2014届高三数学(理)一轮总复习：第七篇 立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积和体积 Word版含解析
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第节空间几何体的表面积和体积
【选题明细表】
一、选择题
1.(2013重庆青木关中学高三月考)如图所示,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,且直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为( A)
(A)(B)(C)(D)1
解析:根据三视图,可知该几何体是三棱锥,如图为该三棱锥的直观图,
三棱锥的底面是一个腰长是1的等腰直角三角形,
∴底面的面积是×1×1=. 垂直于底面的侧棱长是1,即高为1, ∴三棱锥的体积是××1=. 故选A.
2.一个斜三棱柱(侧棱与底面不垂直),底面是边长为5的正三角形,侧棱长为4,侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°,则这个斜三棱柱的侧面积是( B ) (A )40 (B )20(1+) (C )30(1+) (D )30
解析:如图所示,若∠A 1AC=∠A 1AB=60°,则可证明▱BB 1C 1C 为矩形,因此,S
侧=2
+=2×4×5×sin 60°+4×5=20(1+).故选B.
3. (2013宜宾高三综合考试)如图所示,在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ,Q 满足A 1P=BQ ,过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( B )
(A )3∶1
(B )2∶1
(C)4∶1 (D)∶1
解析:考查点P、Q特殊位置时的情况:当P与A点重合,点Q与B1点重合,设底面ABC的面积为S,三棱柱高为h,则=Sh=,∴截面所分成两部分体积比为2∶1.故选B.
4.(2013成都高三检测)P为矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,PB=2,PC=,PD=,则四棱锥P ABCD的体积等于( B) (A)2 (B)4 (C)6 (D)12
解析:在Rt△PBC中,BC=3,
在Rt△PCD中,CD=2,
在Rt△ABC中,AC=,
在Rt△PAC中,PA=2,
∴V=×3×2×2=4.
故选B.
5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积(单位:cm3)为( A)
(A)π+(B)2π+
(C)2π+(D)π+
解析:由三视图想象其直观图如图,该组合体上部是一个三棱锥,下部是
一圆柱.由图中数据知V圆柱=π×12×1=π.
三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形,故其高即为三棱锥的高,高为,故棱锥高为.
由于棱锥底面为一等腰直角三角形,且斜边长为2,故两直角边长度都是,底面三角形的面积是××=1.
故V 棱锥=×1×=,故该几何体的体积是π+.故选A.
6. (2012北京市朝阳区高三上学期期末)已知正方形ABCD的边长为2,
将△ABC沿对角线AC折起,使平面ABC⊥平面ACD,得到如图所示的三棱锥B ACD.若O为AC边的中点,M,N分别为线段DC,BO上的动点(不包括端点),且BN=CM.设BN=x,则三棱锥N AMC的体积y=f(x)的函数图象大致是( B)
解析:等腰△ABC中,O为AC的中点,∴OB⊥AC.
又因OB⊂平面BAC,且平面ABC⊥平面ACD,
∴OB⊥平面ACD,∴三棱锥N AMC的高为NO,
Rt△ABC中,AB=BC=2,∴OB=2,∴NO=2-x,
=x·2=x,
S △
AMC
∴=(2-x)·x=(-x2+2x),
即f(x)=(-x2+2x)(0<x<2).故选B.
二、填空题
7.(2012湖州模拟)如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是.
解析:易知该几何体是正四棱锥.
设正四棱锥P ABCD,连接BD,
由PD=PB=1,BD=,则PD ⊥PB.
设底面中心O ,则四棱锥高PO=, 则其体积是V=Sh=×12×=. 答案:
8.(2012韶关调研)如图所示,BD 是边长为3的正方形ABCD 的对角线,将△BCD 绕直线AB 旋转一周后形成的几何体的体积等于 .
解析:旋转后形成的几何体是一个圆柱体挖去一个倒置的圆锥,其中圆柱、圆锥的底面半径、高均为3,所以V=V 柱体-V 锥体=π×3
2
×3-×π
×32×3=18π. 答案:18π
9.(2013成都外国语学校高三月考)已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等且为1,A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心O ,则三棱柱ABC A 1B 1C 1体积等于 . 解析:∵△ABC 为正三角形, 且边长为1,
∴AO=×=,
∴A1O=
=
=,
∴=×12×=.
答案:
10.已知一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是.
解析:由三视图可知,这个空间几何体是一个各棱长都为2的正三棱柱,如图所示,其中O1、O2是上、下底面的中心,O是上下底面中心的连线
的中点,则OA就是其外接球的半径,故OO2=1,O2A=,所以OA2=1+=,
故其外接球的表面积是4π×=.
答案:
三、解答题
11.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示.墩的上半部分是正四棱锥P EFGH(底面为正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心),下半部分是长方体ABCD EFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩的正视图和俯视图.
(1)请画出该安全标识墩的侧视图;
(2)求该安全标识墩的体积.
解:(1)侧视图如图所示.
(2)该安全标识墩的体积
V=+
=×402×60+402×20
=32000+32000=64000(cm3).
12.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.
解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,
由已知条件,
解得r=,l=4,
S=πrl+πr2=10π,
h==,
V=πr2h=.。
