2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第一节直线与方程AB卷文新人教A版

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第1节 直线与方程高考AB 卷 理直线及其方程(2013·全国Ⅱ，12)已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 解析 (1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋ba ＋1，又易知x D ＝－b a ，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.图① 图②(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC 、BC 相交时(如图②)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12得b ＝1－221－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1(∵0<a <1)， ∵对于任意的a >0恒成立，∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12.故选B.答案 B直线及其方程1.(2013·湖南，8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点.光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图).若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A.2B.1C.83D.43解析 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示.则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4).设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43. 设P 点坐标为(m ，0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m ，0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4，4－m )， 根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上， ∴k P 1D ＝k P 2D ，即4343＋m ＝43－4＋m 43－4，解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去.∴m ＝43.答案 D2.(2014·广东，10)曲线y ＝e －5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________.解析 y ′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0. 答案 5x ＋y －3＝两直线的位置关系3.(2013·辽宁，9)已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3).若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A.b ＝a 3B.b ＝a 3＋1aC.(b －a 3)(b －a 3－1a)＝0D.|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0解析 若△OAB 为直角三角形，则A ＝90°或B ＝90°. 当A ＝90°时，有b ＝a 3；当B ＝90°时，有b －a 30－a ·a 3－0a －0＝－1，得b ＝a 3＋1a.故(b －a 3)(b －a 3－1a)＝0，选C.答案 C4.(2012·浙江，3)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 由l 1∥l 2⇒a (a ＋1)－2＝0⇒a ＝1或a ＝－2，∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件. 答案 A5.(2014·四川，14)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.解析 易求定点A (0，0)，B (1，3).当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5. 答案 56.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________. 解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1).又y ′＝2ax －bx2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2).由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.答案 －3。

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第1节 直线与方程高考AB 卷 理直线及其方程(2013·全国Ⅱ，12)已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 解析 (1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋ba ＋1，又易知x D ＝－b a ，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.图① 图②(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC 、BC 相交时(如图②)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12得b ＝1－221－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1(∵0<a <1)， ∵对于任意的a >0恒成立，∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12.故选B.答案 B直线及其方程1.(2013·湖南，8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点.光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图).若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A.2B.1C.83D.43解析 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示.则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4).设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43. 设P 点坐标为(m ，0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m ，0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4，4－m )， 根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上， ∴k P 1D ＝k P 2D ，即4343＋m ＝43－4＋m 43－4，解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去.∴m ＝43.答案 D2.(2014·广东，10)曲线y ＝e －5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________.解析 y ′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0. 答案 5x ＋y －3＝两直线的位置关系3.(2013·辽宁，9)已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3).若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A.b ＝a 3。

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.1直线的方程教案理含解析新人教A版§9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.1.平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.2.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围：[0°，180°).3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).若直线的倾斜角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠π2，则k ＝tan θ. 4.直线方程的五种形式名称 方程适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1 (y 1≠y 2)截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？提示 倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k 不存在；因为k ＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2.当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( √ )题组二 教材改编2.若过点M (－2，m )，N (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1B.4C.1或3D.1或4 答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.3.过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为. 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.题组三 易错自纠4.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1， 又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 5.如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.6.过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为.答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π 答案 B解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α， 又sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)， 所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.(2)(2018·抚顺调研)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为. 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞). 引申探究1.若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)，∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.2.若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围. 解 如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°). 思维升华 (1)倾斜角α与斜率k 的关系①当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，k ∈[0，＋∞).②当α＝π2时，斜率k 不存在.③当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k ∈(－∞，0). (2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率. ②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率.(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y ＝tan α的单调性.跟踪训练1 (1)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a 等于( ) A.1±2或0 B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0答案 A解析 ∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，∴k AB ＝k AC ， 即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.故选A.(2)直线l 经过点A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2解析 直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α<π2.题型二 求直线的方程例2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5.解 (1)方法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 方法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)， 令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)， 此时|AB |＝5，即x ＝1为所求.设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行). 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.跟踪训练2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4).即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过(0,0)及(4,1)两点， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(4,1)，∴4a ＋1a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与均值不等式相结合求最值问题例3 (2018·包头模拟)已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程. 解 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0， 直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值.解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小. 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解.跟踪训练3 过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点. (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程. 解 设直线l ：x a ＋yb＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.一、选择题1.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.30°B.60°C.150°D.120° 答案 B解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k ， 化直线方程为y ＝3x ＋a ， ∴k ＝tan α＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2.(2018·大连模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A.x ＝2B.y ＝1C.x ＝1D.y ＝2 答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.3.已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( ) A.150°B.135°C.120°D.不存在答案 A解析 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示.显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)， 则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |1＋k2， 弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2k |1＋k 22＝22－2k21＋k2， 所以S △AOB ＝12×|－2k |1＋k 2×22－2k21＋k2 ≤(2k )2＋2－2k22(1＋k 2)＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°.4.在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合.5.直线MN 的斜率为2，其中点N (1，－1)，点M 在直线y ＝x ＋1上，则( ) A.M (5,7) B.M (4,5) C.M (2,1) D.M (2,3)答案 B解析 设M 的坐标为(a ，b )，若点M 在直线y ＝x ＋1上， 则有b ＝a ＋1.①若直线MN 的斜率为2，则有b ＋1a －1＝2.② 联立①②可得a ＝4，b ＝5， 即M 的坐标为(4,5).故选B.6.已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A.k ≥34或k ≤－4B.－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D.－34≤k ≤4答案 A解析 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4， ∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ； 当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， ∴k ≥34或k ≤－4.7.(2018·焦作期中)过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( ) A.1条B.2条C.3条D.4条 答案 B解析 ①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时， 设该直线的方程为x ＋y ＝a ， 把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为y ＝kx ，把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－13，则所求直线的方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0.综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0， 故选B.8.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4 答案 C解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 知函数f (x )的图象关于x ＝π3对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以a ＝－3b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－3，所以直线的倾斜角为2π3，故选C. 二、填空题9.一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是. 答案3x －y －33＝0解析 因为直线y ＝13x 的倾斜角为π6，所以所求直线的倾斜角为π3，即斜率k ＝tan π3＝ 3.又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0.10.不论实数m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点. 答案 (－2,1)解析 直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)＋(－y ＋1)＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－y ＋1＝0，∴x＝－2，y ＝1，∴直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点(－2,1).11.已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为.答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y＋5＝0.12.经过点A (4,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为.答案 x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0解析 当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，则4k ＝2， ∴k ＝12，∴直线方程为x －2y ＝0.当截距不为0时，设直线方程为x 3a ＋ya ＝1，由题意得，43a ＋2a ＝1，∴a ＝103.∴x ＋3y －10＝0.综上，直线l 的一般式方程为x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0.13.设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52 解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝43，结合题意可知－a >－52，且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52. 14.已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为.答案 32解析 ∵动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )， ∴a ＋bm ＋c －3＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3， ∴(4－1)2＋m 2＝3，解得m ＝0. ∴a ＋c ＝3.则12a ＋2c ＝13(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2 c 2a ·2a c ＝32， 当且仅当c ＝2a ＝2时取等号. 三、解答题15.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程.解 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，(m －0)·(－3n －1)＝(n －0)·(m －1)，解得m ＝3，所以A (3，3). 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 16.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1). (2)解 直线l 的方程可化为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，故k 的取值范围是k ≥0.(3)解 依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，且k >0， 所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )， 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第一节直线与方程AB卷文1______年______月______日____________________部门1. (20xx·北京，7)已知A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB 上，则2x－y的最大值为( )A.－1B.3C.7D.8解析线段AB的方程为y－1＝(x－4)，2≤x≤4.即2x＋y－9＝0，2≤x≤4，因为P(x，y)在线段AB上，所以2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9.又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x－y最大值为7.答案C2.(20xx·安徽，8)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A.－2或12B.2或－12C.－2或－12D.2或12解析圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴＝1.解得b ＝2或b＝12，故选D.答案D3.(20xx·福建，6)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0D.x－y＋3＝0解析依题意，得直线l过点(0，3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.故选D.答案D4.(20xx·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意得＝1，解得k＝0或k＝－，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.5.(20xx·四川，9)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B 的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )A.[，2]B.[，2]C.[，4]D.[2，4]解析易知直线x＋my＝0过定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，且两条直线相互垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动，故|PA|＋|PB|＝|AB|cos∠PAB＋|AB|sin∠PAB＝·sin∈[，2]，故选B.答案B6.(20xx·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.答案2 27.(20xx·四川，15)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解析由题意可知，若P为平面直角坐标系内任意一点，则|PA|＋|PC|≥|AC|，等号成立的条件是点P在线段AC上；|PB|＋|PD|≥|BD|，等号成立的条件是点P 在线段BD 上.所以到A ，B ，C ，D 四点的距离之和最小的点为AC 与BD 的交点.直线AC 方程为2x －y ＝0，直线BD 方程为x ＋y －6＝0.∴解得⎩⎨⎧x＝2，y＝4.即所求点的坐标为(2，4). 答案 (2，4)。