 个 参 数 方 程 _ _ _ _ _ _
（ 2） 直 线 x y 3 tcotss2in 0020（ 0 t为 参 数 ） 的 倾 斜 角 是 （ B ）
A.200 B.700 C.1100 D.1600
2021/6/30
最小值，并写出此时过 P 点的切线方程。
2021/6/30
y
．F
P
A。
Q x
R
7
直线的参数方程
问题：已知一条直线经过点 M0(x0, y0 ) ，
倾斜角 ，求这条直线的方程.
直 线 的 普 通 方 程 为 y y 0 t a n ( x x 0 )
问：怎样建立直线的参数方程呢？
2021/6/30
13
(3)直线{x2 2t(t为参数)上与点P(2,3) y3 2t
距离等于2的点的坐标是( C )
A(-4,5)
B(-3,4)
C(-3,4)或(-1,2) D(-4,5)或(0,1)
2021/6/30
14
(4)直 线 {x2tcos300(t为 参 数 )的 倾 斜 角
y3tsin600
等 于 (D )
常见曲线的参数方程
2021/6/30
1
椭圆的参数方程
2021/6/30
2
问题1.如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
l：x-y+4=0的距离最小.
y
O
x
P2021/6/30 Nhomakorabea3
问题2.已知A,B两点是椭圆 4x2 9y2 36
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭

常见曲线的参数方程

常见曲线的参数方程

y
a(sint
t
cos t)
y
M (x,y)
a
t
0
a
试由这些关系推出曲线的方程
t x
.
27
7.狄卡儿叶形线 x 3 y 3 3axy 0 (a 0)
分析 1. 曲线关于 y= x 对称
2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0
3. 令 y = t x, 得参数式
当 t , ( x, y) (0,0) 当 t 0, 也有( x, y) (0,0)
直角系方程
c,
5
)
( 7
,2
)
y
4
44
.4
( x 2 y 2 )2 2a 2 ( x 2 y 2 )
P
F (a,0)
0
r
F (a,0)
2a . x
. . . . .
.
.
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 = , 3 , 5 , 7 30
. .
44 4 4
)a
θ 6
0
a
ax
.
45
. .
. .
46
x a cos3
y
a
sin3
0 2
y
P
o
ax
.
22
6. 圆的渐伸线
一直线沿圆周滚转（无滑动） y 直线上一个定点的轨迹
参数方程为
x a(cost t sint)
y
a(sint
t
cos t)
0
a
x
23
再看一遍
.
y
0
a
x
24
y
0
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4
30
. .
例1 求双纽线 r22a2co2s所围面积

由对称性
S
r()d
acosd
2a2
y
2020/10/28
4
0
2a x
.
31
. .
.
9. 阿基米德螺线 r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动
0
r
2020/10/28
32
0
r22a2co2s
co 2 s0 (0,) (3,5) (7,2)
y
4 4 4 .4
直角系方程
(x 2y2)2 2 a 2(x 2y2)
P
F(a,0)
0
r
F(a,0)
2a . x
. . . . .
.
.
3 5 7
202曲0/1线0/2在8 极点自己相交，与此对应的角度为 =
, 4
, 4
, 4
常见曲线的参数方程
2020/10/28
1
主 目 录（1–10 ）
1 旋轮线 2 旋轮线也叫摆线 3 旋轮线是最速降线 4 心形线 5 星形线 6 圆的渐伸线 7 笛卡儿叶形线 8 双纽线 9 阿基米德螺线 10 双曲螺线
2020/10/28
2
精品资料
1. 旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的 曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。
a(t sint)
a(1cost)
这就是旋轮线的参数方程。
2020/10/28
7
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
2020/10/28
8
.
2020/10/28
9
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
r
.
38
阿基米德螺线 r =a 当 从 0 –
0
2020/10/28
r
39
.
10 双曲螺线 r a 这里 从 0 +
limr 0 θ
极点是曲线的渐近点
yrsin a sin
l i my a θ0
y a是曲线的渐近线
0
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a
.
r
.
. 40
双曲螺线
r a 当 从 0 –
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10
3. 旋轮线是最速降线
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
A
B
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
生活中见过这条曲线吗？
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11
B
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A
12
B
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A
13
A
B
a
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x
4
.
来看动点的慢动作
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x
5
参数方程
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
2a
at
0
a
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a
2a
x
.
6
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OMsint y OCOMcost
当t 由 ,
动点(0由 , 0)(0,0) 依逆时针方向画出叶形 线.
28
y
0
x
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
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29
8.双纽线 FF2a, 到F与F距离之积为a2的点的轨迹 ( a2)
22 rr 22 a a 2 2 2 2 rra c c a o o ss ( ) 2 ( r 2 a 2 ) 2 4 r 2 a 2 c2 o a 4 s 即
分析 1. 曲线关于 y= x 对称
2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0
3. 令 y = t x, 得参数式
当t, (x,y) (0,0) 当t 0, 也(有 x,y)(0,0)
故在原点，曲线自身相交.
x
3 at t3 1
y
3 at 2 t3 1
( -t, t-1)
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4. 当 t由 , 动(点 0 ,由 0 (), -) 当t由 , 动点 ( 由 ,) (0,0)
x3 y3 a3
. .–a
极坐标方程为
x a cos 3
y
a
sin3
0 2
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y
P
o
ax
.
22
6. 圆的渐伸线
一直线沿圆周滚转（无滑动） y 直线上一个定点的轨迹
参数方程为
xa(cotstsint) ya(sint tcots)
0
a
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x
23
再看一遍
42
例3.求曲r线 sinθ及r2 cosθ分别所围成的共 图形
部分的面积
y
令 cos2 = 0, θ k
由 sin > 0, θ
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r
.
33
0
请问：动点的轨迹什么样？
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r
.
再看一遍
34
0
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r
.
35
0
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r
.
36
阿基米德螺线 r =a
0
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r
.
37
阿基米德螺线 r =a 这里 从 0 +
每两个螺形卷间沿射线的距离是定数
0
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滑板的轨道就是这条曲线
.
14
y
4. 心形线(圆外旋轮线)
一圆沿另一圆外缘无滑 动地滚动，动圆圆周上 任一点所画出的曲线。
a
o
a
x
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15
y
.
a
o
来看动点的慢动作
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a
x
16
y
a
o
来看动点的慢动作
2020/10/28
a
x
2a
.
17
参数方程
y
r = a (1+cosθ) r
0
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a
.
r
.
41
例2 求曲r线 coθs及rcoθs分别所围成的 共图形
部分的面积
由 3cos =1+cos
r =3cos
y
得交点的坐标 θ
S = 2
π 3
1(1coθs)2dθ
02
π
o3
S
2
π
2 π
3
9cos2θ dθ 2
x
3
=1+cos
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.
.
.
.
.
.
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y
0
a
x
24
y
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0
a
x
.
25
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y
0
a
x
.
26
参数方程为
xa(cotstsint) ya(sint tcots)
y
M (x,y)
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a
t
0
a
试由这些关系推出曲线的方程
t x
.
27
7.狄卡儿叶形线 x 3y3 3 ax 0y (a0 )
o
P
x
2a
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.
18
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆
内缘无滑动地
滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。
–a
o
a 4
ax
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19
y
.
–a
o
来看动点的慢动作
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ax
20
y
–a
o
来看动点的慢动作
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ax
.
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直角坐标方程为：
2
2
2