概率论与数理统计知识点总结

两两独立： P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ) 相互独立： P( Ai1 Ai2
Aik ) P( Ai1 ) P( Ai2 )
P( Aik )
（3）相互独立性的性质 性质 1：如果 n 个事件 A1 , A2 ,
, An 相互独立，则将其中任何 m(1 m n) 个事件改为相应的
g(x ) p
i 1 i

i
，则 Eg ( X ) 存在，且
5
概率论与数理统计
Eg ( X ) g ( xi ) pi .
i 1

②若 X 为连续型随机变量， f x 是其密度函数，且 在，且




g ( x) f ( x)dx ，则 Eg ( X ) 存
k
k
k
E （X EX )k 存在.
中心矩定义： X 为一个随机变量， k 为正整数，如果 EX 存在，则称 E ( X EX ) 为 X 的 k
k
k
阶中心矩，称 E X EX 为 X 的 k 阶绝对中心矩. 定理：设 h( x) 是 x 的一个非负函数， X 是一个随机变量，且 Eh( X ) 存在，则对任意 0 ， 有
B ， P( B) 0 ，有 P( Ai B)
P( Ai ) P( B Ai ) P( Ai B) . P( B) P( Aj ) P( B A j )
j
5.事件的独立性
（1）两个事件的独立性
P( AB) P( A) P( B)
（2）有限个事件的独立性
3
概率论与数理统计

概率论与数理统计
概率论与数理统计 知识点总结
一、随机事件与概率
1.随机事件
（1）事件间的关系与运算 事件的差： A B A AB AB 对立事件： AA , A A 完备事件组：设 A1 , A2 ,
, An ,
是有限或可数个事件，如果其满足：
① Ai Aj , i j, i, j 1, 2, （2）随机事件的运算律 求和运算： ① A B B A （交换律）
DX
2
.
推论 3：随机变量 X 的方差为 0 当且仅当存在一个常数 a ，使得 P{X a}=1 .
3.常用的离散型分布
离 散 型 分 布 退 化 分 布 两 点 分 布
概率分布
期望（ EX ）
方差（ DX ）
P X a 1
P X x1 p, P X x2 1 p,
（3）全概率公式 设 { Ai } 是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且
i
Ai ，则对任意事件
B ，有 P( B) P( Ai ) P( B Ai ) .
i
（4）贝叶斯公式


设 { Ai } 是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且
i 1
Ai ，则对任意事件
2
DX E ( X EX )2 ( xi EX )2 pi
i
②若 X 为连续型随机变量， f x 为其密度函数，则
DX E ( X EX )2 ( x EX )2 f ( x)dx


③ DX EX ( EX )
2
2

方差的基本性质： 设 X 的方差 DX 存在， a 为任意常数，则 ① Da 0 ； ② D( X a) DX ； ③ D(aX ) a DX .
3.古典概型与几何概型
（1）古典概型 古典概型的概率测度： P( A)=
A中元素个数 使A发生的基本事件数 = 中元素个数 基本事件总数
（2）几何概型 几何概型的概率测度： P( A)
S ( A) S ()
4.条件概率
（1）条件概率的数学定义
P( B A)
P( AB) ( P( A) 0) P( A)
对立事件，形成的新的 n 个事件仍然相互独立. 性质 2：如果 n 个事件 A1 , A2 ,
, An 相互独立，则有
n n n P Ai 1 P( Ai ) 1 (1 P( Ai )) i 1 i 1 i 1
（4）伯努利概型 伯努利定理：在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p(0 p 1) ，则在 n 重伯努利试验中，事
Eg ( X )
（4）数学期望的性质 ①对任意常数 a ，有 Ea a ；

g ( x) f ( x)dx .
②设 1 , 2 为任意实数， g1 ( x), g 2 ( x) 为任意实函数，如果 Eg1 ( X ), Eg2 ( X ) 均存在，则
E[1 g1 ( X ) 2 g2 ( X )] 1Eg1 ( X ) 2 Eg2 ( X ) ；
0 p 1
0-1 分布： 特别地， 如果 X 服从 x1 1 ，
EX a
DX 0
EX px1 (1 p) x2
DX p(1 p)( x1 x2 )2
EX p
DX p(1 p)
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概率论与数理统计
x2 0 处 的 参 数 为 p 两 点 分 布 . 即
P{X 1} p ， P{X 0} 1 p ， 0 p 1.
n
个 点 上 的 均 匀 分 布 二 项 分 布
1 P{X xi }= , i 1, 2, n
,n
EX x
DX
1 n ( xi x)2 n i 1
k nk P X k Ck , n p (1 p)
p.
二、随机变量的分布与数字特征
1.随机变量及其分布
（1）离散型随机变量的概率分布 离散型随机变量的概率分布满足性质： ① p( xi ) 0, i 1, 2, ②
p( x ) 1
i i
p xi） } ，便可求得 X 所生成的任何事件的概率. 一旦知道一个离散型随机变量 X 的概率分布 { （
Ai ) P( Ai ) .
i 1

n
性质 2（有限可加性） ： A1 , A2 , 性质 3： P( A) 1 P( A)
, An 是两两互不相容的，则有 P(
i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
性质 4： P( A B) P( A) P( AB) 特别地，若 A B ，则① P( A B) P( A) P( B) ；② P( A) P( B) 性质 5： 0 P( A) 1 性质 6： P( A B) P( A) P( B) P( AB) 推论： P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
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概率论与数理统计

P( B A) 1 P( B A) P( B A) 1 P( B A)
条件概率测度满足概率的三条公理： 公理 1： P( A) 1 ； 公理 2：对任意事件 B ，有 P( B A) 0 ；

公理 3：对任意可数个两两不相容的事件 A1 , A2 , （2）乘法公式
； ②
i
Ai ，则称 A1 , A2 ,
, An ,
是一个完备事件组.
② ( A B) C A ( B C ) A B C （结合律） 求交运算： ① AB BA （交换律） ② ( AB)C A( BC ) ABC （结合律） 求和运算与求交运算的混合： ① A( B C ) ( AB) ( AC ) （第一分配律） ② A ( BC ) ( A B)( A C ) （第二分配律） 求对立事件的运算： ( A) A （自反律） 和及交事件的对立事件： ① A B AB （第一对偶律） ② AB A B （第二对偶律）
2
（6）随机变量的矩与切比雪夫不等式 矩定义： X 为一个随机变量， k 为正整数，如果 EX 存在（即 E X
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k
k
k ，则称 EX 为 X ）
概率论与数理统计
的 k 阶原点矩，称 E X 为 X 的 k 阶绝对矩. 定理：随机变量 X 的 t 阶矩存在，则其 s 阶矩（ s t 为正整数）也存在. 推论：设 k 为正整数， C 为常数，如果 EX 存在，则 E ( X C ) 存在，特别地，
P{X x} 0 （连续型）
F ' ( x) f ( x)
2.随机变量的数字特征
（1）离散型随机变量的数学期望
EX = xi pi
i 1

（2）连续型随机变量的数学期望
EX


xf ( x)dx
（3）随机变量函数的数学期望 设 X 是一个随机变量， g ( x) 是一个实函数. ①若 X 为离散型随机变量，概率分布为 P{ X xi } pi , i 1, 2, 且 .
特别地，对任意 a b ，有 P{a X b} P(
a xi b
{ X xi })
i
a xi b

P{ X xi } a xi b Nhomakorabea
p( xi ) .
一般地，若 I 是一个区间，则 P{X I }= （2）分布函数
p( x ) .
xi I
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, An ,
，有 P(
i 1
Ai A) P( Ai A) .
i 1

P( AB) P( A) P( B A), P( A) 0 P( AB) P( B) P( A B), P( B) 0 P( ABC ) P( A) P( B A) P(C AB) P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) P( An A1 A2 An1 )