下载文档原格式
概率论与数理统计知识点总结概率论和数理统计是现代科学领域中广泛应用的数学分支。
它们研究和揭示了随机现象背后的规律和规则，为科学研究和决策提供了重要的工具。
本文将对概率论和数理统计的一些基本知识点进行总结和概述。
一、概率论概率论是研究随机试验和随机现象的理论。
在概率论中，我们关注的是事件发生的可能性大小，用概率来描述事件的可能性大小。
1.1 事件与样本空间在概率论中，我们首先要确定一个随机试验的所有可能结果构成的集合，这个集合称为样本空间。
样本空间通常用S表示。
当我们关注一个或一组特定的结果时，我们将其称为事件。
1.2 概率概率是描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。
当一个事件发生的可能性接近1时，我们说该事件具有很高的概率；反之，当事件发生的可能性接近0时，我们说该事件具有很低的概率。
1.3 基本概率公式在概率论中，我们可以采用不同的方法来计算事件的概率。
基本概率公式是最基本的计算概率的方法。
它表达了事件A在样本空间中所有可能结果的比率。
其计算公式为：P(A) = m/n其中，m表示事件A发生的次数，n表示样本空间中可能结果的总数。
1.4 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
二、数理统计数理统计是研究如何从样本中推断总体特征的一门学科。
在数理统计中，我们通过对样本数据的搜集和分析，得出总体的统计特征，并对总体做出推论。
2.1 总体和样本在数理统计中，我们关注的是统计总体，它是我们所要研究的对象的全体。
当我们从总体中抽取一部分个体进行研究时，这部分个体称为样本。
通过对样本的分析，我们可以推断出总体的一些特征。
2.2 抽样方法在数理统计中，我们需要选择合适的抽样方法来获得样本数据。
常用的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
概率论与数理统计总结1000字概率论与数理统计是数学中非常重要的两个分支。
概率论主要研究随机事件的发生概率，而数理统计则主要应用概率论的原理来解决实际问题。
本文将简要总结概率论与数理统计的主要内容和应用领域。
一、概率论的基本概念概率论是研究随机事件的发生概率的数学分支。
在概率论中，我们要研究的是随机变量的性质和分布。
随机变量是指一个具有不确定性的变量，例如股票价格、天气预报、掷骰子等等。
随机变量可以用一个向量表示，其中每个元素表示该变量在某个条件下的概率分布。
随机变量的分布是指随机变量在各个条件下发生的概率。
例如，掷一个六面骰子，每个面出现的概率都是 1/6。
掷一个硬币,正面和反面出现的概率都是 1/2。
这些概率可以用数学公式表示,例如概率密度函数、概率分布函数等等。
二、概率论的应用领域概率论在各种领域都有广泛的应用，例如金融、保险、医学、统计学、物理学等等。
下面我们来介绍几个常见的应用领域。
1. 金融领域概率论在金融领域有广泛的应用。
例如，在投资领域中，我们需要考虑股票价格的变化是否符合随机变量的分布，从而计算出该股票的预期收益率和风险。
在保险领域中，我们需要考虑各种意外事件的概率和损失程度，从而制定出合理的保险产品和保费。
2. 医学领域们需要考虑不同疾病的概率和误诊率，从而制定出合理的诊断方案。
在药物领域中，我们需要考虑不同药物的不良反应概率和治愈率，从而制定出合理的治疗方案。
3. 统计学领域概率论在统计学领域中也有广泛的应用。
例如，在数据调查中，我们需要考虑样本数据是否符合总体数据的分布，从而计算出样本数据的概率和估计总体数据的概率。
在科学研究领域中，我们需要考虑各种假设检验的概率和精度，从而计算出是否支持某种假设的结论。
二、数理统计的基本概念数理统计是应用概率论的原理来解决实际问题的数学分支。
在数理统计中，我们要研究的是样本数据的性质和分布，以及如何利用样本数据来推断总体数据的性质。
样本数据是指从总体中抽取的一部分数据，例如股票价格、气象数据、掷骰子数据等等。
概率论与数理统计课程总结概率论的重要观点和关键发现1. 概率的定义概率是描述不确定性的数学工具，它告诉我们一个事件发生的可能性程度。
概率可以用来描述随机试验的结果，并帮助我们理解事件发生的规律。
2. 概率的公理化定义概率的公理化定义由科尔莫哥洛夫公理系统提出，包括三个公理：非负性（概率值非负）、规范性（样本空间的概率为1）和可加性（互斥事件的概率加起来等于它们分别的概率之和）。
3. 随机变量随机变量是概率论中的一个重要概念，它将样本空间中的元素映射到实数集上。
随机变量可以是离散型的（取有限或无限个值）或连续型的（取某一区间内的任意值）。
4. 概率分布随机变量的概率分布描述了随机变量取各个值的概率，可以用概率质量函数（对于离散型随机变量）或概率密度函数（对于连续型随机变量）来表示。
5. 期望和方差期望是随机变量的平均值，反映了随机变量的中心位置。
方差是随机变量离其期望值的平均偏离程度，反映了随机变量的离散程度。
6. 大数定律大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件的频率会趋近于其概率。
这意味着随机事件的长期平均结果会逼近理论结果。
7. 中心极限定理中心极限定理指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
这是由于多个独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。
数理统计的重要观点和关键发现1. 统计推断统计推断是通过样本数据对总体特征进行推断的方法。
它分为参数统计推断和非参数统计推断。
参数统计推断是假设总体具有某种概率分布，并对总体参数进行估计和假设检验。
非参数统计推断则更加自由，不需要对总体分布作出假设。
2. 抽样分布抽样分布是随机抽样统计量的概率分布。
它的性质决定了参数的估计和假设检验的准确性。
常见的抽样分布有正态分布、t分布、卡方分布和F分布。
3. 置信区间置信区间是对总体参数的一个范围估计，反映了估计的不确定性。
置信区间的计算方法依赖于样本数据和抽样分布的性质。
4. 假设检验假设检验是用来检验关于总体参数的假设是否成立的统计方法。
概率论与数理统计知识点总结一、概率论知识点总结：1.随机事件：随机事件是指在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷硬币的结果、抽取扑克牌的花色等。
2.概率：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围是[0,1]，表示事件发生的可能性大小，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
3.古典概型：古典概型是指每种可能的结果发生的概率相等的情形。
例如：掷骰子的结果、抽取彩色球的颜色等。
4.随机变量：随机变量是用来描述试验结果的数值，它的取值是根据随机事件的结果确定的。
例如：掷骰子的点数、抽取扑克牌的点数等。
5.概率分布：随机变量的概率分布描述了每个取值发生的概率。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布，如二项分布、正态分布等。
6. 期望值：期望值是衡量随机变量取值的平均值。
对于离散型随机变量，期望值=E[X]=∑[xP(X=x)]；对于连续型随机变量，期望值=E[X]=∫[x f(x)dx]，其中f(x)为概率密度函数。
7. 方差：方差是衡量随机变量取值与期望值之间的偏离程度。
方差=Var(X)=E[(X-E[X])^2]。
8.独立性：两个随机事件或随机变量之间的独立性表示它们的发生与否或取值无关联。
独立性的判定通常通过联合概率、条件概率等来进行推导。
二、数理统计知识点总结：1.样本与总体：在统计学中，样本是指从总体中选取的具体观测数据。
总体是指要研究的对象的全部个体或事物的集合。
2.参数与统计量：参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体方差等。
统计量是根据样本计算得到的参数估计值，用来估计总体参数。
3.抽样方法：抽样方法是从总体中选取样本的方法，常见的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、整群抽样等。
4.统计分布：统计分布是指样本统计量的分布。
常见的统计分布有t分布、F分布、x^2分布等，其中t分布适用于小样本、F分布适用于方差比较、x^2分布适用于拟合优度检验等。
5.点估计与区间估计：点估计是以样本统计量为基础，估计总体参数的数值。
概率论与数理统计知识点一、概率论知识点1.1 概率基本概念概率是研究事物变化规律的一门学科。
在概率学中，我们需要掌握一些基本概念：•随机试验：一种在相同条件下重复的可以观察到不同结果的试验。
•样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
•事件：样本空间的子集。
•频率和概率：在大量重复实验中，某个事件出现的频率称为频率，其极限称为概率。
1.2 概率计算公式•加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)•乘法公式：P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)•条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)•全概率公式：P(B) = Σi=1nP(Ai)P(B|Ai)•贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)/Σj=1nP(Aj)P(B|Aj)1.3 随机变量和分布随机变量是用来描述随机试验结果的数学量。
离散型随机变量和连续型随机变量是概率论中两个重要的概念。
•离散型随机变量：在一个范围内，只有有限个或无限个可能值的随机变量。
•连续型随机变量：在一个范围内，有无限个可能值的随机变量。
概率分布是反映随机变量取值情况的概率规律，可分为离散型概率分布和连续型概率分布。
•离散型概率分布：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
•连续型概率分布：包括正态分布、指数分布、卡方分布等。
1.4 常用概率分布概率论涉及到很多的分布，其中一些常用的分布如下：•二项分布•泊松分布•正态分布•均匀分布•指数分布1.5 统计推断在概率论中，统计推断是指根据样本数据来对总体进行参数估计和假设检验的方法。
统计推断主要涉及以下两个方面：•点估计：使用样本数据来推断总体参数的值。
•区间估计：使用样本数据来推断总体参数的一个区间。
二、数理统计知识点2.1 统计数据的描述为了更准确地描述数据，我们需要使用以下几个参数：•平均数：所有数据的和除以数据个数。
•中位数：将数据按大小排序，位于中间位置的数。
概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计是数学的一个重要分支，主要研究各种随机现象的规律性及其数值描述。
下面将对概率论与数理统计的一些重要知识点进行总结。
一、概率论知识点总结1. 随机事件与概率- 随机事件：指在一定条件下具有不确定性的事件。
- 概率：用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。
2. 古典概型与几何概型- 古典概型：指随机试验中，所有基本事件的可能性相等的情况。
- 几何概型：指随机试验中，基本事件的可能性不完全相等，与图形的属性有关的情况。
3. 随机变量与概率分布- 随机变量：定义在样本空间上的函数，用来描述试验结果与数值之间的对应关系。
- 离散随机变量：取有限个或可列个数值的随机变量。
- 连续随机变量：取无限个数值的随机变量。
4. 期望与方差- 期望：反映随机变量平均取值的数值。
- 方差：反映随机变量取值偏离期望值的程度。
5. 大数定律与中心极限定理- 大数定律：指在独立重复试验中，随着试验次数增加，事件发生的频率趋近于其概率。
- 中心极限定理：指在独立随机变量之和的情况下，当随机变量数目趋于无穷时，这些随机变量之和的分布趋近于正态分布。
二、数理统计知识点总结1. 抽样与抽样分布- 抽样：指对总体进行有规则地选择一部分样本进行观察和研究的过程。
- 抽样分布：指用统计量对不同样本进行计算所得到的分布。
2. 参数估计与置信区间- 参数估计：根据样本推断总体的未知参数。
- 置信区间：对于总体参数估计的一个区间估计，用来表示这个参数的可能取值范围。
3. 假设检验与统计显著性- 假设检验：用来判断统计推断是否与已知事实相符。
- 统计显著性：基于样本数据，对总体或总体参数进行判断的一种方法。
4. 方差分析与回归分析- 方差分析：用来研究因素对于某一变量均值的影响程度。
- 回归分析：通过观察变量之间的关系，建立数学模型来描述两个或多个变量间的依赖关系。
5. 交叉表与卡方检验- 交叉表：将两个或多个变量的数据按照某种方式交叉排列而形成的表格。
概率论与数理统计总结3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()()()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B nk p p C k X P k n k k n,,1,0,)1()( =-==- 泊松定理 0lim >=∞→λnn np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p Ckkn n knk nn λλ(3) 泊松分布 )(λP =,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ（5）几何分布 p q k p q k X P k -====-1,2,1}{1dt t f x F x ⎰∞-=)()(则称X 为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质：（1）连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。
（2）对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。
3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x ex x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=xt tex F d 21)(222)(σμσπN (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x xt d 21)(22π2、连续型随机变量函数的分布： （1）分布函数法；(){}⎰⎰<==∈=yx g X l X yYdxx f dx x f l X P y F y)()()(（2）设随机变量X 具有概率密度f X (x )，又设函数g(x )处处可导且恒有g '(x )>0 (或恒有g '(x )<0) ，则Y=g(X )的概率密度为()()[]()⎩⎨⎧<<'=其他βαy y h y h f y f XY 其中x =h(y )为y =g(x )的反函数，()()()()()()∞+∞-=∞+∞-=g g g g ,m ax ,,m in βα 3、 二维连续型随机变量（1）联合分布函数为dudvv u f y x F y x ⎰⎰∞-∞-=),(),(函数f (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度.其中： 0),(≥y x f ，⎰⎰∞∞-∞∞-=1),(dxdy y x f（2）基本二维连续型随机向量分布均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他),(1),(G y x Ay x f二维正态分布：+∞<<-∞+∞<<∞--=-+------y x ey x f y y x x ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212σμσσμμρσμρρσπσ3、离散型边缘分布律：4、 连续型边缘概率密度 ,),()(dy y x f x f X⎰∞+∞-= dx y x f y f Y⎰∞+∞-=),()(F (x ，y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ，Y )是连续型随机变量，f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )分别为(X ，Y )的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ，y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律： （3）条件分布函数：2、连续型随机变量的条件分布 （1）条件分布函数⎰⎰∞-∞-==x Y Y X Y x YX du y f y u f y x F y f du y u f y x F )(),()|()(),()|(||或写成，（2）条件概率密度在Y=y 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|y f y x f y x fY Y X =同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =六、多维随机函数的分布 1、离散型随机变量函数分布：二项分布：设X 和Y 独立,分别服从二项分布b (n 1,p ), 和b (n 2,p )，则 Z=X+Y 的分布律：Z ～b (n 1+n 2,p ).泊松分布：若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为21λλ+的泊松分布。
第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中ω表示基本结果，又称为样本点。
3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。
5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。
(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。
(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。
用交并补可以表示为。
（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.对立事件的性质：。
8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。
具体说,事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。
概率论与数理统计总结
概率论与数理统计是一门综合类考试，其中包括多方面的学科知识。
它涵盖概率统计、数字模型及实验数据的计算机法、数理统计的理论与方法、抽样调查、回归分析以及统计推断应用等内容，其目的是使考生掌握建立数理模型和利用数理统计方法研究实际问题的能力。
从理论上讲，概率论和数理统计都是对客观现象进行研究的科学。
概率论是在机遇现象基础上的一种数学理论，关于客观事物的近似规律的描述，用来解决一些不能完全确定的实际问题。
数理统计则是一种理论性研究，是从实际的现象中总结出的统计规律，用于描述客观存在的实际现象、分析样本数据、预测未来现象、评价结果等。
概率论与数理统计可以穷举出两种以上的解法。
概率论宽泛的范围涉及概率分布函数，统计抽样、抽样理论、独立性和相关性等内容，而数理统计的范畴较概率论更大，它还包括描述统计及抽样分布、假设检验概率、关联分析、回归分析、时间序列分析等内容。
因此，考生有必要熟练掌握概率论与数理统计的知识，从而能够应用它们解决一些实际问题。
总之，概率论与数理统计是一门重要的统计学科，能够帮助受考生深入理解和操作数据，考生需要耐心、勤奋地学好概率论与数理统计，以帮助自己在实际生活中解决各种实际问题。
概率论与数理统计总结1000字概率论与数理统计是数学中非常重要的分支之一，它们都是以概率为基础的科学。
概率是指某事件发生的可能性，而数理统计则是研究如何从样本中得出总体的信息。
概率论与数理统计在许多领域都有广泛的应用，如金融、医学、生物学、社会科学等。
本文将对概率论和数理统计的概念、公式、方法和应用进行总结。
概率论概率论主要研究随机事件的概率分布以及事件之间的关系。
以下是一些常见的概念和公式：1. 随机事件：具有随机性质的事件称为随机事件，例如掷骰子、抽扑克牌等。
2. 样本空间：所有可能结果的集合称为样本空间，例如掷一个骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
3. 事件：样本空间的子集称为事件，例如掷一个骰子得到偶数的事件为{2,4,6}。
4. 概率：事件发生的可能性称为概率，通常用P表示。
如果一个事件有n种可能的结果，其中有m种结果符合事件的定义，那么事件发生的概率为P=m/n。
5. 条件概率：如果事件A已经发生，那么事件B发生的可能性称为条件概率，通常用P(B|A)表示。
条件概率的公式为P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。
6. 独立事件：如果事件A和事件B的发生互不影响，那么它们是独立事件，满足P(A∩B)=P(A)P(B)。
7. 贝叶斯定理：根据条件概率的公式和独立事件的公式，可以得到贝叶斯定理。
贝叶斯定理的公式为P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)，其中P(A|B)是事件B发生时A发生的概率。
数理统计数理统计主要研究如何从样本中得出总体的信息，例如总体的平均值、方差、标准差等。
以下是一些常见的概念和公式：1. 总体和样本：研究对象的所有个体构成的集合称为总体，而从总体中抽取的一部分个体构成的集合称为样本。
2. 样本均值和总体均值：样本中所有个体的平均值称为样本均值，总体中所有个体的平均值称为总体均值，通常用μ表示。
3. 样本方差和总体方差：样本中所有个体与样本均值的差的平方和除以样本大小称为样本方差，总体中所有个体与总体均值的差的平方和除以总体大小称为总体方差，通常用σ表示。
概率论与数理统计主要内容小结概率部分1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式：)()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P +其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。
贝叶斯公式：∑==nj jji i i B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。
2、互不相容与互不相关B A ,互不相容0)(,==⇔B A P B A φ事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =⇔ ; 两者没有必然联系3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。
),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k kn=-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,!}{===-k k e k x P k λλ),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1)(⎪⎩⎪⎨⎧∈-=其它b a x a b x f),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00,1)(⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它x e x f x θθ),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞=-x ex f x ,21)(22π.连续性随机变量X 分布函数性质：（i ）1)(=+∞F ，0)(=-∞F , (ii)分布函数连续 对连续性随机变量X ，已知概率密度)(x f ，则分布函数为⎰∞-=xdt t f x F )()(；已知分布函数为)(x F ，则概率密度)()(x F x f '=.对连续性随机变量X ，已知概率密度)(x f , 区间概率⎰=∈Ldx x f L x P )(}{4、连续函数随机变量函数的概率密度设连续随机变量X 的概率密度为)(),(X g Y x f X =也是连续型随机变量，求Y 的概率密度 求法(i) 利用以下结论计算：如果函数)(x g 处处可导，且恒有0)(>'x g （或0)(<'x g ），则Y 概率密度为：⎩⎨⎧<<'=其他,0|,)(|)]([)(βαy y h y h f y f X Y 其中，)(y h 是)(x g 的反函数，且有)},(),(min{+∞-∞=g g α)}.(),(max{+∞-∞=g g β (ii) 利用分布函数计算：先求)(x g y =值域，再在该值域求Y 的分布函数=≤=≤=})({}{)(y X g P y Y P y F =∈}{B X P dx x fBx X)(⎰∈则有)()(y F y f Y '=. 常用求导公式)())(()())(()()()()()(y y f y y f dx x f y F y f y y Y ααβββα'-'=='=⎰5、二维随机变量分布律对于二维连续性随机变量),(Y X ，其联合概率密度为),,(y x f 其联合分布函数为),,(y x F 则,),(),(⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F概率密度性质：（i ）,0),(≥y x f (ii)⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dvdu v u f已知概率密度),,(y x f 求区域概率有,),(}),{(⎰⎰=∈Ddydx y x f D y x P边缘分布函数为,),()(⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ,),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y X dudv v u f y F边缘概率密度为,),()(⎰+∞∞-=dy y x f x f X .),()(⎰+∞∞-=dx y x f y f Y条件分布函数为,)(),()|(|⎰∞-=xY Y X du y f y u f y x F ,)(),()|(|⎰∞-=y XX Y dv x f v x f x y F条件概率密度为,)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =.)(),()|(|x f y x f x y f X X Y = 对于离散情形，设联合分布律为ij j i p y Y x X P ===},{ 边缘概率密度为.1}{i j iji p px X P ===∑∞=，j i ij j p p y Y P .1}{===∑∞=条件概率密度为.}|{i ij i j p p x X y Y P ===，jij j i p p y Y x X P .}|{===6、二维随机变量函数的分布设二维随机变量),(Y X 概率密度为),(y x f ，分布函数为),(y x F (i) Z=X+Y, 则Z 的概率密度为⎰+∞∞-=-=dy y y z f z f Z ),()(⎰+∞∞--dx x z x f ),( 当Y X ,相互独立时，⎰+∞∞-=-=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎰+∞∞--dx x z f x f Y X )()((ii) M=max{X,Y}与N=min{X,Y}当Y X ,相互独立时，)()()(z F z F z F Y X M =，))(1))((1(1)(z F z F z F Y X N ---= 7、数学期望(i) 求法：连续随机变量X 概率密度为)(x f ，则⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(；若)(X g Y =, 则⎰+∞∞-=dx x f x g Y E )()()(.离散随机变量分布律为k k p x x P ==}{，则∑∞==1)(k k kp xX E ;若)(X g Y =, 则k k k p x g X E )()(1∑∞==.若有二维的随机变量),(Y X ,其联合概率密度为),(y x f ，若),(Y X g Y =, 则⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dydx y x f y x g Y E ),(),()(.(ii) 性质：)()()(),()(,)(Y E X E Y X E X CE CX E C C E +=+==)()()()(22112211n n n n X E k X E k X E k X k X k X k E +++=+++Y X ,相互独立，则有).()()(Y E X E XY E =8、方差定义：2)]([)(X E X E X D -=，标准差（均方差）：)(X D . 计算：22)]([)()(X E X E X D -=性质：).()(),()(,0)(2X D C CX D X D C X D C D ==+=)].)([(2)()()(EY Y EX X E Y D X D Y X D --±+=±常见分布的数学期望和方差：两点分布：).1()(,)(p p X D p X E -==),,(~p n b X 即二项分布，则).1()(,)(p np X D np X E -== ),(~λπX 即泊松分布，则.)(,)(λλ==X D X E),,(~b a U X 即均匀分布，则.12)()(,2)(2a b X D b a X E -=+= ),(~θE X 即指数分布，则.)(,)(2θθ==X D X E ),,(~2σμN X 即正态分布，则.)(,)(2σμ==X D X E9、协方差与相关系数定义：协方差: ).()()()]}()][({[),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--= 相关系数：.)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ则有)()(),(Y D X D Y X Cov XY ρ=.性质：0),(),(),(),,(),(===a X Cov X D X X Cov X Y Cov Y X Cov),(),(),(),,(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov Y X abCov bY aX Cov +=+=),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=±如果Y X ,相互独立，则有)()()(Y D X D Y X D +=±,1||≤XY ρ且1||=XY ρ1}{,,=+=∃⇔bX a Y P b a 使.10、独立与不相关关系Y X XY ,0⇔=ρ不相关)()(),(0),(Y E X E Y X E Y X Cov =⇔=⇔Y X ,相互独立)()(),()()()()(),(Y E X E Y X E y f x f y F x F y x F =⇒==⇔F 为分布函数，而f 为概率密度一般情况下，Y X ,相互独立Y X ,⇒不相关，但反之不成立；特殊情况，当);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X 时，Y X ,相互独立Y X ,⇔不相关并且此时21222121),(,;)(,)(;)(,)(σρσρρσσμμ======Y X Cov Y D X D Y E X E XY . 11、切比雪夫(Chebyshev)不等式：设随机变量X 的期望与方差为2)(,)(σμ==X D X E ，则对任意正数0>ε，有2)(}|)({|εεX D X E X P ≤≥-, 即22}|{|εσεμ≤≥-X P .进一步有：,)(1}|)({|2εεX D X E X P -≥<-即.1}|{|22εσεμ-≥<-X P12、两个中心极限定理定理1（独立同分布的中心极限定理）设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，服从同一分布，有相同的数学期望和方差： ,2,1,0)(,)(2=>==k X D X E k k σμ，则当n 充分大时，)1,0()()(~~~~~~~~1111N n n XX D X E XY ni knk k nk nk k kn 近似σμ∑∑∑∑====-=-=.定理2（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量 2,1,=n n η服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，则当n 充分大时，)1,0()1(~~~~~~~~N p np npn 近似--η统计部分1、常用统计量设X 为总体，n X X X ,,21是来自总体X 的样本，定义样本平均值：∑==ni i X n X 11,样本方差：212)(11X X n S n i i --=∑= )(11212X n X n ni i --=∑=，样本标准差（均方差）：∑=--=ni i X X n S 12)(11 样本k 阶矩： ,2,1,11==∑=k X n A n i ki k2、常用正态总体相关的统计量 （1）2χ分布定义：设n i N X i ,2,1),1,0(~=，则)(~2122n Xni i χχ∑==，特别)1(~22χi X .性质 (i) 可加性：设),(~),(~2212n Y n X χχ则)(~212n n Y X ++χ. (ii) 设),(~n X χ则n X D n EX 2)(,==. (iii) 特例：设),,(~2σμN X i 则).(~)(1212n Xni iχμσ-∑=(2) t 分布定义：设)(~),1,0(~n Y N X χ, 且Y X ,相互独立，则统计量).(~/n t nY X t =性质(i) 概率密度为偶函数，关于y 轴对称；当n 趋于无穷大，该统计量趋于标准的正态分布； (ii) 对于分位点有：)()(1n t n t αα-=-. (3) F 分布定义：设)(~),(~21n V n U χχ, 且V U ,相互独立，则统计量).,(~2121n n F n V n U F =性质 (i) 对于分位点有：.),(1),(12211n n F n n F αα=-3、正态总体样本均值与样本方差分布单个总体情形：设X 为总体，且服从),,(~2σμN X n X X X ,,21是来自总体X 的样本，2,S X 分别是样本均值与样本方差，有以下结论：(i) ,)()(,)()(,)()(222σσμ======X D S E nn X D X D X E X E 而且有),(~21211i ni i i n i i ini i C C N XC σμ∑∑∑===.(ii) ),(~2nN X σμ, 即)1,0(~/N nX σμ-；且=-∑=212)(1X Xni iσ)1(~)1(222--n S n χσ两个正态总体情形：设1,,21n X X X 是来自),(~211σμN X 的样本，2,,21n Y Y Y 是来自),(~222σμN Y 的样本, 且两样本相互独立，Y X ,为两样本均值，2221,S S 为两样本方差，则有(i) ),(~22212121n n N Y X σσμμ+±±.(ii) 当22221σσσ==时，)2(~11)(212121-++---n n t n n S Y X wμμ，2)1()1(21222211-+-+-=n n S n S n S w (iii) )1,1(~//2122212221--n n F S S σσ 4. 点估计 (1) 矩估计法设概率密度),,;(21k x f θθθ 或分布律),,;(}{21k x p x X P θθθ ==中含k θθθ ,,21个参数需要估计。
