二次函数根与系数的关系练习

-3 。（还有其他解法吗？） 一个根是___，m=____
14 X12+X22 = ( X1+X2)2 - 2X1X ___ = ___ 2
X 1+X 12 ( X1-X2)2 = ( 2 ___ )2 - 4X1X 2 = ___
3、判断正误： 以2和-3为根的方程是X －X-6=0
2
（× ）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 2和-1 _____ 。
5、以方程X2+3X+2=0的两个根的相反数为根的方
基 础 练 习
程是（ B A、y2+3y-2=0 C、y +3y+2=0
2
） B、 D、 y2－3y+2=0 y －3y-2=0
2
此题还有其他解法吗？
换元法： 设y=-x，则x=-y，将其代入X2+3X+2=0， 得y2－3y+2=0 ，即为所求方程。
k 2 0 2 2 (2k 1) 4k 0 2k 1 x1 x源自 2 0 k 解得:
所以,不存在这样的k值
求未知系数的取值范围
例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.
(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?
已知，二次函数y=aX2+bX+c（a≠0）过点（1，2） 和点（0，3），又知X1、X2是方程aX2+bX+c=0的两
个根，且 式。
+
=2，求此二次函数的解析
想一想
口答练习：
下列方程的两根和与两根积各是多少？

一元二次方程根与系数的关系专项训练1、已知关于x 的方程0)32(22=+-+k x k x 有两个实数根x 1、x 2，且x 1+x 2 =x 1x 2，求k 的值2、已知：关于x 的方程x 2-kx-2=0.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1,x 2,如果2(x 1+x 2)>x 1x 2,求k 的取值范围。

3、已知关于x 的方程x 2-2ax+a 2-2a+2=0的两个实数根x 1,x 2满足x 12+x 22=2,求a 的值.4、已知关于x 的一元二次方程x 2-2(k+1)x+k 2-3=0.（1）若此方程有两人个实数根，求实数k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根x 1、x 2满足321121-=+x x ，求实数k 的值。

5、已知关于x 的一元二次方程k 2x 2+(1-2k)x+1=0有两个不相等的实数根x 1,x 2.求k 的取值范围；（2）当k 为何值时，│x 1+x 2│-2x 1x 2=-3.6、关于x 的方程04)1(2=+++k x k kx 有两个不相等的实数根。

（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数与等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

7、已知：关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x ；其中k 为实数，（1）求证：不论k 取什么实数，方程都用两个不同的实根；（2）设方程的两根为x 1，x 2，且满足2x 1+x 2=3，求实数k 的值8、已知关于x 的方程x 2+2(2-m )x +3-6m =0(1) 求证:无论m 取什么实数,方程总有实数根；(2) 如果方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1=3x 2，求实数m 的值. 9、已知关于x 的方程012)14(2=-+++k x k x . （1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根；（2）若x 1、x 2是两个实数根，且32)2)(2(21-=--k x x ，求k 的值10、已知关于x 的方程()013222=++--k x k x 。

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0．1当m取何值时,方程有两个不相等的实数根；2若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．1求证：此方程有两个不相等的实数根；2设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1＜x2．若2x1=x2+1,求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0．1求证：方程有两个不相等的实数根；m,且点B m,n在x轴上,求m 2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2,若n=x2-x1-12的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围；2若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值．例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-1=0．21求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根；2能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数若能找到,求出k的值；若不能,请说明理由．3当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．1求证：方程总有两个实数根；2已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1α+1α=1,求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=01若方程有两个实数根,求m的范围；2若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值．3.已知关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=01证明：无论m为何值方程都有两个实数根；2是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26若存在,求出满足条件的正数m的值；若不存在,请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k为常数．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设x1、x2为方程的两个实数根,且2x1+x2=14,试求出方程的两个实数根和k 的值．5.已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．1求k的取值范围；2若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3,求k的值．m-3=06.已知关于x的一元二次方程x2-m-2x+121求证：无论m取什么实数时,这个方程总有两个不相等的实数根；2如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1+x2=m+1,求m的值．7.已知关于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．1求a的值及方程的另一个根；2如果一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长．8.设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根,当a 为何值时,x 12+x 22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解：1∵方程有两个不相等的实数根, 例2. ∴△=b 2-4ac =-2m -12-4mm -2=4m +1＞0, 例3. 解得：m ＞-14,∵二次项系数≠0,∴m ≠0, 例4. ∴当m ＞-14且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根； 例5. 2∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根,例6. ∴x 1+x 2=2α−1α,x 1x 2=α−2α, 例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=x 1+x 22-3x 1x 2=2α−1α2-3(α−2)α=2, 例8.解得：m 1=√2+1,m 2=-√2+1舍去；∴m =√2+1．例9. 解：1∵△=-4m 2-44m 2-9=36＞0,例10. ∴此方程有两个不相等的实数根； 例11. 2∵x =4α±√362=2m ±3,例12. ∴x 1=2m -3,x 2=2m +3,例13. ∵2x 1=x 2+1,∴22m -3=2m +3+1,例14.∴m =5．例15. 解：1∵△=4-3m 2-4m 2m -8, 例16. =m 2+8m +16=m +42例17. 又∵m ＞0∴m +42＞0即△＞0 例18. ∴方程有两个不相等的实数根； 例19. 2∵方程的两个根分别为x 1、x 2x 1＜x 2,例20. ∴x 1+x 2=-4−3αα,x 1x 2=2α−8α, 例21. n =x 2-x 1-12m ,且点B m ,n 在x 轴上, 例22. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)2−4α2α1-12m =√(4−3αα)2−4×2α−8α-12m =0, 例23. 解得：m =-2,m =4,例24.∵m ＞0,∴m =4．例25. .解：1∵方程x 2-2m +1x +m 2+5=0有两个不相等的实数根, 例26. ∴△=-2m +12-4m 2+5=8m -16＞0,解得：m ＞2． 例27. 2∵原方程的两个实数根为x 1、x 2, 例28. ∴x 1+x 2=2m +1,x 1x 2=m 2+5． 例29. ∵m ＞2,例30. ∴x 1+x 2=2m +1＞0,x 1x 2=m 2+5＞0, 例31. ∴x 1＞0、x 2＞0．例32. ∵x 12+x 22=(α1+α2)2-2x 1x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1x 2, 例33. ∴4m +12-2m 2+5=2m +1+2m 2+5,即6m -18=0,例34.解得：m =3．例35. 证明：1∵△=2k +12-16k -12=2k -32≥0, 例36. ∴方程总有实根；例37. 解：2∵两实数根互为相反数, 例38. ∴x 1+x 2=2k +1=0,解得k =； 例39. 3①当b =c 时,则△=0, 例40. 即2k -32=0,∴k =32, 例41. 方程可化为x 2-4x +4=0,∴x 1=x 2=2,而b =c =2,∴b +c =4=a 不适合题意舍去；例42. ②当b =a =4,则42-42k +1+4k -12=0, 例43. ∴k =52, 例44. 方程化为x 2-6x +8=0,解得x 1=4,x 2=2, 例45. ∴c =2, C △ABC =10,例46. 当c =a =4时,同理得b =2,∴C △ABC =10,例47.综上所述,△ABC 的周长为10．训练1.1证明：∵方程mx 2-m +2x +2=0m ≠0是一元二次方程, ∴△=m +22-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=m -22≥0, ∴方程总有两个实数根；2解：∵方程有两个不相等的实数根α,β,∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α,αβ=2α, ∵1α+1α=1,∴α+2α2α=α+22=1,解得m =0,∵m ≠0,∴m 无解．2.解：1∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根,∴△=-22-4m ≥0,解得m ≤1；2由两根关系可知,x 1+x 2=2,x 1x 2=m ,解方程组{α1+α2=2α1+3α2=3, 解得{α1=32α2=12,∴m =x 1x 2=32×12=34； 3∵x 12-x 22=0,∴x 1+x 2x 1-x 2=0,∵x 1+x 2=2≠0,∴x 1-x 2=0,∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根,∴△=-22-4m =0,解得m =1．3. 1证明：∵关于x 的方程x 2+m -3x -m 2m -3=0的判别式△=m -32+4m 2m -3=9m -12≥0,∴无论m 为何值方程都有两个实数根；2解：设方程的两个实数根为x 1、x 2,则x 1+x 2=-m -3,x 1×x 2=-m 2m -3,令x 12+x 22=26,得：x 1+x 22-2x 1x 2=m -32+2m 2m -3=26,整理,得5m 2-12m -17=0,解这个方程得,m =175或m =-1, 所以存在正数m =175,使得方程的两个实数根的平方和等于26．4. 1证明：在方程x 2-6x -k 2=0中,△=-62-4×1×-k 2=4k 2+36≥36, ∴方程有两个不相等的实数根．2解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根,∴x 1+x 2=6①,x 1x 2=-k 2,∵2x 1+x 2=14②,联立①②成方程组{α1+α2=62α1+α2=14, 解之得：{α1=8α2=−2, ∴x 1x 2=-k 2=-16,∴k =±4．5. 解：1∵原方程有两个不相等的实数根,∴△=-2k -32-4k 2+1=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0,解得：k ＜512；2∵k ＜512,∴x 1+x 2=2k -3＜0,又∵x 1x 2=k 2+1＞0,∴x 1＜0,x 2＜0,∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-x 1+x 2=-2k +3,∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3,∴-2k +3=2k 2+2-3,即k 2+k -2=0,∴k 1=1,k 2=-2,又∵k ＜512, ∴k =-2．6. 解：1∵△=m -22-4×12m -3=m -32+3＞0, ∴无论m 取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根；2解：x1+x2=m-2,2x1+x2=x1+x1+x2=m+1,∴x1=m+1+2-m=3,把x1代入方程有：9-3m-2+12m-3=0解得m=245．7. 解：1将x=3代入方程中,得：9a-1-15+4a-2=0, 解得：a=2,∴原方程为x2-5x+6=x-2x-3=0,解得：x1=2,x2=3．∴a的值为2,方程的另一个根为x=2．2结合1可知等腰三角形的腰可以为2或3,∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8. .解：∵△=2a2-4a2+4a-2≥0,∴α≤12又∵x1+x2=-2a,x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=x1+x22-2x1x2=2a-22-4．设y=2a-22-4,根据二次函数的性质．∵α≤12∴当α=12时,x12+x22的值最小．此时α12+α22=2(12−2)2−4=12,即最小值为12．。

根与系数关系应用2.甲乙二人解同一个方程x 2+mx+n=0，甲看错了常数项，求得两个根为4和-1，乙看错了一次项系数，得到两个根为2和-9，请你写出这个方程是 ，它的解1.在Rt △ABC 中，斜边AB=5，BC 、AC 是一元二次方程x 2-（2m-1）x+4（m-1）=0 的两个实数根，则m 等于2.关于x 的方程x 2-ax+2a=0的两根的平方和是5，则a 的值是3.一元二次方程：（m-1）x 2+（m 2-3m+2）x-8=0互为相反数根，则m=1.若α、β是方程x 2-x-2006=0的两个实数根，则α+β2的值是2.设a ，b 是方程x 2-x-2010=0的两个实数根，则a 2+2a+3b 的值为3.若α、β是方程x 2+2x-2009=0的两个根，则：α2+3α+β的值为1.设x 1，x 2是方程x 2+x-4=0的两个实数根，则x 13-5x 22+10=2.已知x 1，x 2是方程x 2+3x+1=0的两个实数根，则x 13+8x 2+20=1.若非零实数a ，b （a ≠b ）满足a 2-a －2007=0，b 2-b －2007=0，则：b a 11+ = 2.若非零实数a ，b 满足a 2-a －2007=0，b 2-b －2007=0，则：b a a b+ =1.如果方程x 2-4x+c=0的一个根是2+根的分布情况1.已知关于x的方程x2-kx+k2-1=0，（1）k为何值时，方程有两个正根；（2）k为何值时，方程有一正一负的根；2.①关于x的二次方程mx2-2（m-1）x-4=0（m≠0）的两根一个比1大，另一个比1小，求m的取值范围②已知一元二次方程（k2+1）x2-（4-k）x+1=0的一个根大于1，另一个根小于1，求整数k的值3.①当m为何正整数时，关于x的一元二次方程x2-2（m-2）x+m2-4m-5=0的两个实数根都小于3？②若关于x的方程x2+（m-4）x+6-m=0的二根都大于2，求实数m的范围4.①已知关于x的方程x2-5x+a-1=0的一根大于3，另一根小于-1，求a的取值范围②已知一元二次方程7x2-（k+13）x-k+2=0有两个实数根x1，x2，且满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，求k的取值范围5.已知函数y=3x2+2（1-a）x-a（a+2）（1）求证：函数的图象与x轴一定有交点；（2）若方程3x2+2（1-a）x-a（a+2）=0的两个根均大于-1且小于1，求a的取值范围．特殊的根1.①已知a、b、c为有理数，且a+b-2c≠0．求证：方程（a+b-2c）x2+（b+c-2a）x+（c+a-2b）=0必有有理数根②设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，求m的值2.①如果关于x的方程kx2+（2k-1）x+k-1=0只有整数解，试探索整数k的值②m是什么整数时，方程（m2-1）x2-6（3m-1）x+72=0有两个不相等的正整数根4.已知方程x2-3x+a+4=0有两个整数根．（1）求证：这两个整数根一个是奇数根，一个是偶数根；（2）求证：a是负数；（3）当方程的两个整数根同号时，求a的值及这两个根5.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实根都是整数，求正整数m的值．应用1.①当k为何实数时，方程x2+（k+1）x+2=0和方程x2-x-k=0有且只有一个相同的实数根，并求出这个相同的根②设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值2.①设a，b是方程x2+57x+1=0的两根，c，d是方程x2-57x+1=0的两根，则（a+c）（b+c）（a-d）（b-d）的值为②已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．4.已知关于x的方程x2-4|x|+k=0．（1）若方程有四个不同的整数根，求k的值求出这四个根；（2）若方程有三个不同的整数根，求k的值及这三个根1.已知二次函数y1=x2-（k+2）x+2，y2=x2-kx-2k+2，（1）若二次函数y1=x2-（k+2）x+2与y轴的交点为A，与x轴的交点为B、C，（2）不论k为何值时，二次函数y2=x2-kx-2k+2的图象都过定点，求这个定点坐标；若经过定点和原点的直线与y2中某个二次函数图象相切时，求这个二次函数y2的解析式．2.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）试说明x1＜0，x2＜0；（3）若抛物线y=x2-（2k-3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB-3，求k的值．3.已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任作一条与抛物线y=ax2（a＞0）交于两点的直线，设交点分别为A、B．若∠AOB=90°．（1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；（2）确定抛物线y=ax2（a＞0）的解析式；。