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2211用待定系数法求二次函数的解析式（第二课时）-甘肃省永靖县刘家峡中学人教版九年级数学上册课件(共12张PPT)

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人教版初中数学九年级上册22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式

人教版初中数学九年级上册22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式

一定时间后，测试出这种植物高度的增长
情况，部分数据如下表：
温度 t/℃
－4 －2 0 1 4
植物高度增长量
l/mm
41 49 49 46 25
科学家经过猜想，推测出 l 与 t
之间是二次函数关系．由此可以推测最适
合这种植物生长的温度为________℃.
解析：设 l 与 t 之间的函数关系式为 l
已知二次函数的图象经过点(－ 1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次 函数的解析式．
解析：由于题目给出的是抛物线上任 意 三 点 ， 可 设 一 般 式 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)．
解：设这个二次函数的解析式为 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)， 依 题 意 得 ：
{ ) a－b＋c＝－5， c＝－4， 解 这 个 方 程 组 得 ： a＋b＋c＝1，
已知二次函数 y＝2x2－12x＋5， 求该函数图象关于 x 轴对称的图象的解析 式．
解析：关于 x 轴对称得到的二次函数 的图象与原二次函数的图象的形状不变， 而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口 方向与原图象的开口方向相反，顶点的横 坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为 相反数．
解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13， 顶点坐标为(3，－13)，其图象关于 x 轴对 称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图 象的解析式为 y＝－2(x－3)2＋13.
一、情境导入
TB:小初高题库
某广场中心标志性建筑处有高低不同 的各种喷泉，其中一支高度为 1 米的喷水 管喷出的抛物线水柱最大高度为 3 米，此
人教版初中数学
1 时喷水水平距离为 米，你能写出如图所示
2 的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式 吗？

用待定系数法求二次函数解析式 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版

用待定系数法求二次函数解析式 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版

确定二次函数解析式的方法
已知三个点坐标或三对对应值，选择一般式
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
已知顶点坐标、对称轴或最值，选择顶点式
顶点式
y=a(x-h)2+k
(a≠0)
一、设 二、代 三、解 四、还原
谢谢谢谢大大家家
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
16a+4b=8 a-b=3
4a+b=2 a-b=3
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） （－1, 0）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c ∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） 对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？
一般式： 方法一：设所求的二次函数为 y=a(x-1)2+k
y=ax2+bx&43;k
方法二：设所求的二次函数为
依题意得
c=-3 16a+4b+c=0
b 1 2a
y=ax2+bx+c
义务教育教科书人教版 数学 九年级 上册
22.1.5
y a x2 b x c 一般式
y=a（x-h)2+k 顶点式
我们在确定正比例函数y=kx(k≠0)和 一次函数y=kx+b(k≠0)的关系式时，分别 需要几个点的坐标，列几个方程？
二次函数常用的解析式
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式： y=a(x-h)2+k

用待定系数法求二次函数的解析式(新人教版)课件

用待定系数法求二次函数的解析式(新人教版)课件
$ax_3^2+bx_3+c=y_3$
设立待定系数并建立方程组
• 同样，若已知抛物线的对称轴为直线$x=h$，则可设立如 下方程组
设立待定系数并建立方程组
$-frac{b}{2a}=h$
$y=ax^2+bx+c$
解方程组求得待定系数
解方程组求得$a, b, c$的值。
解方程组的方法有多种，如代入消元法、加减消元法等。
提高解决问题能力
在学习过程中，学生将学会如何根据问题条件设立未知数 、建立方程组，从而提高解决实际问题的能力。
为后续课程做准备
本节课所介绍的待定系数法将在后续课程中得到广泛应用 ，如求解二次方程、二次曲线等，因此本节课的学习将为 后续课程打下基础。
THANKS
感谢观看
用待定系数法求二 次函数的解析式(新 人教版)
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 待定系数法介绍 • 用待定系数法求二次函数的解析式 • 实例分析 • 课程总结与展望
01
CATALOGUE
引言
课程背景
01
二次函数是初中数学的重要内容 ，是中考的重点和难点之一。
02
通过学习待定系数法求二次函数 的解析式，学生可以更好地理解 二次函数的性质和图像，提高解 决实际问题的能力。
实际应用举例
通过具体的例题演示如何使用待定系数法求解二次函数解析式，包括如何设立未知数、建 立方程组以及求解过程。
课程对未来的影响和意义
深化对二次函数的理解
通过本节课的学习，学生对二次函数的理解将更加深入， 能够掌握其解析式的求解方法，为后续学习打下基础。
培养数学思维能力
待定系数法是一种重要的数学思维方法，通过本节课的学 习，学生将培养出灵活运用数学思维解决问题的能力。

数学人教版九年级上册用待定系数法求二次函数的解析式.1.4用待定系数法求二次函数的解析式课件刘孝锋

数学人教版九年级上册用待定系数法求二次函数的解析式.1.4用待定系数法求二次函数的解析式课件刘孝锋
22.1.4用待定系数法求二 次函数的解析式
永和镇第一初级中学 刘孝锋
分析：(1)一次函数的解析式是y=kx+b,要写出解析式， 需求出k与 b的值.
为此，可以由一次函数图象上两个点的坐标，列 出关于 k,b的二元一次方程组求出待定系数k与b。 类似地，二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c,要 写出解析式，需求出a,b,c的值。 为此，可以由二次函数图象上三个点的坐标， 列出关于a,b,c的三元一次方程组，求出三个待 定系数a,b,c.
( 2 )设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知，函数图象经过（-1，10），（1，4）， （2，7）三点，得关于a,b,c的三元一次方程组 a-b+c=10Βιβλιοθήκη a+b+c=4
4a+2b+c=7 解这个方程组，得：a=2,b=-3,c=5 所求二次函数的解析式为y=2x2-3x+5
求二次函数y=ax2+bx+c 的解析式， 关键是求出待定系数a,b,c的值。由已 知条件（如二次函数图象上三个点的 坐标）列出关a,b ,c的方程组，并求出 a,b,c, 就可以写出二次函数的解析式。
1.一个二次函数的图象经过（0，0），（-1，-1）， （1，9）三点，求这个函数的解析式。
解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知条 件可得： C=0
a-b+c=-1
a+b+c=9
解得：a=4,b=5,c=0 ∴所求二次函数的解析式为y=4x2+5x

221二次函数的图像和性质-甘肃省永靖县刘家峡中学人教版九年级数学上册课件(共24张PPT)

221二次函数的图像和性质-甘肃省永靖县刘家峡中学人教版九年级数学上册课件(共24张PPT)

基础回顾 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内 取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
函数知多少
变
量
之
间
函
的
数
关
系
一次函数 二次函数
y=kx+b (k≠0)
观察下列函数有什么共同点:
（1） y=6x2
（2） m
1 2
n2
1 2
n
函数都是用自变量的二次式表示的.
（3） y=20x2+40xbx+c (a,b,c都是常数,且a≠0)的函数, 叫做二次函数.其中, x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次 项系数、一次项系数和常数项.
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5) y= _x1_²－x
(6) y=8π r²
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项
（1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 20(1+x) 件,再 经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两年后的产量y=_2__0_(1__+_x_).2
答： y=20x2+40x+20；
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系， 对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.

《用待定系数法求二次函数的解析式》PPT课件(甘肃省市级优课)

《用待定系数法求二次函数的解析式》PPT课件(甘肃省市级优课)
一设:指先设出二次函数的解析式
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于a、b、c的方程组
三解:指解此方程或方程组
四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
做一做
1、若抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，
且经过点(1,4)和点(5,0)，求此抛物线解析式?
解：设抛物线的解析式为：
课堂练习
1. 一个二次函数，当自变量x=0时，函数值 y=-1，当x=-2与0.5时，y=0.求这个二次函数 的解析式.
y x2 3 x 1 2
2. 一个二次函数的图象经过（0,0），（-1， -1），（1,9）三点.求这个二次函数的解析 式.
y 4x2 5x
课堂小结
1. 已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式
（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c的 三元一次方程组
a b c 10, a b c 4, 4a 2b c 7. 解这个方程组，得
a=2,b=-3,c=5
∴所求二次函数是y=2x2-3x+5
方法小结
用待定系数法确定二次函数解析的 基本方法分四步完成：一设、二代、
三解、四还原
y a(x 2)2 k 代入（1, 4），（5, 0）得
a k 4 9a k 0
解得：a=- 1 , k 9
2
2
所以抛物线的解析式为：
y 1 ( x 2)2 9
2
2
2、已知二次函数的图像过点A(－1,0)、 B(3,0)，与y轴交于点C2，3且BC＝ ，求二
次函数关系式？
解：设抛物线的解析式为： y a(x 3)(x 1) 由题得C点坐标为（0, 3） 代入解析式得 a 1 所以抛物线的解析式为 y x2 2x 3

22.2二次函数与一元二次方程-甘肃省永靖县刘家峡中学人教版九年级数学上册教案

4.培养学生的数据分析素养，让学生通过一元二次方程的判别式Δ分析根的情况，掌握数学问题的解决方法；
5.培养学生的数学运算能力，熟练运用求根公式解一元二次方程，提高解题效率。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握二次函数的定义、一般形式及图像特点，明确a、b、c对函数图像的影响；
-掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，学会通过图像求解方程的根；
2.教学难点
-理解二次函数图像与一元二次方程之间的对应关系，特别是通过图像分析方程根的类型；
-掌握顶点式的转换，尤其是如何从一般式转换到顶点式，以及如何从顶点式推导出对称轴和开口方向；
-在实际问题中构建二次函数模型，识别变量间的二次关系；
-对一元二次方程求根公式的理解与应用，特别是对判别式Δ的理解，以及如何根据Δ的值判断根的性质。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数与一元二次方程的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
《22.2二次函数与一元二次方程》教学的核心素养目标如下：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过分析二次函数图像与一元二次方程之间的关系，理解数学知识的内在联系；
2.提高学生的数学建模素养，使学生能够运用二次函数解决实际问题，体会数学在生活中的应用；

九年级数学上册教学课件《用待定系数法求二次函数的解析式》

第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知得：
a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7
三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？
①
②
③
?
由②-①可得：
2b=-6
b=-3
由③-①可得：
3a+3b=-3
a+b=-1
已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤:第一步：设解析式为y=a(x-h)2+k.第二步：将已知点坐标代入求a值得出解析式.
归纳
ห้องสมุดไป่ตู้
知识点3
用交点式y=a(x-x1) (x-x2) 求二次函数解析式
两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？
【教材P40练习 第1题】
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.
两种方法的结果一样吗？哪种方法更简捷？
已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个二次函数的解析式.
解：设其解析式为y=a(x-1)(x+1)+3, 又图象经过点(2,6), ∴6=a(2-1)(2+1)+3, 解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x+1)+3=x2+2.
知识点4
已知图象上关于对称轴对称的两点坐标
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1，1)，B(3，1)两点，与y轴交于点C(0，3)，求这个二次函数的解析式.

22.1.1二次函数-甘肃省永靖县刘家峡中学人教版九年级数学上册教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
22.1.1二次函数-甘肃省永靖县刘家峡中学上册第22章“二次函数”，具体内容为22.1.1节“二次函数”。主要教学内容包括：
1.二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数称为二次函数。
2.二次函数的图像：掌握二次函数y=ax²图像的特点，了解a、b、c对图像的影响。
此外，我还发现，在课堂总结环节，有些学生提出了很好的问题，这说明他们在课堂上认真听讲，积极思考。作为老师，我要鼓励学生敢于提问，敢于挑战，培养他们的批判性思维。
1.针对学生的不同水平，进行分层教学，提高教学效果；
2.加强对二次函数图像变换部分的讲解和练习，确保学生掌握；
3.激发学生提问的勇气，培养他们的批判性思维；
-二次函数图像的特点：理解y=ax²图像的开口方向、顶点、对称轴等。
-二次函数顶点式：掌握y=a(x-h)²+k的顶点坐标(h,k)对图像的影响。
-二次函数的性质：开口大小、顶点坐标、最值等与a、b、c的关系。
-实际问题中的应用：利用二次函数解决最大（小）值问题。
举例：讲解二次函数定义时，通过具体函数y=2x²+3x+1，强调常数项c可以为零，但二次项系数a必须不为零。
3.学会将二次函数应用于解决实际问题，培养数学应用和问题解决能力。
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【拓展延伸 知识升华】
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0) 和B(3,0)两点，交y轴于点E.
(1)求此抛物线的解析式；y=x2-2x-3
(2)若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与 y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积.
y=x2-2x-3 ①
y=x+1 ② 解得：
xy11==-01 xy2ห้องสมุดไป่ตู้==45
解：设该抛物线的解析式为：y=a(x-2)2+k
将点(1,4)和(5,0)代入上式得：
4=a(1-2)2+k ① 即 a+k=4 ①
0=a(5-2)2+k ②
9a+k=0 ②
解得： a=-0.5所以解析式为：y=-0.5(x-2)2+4.5 k= 4.5
【及时反思 梳理知识记】住了吗？
你认为如何恰当选择二次函数的何种解析式 形式来求其解析式呢？
【小组讨论 巩固知识】 【问题1】已知一条抛物线经过点(0，0)和
(12,0)，最高点的纵坐标为3，求该抛物线 的解析式. 【问题2】已知一条抛物线y=ax2+bx+c的顶 点坐标为(3,-2)，且它与x轴两交点间的距 离为4，求该抛物线的解析式.
你你又有有几几种种方方法法解解决决这这个个问问题题？？
（1）当已知抛物线上的任意三点的坐标时， 往往选设一般式y=ax2+bx+c;
（2）当已知抛物线与x轴的两交点（或与其 相关的条件）和其余任一点的坐标时，往 往选设交点式y=a(x-x1)(x-x2);
（3）当已知抛物线的顶点（或与其相关的 条件）和其余任一点的坐标时，往往选设 顶点式y=a(x-h)2+k.
并说明其增减性. 解：设该抛物线的解析式为：y=a(x-3)2-1 将点(2,3)代入上式得： 3=a(2-3)2-1
解得：a= 4 所以解析式为：y=4(x-3)2-1
因此当x≤3时，y随x的增大而减小；
当x>3是，y随x的增大而增大.
【小组讨论 合作交流】
【问题3】已知一条抛物线的对称轴为直线 x=2,且过点(1，4)和(5,0)，求该抛物线的 解析式.
(?0,1?))
(?4,5?))
(?0,-?3))
1 SDEF 2 4 4 8
【课后反思 查漏补缺】
• 1.本节课你有什么收获？ • 2.你还有什么困惑？
【分层作业 整体提高】 • 1.课堂作业：课本P57：6题（必做题）； • 2.《配套练习》P26——1--4题.
• 2.用待定系数法求函数解析式的步骤有哪些？ 设 、列（列方程组或方程）、解、写（答） • 3.二次函数解析式有哪几种形式？
一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)
其中(h,k)是抛物线的顶点，对称轴为x=h.
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
用待定系数法求二次函数的解析式
第二课时
【明确目标 心中有数】
• 1.熟练掌握二次函数解析式的三种表达 形式；
• 2.能灵活选择合适的表达式设法，求出 二次函数的解析式.
【回顾旧知 创造铺垫】
• 1.你会解这个方程组吗？
9a+3b+c=0 ①
4a+2b+c=-3 ②
c=-3
③
【回顾旧知 创造铺垫记】住了吗？
其中x1,x2是抛物线与x轴的两交点的横坐标.
【小组讨论 合作交流】
【【问变题式1】】已知一条抛物线经过点A((--32，,00) ),
B((21，,0)-3),C((02,,-83))，试求该抛物线的解析式和
对称轴.
解94解以 几：将aa设+：+C点上3设2这(bb2坐两该+，+条cc标个抛=8抛=)0-才问物代物3 线能题入线的上求都②的①解式解出是析得析抛要解式:式物已得8为为=线知：:ayy(的抛=a2b=a=+=a物 解x12-(22x)+线 析(+2b2-x上式1)(+)x的？c-,1得) ：
c解=这-3个方程得: ③a=2
c=-3
三点的坐标 ∴这∴该条抛抛物物线线的的解解析析式式为为：y=yx=22-2(x+-32.)(x-1)
∴这∴该条抛抛物物线线的的对对称称轴轴为为：直x线=-x0=.15.
【小组讨论 合作交流】 【问题2】已知一条抛物线的顶点为(3，-1), 且经过点(2，3)，试求该抛物线的解析式和