宁夏石嘴山市第三中学2020届高三数学上学期期中试题理【含答案】

宁夏石嘴山市第三中学2020届高三数学第三次模拟考试试题 理注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{2,3}2．91i 1i+=- （ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．已知,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（ ） A ．2B ．43C ．3D ．1254．在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，若P为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为（ ） A ．5-B ．4-C ．4D ．55.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．3371156．已知等差数列{}n a 的公差为3，前n 项和为n S ，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则6S =（ ） A ．51B ．54C ．68D ．967、下列说法正确的是（ ）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 8、甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9、已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-； ③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增.其中正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．110、函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（ ） A ．262+ B ．26C ．426+ D ．46+12、已知函数2()ln(1)f x x x =++满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．ln 2[8,)2-+∞ B ．ln 25[8,2ln 2]24--- C ．ln 2(,8]2-∞- D ．5(,2ln 2]4-∞--二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.()_______,121327722107=++++=-a x a x a x a a x 则、已知14、已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为________．15、已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF ∆的内切圆半径是________.16、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知acosB ＝bcosA ，6A π∠=，边BC 上的中线长为4．则边c ＝_____；AB BC ⋅=_____．三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）已知等比数列{a n }（其中n ∈N *），前n 项和记为S n ， 满足：3716S =，且n n a a 212log 1log +-=+（1）求数列{a n }的通项公式；(){}n n n T n N n a a 项和的前，求数列∈⋅log 218、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值.19．（本小题满分12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下： 表1：新农合门诊报销比例根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下： 表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次． （Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？ （Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X 的分布列与期望．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点()1,0P 、Q(x,y),若以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切.（1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）若C 上存在两动点A B ，（A ，B 在x 轴异侧）满足32⋅=OA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB 的值.21、（本小题满分12分）已知函数2()cos 2a f x x x =+（a ∈R ），()f x '是()f x 的导数. （1）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的极小值点； （2）已知函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是: {2x m y t ==（t是参数）.（Ⅰ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =试求实数m 值. （Ⅱ）设M(x,y)为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.23. （本题满分10分）选修4—5；不等式选讲.已知函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M . （1）求M ；（2）设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>.石嘴山三中三模 数学(理科)试卷答案一、选择题：二．填空题13. -84 14. 7 15.32 16. 7218, -796三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知等比数列{a n }（其中n ∈N *），前n 项和记为S n ，满足：3716S =，log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n •log 2a n }（n ∈N *）的前n 项和T n ． 解（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴121221n n n n a log a log a log a ++-==-，∴112n n a q a +==． 由3716S =，得311[1)7211612a ⎛⎤- ⎥⎝⎦=-，解得114a =． ∴数列{a n }的通项公式为112n n a +=． （2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则112n n n b ++=-． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n 231231222n n ++⎛⎫=-+++⎪⎝⎭故231231222n n n T ++-=+++，312212222n n n T n n +++-=+++ 两式相减，可得31221111332222242n n n n T n n +++++-=+++-=-．∴13322n n n T ++=-．18、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值.证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈， 则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-，(21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=，∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1z =，得(0,3,1)n =-，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =，设二面角F AB P --的平面角为θ， 则||cos ||||10m n m n θ⋅===⋅，∴二面角F AB P --.19．十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下： 表1：新农合门诊报销比例根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下： 表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次． （Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？ （Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X 的分布列与期望． 解：（Ⅰ）由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院人数为200070%1400⨯=，200010%200⨯=，200015%300⨯=，20005%100⨯=，而三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：10080%80⨯=人，设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为A ，则()2802100316495C P A C ==； （Ⅱ）由题意可得随机变量X 的可能取值为：50500.620-⨯=，1001000.460-⨯=，2002000.3140-⨯=，5005000.2400-⨯=，(20)0.7p X ==，(60)0.1P X ==，(140)0.15P X ==，(400)0.05P X ==，所以X 的发分布列为：所以可得期望200.7600.11400.154000.0561EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．20．在直角坐标系xOy 中，已知点()1,0P ，若以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）若C 上存在两动点A B ，（A ，B 在x 轴异侧）满足32⋅=OA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB 的值.【答案】（1）24y x =；（2）48AB =【解析】（1）设(),Q x y 122+=⨯x ，化简后可得轨迹C 的方程.（2）设直线:AB x my n =+，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32⋅=OA OB 并求得8n =，结合焦半径公式及弦长公式可求m 的值及AB 的长. 【详解】（1）设(),Q x y ，则圆心的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，因为以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切，122+=⨯x ， 化简得C 的方程为24y x =.(2)由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+， 联立24y x =得2440y my n --=， 设()()1122,,A B x y x y ， （其中120y y <） 所以124y y m +=，124y y n ⋅=-，且0n >，因为32⋅=OA OB ，所以22121212123216⋅=+=+=y y OA OB x x y y y y ，2432n n -=，所以()()840n n -+=，故8n =或4n =- （舍）， 直线:8AB x my =+， 因为PAB ∆的周长为22AB + 所以22PA PB AB AB ++=+. 即2PA PB AB +=+，因为()21212218418PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12AB y =-==所以24182m +=，解得m =±所以48AB ===.【点睛】 本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.21、已知函数2()cos 2a f x x x =+（a ∈R ），()f x '是()f x 的导数. （1）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭存在唯一的极小值点；（2）已知函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围 解（1）由已知，'()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-，设'1()()cos g x h x x x ==-，'21()sin g x x x-=+， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()g x 单调递增，而(1)0g '<，'02g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，且'()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上图象连续 不断.所以'()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点α， 当(0,)x α∈时，'()0g x <；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >；∴()g x 在(0,)α单调递减，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的极小 值点，即()h x '在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点； （2）设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥，∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=，即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤， 因为函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴34()2sin 203m x ax x x =--≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 令'2()22cos24()m x a x x p x =--=，∵sin 22x x ≤，∴'()4sin 280p x x x =-≤， '()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-， 当1a ≤时，'()0m x ≤，则()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意. 当1a >时，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， '(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 当00x x ≤<时，()0m x '>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=与题意不符，舍去.综上，a 的取值范围是1a ≤请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是: 22{2x m t y t =+=（t是参数）. （Ⅰ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14AB =,试求实数m 值.（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求x y +的取值范围.试题解析：（1）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：直线的直角坐标方程为：圆心到直线l 的距离（弦心距）圆心()2,0到直线的距离为 ： 或（2）曲线的方程可化为222)4x y -+=（，其参数方程为： 22{ 2x cos y sin θθ=+= (θ为参数）(),M x y 为曲线上任意一点， ()2225sin x y θα+=++ x y ∴+的取值范围是225,225⎡-+⎣24. （本题满分10分）选修4—5；不等式选讲.已知函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M .（1）求M ；（2）设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>.【答案】（1）{}|11x x -<<；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M .（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.【详解】（1）解：()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， 由()4f x <，解得11x -<<，故{}|11M x x =-<<.（2）证明：因为,a b M ∈，所以1a <，1b <， 所以()()()1110ab a b a b -++=-->， 所以10ab a b --+>.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.。

2019-2020学年宁夏石嘴山三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|||2A x x =…，}x R ∈，{4B x =，}x Z ∈，则(A B = )A ．(0,2)B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2}2．若a ，b 是异面直线，且//a 平面α，那么b 与平面α的位置关系是( ) A ．//b α B ．b 与α相交C ．b α⊂D ．以上三种情况都有可能3．命题“(0,1)x ∀∈，20x x -<”的否定是( )A ．0(0,1)x ∃∉，2000x x -…B ．0(0,1)x ∃∈，2000x x -…C ．0(0,1)x ∀∉，2000x x -<D ．0(0,1)x ∀∈，2000x x -…4．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是()A ．280x y +-=B ．280x y --=C ．280x y ++=D ．280x y -+=5．在长方体中1111ABCD A B C D -，12AB BC AA ==，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为( )A B ．15C D 6．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为( ) A ．1B ．6C ．7D ．6或77．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．812πB ．814πC ．65πD ．652π8．设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A ．224412125x y -=B ．224412125x y +=C ．224412521x y -=D ．224412521x y +=9．若函数21()92f x x lnx =-在区间[1a -，1]a +上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．12a <…B ．4a …C ．2a …D ．03a <…10．已知两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为( ) A ．3 B ．1 C ．49 D ．1911．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=12．已知函数||,02()(4),24lnx x f x f x x <⎧=⎨-<<⎩…，若当方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，41234()x x x x x <<<时，不等式22341211kx x x x k +++…恒成立，则实数k 的最小值为( )A ．98B ．2C ．2516D 12二、填空题：本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上 13．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ+=，则tan()4πα-的值为 ．14．已知向量(1,2)m =，(2,3)n =，则m 在n 方向上的投影为 ．15．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=平行，则它的离心率为 ．16．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(k k P x ，)k y 处，其中11x =，11y =，当2K …时，111215[()()]5512()()55k k k k k k x x T T T k k y y T T ----⎧=+--⎪⎪⎨--⎪=+-⎪⎩（a ）表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．17．如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知1BC =，且3c o s 5B C D ∠=-． （1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长； （2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长．18．在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q ，且2212b S +=，22S q b =． （1）求n a 与n b ； （2）求12111nS S S ++⋯+的取值范围．19．已知2(2sin ,cos )a x x =，(3cos b x =，2)，()f x a b =． （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值．20．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点． （1）求证：1//B E 平面ACF ；（2）求平面1CEB 与平面ACF 所成二面角（锐角）的余弦值．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，且椭圆上存在一点M ，满足114||5MF =，12120F F M ∠=︒．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点2F 的直线1与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求△1F AB 的内切圆的半径的最大值．22．已知函数()1()f x lnx kx k R =-+∈ （Ⅰ）当1k =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()0f x …恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）证明：*234(1)(34514ln ln ln lnn n n n N n -+++⋯+<∈+且1)n >2019-2020学年宁夏石嘴山三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|||2A x x =…，}x R ∈，{4B x =，}x Z ∈，则(A B = )A ．(0,2)B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2}【解答】解：{|||2}{|22}A x x x x ==-剟?{|4B x =，}{0x Z ∈=，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则{0A B =，1，2}故选：D ．2．若a ，b 是异面直线，且//a 平面α，那么b 与平面α的位置关系是( ) A ．//b α B ．b 与α相交C ．b α⊂D ．以上三种情况都有可能【解答】解：由题意，a ，b ，α可能的位置关系如下图所示，由图知，A ，B ，C 中的三种位置关系都是可能的，D 正确故选：D ．3．命题“(0,1)x ∀∈，20x x -<”的否定是( )A ．0(0,1)x ∃∉，2000x x -…B ．0(0,1)x ∃∈，2000x x -…C ．0(0,1)x ∀∉，2000x x -<D ．0(0,1)x ∀∈，2000x x -…【解答】解： “全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1)x ∀∈，20x x -<”的否定是0(0,1)x ∃∈，2000x x -…， 故选：B ．4．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是()A ．280x y +-=B ．280x y --=C ．280x y ++=D ．280x y -+=【解答】解：设过直线240x y -+=与50x y -+=的交点的直线方程为24(5)0x y x y λ-++-+=，即(2)(1)450x y λλλ+-+++=， 该直线与直线20x y -=垂直， 221k λλ+∴==-+， 43λ∴=-．∴所求的直线方程为：444(2)(1)45()0333x y ---++⨯-=，即280x y +-=． 故选：A ．5．在长方体中1111ABCD A B C D -，12AB BC AA ==，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为( )A B ．15C D 【解答】解：如图，连接1A D ，BD ，则1BA D ∠为异面直线1A B 与1B C 所成角， 设11AA =，由已知12AB BC AA ==， 可得2AB BC ==．∴BD =，11A B A D ==，则11cos 5BA D ∠=． 故异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为15．故选：B ．6．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为( ) A ．1B ．6C ．7D ．6或7【解答】解：设等差数列{}n a 的公差是d ， 1514a a +=-，927S =-，12414a d ∴+=-，即127a d +=-，①19919()9(4)272a a S a d +==+=-，即143a d +=-，② 联立①②得到：111a =-，2d =． 故有1(1)213n a a n d n =+-=-． 令0n a …，可解得132n …，由此知，数列的前6项为负项． 故n S 取最小值时，n 等于6． 故选：B ．7．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．812πB ．814πC ．65πD ．652π【解答】解：四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =， 连结AC 、BD ，交于点E ，则E 是AC 中点，取PC 中点O ，连结OE ，则//OE PA ，OE ∴⊥平面ABCD ，O ∴到该四棱锥的所有顶点的距离相等，都为12PC ，O ∴是该四棱锥的外接的球心，该球半径1924R PC==，∴该球的表面积为29814()44Sππ=⨯=．故选：B．8．设圆22(1)25x y++=的圆心为C，(1,0)A是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．224412125x y-=B．224412125x y+=C．224412521x y-=D．224412521x y+=【解答】解：由圆的方程可知，圆心(1,0)C-，半径等于5，设点M的坐标为(x，y)，AQ 的垂直平分线交CQ于M，||||MA MQ∴=．又||||MQ MC+=半径5，||||5||MC MA AC∴+=>．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，且25a=，1c=，b∴，故椭圆方程为221252144x y+=，即224412521x y+=．故选：D．9．若函数21()92f x x lnx =-在区间[1a -，1]a +上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．12a <… B ．4a …C ．2a …D ．03a <…【解答】解：21()92f x x lnx =-，∴函数()f x 的定义域是(0,)+∞，9()f x x x'=-， 0x >，∴由9()0f x x x'=-<，得03x <<． 函数21()92f x x lnx =-在区间[1a -，1]a +上单调递减， ∴1013a a ->⎧⎨+⎩…，解得12a <…．故选：A ．10．已知两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为( ) A ．3 B ．1 C ．49 D ．19【解答】解：两圆的标准方程为22(2)4x a y ++=和22()1x y b +-=， 圆心为(2,0)a -，和(0,)b ，半径分别为2，1， 若两圆恰有三条公切线， 则等价为两圆外切，213+=， 即2249a b +=， 则2241199a b +=， 则2222222222221111414141554()()199********a b a b a b a b b a a +=++=++++=+=…， 故选：B ．11．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=【解答】解：由已知条件易得直线l 的斜率为1PN k k ==，设双曲线方程为22221x y a b-=，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减并结合1224x x +=-，1230y y +=-得 21221245y y b x x a -=-， 从而22415b k a==即2245b a =， 又229a b +=， 解得24a =，25b =， 故选：B ．12．已知函数||,02()(4),24lnx x f x f x x <⎧=⎨-<<⎩…，若当方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，41234()x x x x x <<<时，不等式22341211kx x x x k +++…恒成立，则实数k 的最小值为( ) A ．98B．2 C ．2516D12【解答】解：函数||,02()(4),24lnx x f x f x x <⎧=⎨-<<⎩…的图象如下图所示：当方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，41234()x x x x x <<<时， 12||||lnx lnx =，即121x x =，122x x +>=， 34|(4)||(4)|ln x x -=-，即34(4)(4)1x x --=，且12348x x x x +++=，若不等式22341211kx x x x k +++…恒成立，则22123411()1x x k x x -+-…恒成立，由222212121212123434121211()11()213()13[()48]214()16164()4()4x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-++-+===+-++-+--++-…故2k …， 故实数k的最小值为2-， 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上 13．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ+=，则tan()4πα-的值为 322【解答】解：2tan()5αβ+=，1tan()44πβ+=，tan()tan[()()]44ππααββ∴-=+-+tan()tan()41tan()tan()4παββπαββ+-+=+++ 213542122154-==+⨯． 故答案为：322． 14．已知向量(1,2)m =，(2,3)n =，则m 在n 方向上的投影为． 【解答】解：向量(1,2)m =，(2,3)n =，则cos ,||||513m n m n m n <>===，所以则m在n5513=．．15．双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线与直线210x y-+=平行，则它的离心率为【解答】解：双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线与直线210x y-+=平行，∴2ba=，由双曲线的e==．16．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K棵树种植在点(k kP x，)ky处，其中11x=，11y=，当2K…时，111215[()()]5512()()55k kk kk kx x T TTk ky y T T----⎧=+--⎪⎪⎨--⎪=+-⎪⎩（a）表示非负实数a的整数部分，例如(2.6)2T=，(0.2)0T=．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为(1,404)．【解答】解：12[][]55k kT T---组成的数列为：1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1⋯，将1k=，2，3，4，5，⋯，一一代入计算得数列nx为：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，⋯即nx的重复规律是511nx+=，522nx+=，533nx+=，544nx+=，55nx=．*n N∈．数列{}ny为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，⋯即ny的重复规律是5n ky n+=，05k<…．∴由题意可知第2016棵树种植点的坐标应为(1,404)，故答案为：(1,404)．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．17．如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知1BC=，且3c o s5B C D∠=-．（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长； （2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长．【解答】（本题满分为12分） 解：（1）AC 平分BCD ∠，可得：22BCD ACB ACD ∠=∠=∠，23cos 2cos 15BCD ACB ∴∠=∠-=-，cos 0ACB ∠>，cos ACB ∴∠=，3⋯分 在ABC ∆中，1BC =，2AB =，cos ACB ∠， ∴由余弦定理2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-∠，可得：230AC AC -=，解得：AC ，（负值舍去）， AC ∴6分（2）3cos 5BCD ∠=-，4sin 5BCD ∴∠，7⋯分 又45CBD ∠=︒，sin sin(18045)sin(45)cos )CDB BCD BCD BCD BCD ∴∠=︒-∠-︒=∠+︒=∠+∠，9⋯分∴在BCD ∆中，由正弦定理sin sin BC CD CDB CBD =∠∠，可得：sin 5sin BC CBDCD CDB∠==∠，即CD的长为5．12⋯分18．在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q ，且2212b S +=，22S q b =． （1）求n a 与n b ；（2）求12111nS S S ++⋯+的取值范围． 【解答】解：（1）设{}n a 的公差为d ， 2212b S +=，11b =，22S q b =， ∴26126q d q d ++=⎧⎨=+⎩，解得3q =或4q =-（舍)，3d =．故3n a n =，13n n b -=⋯（4分） （2）(33)3(1)22n n n n n S ++==，∴12211()3(1)31n S n n n n ==-++， ∴1211121111121(1)(1)3223131n S S S n n n ++⋯+=-+-+⋯+-=-⋯++（8分） 1n …，11012n ∴<+…，111121n -<+…， ∴1212(1)3313n -<+…， 即121111233S S Sn ++⋯+<… ⋯ 19．已知2(2sin ,cos )a x x =，(3cos b x =，2)，()f x a b =． （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2求函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值．【解答】解：2(2sin ,cos )a x x =，(3cos b x =，2)，由2()23sin cos 2cos 2cos212sin(2)16f x a b x x x x x x π==+++=++（1）()f x ∴的最小正周期22T ππ==． 由3222262k x k πππππ+++剟，k Z ∈． 得：263k xk ππππ++剟 ()f x ∴的单调递减区间为[:6k ππ+，2]3k ππ+，k Z ∈． （2）[0x ∈，]2π上时，可得：2[66x ππ+∈，7]6π当7266x ππ+=时，函数()f x 取得最小值为72sin 106π+=．当262x ππ+=时，函数()f x 取得最小值为2sin132π+=．故得函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值3，最小值0．20．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点． （1）求证：1//B E 平面ACF ；（2）求平面1CEB 与平面ACF 所成二面角（锐角）的余弦值．【解答】证明：（1）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ， 在ABC ∆中，E 为AB 的中点，//EM BC ∴，且12EM BC =，又F 为11B C 的中点，11//B C BC ， 1//B F BC ∴，且112B F BC =， 1//EM B F ∴，且1EM B F =，∴四边形1EMFB 为平行四边形，1//B E FM ∴，又MF ⊂平面ACF ，BE ⊂/平面ACF ， 1//B E ∴平面ACF ．解：（2）取BC 中点O ，连结AO ，OF ， 则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB ，AO ，OF 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A ，0)，(1B ，0，0)，(1C -，0，0)，1(,2E ，0)，(0F ，0，2)，1(1B ，0，2)，3(,2CE =，0)，(1CF =，0，2)，(1CA =，0)，1(2CB =，0，2)，设平面1CEB 的一个法向量(m x =，y ，)z ，则1300m CE x y m CB x z ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，令1x =．则(1m=1)-， 同理得平面ACF 的一个法向量为(1n =，1)2-， 则285cos ,||||19m n m n mn <>==∴平面1CEB 与平面ACF ．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，且椭圆上存在一点M ，满足114||5MF =，12120F F M ∠=︒．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点2F 的直线1与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求△1F AB 的内切圆的半径的最大值．【解答】解：（1）设2||F M x =，在△12F F M 中，由余弦定理可得221442cos120()5x x +-︒=，解得65x =， 故122||||4a MF MF =+=， 2a ∴=，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的标准方程22143x y +=．（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设△1F AB 的内切圆的半径为R ，因为△1F AB 的周长为48a =，△1F AB的面积111(||||||)42S AB F A F B R R =++=，因此S 最大，R 就最大， 1212121||||||2S F F y y y y =-=-， 由题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=，所以，122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， 又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故△0>，即22(6)36(34)0m m ++>，m R ∈，则12||S y y =-==令t =1t …， 则21241313t S t t t==++． 令1()3f t t t=+，由函数的性质可知，函数()f t在)+∞上是单调递增函数，即当1t …时，()f t 在[1，)+∞上单调递增， 因此有()f t f …（1）43=，所以3S … 即当1t =，0m =时，S 最大，此时34max R =， 故当直线l 的方程为1x =时，△1F AB 内切圆半径的最大值为34． 22．已知函数()1()f x lnx kx k R =-+∈ （Ⅰ）当1k =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()0f x …恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）证明：*234(1)(34514ln ln ln lnn n n n N n -+++⋯+<∈+且1)n > 【解答】解：（Ⅰ）易知()f x 的定义域为(0,)+∞， 又1()1f x x'=- 当01x <<时，()0f x '>； 当1x >时，()0f x '<()f x ∴在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数．（Ⅱ）当0k …时，f （1）10k =->，不成立， 故只考虑0k >的情况 又1()f x k x'=- 当0k >时，当10x k<<时，()0f x '>； 当1x k>时，()0f x '< 在1(0,)k 上是增函数，在1(,)k +∞时减函数，此时1()()max f x f lnk k==-要使()0f x …恒成立，只要0lnk -… 即可 解得：1k …．（Ⅲ）当1k =时，有()0f x …在(0,)+∞恒成立，且()f x 在(1,)+∞上是减函数，f （1）0=， 即1lnx x <-在(1,)x ∈+∞上恒成立， 令2x n =，则221lnn n <-， 即2(1)(1)lnn n n <-+，∴*1(12lnn n n N n -<∈+且1)n > ∴2341231(1)345122224ln ln ln lnn n n n n --+++⋯+<+++⋯+=+ 即：*234(1)(34514ln ln ln lnn n n n N n -+++⋯+<∈+且1)n >成立．。

宁夏石嘴山市第三中学2020届高三数学上学期期中试题理第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合A x x, x, B x, x,则A B( )A. B.[0,2] C. D. 1,2．若a、b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α 的位置关系是（）A．b∥αB．b与α 相交C．b⊂αD．以上三种情况都有可能3.命题“∀x∈（0，1），x2-x＜0”的否定是（）A.,B. ,C. ,D. ,4.经过直线与的交点,且垂直于直线的直线方程是（）A. B.C. D.5.在长方体,,则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6.已知等差数列的前n项为,且,,则使得取最小值时的n为（）A.1B. 6C. 7D. 6或77.四棱锥的底面ABCD为正方形,底面ABCD,,,若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为A. B. C. D.8. 设圆的圆心为C,是圆内一定点,Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( )A. B. C. D.9.若函数在区间上单调递减,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.10.已知两圆和恰有三条公切线,若,,且,则的最小值为( )A. 3B. 1C.D.11.已知双曲线E的中心为原点, F是E的焦点 ,过F的直线l与E相交于A, B两点,且AB的中点为N,则E的方程为( )A. B.C. D.12.已知函数,若当方程有四个不等实根,,,时,不等式恒成立,则实数k的最小值为 ( )A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上13.已知,,则的值为______14.已知向量,,则在方向上的投影为______15.双曲线的一条渐近线与直线平行,则它的离心率为_____16.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K棵树种植在点处,其中,,当时,表示非负实数a的整数部分,例如,按此方案第2016棵树种植点的坐标应为______．三、解答题: 共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．17.(本小题满分10分)如图,在平面四边形ABC D中,AC与BD为其对角线,已知,且．若AC平分,且,求AC的长；若045=∠CBD , 求CD 的长．18.(本小题满分12分) 在等差数列中,,其前n 项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为q ,且,．求与；求的取值范围．19. (本小题满分12分) 已知)2,cos 3(),cos ,sin 2(2x x x ==，b a x f ⋅=)(求的最小正周期及单调递减区间；求函数在区间上的最大值和最小值．20. (本小题满分12分)如图,在正三棱柱中,,E ,F 分别为AB ,的中点． 求证：平面ACF ；求平面与平面ACF 所成二面角锐角的余弦值．21. (本小题满分12分)已知椭圆C ：的左、右焦点分别为,,且椭圆上存在一点M ,满足.120,5140211=∠=M F F MF 求椭圆C 的标准方程；过椭圆C 右焦点的直线1与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,求的内切圆的半径的最大值．22.(本小题满分12分)已知函数Ⅰ当时,求函数的单调区间；Ⅱ若恒成立,试确定实数k的取值范围；Ⅲ证明：且。

2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设集合(){}{}lg 1,2xA x y xB y y ==-==,则A B =I （ ）A ．()0,+∞B ．[)1,0-C ．()0,1D ．(),1-∞2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则复平面内表示z 的共轭复数的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若6ax⎛ ⎝展开式的常数项为60，则a 值为( )A ．4B ．4±C ．2D ．2±5．在ABC ∆中，0,2,AB BC AB BC •===u u u r u u u r u u u r u u u r D 为AC 的中点，则BD DA •u u u r u u u r =( )A ．2B ．-2C ．D ．-6．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A ．2764B ．916C ．81256D ．7167．等差数列{}n a 中，12019a =，2019201516a a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时n 的值为（ ） A ．504B ．505C ．506D ．5078．设m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数21()sin cos 2f x x x x =++，则下列结论正确的是（ ）A ．()y f x =的最大值为1B ．()y f x =在,63ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增C ．()y f x =的图像关于直线712x π=对称 D ．()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 10．已知三棱锥S ABC -中，,4,2,62SAB ABC SB SC AB BC π∠=∠=====，则三棱锥S ABC -的体积是（ ） A ．4B ．6C．D．11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，P是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =．若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．312．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()'f x ．当0x ≥时，恒有()()'02xf x f x +-≤，若()()2g x x f x =，则不等式()()12g x g x <-的解集为 A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 二、填空题13．若x ，y 满足约束条件1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为__________.14．设函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，那么(18)f 的值为________.15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．16．函数 y =f (x ) 的定义域为[-2.1,2]，其图像如下图所示，且 f (-2.1) =-0.96（1）若函数 y =f (x ) -k 恰有两个不同的零点，则 k =_____（2）已知函数 g ( x ) =321,0216,0x x x x x +≤⎧⎨+->⎩， y =g [f (x )] 有_____个不同的零点三、解答题17．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为()()2113,1,1,n n S S n n a n N a a *=+-∈-，且57a +成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AD BC ∥，CD AD ⊥，2BC CD ==，4=AD ．（1）求证：CE P 平面PAB ； （2）求二面角E AC D --的余弦值；19．每年七月份，我国J 地区有25天左右的降雨时间，如图是J 地区S 镇2000-2018年降雨量（单位：mm ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1）假设每年的降雨天气相互独立，求S 镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过350mm 的概率；（2）在S 镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m （kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m （元/kg ），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，点()2,1在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线与圆22:2O x y +=相切，与椭圆C 相交于,P Q 两点，求证：POQ ∠是定值.21．已知函数1()()2ln f x a x x x=--，其中0a ≥.（1）若2a =，求曲线()f x 在1x =处的切线方程;（2）设函数()ag x x =-若至少存在一个[]01,x e ∈,使得00()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为2 acos ρθ=，a 0>（l ）设t 为参数，若1y =-，求直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅，求实数a 的值.23．（1）解不等式：|x −1|+|x +3|>6； （2）若a >0，b >0，a +b =2，证明：(4a2−1)(4b 2−1)≥9.2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．设集合(){}{}lg 1,2xA x y xB y y ==-==,则A B =I （ ）A ．()0,+∞B ．[)1,0-C ．()0,1D ．(),1-∞【详解】解：101x x -∴Q ＞，＜ (),1A ∴=-∞()200+x B ∴=∞Q ＞，， 则()0,1A B =I 故选：C2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则复平面内表示z 的共轭复数的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为()()()()1341771343434252525i i i i z i i i i +-+-====-++-，所以712525z i =+，应选答案A 。

2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|4,R}x x x A =≤∈， {|4,}x x B =∈Z ，则A⋂B =（ ）A ．()0,2B ．[]0,2 C ．{}0,1,2 D ．{}0,2 【答案】C【解析】试题分析： []2{|4,R}2,2x x x A =≤∈=-,{}{|4,}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16x x B =≤∈Z =,所以{}0,1,2A B ⋂=，故选C ．【考点】集合的运算．2．若,a b 是异面直线，且a //平面α，那么b 与平面α的位置关系是（ ） A ．//b α B ．b 与α相交C ．b α⊂D ．以上三种情况都有可能 【答案】D【解析】若a 、b 是异面直线，且a ∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得：b ∥a 或者b ⊂α或者b 与α相交． 故选：D ．点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中线面之间的相互平行、相互垂直的判定定理与性质定理，熟记相关的结论3．命题“20(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是（ ） A ．2000(0,1),0x x x ∃∉-≥ B ．2000(0,1),0x x x ∃∈-≥ C ．2000(0,1),0x x x ∀∉-<D ．2000(0,1),0x x x ∀∈-≥【答案】B【解析】分析：直接根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可. 详解：“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“()200,1,0x x x ∀∈-<”的否定是()20000,1,0x x x ∃∈-≥，故选B.点睛：本题考查命题的否定，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表达，如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”：“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”. 4．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是（ ) A ．280x y +-= B ．280x y --= C ．280x y ++= D ．280x y -+= 【答案】A【解析】两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果. 【详解】 由24050x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得两条直线交点坐标为：()1,6又所求直线与20x y -=垂直 ∴直线斜率为：2-∴所求直线为：()621y x -=--，即：280x y +-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标.5．在长方体中1111ABCD A B C D -，12AB BC AA ==，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为( )A ．B ．15C D 【答案】B【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1A D ，可得11//A D B C ,得即1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在1A BD ∆中，利用余弦定理即可求解.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1A D ，可得11//A D B C ,所以异面直线1A B 与1B C 所成的角，即为直线1A B 与直线1A D 所成的角， 即1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在长方体1111ABCD A B C D -中，设122AB BC AA ===， 则115,22A B A D BD ===， 在1A BD ∆中，由余弦定理得222111111cos 25255A B A D BD DA B A B A D +-∠===⋅⨯⨯，故选B. 【点睛】本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面直线所成角的定义，得到1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在1A BD ∆中利用余弦定理即可求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.6．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1 B ．6C ．7D ．6或7【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．【考点】等差数列的性质.7．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．812πB ．814πC ．65πD ．652π【答案】B【解析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD-完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径2 22722294R⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，故该球的表面积为28144S Rππ==.故选：B.【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球. 8．设圆()22125x y++=的圆心为C，点1,0A是圆内一定点，点Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为（）A．224412125x y-=B．224412125x y+=C．224412521x y-=D．224412521x y+=【答案】D【解析】由垂直平分线的性质可知AM MQ=，从而得到5MC AM+=，可知M轨迹满足椭圆定义，可得,a c ，进而求得2b ，从而得到所求轨迹方程. 【详解】M 为AQ 垂直平分线上的一点 AM MQ ∴=5MC AM MC MQ CQ ∴+=+==M ∴点的轨迹是以,C A 为焦点的椭圆 52a ∴=，1c = 222214b ac ∴=-=M ∴的轨迹方程为224412521x y += 故选：D 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够通过垂直平分线的性质得到所求动点轨迹满足椭圆定义. 9．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a <≤ B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤【答案】A【解析】求导，得到该函数的单调区间，只需让[]1,1a a -+成为函数单调区间的子集即可. 【详解】 因为()219ln 2f x x x =-，其定义域为()0,+∞，故可的()9f x x x '=-令()0f x '≤，解得(]0,3x ∈，故只需让[]1,1a a -+成为(]0,3的子集， 即10a ->且13a +≤ 解得(]1,2a ∈. 故选：A. 【点睛】本题考查利用求导求函数的单调区间，属基础题.10．已知两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线，若a R ∈， b R ∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ）A ．3B ．1C ．19D ．49【答案】B【解析】根据公切线条数，则两圆外切，根据圆的位置关系，得到,a b 的等量关系，再根据均值不等式求最小值即可. 【详解】因为两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线，故两圆外切，则圆心()2,0a -到圆心()0,b 的距离等于半径2和半径1的和，3=，整理得2249a b +=，故2211a b +()222222221111414551999a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当2222224,49a b a b b a=+=时，即223,32a b ==时取得最小值1.故选：B. 【点睛】本题考查两圆的位置关系，以及利用均值不等式求和的最小值，属综合中档题.11．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=【答案】B 【解析】∵k AB =015312++=1, ∴直线AB 的方程为y=x-3. 由于双曲线的焦点为F(3,0), ∴c=3,c 2=9.设双曲线的标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),则22x a -()223x b-=1.整理,得 (b 2-a 2)x 2+6a 2x-9a 2-a 2b 2=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2226a a b-=2×(-12), ∴a 2=-4a 2+4b2,∴5a 2=4b 2. 又a 2+b 2=9, ∴a 2=4,b 2=5.∴双曲线E 的方程为24x -25y =1.故选B.12．已知函数()()ln ,02,4,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不等实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，时，不等式22341211kx x x x k ++≥+恒成立，则实数k 的最小值为（）A ．98B ．2516C ．322-D ．132-【答案】C【解析】画出函数f （x ）()02424lnx x f x x ⎧≤⎪=⎨-⎪⎩，＜，＜＜的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x 1•x 2＝1，x 1+x 2122x x =＞2，（4﹣x 3）•（4﹣x 4）＝1，且x 1+x 2+x 3+x 4＝8，则不等式kx 3x 4+x 12+x 22≥k +11恒成立，可化为：k ()221234111x x x x -+≥⋅-恒成立，求出()221234111x x x x -+⋅-的最大值，可得k 的范围，进而得到实数k 的最小值． 【详解】 函数f （x ）()02424lnx x f x x ⎧≤⎪=⎨-⎪⎩，＜，＜＜的图象如下图所示：当方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）时， |lnx 1|＝|lnx 2|，即x 1•x 2＝1，x 1+x 2122x x =＞2，|ln （4﹣x 3）|＝|ln （4﹣x 4）|，即（4﹣x 3）•（4﹣x 4）＝1， 且x 1+x 2+x 3+x 4＝8，若不等式kx 3x 4+x 12+x 22≥k +11恒成立， 则k ()221234111x x x x -+≥⋅-恒成立，由()()()()()2222121212123434121111213114161644x x x x x x x x x x x x x x -+-++-+===⋅-+--+[（x 1+x 2）﹣4123()4x x +++-8]≤22-故k≥22-故实数k 的最小值为2 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．二、填空题13．已知()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______．【答案】322【解析】【详解】()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，()()()tan tan 4tan tan 441tan tan 4παββππααββπαββ⎛⎫+-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++ ⎪⎝⎭213542122154-==+⨯故答案为32214．已知向量()1,2m =，()2,3n =，则m 在n 方向上的投影为__________．【解析】根据向量的投影计算公式，代值即可求得结果. 【详解】m 在n 方向上的投影为2613m n n ⋅+==√【点睛】本题考查向量投影的计算公式，属基础题.15．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线与直线210x y -+=平行，则它的离心率为___________．【解析】由直线平行则斜率相等，求得,a b 之间的等量关系，再求离心率即可. 【详解】因为渐近线与直线210x y -+=平行， 故可得2ba=，根据双曲线离心率的计算公式可得：e ==【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.16．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．【答案】()4031,404.【解析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得155k k x k T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=；115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=.故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404. 【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.三、解答题17．如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知1BC =，且3cos 5BCD ∠=-．（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长； （2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长．【答案】（15（2）5．【解析】（1）根据余弦的倍角公式，求得BCA ∠的余弦值，再在三角形ABC 中利用余弦定理即可求得；（2）先利用内角和为180︒，求得sin BDC ∠，再在三角形BCD 中利用正弦定理即可求得. 【详解】（1）若对角线AC 平分BCD ∠，即22BCD ACB ACD ∠=∠=∠， 则23cos 2cos 15BCD ACB ∠=∠-=-，又cos 0ACB ∠>，5cos ACB ∴∠=在ABC ∆中，1BC =，2AB =，5cos ACB ∠=，由余弦定理可得 2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠，即22530AC AC --=， 解得5AC =35AC =（舍去）， 故AC 5（2）3cos 5BCD ∠=-，24sin 1cos 5BCD BCD ∴∠=-∠= 又45CBD ∠=︒，()()sin sin 18045sin 45CDB BCD BCD ∴∠=︒-∠=∠+︒-︒(sin cos )210BCD BCD =∠+∠=， 在BCD ∆中，由正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，可得sin 5sin BC CBDCD CDB⋅∠==∠， 即CD 的长为5． 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属综合性基础题.18．在等差数列{a n }中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12， 22S q b =． （Ⅰ）求a n 与b n ；（Ⅱ）求1231111nS S S S +++⋅⋅⋅+的取值范围． 【答案】（Ⅰ）13,3n n n a n b -==；（Ⅱ）12[,)33。

宁夏石嘴山市第三中学2020届高三数学上学期期中试题文分。

在每小题列出的四个选项中，选出12小题，每小题5分，共60一、选择题：本大题共符合题目要求的一项。

C）=（B={2，3｝，则（A∪B），1．已知全集U={1，2，34}，集合A={1，2｝，U D. {4}3，4}B.{3，4}C.{3} A. {1，2aa R a?,则“）>1”是“”的（2.设 >1 必要非充分条件充分非必要条件 (B)(A) 既非充分也非必要条件充要条件 (D)(C)??a?a16a??4a??为等比数列，且，则）（3．已知数列，573n64??8． C．．A． 8 B 64 D4????cossin?2sin=（）已知，则4.37722?? D．．． B． CA 9999既是偶函数又在区间上单调递减的是,( )5、下列函数中 D. C. B. A.那么6,在区间、如果奇函数在上是增函数且最小值为上是) (B.增函数且最大值为增函数且最小值为 A. D.减函数且最大值为C.减函数且最小值为321??3xf(x)?x( 7.函数）是减函数的区间为))0(??,((2,??)??,2 C．）A．0，2． B D．（3c a2aC???C?b??3?2c??cos，若．的内角，，，的对边分别为，，设8. ，2?b?cb，则）且（323． D．A． B C．22- 1 -?????xxff xf( ) ）的导函数的图像最有可能的是9．已知函数的图像如左图所示，（那么函数则且当时( ,10,、设是定义在R上的奇函数, C.-1 D. A.1 B. 11. 给定下列命题：qp??20x?5x?是的必要不充分条件u，q：①命题p：|x－2|＜3，则?1????,则若sin; ②26若xy?0,则x?0且y?0的逆否命题;③2?0?x?1?x?R,使x.④命题的否定00043 D．1 B．2 C．其中真命题的个数是（）A．????????x01?0fxfx?0,??fx?2?的取值单调递减，若在12．已知偶函数的，则满足范围是（）??????????0,33,??,?1?1,0A．B．????????,3?1,31??,?1,01． DC．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）??a?a?a? ?a?0a?aa?__________. 满足已知等差数列，则13. 9933n2101112?y?x在点（1，2）处的切线方程为曲线14. _________________________. x ab m aba m=______________. 与.，1）若向量垂直，则），15．已知向量（–=1，2+=（1{}1?a?}n?a{a1?a*N?n），则数列16.数列项和为满足（，且 10的前n?n1n1a n三、解答题（本大题共6小题，共70分。

绝密★启用前2020届宁夏石嘴山市第三中学高三第三次模拟考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，则A B =（）A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{2,3}答案：B先求出集合B ，由此能求出A B ．解：集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}， {1AB ∴=，4}．故选：B ． 点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．91i 1i+=-（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i答案：D按照复数的运算规则进行运算即可. 解：921i 1(1)1i 12i i i i +++===--. 故选：D 点评：本题考查复数的基本运算，属于基础题.3．已知,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A ．2B ．43C ．3D ．125答案：A由同角三角函数的基本关系计算可得cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据两角差的正切公式计算可得. 解： 解：因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3,424πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以tan tan3144tan tan 244131tan tan44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭. 故选：A 点评：本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题.4．在直角梯形ABCD 中，已知//BC AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为（） A ．5- B ．4-C ．4D ．5答案：D由题意可知cos 5PDA ∠=，由()()2PA PB PD BC PD CB ⋅=-⋅-+，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可. 解：解：由题意可知，2DA CB =，PD PC =-，1PD PC ===∴tan 2PDA ∠=，cos PDA ∠=. //BC AD ，∴BCD PDA π∠=-∠，∴()()()()2PA PB PD DA PC CB PD CB PD CB ⋅=+⋅+=+⋅-+()22252cos 24PD PD CB CB PDA π=--⋅+=---∠+⨯5525855⎛⎫=--⨯⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.点评：本题考查两个向量的加减法法则，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题.5．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（） A ．227 B ．15750 C ．289D ．337115答案：C将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 解：设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=， 故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C. 点评：本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6．已知等差数列{}n a 的公差为3，前n 项和为n S ，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则6S =（） A ．51 B ．54 C ．68 D ．96答案：A根据1a ，2a ，6a 成等比数列，列出方程解出1a ，再利用等差数列求和公式，即求出6S ．解：因为1a ，2a ，6a 成等比数列，所以2216a a a =，即2111(3)(53)a a a +=+⨯，解得11a =所以665613512S ⨯=⨯+⨯=． 故选：A. 点评：本题主要考查等比中项及等差数列前n 项和公式，属于基础题． 7．下列说法正确的是（）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>=D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 答案：D由特称命题的否定是全称命题可判断选项A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x<⇒0x <或1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D. 解：命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀≤，2sin x x >”，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故B 错误；若(01)0.4P ξ<<=，则(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x<，得0x <或1x >，故“0x <”是“11x<”的充分不必要条件，D 正确. 故选：D. 点评：本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.8．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁答案：D根据演绎推理进行判断． 解：由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 点评：本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．9．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-； ③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增.其中正确结论的个数是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：B通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.解：由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ， 又由12f A π⎛⎫=⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又(0)2f =，可得sin 26A π=， 所以4A =， 从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确.故选：B. 点评：本题主要考查利用三角函数部分图象求解析式和三角函数的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.10．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．答案：A根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 解：当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而ty e =是增函数 所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A 点评：本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.11．已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（）A．22+ B．2+CD．4答案：C根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得. 解：解：21||||2MP PF MP PF a +=++1222MF aa c +==，22a c =，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得e =e =，所以e =故选：C 点评：本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想. 12．已知函数()ln(f x x =+满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，则实数a 的取值范围为（） A ．ln 2[8,)2-+∞ B ．ln 25[8,2ln 2]24--- C ．ln 2(,8]2-∞- D ．5(,2ln 2]4-∞--答案：C由函数()ln(f x x =+在定义域单调递增，原不等式成立可转化为()2211max2maxln 2x xx a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a 的取值范围. 解：由函数()ln(f x x =+在定义域单调递增，对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，即任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln 2x x x a x ++≤成立， 即满足()2211max2maxln 2x x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，令2111()2g x x x a =++，对称轴方程为11x =-，在11[,2]2x ∈可得1max ()(2)=8g x g a =+ 令222ln ()x h x x =， 求导可得22221ln ()x h x x -'=， 2()0h x '=，可得2x e =，在()20,x e ∈，2()0h x '>，2()h x 单调递增，所以在21[,2]2x ∈，2max ln 2()(2)2h x h ==， 即ln 282a +≤，解得ln 282a ≤-， 故选C. 点评：本题为函数与导数的综合应用题，考查函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题. 二、填空题13．已知(2x-1)7=a o +a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7，则a 2=____. 答案：84-根据二项展开式的通项公式即可得结果. 解：解：(2x-1)7的展开式通式为：()()71721rrr r T C x -+=-当=5r 时，()()2552672184T C x x =-=-，则284a =-.故答案为：84- 点评：本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.14．已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为________． 答案：7当02x ≤<时，3()00,1f x x x x =-=⇒=，所以函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点横坐标为0,1,2,3,4,5,6共7个 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．15．已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF 的内切圆半径是________.答案：23设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆方程分析可得a ，b ，c 的值，由勾股定理分析可得222116AF AF -=，12226AF AF a +==1AF 和2AF 的值，计算可得2ABF 的面积与周长，由内切圆的性质计算可得内切圆半径.解：解：设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆的方程22162x y +=，其中a =b =2c ，1224F F c ==.因为AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则有222116AF AF -=，122AF AF a +==解得1AF =，2AF =2ABF 的周长22l AF BF AB =++==面积121142233S AB F F =⨯⨯=⨯=，由内切圆的性质可知，有123r ⨯=，解得23r =. 故2ABF 内切圆的半径为23. 故答案为：23. 点评：本题考查椭圆的几何性质，利用三角形面积公式进行转化是解题关键，属于中档题. 三、双空题16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知acosB ＝bcosA ，6A π∠=，边BC 上的中线长为4．则c ＝_____；AB BC ⋅=_____．答案：7967-由正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ，计算可得B ＝A 6π=，由正弦定理可得c =，再结合余弦定理，可求解c,a,从而可求解.AB BC ⋅ 解：由acosB ＝bcosA ，及正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A 6π=，所以由正弦定理可得c =， 由余弦定理得16＝c 2+（2a ）2﹣2c •2a •cos 6π，解得c 7=；可得a 7=，可得AB BC ⋅=-accosB 9677==-．967-．点评：本题考查了正弦、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题. 四、解答题17．已知等比数列{}n a （其中n *∈N ），前n 项和记为n S ，满足：3716S =，且212log 1log n n a a +=-+()1求数列{}n a 的通项公式；()2求数列{}log n n a a ⋅，n *∈N 的前n 项和nT.答案：()1112n n a +=；()213322n n n T ++=-. ()1设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据对数的运算可得q 的值，再根据等比数列求和公式可得首项1a 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式；()2设2log n n n b a a =⋅，然后根据()1题的结果可得{}n b 的通项公式，然后根据通项公式的特点可用错位相减法求出前n 项和n T . 解：解：()1由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，212log 1log n n a a +=-+，∴12122log log log 1n n n na a a a ++-==-，∴112n n a q a +==．由3716S =，得31127116121a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣=-⎦，解得114a =．∴数列{}n a 的通项公式为112n n a +=． ()2由题意，设2log n n n b a a =⋅，则112n n n b ++=-． ∴12231231222n n n n b b T b ++⎛⎫++=-+++⎪⎝+⎭＝， 故231231222n n n T ++-=+++，312212222n n n T n n +++-=+++. 两式相减，可得31221111332222242n n n n T n n +++++-=+++-=-．∴13322n n n T ++=-．点评：本题考查等比数列的性质应用，错位相减法求和的方法，考查转化思想，数学运算能力，属于中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 答案：（1）证明见详解；（2310（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值. 解：证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ， AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥， ∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=， 解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1z =，得(0,3,1)n =-，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =， 设二面角F AB P --的平面角为θ， 则||cos 10||||10m n m n θ⋅===⋅，∴二面角F AB P --点评：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19．十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下： 表1：新农合门诊报销比例根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下： 表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X 的分布列与期望． 答案：（Ⅰ）316495； （Ⅱ）X 的发分布列为： 期望61EX =．（Ⅰ）由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲医院的总人数，又有60岁所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2人60岁以上的概率；（Ⅱ）由去各门诊结算的平均费用及表1所报的百分比可得随机变量的可能取值，再由概率可得X 的分布列，进而求出概率． 解：解：（Ⅰ）由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院人数为200070%1400⨯=，200010%200⨯=，200015%300⨯=，20005%100⨯=，而三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：10080%80⨯=人，设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为A ，则()2802100316495C P A C ==；（Ⅱ）由题意可得随机变量X 的可能取值为：50500.620-⨯=，1001000.460-⨯=，2002000.3140-⨯=，5005000.2400-⨯=，(20)0.7p X ==，(60)0.1P X ==，(140)0.15P X ==，(400)0.05P X ==，所以X 的发分布列为：所以可得期望200.7600.11400.154000.0561EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 点评：本题主要考查互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．在直角坐标系xOy 中，已知点()1,0P 、Q(x ，y)，若以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切.（1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）若C 上存在两动点A B ，（A ，B在x 轴异侧）满足32⋅=OA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB 的值.答案：（1）24y x =；（2）48AB =（1）设(),Q x y ，122+=⨯x ，化简后可得轨迹C 的方程.（2）设直线:AB x my n =+，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32⋅=OA OB 并求得8n =，结合焦半径公式及弦长公式可求m 的值及AB 的长.解：（1）设(),Q x y ，则圆心的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，因为以线段PQ为直径的圆与y轴相切，122+=⨯x，化简得C的方程为24y x=.(2)由题意0ABk≠，设直线:AB x my n=+，联立24y x=得2440y my n--=，设()()1122,,A B xyx y，（其中12y y<）所以124y y m+=，124y y n⋅=-，且0n>，因为32⋅=OA OB，所以22121212123216⋅=+=+=y yOA OB x x y y y y，2432n n-=，所以()()840n n-+=，故8n=或4n=-（舍），直线:8AB x my=+，因为PAB∆的周长为22AB+所以22PA PB AB AB++=+.即2PA PB AB+=+，因为()21212218418PA PB x x m y y m+=++=++=+.又12AB y y=-==所以24182m+=，解得m=±所以48AB===.点评：本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x+或1212,y y y y+，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.21．已知函数2()cos 2a f x x x =+（a ∈R ），()f x '是()f x 的导数. （1）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的极小值点； （2）已知函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围. 答案：（1）见解析；（2）1a ≤ （1）设1()()cos g x h x x x '==-，'21()sin g x x x -=+，注意到'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单增，再利用零点存在性定理即可解决； （2）函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则'0y ≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数34()2sin 23m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可. 解：（1）由已知，'()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-， 设'1()()cos g x h x x x ==-，'21()sin g x x x-=+， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()g x 单调递增，而(1)0g '<，'02g π⎛⎫>⎪⎝⎭，且'()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上图象连续不断.所以'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点α， 当(0,)x α∈时，'()0g x <；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >； ∴()g x 在(0,)α单调递减，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点，即()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点；（2）设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥， ∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=， 即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤， 因为函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴34()2sin 203m x ax x x =--≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 令'2()22cos24()m x a x x p x =--=， ∵sin 22x x ≤，∴'()4sin 280p x x x =-≤，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-，当1a ≤时，'()0m x ≤，则()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意. 当1a >时，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， '(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当00x x ≤<时，()0m x '>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=与题意不符，舍去. 综上，a 的取值范围是1a ≤ 点评：本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.22．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是: 2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）. ()1若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且AB =m 值.()2设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.答案：()11m =或3m =；()22⎡-+⎣.()1把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出m 值； ()2把曲线C 的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出x y +的取值范围.解：解：()1曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程为：y x m =-.∴圆心到直线l 的距离（弦心距）d ==圆心()2,0到直线y x m =-2=, ∴21m -=∴1m =或3m =.()2曲线C 的方程可化为()2224x y -+=，其参数方程为：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）(),M x y 为曲线C 上任意一点，24x y πθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭x y ∴+的取值范围是2⎡-+⎣.点评：本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.23．已知函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M . （1）求M ；（2）设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>. 答案：（1）{}|11x x -<<；（2）证明见解析（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M .（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.21 解：（1）解：()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， 由()4f x <，解得11x -<<，故{}|11M x x =-<<.（2）证明：因为,a b M ∈，所以1a <，1b <， 所以()()()1110ab a b a b -++=-->， 所以10ab a b --+>.点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.。

2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期中考试文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2｝，B={2，3｝，则U C （A ∪B ）=（ ） A. {1，3，4}B.{3，4}C.{3}D. {4}2.设a R ,则“a >1”是“a 2>1”的（ ） (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件3．已知数列{}n a 为等比数列，且34a =-， 716a =-，则5a =（ ） A ． 8 B ． 8- C ． 64 D ． 64-4.已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（）A ．79-B ．29-C ．29D ．795、下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )A.B.C.D.6、如果奇函数在区间上是增函数且最小值为,那么在上是( )A.增函数且最小值为B.增函数且最大值为C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为7.函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( ）A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）8. 设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos A =，且b c <，则b =（ ）A ．3B ．2C ．2D ．39．已知函数f （x ）的导函数()x f '的图像如左图所示，那么函数()x f 的图像最有可能的是( )10、设是定义在R 上的奇函数,且当时,,则( )A.1B.C.-1D.11. 给定下列命题：①命题p ：052>-x x ，q ：|x －2|＜3，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件②"6,21sin "παα≠≠则若;③;"00,0"的逆否命题且则若===y x xy④命题"01,"0200≤+-∈∃x x R x 使 的否定.其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的x 的取值范围是（ ） A ．()(),10,3-∞- B ．()()1,03,-+∞ C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知等差数列{}n a 满足0101321=++++a a a a ，则=+993a a __________.14. 曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 15．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______________. 16.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 三、解答题（本大题共6小题，共70分。

石嘴山市三中2020届高三年级第一次高考适应性考试数学（理科）能力测试试题一、选择题（本大题共12小题，共70.0分）1.设函数，则等于（）A. B. C. 3 D. 62.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则C B A=（）A. B.B.C. D.3.已知条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A. B. C. D.4.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f（）的x取值范围是（）A. B. C. D.5.定义在R上的奇函数满足，且在上，则A. B. C. D.6.函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A. B. C. D.7.将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B.B.C. D.8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cos A=，则b=（）A. B. C. 2 D. 39.若cos（-α）=，则sin2α=（）A. B. C. D.10.若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若=2，且=λ+，则λ=（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x-1）f（x2-1）＜f（x+1）的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=ln（4+3x-x2）的单调递减区间是______．14.已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为______．15.在△ABC所在的平面上有一点P，满足++=，则△PBC与△ABC的面积之比是______．16.设命题p：函数f（x）=x2+（a-1）x+5在（-∞，1]上是减函数；命题q：∀x∈R，lg（x2+2ax+3）＞0；若p∨￢q是真命题，p∧￢q是假命题，则实数a的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量||=2，=（-，），且与夹角为，（1）求|+2|；（2）若（+k）⊥（2-），求实数k的值．18.已知函数（，且）.（1）若函数在上的最大值为2，求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围.19. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a10=21，S10=120．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+1，求数列{b n}的前n项和T n．20.已知函数Ⅰ求函数的单调增区间；Ⅱ将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．21.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知b＋c＝2a cos B．(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．22.已知函数ⅠⅠ求函数的极值；Ⅱ若，且对任意的都成立，求整数k的最大值．参考答案1.C2.A3.4.A5.C6.D7.D8.D9.D10.B11.A12.D13.14.15.16.-1，或17.解：（1）因为，所以|b|=1，又||=2，与的夹角为120°∴．…（3分）===2 （2）由（a+kb）⊥（2b-a），得（+k）•（2-）=0，即2k-4+（2-k）×2×1cos120°=0，解得k=2…（10分）18.解:(1)当a>1时,f(x)在[-2,1]上单调递增,所以，即；当时，在上单调递减，因此，，即,综上，或;(2)不等式即,又，则，即，所以,所以使得成立的的取值范围是.19.20解：f（x）=sin2x+2sin2x==．（Ⅰ）由，解得．∴函数f（x）的单调增区间为[]，k∈Z；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得y=2sin[2（x）-]+1=2sin2x+1．再向下平移1个单位后得到函数g（x）=2sin2x．由x∈[-，]，得2x∈[]，∴sin2x∈[-]，则函数g（x）的值域为[-]．21.（Ⅰ）证明：∵b+c=2a cos B，∴sin B+sin C=2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）=2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B=2sin A cos B∴sin B=sin A cos B-cos A sin B=sin（A-B）∵A，B是三角形中的角，∴B=A-B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，∴bc sin A=，∴2bc sin A=a2，∴2sin B sin C=sin A=sin2B，∴sin C=cos B，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．。

2020届宁夏石嘴山市第三中学高三一模考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，则()R A C B ⋂=（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{|13}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x << 2．已知复数(2)1ai i z i +=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ） A ．2i B ．2i - C ．i D ．i -3．若θ是第二象限角且sin θ =1213，则tan()4πθ+= A ．177- B ．717- C ．177 D ．7174．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为( )A ．1B ．12C ．13D ．145．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m α且n α，则m nB ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n6．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法： ①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏；③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨8．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -= B ．221520y x -= C ．221205x y -= D ．2214x y -= 9．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a +++=（ ） A ．58 B ．34 C ．54 D ．5210．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．7D ．2 11．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②④12．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦二、填空题13．7(3)x -的展开式中，x 5的系数是_________．（用数字填写答案）14．已知数列{}n a 满足：点(),n n a 在直线210x y -+=上，若使1a 、4a 、m a 构成等比数列，则m =______15．已知函数()314sin 3f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，则n 为________.三、双空题16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且()00f =，当(]0,x e ∈时，()ln f x x =.已知方程()1sin 22x x e f π⎛⎫=⎪⎝⎭在区间[],3e e -上所有的实数根之和为3ea .将函数()23sin 14x x g π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，则a =__________，()8h =__________.四、解答题17．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2021年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2021年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.18．设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .设S 为ABC 的面积，满足)2224S a c b =+-. (1)求B ；(2)若b =)12a c +的最大值. 19．如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，90B ∠=，//BE CD ，且222BE CD BC ===，A 为BE 的中点.将EDA 沿AD 折到PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P ABCD -．（Ⅰ）求证AD PB ⊥；（Ⅱ）若PA ⊥平面ABCD ．①求二面角B PC D --的大小；②在棱PC 上存在点M ，满足()01PM PC λλ=≤≤，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45，求λ的值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.21．已知函数f (x )＝x －ln x ，g (x )＝x 2－ax .（1）求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t ＞0)上的最小值m (t )；（2）令h (x )＝g (x )－f (x )，A (x 1，h (x 1))，B (x 2，h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图像上任意两点，且满足1212()()h x h x x x --＞1，求实数a 的取值范围； （3）若∃x ∈(0,1]，使f (x )≥()a g x x-成立，求实数a 的最大值． 22．在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点()24P --，的直线l 的参数方程为2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（为参数），直线l 与曲线C 交于M 、N 两点． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程：（2）若| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，求a 的值．23．已知函数()|2||3|f x x x =++-.（1）解不等式()32f x x ≤-；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值.参考答案1．A【解析】【分析】0>可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ⋂即可.【详解】0>,得2x >,即(2,)B =+∞,所以R C B (,2]=-∞,所以()R A C B ⋂=(1,2].故选:A【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.2．A【分析】对复数z 进行化简，由于z 为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到a 的值，从而得到复数z .【详解】()()()()()221222111122ai i a i i a i a a z i i i i i +-+--+-+====+-++- 因为z 为纯虚数，所以202a -=，得2a = 所以2z i =.故选A 项【点睛】本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.3．B【解析】由θ是第二象限角且sin θ =1213知：5cos 13θ==-，5t n 1a 2θ-=．所以tan tan 457tan()41tan tan 4517πθθθ+︒+==--︒． 4．B【分析】 设BM tBC =，通过12AN AM =，再利用向量的加减运算可得122t t AN AB AC -=+，结合条件即可得解.【详解】设BM tBC =， 则有()()11111122222222t t t AN AM AB BM AB tBC AB AC AB AB AC -==+=+=+-=+. 又AN AB AC λμ=+， 所以122t t λμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，有11222t t λμ-+=+=. 故选B.【点睛】本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.5．C【解析】因答案A 中的直线m n ，可以异面或相交，故不正确；答案B 中的直线n ⊂β也成立，故不正确；答案C 中的直线m 可以平移到平面β中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面αβ，互相垂直，是正确的；答案D 中直线m 也有可能垂直于直线n ，故不正确．应选答案C ．6．C【分析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确. 故选：C.【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.7．B【分析】先分别判断命题,p q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.【详解】 p 为真命题；命题q 是假命题，比如当0a b >>,或=12a b =-，时，则22a b > 不成立.则p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.8．B【分析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.【详解】∵双曲线C 与2214x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，∴可设双曲线C 的方程为2214y x k k-=，一个焦点为0,5， ∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为221520y x -=. 故选：B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.9．C【分析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32n n a -的通项公式，可计算出n a ，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++的值.【详解】 ()12347324n a a a n a n ++++-=.当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=， 可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-， 因为14a =也适合上式，所以432n a n =-. 依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题. 10．B 【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心(11)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心(45)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+;(45)F ，关于x 轴的对称点(45)F '-，，5PF PE PF PE EF -='-≤'==，故4PF PE -+ 的最大值为549+= ，故选B ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值．11．D 【分析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OBOD O =，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -最大，最大值为1134A CMN N ACM V V --=⨯⨯==故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 12．B 【分析】结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x x m m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,xg x e x-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1g x e =令()()26ln 5ln ,'0x xh x h x x x+--==<,在[]1,3上递减所以()min 6ln33h x +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,故选B.【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案. 13．-189 【解析】由二项式定理得717(1)3C r r r rr T x -+=-，令r = 5得x 5的系数是2573C 189-=-．14．13 【分析】根据点在直线上可求得n a ，由等比中项的定义可构造方程求得结果. 【详解】(),n n a 在210x y -+=上，21n a n ∴=+，14,,m a a a 成等比数列，241m a a a ∴=，即()81321m =+，解得：13m =.故答案为：13. 【点睛】本题考查根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于基础题. 15．4 【分析】根据题意得出()0n f '=，由此可得出实数n 的值. 【详解】()314sin 3f x x x =+，()24cos f x x x '∴=+，直线60nx y --=的斜率为n ，由于函数()314sin 3f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，则()04n f '==. 故答案为：4. 【点睛】本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 16．2 4 【分析】根据函数()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e ，()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为6e ，从而可得参数a 的值，最后求出函数()h x 的解析式，代入求值即可. 【详解】解：因为()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e .因为(]0,x e ∈时，()ln f x x =，所以可作出()f x 在区间[],3e e -上的图象，而方程()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标，结合函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫=⎪⎝⎭在区间[],3e e -上的简图，可知两个函数的图象在区间[],3e e -上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e ，所以63e ea =，故2a =.因为()2353sin 1cos 4222x x g x ππ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以()()35cos 2222x h x π⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦35cos 222x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故()()35cos 44228h π=+=.故答案为：2；8 【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.17．（1）2950（2）分布列见解析，数学期望25（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.见解析【分析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望； （3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2021年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， 22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为：故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市． 【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题． 18．(1)3π；(2)【分析】(1)根据条件形式选择1sin 2S ac B =，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出； (2)由(1)求出角3B π=，利用正弦定理和消元思想，可分别用角A 的三角函数值表示出,a c ，即可得到))21221sin 4sin 3a c A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变换，化简为)124a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可求出最大值．【详解】(1)∵1sin 2S ac B =，222cos 2a c b B ac+-=即2222cos a c b ac B =+-，∴)222S a c b =+-变形得：1sin 2cos 2ac B ac B =，整理得：tan B = 又0B π<<，∴3B π=；(2)∵A B C π++=，∴203A π<<，由正弦定理知sin 2sin sin sin 3b A a A B ===，sin 22sin sin 3b C c A B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴))21221sin 4sin 3a c A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭)221sin 4sin 3A A π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭A A =+4A π⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭4A π=时取最大值．故)12a c +的最大值为【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题 19．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)①120，② 0λ=或23λ=． 【分析】(Ⅰ)可以通过已知证明出AD ⊥平面PAB ，这样就可以证明出AD PB ⊥；(Ⅱ)?①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC 的法向量为n 、平面PCD 的法向量m ，利用空间向量的数量积，求出二面角B PC D --的大小；②求出平面PBC 的法向量，利用线面角的公式求出λ的值.【详解】证明：(Ⅰ)在图1中，//AB CD ，AB CD =，ABCD ∴为平行四边形，//AD BC ∴，90B ∠=，AD BE ∴⊥，当EDA 沿AD 折起时，AD AB ⊥，AD AE ⊥，即AD AB ⊥，AD PA ⊥， 又AB PA A ⋂=，,AB PAB PA PAB AD 面面⊂⊂∴⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB ，AD PB ∴⊥．解：(Ⅱ)①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由于PA ⊥平面ABCD则(0,A 0，0)，(1,B 0，0)，(1,C 1，0)，(0,P 0，1)，(0,D 1，0)(1,PC =1，1)-，(0,BC =1，0)，(1,DC =0，0)，设平面PBC 的法向量为(,n x =y ，)z ，则00PC n x y z BC n y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1z =，得(1,n =0，1)， 设平面PCD 的法向量(,m a =b ，)c ，则00m PC a b c m DC a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1b =，得(0,m =1，1)， 设二面角B PC D --的大小为θ，可知为钝角， 则1cos 22m n m nθ⋅=-=-=-⋅⨯，120θ∴=．∴二面角B PC D --的大小为120．②设AM 与面PBC 所成角为α，(0,AM AP PM =+=0，1)(1λ+，1，1)(λ-=，λ，1)λ-，平面PBC 的法向量(1,n =0，1)， 直线AM 与平面PBC 所成的角为45，sin cos ,2AM n AM n AM nαλ⋅∴====⋅⋅ 解得0λ=或23λ=． 【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.20．（1）22143x y +=；（2）当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN. 【分析】（1）12PF F △的面积最大时，P 是短轴端点，由此可得bc =再由离心率及222a b c =+可得,a b ，从而得椭圆方程；（2）在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，现椭圆方程联立消元（y ）后应用韦达定理得1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的距离，两者比较可得结论． 【详解】（1）因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时12PF F ∆面积最大，所以122c b bc ⨯⨯==，由22212bc c a a b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆方程为22143x y +=．（2）在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+，原点到此直线的距离为d =即2221m d k =+，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=，2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++22222222224128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k--+=+⋅-+=+++，所以当12120x x y y +=时，2212(1)7m k =+，2221217m d k ==+，d =若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2127x =，7d x ==，综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值7. 【点睛】本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．21．（1）m (t )＝ln ,11,01t t t t -≥⎧⎨<<⎩（2）a －2.（3）a －2.【分析】（1）是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解．（2）注意到函数h (x )的图像上任意不同两点A ，B 连线的斜率总大于1，等价于h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2(x 1＜x 2)恒成立，从而构造函数F (x )＝h (x )－x 在(0，＋∞)上单调递增，进而等价于F ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立来加以研究．（3）用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到a ≤22ln 1x x x x -+，再利用导数求函数M (x )＝22ln 1x x xx -+的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值． 【详解】 （1） f ′(x )＝1－1x，x ＞0， 令f ′(x )＝0，则x ＝1.当t ≥1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，f (x )的最小值为f (t )＝t －lnt ；当0＜t ＜1时，f (x )在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t ＋1)上为增函数，f (x )的最小值为f (1)＝1.综上，m (t )＝ln ,11,01t t t t -≥⎧⎨<<⎩（2）h (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋lnx ，不妨取0＜x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0， 则由1212()()1h x h x x x ->-，可得h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2， 变形得h (x 1)－x 1＜h (x 2)－x 2恒成立．令F (x )＝h (x )－x ＝x 2－(a ＋2)x ＋lnx ，x ＞0，则F (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋lnx 在(0，＋∞)上单调递增，故F ′(x )＝2x －(a ＋2)＋1x ≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以2x ＋1x≥a ＋2在(0，＋∞)上恒成立． 因为2x ＋1x，当且仅当x＝2时取“＝”， 所以a－2.（3）因为f (x )≥()a g x x-，所以a (x ＋1)≤2x 2－xlnx . 因为x ∈(0,1]，则x ＋1∈(1,2]，所以∃x ∈(0,1]，使得a ≤22ln 1x x x x -+成立． 令M (x )＝22ln 1x x x x -+，则M ′(x )＝2223ln 1(1)x x x x +--+. 令y ＝2x 2＋3x －lnx －1，则由y ′＝(1)(41)x x x+-＝0 可得x ＝14或x ＝－1(舍)． 当x ∈1(0,)4时，y ′＜0，则函数y ＝2x 2＋3x －lnx －1在14上单调递减； 当x ∈1(,)4+∞时，y ′＞0，则函数y ＝2x 2＋3x －lnx －1在1(,)4+∞上单调递增． 所以y ≥ln 4－18＞0， 所以M ′(x )＞0在x ∈(0,1]时恒成立，所以M (x )在(0,1]上单调递增．所以只需a ≤M (1)，即a ≤1.所以实数a 的最大值为1.【点睛】本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于难题.22．（1）l 的普通方程2y x =-；C 的直角坐标方程22y ax =；（2）1a =.【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t 即可得到直线l 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程，代入曲线C 的方程，利用参数的几何意义即可得出||||PM PN ⋅，从而建立关于a 的方程，求解即可．【详解】（1）由直线l的参数方程2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t 得, 42y x =-++，即2y x =-为l 的普通方程由2sin 2cos a ρθθ=，两边乘以ρ得22sin 2cos a ρθρθ= 22y ax ∴=为C 的直角坐标方程.（2）将2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入抛物线22y ax得24)3280t a t a -+++=2(22(4))4(328)0a a =+-+>124)0t t a +=+>123280t t a =+>120,0t t ∴>>由已知|,,|PM MN PN 成等比数列，2||||||MN PM PN ∴=⋅ 即21212t t t t -=⋅，()21212124t t t t t t +-=，()212125t t t t +=，24))5(328)a a +=+整理得2340a a +-=4a =-（舍去）或1a =.【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l 的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．23．（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）169 【分析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得13211a b +++的最小值. 【详解】 （1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x ≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤； 当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=，所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=， 1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦.当且仅当211,235,0,0,a ba ba b+=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号.故13211a b+++的最小值为169.【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。