黄有度-矩阵理论及其应用习题答案

பைடு நூலகம்
p2 n L
或( β1 , β 2， , β n ) = (α1 , α 2， , α n ) P L L
p11 p21 (1.2) 其中P = M M 过渡矩阵 pn1
p12 L p22 L
pn 2 L
p1n p2 n M M pnn
例 求线性空间Cn [ x] （复数域C上次数不超过n的 一元多项式全体）的基、维数及向量p的坐标。
解 空间的一个基为 p1 = 1, p 2 = x, p3 = x 2 ,L , p n +1 = x n 其维数为n + 1.任何次数不超过n的多项式 p = a n x n + a n −1x n −1 + L + a1x + a 0 可表示为 p = a 0 p1 + a1p 2 + L + a n p n +1 因此，p在这个基下的坐标为 p = (a 0 , a1 ,L , a n )
第一章 线性空间与线性变换
1.1 线性空间
1.1.1 线性空间的定义
是一个包含0,1的数集 定义 设F是一个包含 的数集，且若 中的 是一个包含 的数集，且若F中的 任两个数的和， (除数为 除数为0外)仍在 仍在F 任两个数的和，差，积，商(除数为0外)仍在F 对这些运算封闭)， 为一数域 中(即F对这些运算封闭 ，则称 为一数域。 即 对这些运算封闭 则称F为一 有理数集，实数集， 例 有理数集，实数集，复数集都是 数域，而整数集不是数域。 数域，而整数集不是数域。
2. 子空间的交与和
定义 设V1 , V2为线性空间V 的两个子空间，我们分别称 V1 I V2 = {α ∈ V α ∈ V1 且α ∈ V2 }， V1 + V2 = {α ∈ V α = α1 + α 2 , α1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 } 为V1与V2的交与和。

解
2 1 2 6 0 1 3 2 A( ) 1 3 0 1 1 1 1 4 1 1 4
0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 2 0 1 3 2 0 0 2 2 1
例 将下面的 矩阵化为Sm ith 标准形： 1 A( ) 1 2
2 。 2 2
解 1 A( ) 1 2
2
2
1 2 c c 1 3 0 1 2 2
A的各阶行列式因子为 D1 ( ) 1, D2 ( ) 1, D3 ( ) ( 1)
3
定理 矩阵A( )的各阶行列式因子Dk( )在初等变换下 等价的 -矩阵有相同的秩.
不变,即等价的 矩阵有相同的行列式因子Dk( )特别地, .
定理 矩阵A( )的Smith标准形 diag[d1 ( ), d 2 ( ), , d r ( ), 0, , 0] Dk ( ) 是唯一的，且d k ( ) , k 1, 2, , r.而当k r时， Dk 1 ( ) d k ( ) 0. 称d k ( )为A( )的第k 个不变因子.
定义 将A( )的每个次数大于零的不变因子在复数域内分解为 互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的 方幂(相同的必须按出现次数计算)，称为A( )的初等因子。
若A( )的不变因子为 d1 ( ) 1, d 2 ( ) ( 1) , d3 ( ) ( 2)( 1) ，
习题 将下面的 矩阵化为Smith标准形： 1 2 6 A( ) 1 3 。 1 1 4

习 题 一13. 设A ∈ C n n ⨯是Hermite 矩阵。

证明A 是Hermite 正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite 正定矩阵B ，使得A=B 2。

解：若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得U H AU =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO21, i λ﹥0, I =1, 2, ,Λn . 于是A =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO 21U H= U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλO 21U H U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO21U H 令B =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO21U H 则 A =B 2.反之,当 A =B 2且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正定矩阵,故A 是Hermit 正定的.14. 设A ∈ C n n ⨯是Hermite 矩阵，则下列条件等价:（1）A 是Mermit 半正定矩阵。

（2）A 的特征值全为非负实数。

（3）存在矩阵P ∈ C n n ⨯,使得A=P HP解：(1)⇒(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得U H AU =diag(n λλλ,,,21Λ)令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, ,Λn ).(2)⇒(3). A =U diag(n λλλ,,,21Λ)U H =U diag(n λλλ,,,21Λ)diag(n λλλ,,,21Λ)U H 令 P =diag(n λλλ,,,21Λ)U H , 则 A =P H P . (3)⇒(1). 任取x ≠0, 有x H Ax =x H P H Px =22Px ≧0.习 题 二1.求向量x=（1+i ，-2,4i ，1,0）的1、2、∞范数。

解：1x =01i 42i 1+++-++=7+2, 2x =1i)4i(4)2(i)1i)(1(2+-+-+-+=23, ∞x =max {}1i 42i 1,,,-+=4.2. 设1ω，2ω…..n ω是一组给定的正数，对任意x=（1ξ,2ξ…..n ξ）T ∈ C n , 规定x =∑=nk kk 12ξω 。

从而 a＝ b＝－ 1.
0 -1
故矩阵 M＝
.
-1 0
-1 a
5. 已知 a，b∈ R，矩阵 A＝
所对应的变换 TA 将直线 x－y－ 1＝ 0 变换为自身，求 a，b 的值 .
b3
解 设直线 x－y－ 1＝ 0 上任意一点 P( x，y) 在变换 TA作用下变成点 P′（x′， y′) ，
3
【题根精选精析】
，
cd cd 01
－a －b 1 0
1
即 2c 2d
＝ 0
1 ，故 a＝－ 1，b＝ 0，c＝ 0， d＝2，
从而 A 的逆矩阵为
－1 0
A－ 1＝ 0
1， 2
－1 0
所以 A－1B＝
1
0 2
1 2 -1 -2
＝
.
06 03
10
12
3. 已知矩阵 A＝
，B＝
，若矩阵 AB－1 对应的变换把直线 l 变为直线 l ′： x＋ y－ 2＝0，求直线 l
02
01
的方程 .
12
解 因为 B＝
，
01
所以
B－
1
＝
1
-2 ，
01
所以 AB－ 1
2
0a
4. 已知矩阵 M＝
满足： Mα i ＝ λ i ai ，其中 λ i ( i ＝1， 2) 是互不相等的实常数， α i ( i ＝ 1， 2) 是非零的
b0
1 平面列向量， λ 1＝ 1， α 2＝ ，求矩阵 M.
.
【课前检测训练】
【练一练】
-1 2
11
2
1. 已知矩阵 A＝
， B＝
，向量 α ＝ ， x， y 为实数 . 若 Aα ＝ Bα ，求 x＋ y 的值 .