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原子物理学第3章习题

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原子物理学习题标准答案（褚圣麟）很详细

原子物理学习题标准答案（褚圣麟）很详细

1．原子的基本状况1.1解：根据卢瑟福散射公式：20222442K Mvctgb bZeZea qpepe ==得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg bK oqape p ---´´===´´´´´´米式中212K Mv a =是a 粒子的功能。

1.2已知散射角为q 的a 粒子与散射核的最短距离为222121()(1)4sinm Ze r Mvqpe =+，试问上题a 粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min 22121()(1)4sinZe r Mvqpe =+1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75o --´´´=´´´+´´´143.0210-=´米1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。

问质子与金箔。

问质子与金箔原子核可能达到的最解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180o。

当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：220min 124p ZeMv K r pe ==，故有：2min 04pZe r K pe =19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---´´=´´=´´´米由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-´米。

1.7能量为3.5兆电子伏特的细a 粒子束射到单位面积上质量为22/1005.1米公斤-´的银箔上，a 粒解：设靶厚度为't 。

高中物理《原子物理》练习3—4

高中物理《原子物理》练习3—4

高中物理《原子物理》练习31． (2012·四川理综·17)如图所示为氢原子能级示意图的一部分，则氢原子( )A ．从n ＝4能级跃迁到n ＝3能级比从n ＝3能级跃迁到 n ＝2能级辐射出电磁波的波长长B ．从n ＝5能级跃迁到n ＝1能级比从n ＝5能级跃 迁到n ＝4能级辐射出电磁波的速度大C ．处于不同能级时，核外电子在各处出现的概率是一样的D ．从高能级向低能级跃迁时，氢原子核一定向外放出能量2． 可见光光子的能量在1.61 eV ～3.10 eV 范围内．若氢原子从高能级跃迁到低能级，根据氢原子能级图(如图所示)可判断( )A ．从n ＝4能级跃迁到n ＝3能级时发出可见光B ．从n ＝3能级跃迁到n ＝2能级时发出可见光C ．从n ＝2能级跃迁到n ＝1能级时发出可见光D ．从n ＝4能级跃迁到n ＝1能级时发出可见光3. 如图为氢原子的能级图，若用能量为10.5ev 的光子去照射一群处于基态的氢原子，则氢原子( )A ．能跃迁到n=2的激发态上去B ．能跃迁到n=3的激发态上去C ．能跃迁到n=4的激发态上去D ．以上三种说法均不对4. 氦原子的一个核外电子被电离，会形成类似氢原子结构的氦 离子．已知基态的氦离子能量为E 1=－54.4 eV ，氦离子能级的示意图如图所示．可以推知，在具有下列能量的光子中，不能．．被基态氦离子吸收而发生跃迁的是：( ) A ．40.8 eV B ．43.2 eV C ．51.0 eV D ．54.4 eV5. 已知氢原子的能级图如图所示，现用光子能量介于10～12．9 eV 范围内的光去照射一群处于基态的氢原子，则下列说法中正确的是（ ）。

A ．在照射光中可能被吸收的光子能量有无数种B ．在照射光中可能被吸收的光子能量只有3种C ．照射后可能观测到氢原子发射不同波长的光有6种D ．照射后可能观测到氢原子发射不同波长的光有3种6.μ子与氢原子核（质子）构成的原子称为μ氢原子，它在原子核物理的研究中有重要作用。

原子物理学习题标准答案(褚圣麟)很详细

原子物理学习题标准答案(褚圣麟)很详细

1．原子的基本状况1.1解：根据卢瑟福散射公式：20222442K Mv ctgb b Ze Zeαθπεπε== 得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg b K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米 式中212K Mvα=是α粒子的功能。

1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为2202121()(1)4sin mZe r Mv θπε=+ ，试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？ 解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米 1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。

问质子与金箔。

问质子与金箔原子核可能达到的最解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。

当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：220min124p Ze Mv K r πε==，故有：2min 04p Ze r K πε=19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米 由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。

1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为22/1005.1米公斤-⨯的银箔上，α粒解：设靶厚度为't 。

非垂直入射时引起α粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度't ，而是ο60sin /'t t =，如图1-1所示。

因为散射到θ与θθd +之间Ωd 立体角内的粒子数dn 与总入射粒子数n 的比为：dnNtd nσ= (1) 而σd 为：2sin )()41(422220θπεσΩ=d Mvzed （2）把（2）式代入（1）式，得：2sin)()41(422220θπεΩ=d Mv ze Nt n dn ……（3） 式中立体角元0'0'220,3/260sin /,/====Ωθt t t L ds dN 为原子密度。

《原子物理学》部分习题解答(杨福家)

《原子物理学》部分习题解答(杨福家)
Bz dD z m v
gJ
2
z g J B
氢原子基态 氯原子基态
2
3 2 3
S1/ 2 P3 / 2

1 S ( S 1) L ( L 1) 2 2 J ( J 1)
两束
四束
2
gJ
1 S ( S 1) L ( L 1) 4 2 2 J ( J 1) 3
pc
E k ( E k 2m0c ) E k
2
所以
E k m in p m in c 6 2 M eV
4－2 解： 原子态
2
D3/2
1 2 , J 3 2
可得
gJ 3 2
L 2, S
mJ
1 2
,
3 2
1 S ( S 1) L ( L 1) 4 2 J ( J 1) 5
Ek Ek
3.1keV 0.0094keV
3－3 解：
Ek m0 c 0.511MeV
2
若按非相对论处理
Ek 1 2 m0 v ，有
2
1 2
m0 v m0 c
2
2
v 2c
显然不合理，需要用相对论来处理。
E Ek m0 c 2m0c
2 2
又E mc m0 c
有磁场
m mg
1 2
3
S
1
0
1
0
2
g 2
h 0
3
P0
0
0
m 2 g 2 m1 g 1
2
0
2
相邻谱线的频率差
c

《原子物理与量子力学》一至三章习题解答

《原子物理与量子力学》一至三章习题解答
HUST
n n ( x ) dx A 0 sin a x d x 1 A
2 2 a 2
APPLIED PHYSICS 10
2 a
2.6 对称性（P52）
证： 设对应能量E的定态波函数为
( x)
满足定态Schrö dinger方程 以 - x 代替 x
d d d x 2 d( x ) 2
A1 cos k1a B1 sin k1a B2 exp k 2 a x a时 A1k1 sin k1a B1 k1 cos k1a B2 k 2 exp k 2 a A1 k1 sink1a k2 cos k1a B1 k1 cos k1a k2 sink1a 0
1 a 2 a x a时 d 1 d 2 dx dx x a
x a
A1 cos k1a B1 sin k1a A2 exp k 2 a x a时 A1 k1 sin k1a B1 k1 cos k1a A2 k 2 exp k 2 a A1 k1 sink1a k2 cos k1a B1 k1 cos k1a k2 sink1a 0
( , T )
所以必存在一点Tm=b使得
HUST APPLIED PHYSICS
( , T ) 0
5
令： 有：
x hc /(kT )
f ( x ) 5(1 Exp[ x]) x 0
由迭代公式：
xn1 5(1 Exp[ xn ]), x0 5.0
第一章 原子的基本状况
7． α粒子散射问题（P21） 单原子质量：
动能为
Nt

原子物理学第三章习题解答

原子物理学第三章习题解答

第三章习题解答3-1 电子的能量分别为10eV 、100eV 和1 000eV 时，试计算其相应的德布罗意波长。

解：根据公式hp λ==10eV 、100eV 、1 000eV得1240eV λ=⋅因此有：（1）当110,0.39K E eV nm λ===时 （2）当1100,0.123K E eV nm λ===时 （3）当11000,0.039K E eV nm λ===时3-2设光子和电子的波长均为0.4nm ，试问（1）光子的动量与电子的动量之比是多少？（2）光子的动能与电子的动能之比是多少？解：由题意知Q 光子的动量h p λ= ， 光子的能量cE h hνλ==电子的动量 h p λ= ， 电子的能量2e E m c =∴（1）121p p = （2）126212400.0610.40.40.40.51110e e E h hc eV nm E m c m c eV nm⋅====⨯⨯⋅ 3-3若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：（1）该电子的速度为多大？（2）其相应的德布罗意波长是多少？解：（1）相对论给出运动物体的动能为：20()k E m m c =-，而现在题设条件给出20k E m c =故有2200()m c m m c ∴=-由此推得02m m ===2230.8664v v c c ∴=⇒==（2）0hp c λ==Q0.0014nm λ∴===3-4把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量。

若晶体的两相邻布喇格面间距为0.18，一级布喇格掠射角（入射束与布喇格面之间的夹角）为30度，试求这些热中子的能量。

解：根据布喇格晶体散射公式： 2sin 20.18sin300.18d nm λθ==⨯⨯=o 而热中子的能量较低，其德布罗意波长可用下式表示：h p λ==()222220.02522k hc h E eV m mc λλ=== 3-5电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度很大，因而必须考虑相对论修正。

原子物理第三章 (2)


当n ，l ，m 都给定后，就给出了一个确定的状态；
所以我们经常说: （n ，l ，ml ）描述了一个确定的态。 对于氢原子，能量只与n 有关，n 给定后，有n 个l ， 每一个l 有2l+1 个ml ,所以氢原子的一个能级 En 对应 于 n2 个不同的状态，我们称这种现象为简并，相应的 状态数称为能级 En 的简并度。
e e 2 ( ) g s ( ) S 2m 2m
其中 gl 和
gs
分别是轨道和自旋 g 因子
引入 g 因子之后，任意角动量对应的磁矩 j 可以 统一表示为：

j j ( j 1) g j B
jz m j g j B
量子数 j 取定后 mj =j, j-1,……，-j 共2j+1个值.当取 j=l ,s 就可以分别得到轨道和自旋磁矩。



与此相类比，s 与相应的 s 之间也应有相应的对应 关系，有实验结果定出这个对应关系是
e s s m


其量值关系为
s 3B
e sz sz B m
2.朗德因子g 综合上面的讨论，我们得到磁矩和角动量的比值为：
l
s
e e 1 ( ) g l ( ) L 2m 2m
Bz Bz 0 x y
Bz 0 z
热平衡时原子速度满足下列关系
1 3 2 2 2 m(vx v y vz ) kT 2 2
即
mv 3kT
2
在磁场区域 x 方向：
d vt1
1 Fz 2 t1 2 m
z方向： z1
t1 时刻，原子沿
z 方向的速度为
如基态氢原子在磁场中速度v=104m/s，磁场纵向范围L=10cm。 求裂距S. 解:

原子物理习题解答

原子物理学习题解答第一章 原子的基本状况1.1 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭'C 放射的，其动能为67.6810⨯电子伏特。

散射物质是原子序数79Z=的金箔。

试问散射角150οθ=所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式： 得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg b K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米 式中212K Mv α=是α粒子的功能。

1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为2202121()(1)4sin mZe r Mv θπε=+ ，试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 143.0210-=⨯米1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。

问质子与金箔。

问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个e +电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。

当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：220min124p Ze Mv K r πε==，故有：2min04pZe r K πε=19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。

1.4 钋放射的一种α粒子的速度为71.59710⨯米/秒，正面垂直入射于厚度为710-米、密度为41.93210⨯3/公斤米的金箔。

原子物理学习题课

原子物理学习题第一章 原子的核式结构1．选择题：(1)原子半径的数量级是：CA ．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m(2)原子核式结构模型的提出是根据α粒子散射实验中 DA. 绝大多数α粒子散射角接近180︒B.α粒子只偏2︒～3︒C. 以小角散射为主也存在大角散射D. 以大角散射为主也存在小角散射（3）进行卢瑟福理论实验验证时发现小角散射与实验不符这说明：DA. 原子不一定存在核式结构B. 散射物太厚C. 卢瑟福理论是错误的D. 小角散射时一次散射理论不成立(4)用相同能量的α粒子束和质子束分别与金箔正碰，测量金原子核半径的上限. 问用质子束所得结果是用α粒子束所得结果的几倍？BA. 1/4 B . 1/2 C . 1 D. 2(5)动能E K =40keV 的α粒子对心接近Pb(z=82)核而产生散射,则最小距离为（m ）：DA.5.91010-⨯B.3.01210-⨯C.5.9⨯10-12D.5.9⨯10-15(6)如果用相同动能的质子和氘核同金箔产生散射,那么用质子作为入射粒子测得的金原子半径上限是用氘核子作为入射粒子测得的金原子半径上限的几倍？CA.2B.1/2C.1 D .42．简答题：（1）简述卢瑟福原子有核模型的要点.（2）简述α粒子散射实验. α粒子大角散射的结果说明了什么？（3）为什么说实验证实了卢瑟福公式的正确性,就是证实了原子的核式结构?（4）普朗能量子假说的基本内容是什么?与经典物理有何矛盾?（5）为什么说爱因斯坦的光量子假设是普朗克的能量子假设的发展.（6）何谓绝对黑体?下述各物体是否是绝对黑体?(a)不辐射可见光的物体;(b)不辐射任何光线的物体;(c)不能反射可见光的物体;(d)不能反射任何光线的物体;(e)开有小孔空腔.3．计算题：（1）当一束能量为4.8Mev 的α粒子垂直入射到厚度为4.0×10-5cm 的金箔上时探测器沿20°方向上每秒记录到2.0×104个α粒子试求：①仅改变探测器安置方位,沿60°方向每秒可记录到多少个α粒子？②若α粒子能量减少一半,则沿20°方向每秒可测得多少个α粒子？③α粒子能量仍为4.8MeV,而将金箔换成厚度的铝箔,则沿20°方向每秒可记录到多少个α粒子?(ρ金＝19.3g/cm 3 ρ铅＝27g /cm 3；A 金＝179 ,A 铝＝27,Z 金＝79 Z 铝＝13)解：由公式, )2/(sin /')()41('42220220θπεr S Mv Ze Nnt dN =)2/(sin /')2()41(422220θπεαr S E Ze Nnt = ①当︒=60θ时, 每秒可纪录到的α粒子2'dN 满足:01455.030sin 10sin )2/(sin )2/(sin ''44241412=︒︒==θθdN dN 故 241210909.210201455.0'01455.0'⨯=⨯⨯==dN dN (个)② 由于2/1'αE dN ∝,所以 413108'4'⨯==dN dN (个)③ 由于2'nZ dN ∝,故这时:31211342442112441410/10/''--⨯⨯==A Z N A Z N Z n Z n dN dN A A ρρ 55310227793.19197137.2''4221421112444=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=dN A Z A Z dN ρρ(个)(2)试证明:α粒子散射中α粒子与原子核对心碰撞时两者之间的最小距离是散射角为900时相对应的瞄准距离的两倍.证明：由库仑散射公式：2cot 2412020θπεMv Ze b =，当︒=90θ时，12cot =θ，这时2020241Mv Ze b πε= 而对心碰撞的最小距离：b Mv Ze Mv Ze r m 22241])2/sin(11[24120202020=⋅=+=πεθπε 证毕。

新版原子物理褚圣麟课后答案

原子物理学习题解答第一章 原子的基本状况1.1 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭'C 放射的，其动能为67.6810⨯电子伏特。

散射物质是原子序数79Z =的金箔。

试问散射角150οθ=所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式：20222442K M vctgb bZ eZ eαθπεπε==得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Z e ctgctgb K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米式中212K M v α=是α粒子的功能。

1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为222121()(1)4s inm Z e r M vθπε=+，试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2m in 22121()(1)4sinZ e r M vθπε=+1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。

问质子与金箔。

问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个e +电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。

当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：220m in124pZ eM vKr πε==，故有：2m in 04pZ er Kπε=19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米由上式看出：m in r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。

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1. 波长 1 A 为的X光光子的动量和能量各为多少？
解：根据德布罗意关系式，得
动量为
p
h
6.63 1034 1010
6.631024千克 米 秒1
能量为
E hv hc /
6.631034 3108 / 1010 1.9861015焦耳
2.经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长是多少 ？用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？
式应改V为： 12.V25
(1
0.489
106V
)
A
其中V是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。
证明：德布罗意波长 h / p
虑相对论效应时，其动能与其动量之间有如下关系
EK2 2EK m0c2 p2c2
而被电压V加速的电子的动能为
EK eV
p2
(eV )2 c2
2m0eV
p 2m0eV (eV )2 / c2
h/ p
h 1
2m0eV
1
eV 2m0c2
h 2m0eV
(1
eV 4m0c2 )
h (1 0.489106V ) 2m0eV
12.25
(1
0.489
106V
)
A
V
4.试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布 罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆 轨道，试证明之
证明 对氢原子圆轨道来
些不连8续的值
V(X)
Y Axis Title
6
V0
V0
4
E
0
L
x
2
解：以下将在两种不同坐标系下解答本问题。其中第一种维
持原坐标0 0 不变；2 另一种4 为将横6 坐标8向右平10移L/2，即取 x = x − L/2，在这个坐标系X中Axis，Title−L/2 < x < L/2 时 V=0、在其它
Vz )]
0
分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程
(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z)
并将两边同除以 X (x)Y ( y)Z(z)，得
(1 X
d2X dx2
2m h2
Vx
)
(1 Y
d 2Y dy 2
2m h2
Vy
)
(
1 Z
d 2Z dz 2
2m h2
Vz
)
2m h2
E
1 X
进一步推导
tan = / k tan(L+）= −/ k 由 tan = / k > 0，得 0 < < /2、和 3/2 < < 2 由 tan (L+) = tan (−) 得
L+ = n − 即 = n/2 − L/2 n L 2mE
=
2
2
n = 1, 2, 3, ……
又由tan = / k 得d2X Βιβλιοθήκη x22m h2Vx
2m h2
Ex
1 Y
d 2Y dy 2
2m h2
Vy
2m h2
Ey
1 Z
d 2Z dz 2
2m h2
Vz
2m h2
Ez
其中E Ex Ey Ez , Ex , Ey , Ez皆为常数。
d2X dx2
2m h2
(
Ex
Vx ) X
0
连续条件 X (0) X (l) 0
p2 E
2m E p2
2m
自由粒子的动量p可以取任意连续值，所以它的能量E也可以有 任意的连续值
7.粒子在一维对称势场中，势场形式如下图。
即：0 < x < L 时 V = 0；x < 0 和 x > L 时 V = V0。 （（12））利试用推10上导述粒关子系在式，E 以< 图V0 解情法况证下明总，能粒量子的E 能满量足的E 关只系能式取。一
arctan E arcsin E (0 )
V0 E
V0
2
或 arcsin( E )( 3 )
V0
2
因此能量 E 满足的关系式为
0 arcsin E n L 2mE
V0 2
2
2
n=1,2,3,……N1
或
arcsin( E ) n L 2mE 3
V0 2
•
r
dr
dt
mr 2
•
d
dt )
dt
dt
mv2dt mvds
hds r
h
ds
ds
n
5.带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一
串小雾滴，雾滴德线度约为1微米。当观察能量为1000电
子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不
小于多少？ 解：根据测不准原理
px h 2
经典力学的动量为
u1 = Aekx
x > L，
u3 = Be−kx
A 待定 C、 待定 B 待定
波函数的连续性 要求：
x = 0 处，u1 = u2 ； du1/dx = du2/dx x = L 处，u2 = u3 ； du2/dx = du3/dx
将上述连续性条件应用于波函数 得
A = C sin Ak = C cos B e−kL = C sin(L+) −B k e−kL = C cos(L+)
p 2mEK
p
h
3.09 105
p 2x 2mEK
6.证明自由运动的粒子的能量可以有连续的值
证明：自由粒子的波函数为
i ( pr Et )
Aeh
代入薛定谔方程，得
h2
2
[
Ae
i h
(
pr Et )
]
E
2m
h2
2 A( d 2
d2
d )e E 2
i h
(
px
x
p
y
y
pz
z
Et
)
2m
dx2 dy2 dz2
计算出粒子可能具有的能量
解：由题意知
Vx 0, 0 x a; Vy 0, 0 y b;
Vz 0, 0 z c; Vx , x 0和x a Vy , y 0和y b Vz , z 0和z c
势箱内波函数满足方程
2
2x2
2
2y2
2
2z2
2m h2
[
E
(Vx
Vy
x > L 时，u = B e−kx
在 0 < x < L 区域，V = 0。代入 薛定谔方程中
d 2u dx2
2mE
2
u
设
2mE 2
2
u C sin(x )
在 0 < x < L 区域，V = 0。代入 薛定谔方程中
d 2u 2mE dx2 2 u
由定态薛定谔方程解得的波函数为：
x < 0， 0< x < L，
•
pr 0, p mr2 mvr
所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波 长。椭圆轨道的量子化条件是：
其中
•
•
pr m r, p mr 2
( prdr p d) nh, n n nr
•
•
而
( prdr p d) (m rdr mr 2 d)
(m
V0
则能量E 的解可通过 f2 与f1 的交点、与f3 的交点的横坐标求出
f 2
f(x)
5
n=10
n=3 n=2 n=1
4
3
f 3
2
f
1
1
0
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
x
做各函数曲线如上图所示。。从f2 函数 与 f1 及f3 函数的交点的 横坐标可求出能量E的解。解的个数与 0 < x < 1区间内交点的个
Xn
2 sin nx x,
aa
Ex
2h2 2 a2
nx2 , nx
1, 2,3
同样，有
Yn
2 sin ny y
bb
Ey
2h2 2 b2
ny2, ny
1, 2,3
Zn
2 sin nz z
cc
Ez
2h2 2 c2
nz2 , nz
1, 2,3
(x, y, z) 8 sin nx x sin ny y sin nz z
区间 V =V0 （1）E 满足关系的推导：本题中的势场与时间无关，所以是
定态问题，而且是一维的。先写出定态薛定谔方程的一般形
式
2 d 2u
2m
dx2
Vu
Eu
d 2u dx2
2m(V0
2
E)
u
设
2m(V0
2
E)
k2
u Aekx Bekx
利用波函数的有界性知道： x < 0 时，如果 B ≠ 0，那么 x → − 时 波函数 趋 于 无穷。所以在x < 0 时 B =0。 类似道理 x > L 时，A = 0 。 因此 x < 0 时，u = A ekx
abc a
b
c
E
2h2
2m
(
nx 2 a2
ny2 b2
nz 2 c2
)
可见，三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的 波函数之积。而粒子的能量相当于三个一维箱中粒子的能量 之和
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