线性代数第一章 矩阵及其运算 习题课 shu

a a 2 b c ca b d c b d b 2 c d a a 2 a c ca a d d b d d b 2 d a 0 b d a c 0 b d
0 0
0 0
.
得证 f(A) = O.
17
例3: 设A, B都是n 阶可逆矩阵, 证明D =
解 方法一 用定义求逆阵 设 A1x1 x2, x3 x4
由 A 1AE,得
23
a bx1 x21 0, c dx3 x4 0 1
a x1 b x3 1,
则有
c a
x1 x2
d b
x3 x4
0, 0,
c x 2 d x 4 1.
x
1
ad
d bc
,
b
解得
x 2 x3
1
n 1
n(n1) n n
n12
n
n
n(n1)
n
n(n n1)
n1 1 1
n1
1
1
n1
1
1 n 1
=
A.
即 A2 = A, 所以A为幂等矩阵.
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例2: 设 A ac db, 试将 f() = | E–A |写成的多
项式, 并验证 f(A) = O.
解: f() |E A | ca b d
7
7. 转置矩阵
把矩阵A 的行列互换, 所得到的新矩阵, 叫做矩阵A 的转置 矩阵, 记作AT.
转置矩阵的运算性质
(1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
8. 方阵的运算

a11 M ai1 + bi1 M a n1
a12
Ln2
M M M ai 2 + bi 2 L ain + bin = ai1 M M M an2 a nn a n1 L
L a1n a11 M M L ain + bi1 M M L a nn a n1
a12 M bi 2
因此
( n − 1)( n − 2) ， 2
D = (−1)
( 2007 −1)( 2007 − 2 ) 2
2007!= −2007! ．
此题也可以按行(列)展开来计算． 例 1.11 计算 n 阶行列式
即
( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0． 同理
2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0
于是 A31 + A32 + A33 = 0， A34 + A35 = 0．
1 1 A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = 3 2 1
1 2 D= 3 4 1 0 = 10 0 0
2 3 4 1
3 4 1 2
1 4 10 10 10 10 2 3 4 1 2 1 = = 10 3 4 1 2 3 2 4 1 2 3 4 3
1 3 4 1
1 4 1 2
1 1 1 1 1 1 0 1 2 −1 = 10 2 0 1 − 2 −1 3 0 − 3 − 2 −1
故答案为 0，0，0．
2 1 2 2 1
3 1 1 2 1
4 2 4 1 1

详细描述：本题主要考察学生对矩阵运算的掌握程度， 包括矩阵的加法、数乘、乘法等基本运算。
详细描述：本题主要考察学生对线性方程组解法的理解 ，通过给定的线性方程组，要求学生判断其解的情况， 并求解当有解时的解向量。
习题二解析
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总结词：向量空间
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详细描述：本题主要考察学生对向量空间的定义和性质的 理解，要求学生判断给定的集合是否构成向量空间，并说 明理由。
线性变换与矩阵表示
线性变换是线性代数中的重要概念，理解如何用 矩阵表示线性变换以及其性质是解决相关问题的 关键。
向量空间的维数与基底
向量空间的维数与基底的概念较为抽象，理解其 定义和性质有助于更好地解决相关问题。
04
典型例题解析
例题一解析
总结词
矩阵的乘法
详细描述
本题考查了矩阵乘法的规则和计算方法。首先，我们需要明确矩阵乘法的定义，即第一个矩阵的列数必须等于第 二个矩阵的行数。然后，我们按照矩阵乘法的步骤，逐一计算结果矩阵的元素。在计算过程中，需要注意矩阵元 素的位置和计算方法。
导致在解题时无法正确应用它们。
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例题二解析
总结词
行列式的计算
详细描述
本题考查了行列式的计算方法和性质。首先，我们需要明确行列式的定义，即由n阶方阵的元素按照 一定排列顺序构成的二阶方阵。然后，我们根据行列式的性质，逐步展开并化简计算结果。在计算过 程中，需要注意行列式的展开顺序和符号的变化。
例题三解析
总结词
向量的线性组合
详细描述
习题三解析
总结词：行列式计算 总结词：矩阵的秩 总结词：特征值与特征向量
详细描述：本题主要考察学生对行列式的计算能力，通 过给定的矩阵，要求学生计算其行列式的值。

i行展开，得
D1 ai1 Ai1
ai1 Ai1
ai , j 1 Ai , j 1 aij 1 Aij ai , j 1 Ai , j 1
ai , j 1 Ai , j 1 aij Aij ai , j 1 Ai , j 1
ain Ain
7
24 A 24 24 4 12 7 180 .
2
【方法归纳】 本题属于抽象型行列式的计算问题，
求
解的关键是灵活运用行列式的基本性质.
13
1
x
x2
x n1
1
例7 设 P x 1
a1
a2
a12
a22
a1n1
a2n1 ，其中 a1 , a2 ,
30
2
1
2
2
2
3
n 1
1
n 1
2
n 1
3
1 an1 an21
, an1 是
ann11
互不相同的数.
(1)由行列式定义，说明 P x 是一个 n 1次多项式；
(2)由行列式性质,求 P x 0 的根.
14
解 (1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，
所以若
按行列式的第一行展开，
含有 x n1 的对应项的系数恰为
a1 j 1
a2 j 1
a1n
a2 n
an1
anj 1
ann
，
将D1按第j列拆分成两个行列式，再把第二个行列式按第j列
展开，得
19
D1
a11
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2 n