第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2|30,|13A x x x B x x =-≥=<≤，则如图所示阴影部分表示的集合为（ ）A ． [)0,1B ． (]0,3C ．()1,3D ．[]1,3 【答案】C考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；相关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式表现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）. 2. 已知向量()(),2,1,1m a n a ==-，且m n ⊥，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．2-或1 D ．2- 【答案】B 【解析】试题分析：因为m n ⊥，所以2(1)20m n a a a ⋅=+-=-=，即2a =，故选B. 考点：向量的坐标运算.3. 设复数z 满足()3112(i z i i +=-为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】试题分析：因为()3112i z i +=-，所以12(12)(1)311(1)(1)22i i i z i i i i ++-===+++-，即复数z 对应的点位于复平面内第一象限，故选A. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.4. 已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ） A ． 1 B ．116 C ． 14 D ．12【答案】C 【解析】考点：古典概型.5. 若直线:4l mx ny +=和圆22:4O x y +=没有交点，则过点(),m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ． 0 B ． 至多有一个 C ．1 D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：因为直线:4l mx ny +=和圆22:4O x y +=2>，即2<，所以点(,)m n 在圆O 内，即点(,)m n 在椭圆22194x y +=内部，所以过点(,)m n 的直线与椭圆有两个公共点，故选D.考点：1.直线与圆的位置关系；2.点与圆、点与椭圆的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系.6. 在四面体S ABC -中，,2,AB BC AB BC SA SC SB ⊥======，则该四面体外接球的表面积是（ ）A ．BC ．24πD ． 6π 【答案】D 【解析】试题分析：因为,AB BC AB BC ⊥==所以2AC SA SB ===，设AC 的中点为D ，连接AD ，则考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.7. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为（ ） A ．120 B ． 110C ．10D ．20 【答案】B 【解析】试题分析：因为11(1)(1)22n n n na d S n a d n n -+-==+，所以2017171120171171()100010020171722S S a d a d d ---=+-+==，所以110d =，故选B. 考点：等差数列的前n 项和公式与性质.8. 若函数()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>的部分图象如图所示，则关于()f x 的描述中准确的是（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 C ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增减函数 【答案】C 【解析】考点：三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A ，再根据周期确定ω，由最高点的值或最低点的值确定ϕ，求出解析式后再研究函数相关性质.9. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是2312，则（ ）A ．13a =B ．12a =C ．11a =D ．10a = 【答案】C 【解析】试题分析：该程序框图逆反心理表示的算法功能为1111111111111112122334(1)2233411S k k k k k =++++=+-+-+-++-=-⨯⨯⨯⨯+++，由1232112k -=+提，11k =，这时运行程序得11112k =+=，所以11a =符合题意，故选C.考点：程序框图. 10. 函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ）A ． 4133a -<<-B ．112a -<<- C ．20a -<< D ．63516a -<<-【答案】D 【解析】考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数的图象与性质. 11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C ．1043 D ．1074【答案】C 【解析】A1考点：多面体的表面各与体积.12. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，当12a <<时实根个数为（ ）A ． 5 个B ．6个C ． 7个D ． 8个【答案】B 【解析】试题分析：令12t x x=+-，则12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭转化为()f t a =，在直角坐标系内作出函数()y f x =与函数y a =的图象，由图象可知，当12a <<时，()f t a =有三个根123,,t t t ，其中123244,12,23t t t -<<-<<<<，由1231112,2,2,x t x t x t x x x+-=+-=+-=得x 共有6个不同的解，故选B.考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存有定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,1-，则它的离心率为 ．【解析】考点：双曲线的几何性质；14. 曲线()232ln f x x x x =-+在1x =处的切线方程为 ．【答案】30x y --= 【解析】试题分析：()21132ln12f =-+=-，()223f x x x'=-+，()12321f '=-+=，所以切线方程为21y x +=-即30x y --=. 考点：导数的几何意义.15. 某大型家电商场为了使每月销售A 和B 两种产品获得的总利润达到最大，对某月即将出售的A和B实行了相关调査，得出下表：如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为元．【答案】960【解析】z=⨯+⨯=.604809960考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属中题；线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键.16.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4（从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是 ．【答案】194 【解析】考点：1.归纳推理；2.等差数列的前n 项和公式.【名师点睛】本题考查的是归纳推理、等差数列的前n 项和公式，属中档题；归纳推理是从特殊事例中归纳出一般性结论的推理，解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.注意运算的准确性.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+.（1）求角A 的大小;（2）若224b c +=,求ABC ∆的面积.【答案】(1)60︒. 【解析】试题分析：(1) 由222b c a bc +=+得222b c a bc +-=代入余弦定理即可求出角A ；(2)由正弦定理先求出边a ，再由余弦定理可求出bc ，代入三角形面积公式即可. 试题解析： （1）由222b c a bc +=+得222b c a bc +-=，故 2221cos 22b c a A bc +-==考点：正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正、余弦定理的应用，容易题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18. （本小题满分12分）如图，三棱住111ABC A B C -中,11,,60CA CB AB AA BAA ==∠=. （1）证明：1AB AC ⊥;（2）若12,AB CB AC ===,求三棱住111ABC A B C -的体积.【答案】(1)见解析；(2)3. 【解析】试题分析：(1)欲证1AB AC ⊥，可构造过1AC 的一个平面与AB 垂直即可，取AB 的中点O ,构造平面1OAC ，证明AB ⊥ 平面1OAC 即可；(2) 由题设知ABC ∆与1AA B ∆ 都是边长为2的等边三角形,只要证1OA ⊥ 平面ABC ,即可求三棱柱的体积.试题解析：（Ⅰ）证明：如图，取AB 的中点O ，连结OC ,11,OA A B ．因为CA CB = ，所以OC AB ⊥ ．因为1AB AA = ，160BAA ∠= ，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥． 因为10OCOA = ，所以AB ⊥ 平面1OAC . 又1AC ⊂平面1OAC ，故1AB AC ⊥.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.多面体的表面积与体积.19. （本小题满分12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒实行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元;未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了 160盒该产品，以x (单位：盒，100200x ≤≤)表示这个开学季内的市场需求量，(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的中位数; （2）将y 表示为x 的函数;（3）根据直方图估计利润很多于4800元的概率.A1C【答案】(1)4603;(2)804800,1001608000,160200x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩;(3)0.9p =.【解析】则中位数34602032140=⨯+=x （2）因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损 30元， 所以当 100160x ≤≤时，()5030160804800y x x x =-⨯-=- ， 当160200x <≤ 时， 160508000y =⨯=所以 804800,1001608000,160200x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩. （3）因为利润很多于4800 元，所以8048004800x -≥ ，解得 120x ≥, 所以由（1）知利润很多于 4800元的概率10.10.9p =-= . 考点：1.频率分布直方图；2.对立事件的概率.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中, 过点()2,0C 的直线与抛物线24y x =相交于,A B 两点,()()1122,,,A x y B x y . （1）求证：12y y 为定值;（2）是否存有平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存有，求该直线方程和弦长；如果不存有，说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存有平行于y 轴的定直线1x =被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值. 【解析】所以821-=y y (定值) ,当直线 AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为)2(-=x k y由⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)2(2得0842=--k y ky 821-=∴y y 所以有821-=y y 为定值（解法2）设直线AB 的方程为2-=x my由⎩⎨⎧=-=xy x my 422得0842=--my y 821-=∴y y 所以有821-=y y 为定值 . (Ⅱ)设存有直线l ：a x =满足条件，则AC 的中点)2,22(11y x E +，2121)2(y x AC +-= 所以以AC 为直径的圆的半径421)2(2121212121+=+-==x y x AC r考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的使用可有效地简化运算. 21. （本小题满分12分）已知函数()()2ln ,f x ax bx x a b R =+-∈.（1）当1,3a b =-=时, 求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值;（2）设0a >,且对于任意的()()0,1x f x f >≥,试比较ln a 与2b -的大小. 【答案】(1)()f x 的最大值为2，()f x 的最小值为2ln 2-；(2) ln 2a b <- 【解析】试题分析：（1）当1,3a b =-=时，()23ln f x x x x =-+-，且1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()211x x f x x--'=-,讨论函数在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性与极值，与两端点值比较即可求其最大值与最小值；（2）因为()()0,1x f x f >≥，所以()f x 的最小值为(1)f ,设()0f x '=的两个根为21,x x ，则02121<-=ax x , 不妨设0,021><x x ，则21x =，所以有即12b a =-，令()24ln g x x x =-+,求导讨论函数()g x 的单调性可得()11ln 404g x g ⎛⎫≤=-< ⎪⎝⎭，即()0g a <，可证结论成立.试题解析： （1）当1,3a b =-=时，()23ln f x x x x =-+-，且1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=-+-=-=-． 由()0f x '>，得112x <<；由()0f x '<，得12x <<， 所以函数()f x 在1(,1)2上单调递增；，函数()f x 在(1,2)上单调递减，所以函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦仅有极大值点1x =，故这个极大值点也是最大值点，故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()12f =，又()()153322ln 2ln 22ln 2ln 402444f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()122f f ⎛⎫<⎪⎝⎭，故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()22ln 2f =-． （Ⅱ）由题意，函数f （x ）在x=1处取到最小值，又xbx ax x b ax x f 1212)(2'-+=-+=设0)('=x f 的两个根为21,x x ，则02121<-=ax x 不妨设0,021><x x ，故()0g a < ，即24ln 2ln 0a a b a -+=+< ，即ln 2a b <- .考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与不等式.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,,,A B C D 四点在同一个圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ,点F 在BA 的延长线上. （1）若11,32EC ED EB EA ==,求DCAB的值; （2）若2EF FA FB =,证明：EF CD .【答案】见解析. 【解析】又因为,,,A B C D 四点共圆；EDC EBF FEA EDC EF CD ∴∠=∠∴∠=∠∴.考点：1.三角形相似；2.圆的性质与应用.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：1(12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数), 曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 求PQ 的值.【答案】(1) 曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=, l的普通方程为+10x =.【解析】试题分析：(1) 在极坐标方程两边同乘以ρ，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可将曲线C的极坐标方设其两根分别为 12,t t，则121215,t t t t PQ t +==∴=-= .考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2，参数方程与普通方程的互化；3.直线参数方程参数的几何意义.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()223,12f x x a x g x x =-++=-+. （1）解不等式()5g x <;（2）若对任意1x R ∈,都有2x R ∈,使得()()12f x g x =成立, 求实数a 的取值范围. 【答案】(1) {}|24x x -<<;(2)(][),51,-∞--+∞.【解析】(][),51,-∞--+∞.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值函数值域的求法.。
2019届河北省衡水中学高三一摸考试数学（文）试卷★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合2，3，，，则A． B． C． D．2．已知复数其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为A．1 B． C． D．3．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为A．5 B． C． D．4．如图的折线图是某农村小卖部2018年一月至五月份的营业额与支出数据，根据该折线图，下列说法正确的是A．该小卖部2018年前五个月中三月份的利润最高B．该小卖部2018年前五个月的利润一直呈增长趋势C．该小卖部2018年前五个月的利润的中位数为万元D．该小卖部2018年前五个月的总利润为万元5．如图是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为的正方形和一个直角三角形围成现已知，，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的直角三角形区域的概率为A． B． C． D．6．已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为A． B． C． D．7．在直三棱柱中，，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．8．设命题将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象；命题若，则，则下列命题为真命题的是A． B． C． D．9．设函数，，若直线，分别是曲线与的对称轴，则A．2 B．0 C． D．10．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是A． B．2 C．4 D．611．已知双曲线的离心率为2，左，右焦点分别为，，点在双曲线上,若的周长为，则1 / 9A． B． C． D．12．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”.已知，则曲线的“优美点”个数为A．1 B．2 C．4 D．6二、解答题13．已知数列满足，且．求证：数列为等差数列；求数列的通项公式；记，求数列的前2018项和．14．在如图所示的多面体中，，平面．(Ⅰ)证明：平面；(Ⅱ)若，，求三棱锥的体积．15．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲，外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如表：(1)据统计表明，与之间具有线性相关关系.(ⅰ)请用相关系数加以说明：(若，则可认为与有较强的线性相关关系(值精确到0.001))(ⅱ)经计算求得与之间的回归方程为.假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于2500单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围：(值精确到0.01)(2)试根据表格中这五天的日接单量情况，从平均值和方差角度说明这两家外卖企业的经营状况.相关公式：相关系数，参考数据：.16．已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且求抛物线的方程；动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知函数，其中为自然对数的底数．讨论函数的极值；若，证明：当，时，．18．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为求圆的普通方程和圆的直角坐标方程；若圆与圆相交于点，求弦的长．19．已知函数．求不等式的解集；若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围．三、填空题20．已知向量，，若，则______．21．已知实数满足不等式组，则的最小值为______．22．在中，角所对的边分别为，且满足，若的面积为，则______．23．已知正方体的棱的中点为与交于点，平面过点，且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为______．。
