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探究：如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投 放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空 气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
A
M(x,y)
o
x
（ 1 ）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标x 、y都是某个变数t的函数，即 x f (t )
y P M
O
Q x
练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是
x 5 cos y 5 sin
(0≤ ＜2 )
⑴如果圆上点P所对应的参数
5 ，则点P的坐标是 3
5 5 3 , 2 2
5 5 3 , , 则点 Q 对应 2 如果圆上点Q所对应的坐标是 2 2 2 的参数 等于 3
P 1 ( x1 , y1 )
5
o
x1 r cos x a r cos 又 所以 y1 r sin y b r sin
-5
例2. 如图,已知点P是圆O：x2 + y2 = 4 上
的一个动点 ,点Q ( 6 , 0 )是 x 轴上的 定点 .M是PQ中点，当点 P绕O点 作匀速圆 周运动时,求点M的轨迹的参数方程?
x 2 cos 2.选择题：参数方程 ( 为参数)表示的曲线是 A y 2sin A.圆心在原点, 半径为2的圆 B.圆心不在原点, 但半径为2的圆 C.不是圆 D.以上都有可能
3、填空题 : x 2 cos (1)参数方程 表示圆心为（2，-2） y 2 sin 2 2 的圆，化为标准方程为 x 2 y 2 1 半径为 1
P(x,y)
5
x r cos y r sin
r
①
o
p0
5
-5
并且对于 的每一个允许值,由方程组① 所确定的点P(x,y),都在圆O上.
-5
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的 参数方程， 是参数.
思考2 : 圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆的标准方程 为( x a) 2 ( y b) 2 r 2 , 那么参数方程是什么呢 ?
y
B
O
A
x
C
3、解：不妨设ABC的外接圆的半径为 1，建立 如图的平面直角坐标系 ，时点B, C关于x轴对称 x cos 那么外接圆的参数方程 是{ (为参数) y sin 1 3 1 3 A, B, C的坐标分别为 (1,0), ( , ), ( , ) 2 2 2 2 设点M (cos , sin )则 MA MB MC [(cos 1) 2 sin 2 ] 1 2 3 2 1 2 [(cos ) (sin ) ] [(cos ) 2 2 2 3 2 (sin ) ]6 2
第二讲
参数方程
1、参数方程的概念
在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方 程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线 上的点的坐标 x , y 的关系并不容易，但如果利用 某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便 地得出坐标 x , y 所要适合的条件，即参数可以帮 助我们得出曲线的方程 f ( x , y )＝0。
( 2 ) 把圆方程 x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 化为参数方程为
x 1 2 cos y 2 2 sin
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
( x a) ( y b) r
2 2 2
x r cos y r sin
（ 2）设 y 2t ，t 为参数 .
小 结:
1、参数方程与普通方程的概念 2、圆的参数方程
3、参数方程与普通方程的互化
x 100t 1 2 (t为参数，表示时间 1、 { ) y h gt 2
2、设经过时间t，动点的位置是 M ( x, y ), 则 x 2 3t , y 1 4t , 于是点M的轨迹的参数方程为 x 2 3t { (以时间t为参数) y 1 4t
y g (t )
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点 M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这 条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数叫做参 变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几 何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。
（ 2 ） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆 平移得到, 设圆O1上任意一点P( x, y ) 是圆O上的点P 1 ( x1 , y1 )平移得到的, 由平移公式, 有 x x1 a y y1 b
r
-5
观察2
(a,b)
5
O1
P(x,y)
v(a,b)
2 2 2
4、解; (1)2 x y 7 0, 直线； （2）y 2 x , x [1,1],以(1,2), (1,2)为端点的
2
一段抛物线； （3）x y 4, 双曲线；
2 2
x t 3t 1 5、 (1){ (t为参数) y t 1
2
x a cos ( 2){ ( 为参数 ) 4 y a sin
(1)
x t 1 y 1- 2 t
x=t+1/t
(2)
x sin cos y 1 sin 2
(3)
y=t2+1/t2
步骤：（1）消参； （2）求定义域。
x y 1 的参数方程. 例4、求椭圆 9 4
2
2
（ 1 ）设x 3cos ，为参数 ;
4
x a r cos y b r sin
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系。
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。
例3、将下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线：
线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
例1.
已知曲线C 的参数方程是
x 3t 2 y 2t 1
(1)判断点（0，1）, (5 , 4 ) 是否在Ｃ上. (2)已知点（６，a）在曲线Ｃ上，求 a .
思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？
观察1
如果点P的坐标为( x, y ),圆半径为r , P0OP , 根据三角函数定义 , 点P的横坐标x、 纵坐标y都是的函数,即
