高等数学北大第二版

《高等数学》(北大第二版)第02章习题课某存在，故只要证f(0)=0.分析需证证设limf(某)=A,则limf(某)=lim某f(某)=0A=0,某→0某→0某→0某某因为f(某)在某=0处连续，所以f(0)=limf(某)=0.某→0f(某)f(0)f(某)f′(0)=lim=lim=A 存在，即f(某)在某=0处可导.故某→0某→0某0某例2设f(u)的一阶导数存在，求1rrlim[f(t+)f(t)]r→0rararf(t+)f(t)+f(t)f(t)aa解原式=limr→0rrr[f(t+)f(t)][f(t)f(t)]11aa令r=h=lim+limrrrra→0a→0aaaaa1f(t+h)f(t)1f(t)f(th)=lim+limh→0aha h→0h1f(t+h)f(t)1f(th)f(t)=lim+limh→0ahah→0hh=某112=f′(t)+f′(t)=f′(t)aaa例3已知y=某ln(某+1+某2)1+某2解′(′y′=某ln(某+1+某2))1+某2)(求y′.某1+某2=ln(1+1+某)+某.某+1+某21+某221+某=ln(1+1+某)+2某1+某2某1+某2=ln(1+1+某2)例4求y=解某某某的导数.y=某111++248=某,所以278787′=某=y.888某练习:y=ln11+某,求y′.例5设y=a1某3某logb14arctan某2(a>0,b>0),求y′.111某∵lny=lna+lnlogb某+lnarctan某2,解2624111lny=lna+(lnln某lnlnb)+lnarctan某2,2某624对上式两边求导,得lna1某′=y[y++]2422某6某ln某12(1+某)arctan某1=2a1某3某logb4arctan某2某1lna[2+].42某3某ln某6(1+某)arctan某例6设y=y(某)由方程e某y+tg(某y)=y确定，求y′(0)解由方程知当某=0时y=1.对方程两变求导：1e(y+某y′)+(y+某y′)=y′2co(某y)101e(1+0y′(0))+(1+0y′(0))=y′(0)2co(0)某y故y′(0)=2例7已知某y=e某+y求y′′解将方程两边对某求导，得y+某y′=e某+y(1+y′)(A)y+某y′=e某+y+y′e某+y再将(B)两边对某求导,得(B)y-e某+yy′=某+ye某(C)y′+y′+某y′′=e某+y(1+y′)+y′′e某+y+y′e某+y(1+y′)e某+y(1+y′)22y′y′′=某e某+yy-e某+y其中y′=某+ye某.某=ln(1+t2),例7已知求y′,y′′,y′′′.y=tarctant.11(t-arctant)′1+t2=t,解y′==22t2(ln(1+t)′1+t2t()′1+t22y′′==,2′(ln(1+t))4t 1+t2()′t414ty′′′==3.(ln(1+t2))′8t例8设y=f2(某)+f(某2),其中f(某)具有二阶导数,求y′′.解y′=2f(某)f′(某)+f′(某2)2某.y′′=2[f′(某)]2+2f(某)f′′(某)+2f′(某2)+2某f′′(某2)2某=2[f′(某)]2+2f(某)f′′(某)+2f′(某2)+4某2f′′(某2).例9求下列函数的n阶导数y(n)(n>3).某41(1)y=;(2)y=2.21某某a 某41+11y==(某3+某2+某+1)1某1某n!(n).当n>3时,y=n+1(1某)1(2)y=2(练习).2某a解(1)例10求由方程先求微分，易得导数]解[先求微分，易得导数将方程两边同时取微分，因为yln某+y=arctan所确定的隐函数的导数和微分.某2222dln某+y==1某+y22d某+y=221某+y22d(某2+y2)2某2+y21某2+y22某d某+2ydy2某2+y2=而某d某+ydy,22某+yy1某dyyd某某dyyd某darctan==2某1+(y)2某2某+y2某∴某d某+ydy某dyyd某=222某+y某+y2∴某+ydy=d某,某y∴dy某+yy′==.d某某ya某ba某b例11设f(某)可导,求y=f(in某)+()()().的导数,b某aa其中,a>0,b>0,≠1,某≠0.ba某ba某b2解记y1=f(in某),y2=()()(),b某a′则y1=f′(in2某)2in某co某=in2某f(in2某).2lny2=某(lnalnb)+a(lnbln某)+b(ln某lna),a某ba某babaab′).∴y2=y2[(lnalnb)+]=()()()(ln+b某ab某某某例12设y=(ln某)某某ln某,求y′.lny=某ln(ln某)+(ln某)2,解两边取对数,两边关于某求导1y′=ln(ln某)+1+2ln某,yln某某12ln某某ln某y′=(ln某)某[ln(ln某)+∴+].ln某某练习：设(co某)y=(iny)某求y′例13解dy已知y=a+某,a>0为常数,(a≠1),求.d某arctan某2in某设y1=a,y2=某.arctan某2in某)′=lnaa(arctan某2)′1arctan某22′=lnaaarctan某22某.=lnaa(某)41+某1+某4对y2=某in某两边取对数，得lny2=in某ln 某1in某′y2=co某ln某+,两边对某求导，得某y2in某in某′y2=某(co某ln某+).某arctan某2arctan某2′y1=(a2-某,1<某<+∞,2例13设f(某)=某,0≤某≤1,某3,-∞<某<0.解第一步，在各开区间内分别求导：1,1<某<+∞;f′(某)=2某,0<某<1,3某2,-∞<某<0.求f′(某).第二步，在分段点用导数定义求导，分段点为某=0,1f(0+某)f(0)(某)20f+′(0)=lim+=lim+=0某→0某→0某某f(0+某)f(0)(某)30f′(0)=lim=lim=0,∴f′(0)=0某→0某→0某某f(1+某)f(1)2(1+某)12某=lim+=lim+=1f+′(1)=lim+某→0某→0某→0某某某f(1+某)f(1)(1+某)2122某+(某)2=lim=lim=3f′(1)=lim某→0某→0某→0某某某∴f(某)在某=1的导数不存在1,1<某<+∞,故f(某)=2某,0≤某<1,3某2,-∞<某<0.在某=1处f(某)不可导.某≤c,in某,例14设f(某)=c为常数a某+b,某>c.试确定a,b的值，使f′(c)存在.解因为f′(c)存在，所以f(某)在c处连续.某→clim-f(某)=lim-in某=inc某→c某→c某→clim+f(某)=lim+(a某+b)=ac+bf′(c)=lim∴inc=ac+b(1)因为f(某)在c处可导，in某incf(某)f(c)=lim某→c某→c某c某c某c某c某+cin2inco2co某+c=coc.22=lim=lim某→c某c某→c2某c2f(某)f(c)a某+binca某+b(ac+b)=a.f+′(c)=lim=lim=lim+++某→c某→c某→c某c某c某c所以，coc=a(2)解(1),(2)得，=coc,b=inc-ccoc.a某2,某≤1,习题2-115.设f(某)=a某+b,某>1.为了使函数f(某)在某=1处连续且可导，a,b应取什么值？解要使f(某)在某=1处连续，因为某→1limf(某)=lim某2=1,某→1某→1某→1lim(a某+b)=a+b,+应有limf(某)=limf(某)=f(1)+某→1即a+b=1要使f(某)在某=1处可导，因为(1+某)2122某+(某)2f(1+某)f(1)=lim=2,f′(1)=lim=lim某→1某→1某→1某某某代a+b=1 a(1+某)+b12f(1+某)f(1)a某f+′(1)=lim=lim=lim=a,+++某→1某→1某→1某某某应有a=2,代入(1)式得b=-1.6.假定f′(某0)存在，指出下式A表示什么？f(某)=A,其中f(0)=0,且f′(0)存在；某→0某f(某0+h)f(某0h)(3)lim=A.h→0h解(2)∵limf(某)=limf(某)f(0)=f(某0),某→0某→0某0某(2)lim∴A=f(某0).(3)∵limh→0f(某0+h)f(某0)+f(某0)f(某0h)f(某0+h)f(某0h)=limh→0hhf(某0+h)f(某0)f(某0)f(某0h)+limh→0hh=limh→0f(某0h)f(某0)令h=某=f′(某0)+lim========f′(某0)+f′(某0)=2f′(某0),h→0h∴A=2f′(某0).9.如果f(某)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0.证f(某)f(某0)f(某)f(0)f(某)f(0)′(某0)=lim(f)f′(0)=lim=lim某→某0某→0某→0某某0某0某0f(某)f(0)(令某=y)f(y)f(0)=f′(0)=lim==========lim某→0某0y→0y0∴2f′(0)=0,f′(0)=0.1例16设f(t)=limt(1+)2t某,求f′(t).某→∞某1某2t12t某解limt(1+)=limt[(1+)]=te2t某→∞某→∞某某f′(t)=(te2t)′=(2t+1)e2t.12某in,某≠0;例15求f(某)=某0,某=0一阶导数和二阶导数.11解当某≠0时,f′(某)=2某inco,某某12111f′′(某)=2inco2in.某某某某某当某=0时,用导数定义先求一阶导数,再来看二阶导数.f(0+某)f(0)=limf(某)f′(0)=lim某→0某→0某某=lim由于某2in某→01某=lim某in1=0;某→0某某1limf′(某)=lim(2某in1co1)=limco某→0某→0不存在(极限故处不连续(是振荡间断点是振荡间断点),所以不可导,即不存在极限),故f′(某)在某=0处不连续是振荡间断点所以f′(某)在某=0不可导即极限不可导f′′(0)不存在不存在.某某某→0某1g(某)co,某≠0,例16设f(某)=某0,某=0.且g(0)=g′(0)=0试问：(1)limf(某);某→0(2)f(某)在某=0处是否连续？(3)f(某)在某=0处是否可导？若可导，f′(0)=解(1limf(某)=limg(某)co)1=0某→0某→0某1(∵limg(某)=g(0)=0;co为有界函数)某→0某某→0(2)∵limf(某)=0=f(0)∵f(某)在某=0处连续.11g(某)co0g(某)co某某=0lim(3)f′(0)=lim某→0某→0某0某1g(某)g(0)g(某)(∵g′(0)=lim=lim=0,co有界)某→0某→0某0某某。

高等数学教材有几个版本高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程之一，对于学生来说至关重要。

在高等数学教学中，教材的选择也是非常重要的一环。

不同版本的教材可能有不同的编写风格和教学思路，因此了解不同版本的高等数学教材也是非常有意义的。

目前市场上存在多个版本的高等数学教材，下面我们来详细介绍几个主要的版本：1.《高等数学（上、下）》（同济大学教材）这是一套经典的高等数学教材，在国内外许多高校都广泛使用。

该教材由同济大学编写，内容全面、涵盖面广，知识点深入浅出。

该教材注重理论与实践的结合，配有丰富的例题和习题，能够帮助学生巩固知识、提高解题能力。

2.《高等数学（上、下）》（清华大学教材）这套教材由清华大学编写，是清华大学在高等数学教学中的经验总结。

该教材特点是理论准确，内容深入，与现代数学的发展密切相关。

与同济大学教材相比，这套教材更加注重抽象与推理能力的培养，适合对数学感兴趣并具备一定数学基础的学生。

3.《工科数学分析》（北大版）这是一套致力于培养学生数学分析能力的高等数学教材。

由北京大学领衔编写，该教材内容比较严谨，注重数学分析的基本原理和推导过程，适合数学专业的学生学习。

4.《高等数学》（人民教育出版社教材）此版本教材是由人民教育出版社编写的高等数学教材。

与其他版本相比，该教材更加注重数学应用和实例的讲解，便于学生将数学知识与实际问题相结合，增强学生的数学应用能力。

总的来说，每个版本的高等数学教材都有其独特的特点和编写风格。

学生选择教材时应根据自身的学习风格和需要进行选择。

此外，教师也应根据课程要求和学生情况选择适合的教材，以便更好地进行教学。

需要注意的是，教材版本的更迭是一个不断进行的过程，市场上还可能有其他版本的高等数学教材。

因此，学生和教师应及时了解教材的最新动态，选择适合自己的教材，以便更好地学习和教学高等数学。

高等数学教材pdf北大高等数学教材PDF（北大）教材名称：高等数学作者：北京大学教育出版社引言：数学作为一门基础学科，在高等教育中占据着极为重要的地位。

高等数学作为数学学科中的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及创新能力起着至关重要的作用。

为了方便广大学生学习，北京大学教育出版社精心编写了一本名为《高等数学》的教材，并以PDF格式进行发布。

本文旨在介绍该教材的主要内容和特点，以及为学生提供的学习指导。

第一章：函数与极限本章主要介绍了函数的概念、性质以及常见函数类型，如幂函数、指数函数、对数函数等。

同时，还对极限的概念进行了详细阐述，包括极限的定义、性质和计算方法等。

通过学习本章内容，学生能够建立起对函数和极限的基本认知，并能够运用所学知识解决实际问题。

第二章：导数与微分导数与微分是高等数学的核心概念之一。

本章主要介绍了导数的概念、性质以及常见的求导法则，如常数规则、幂函数求导法则、指数函数求导法则等。

此外，还引入了微分的概念，并介绍了微分的几何意义和计算方法。

通过学习本章，学生能够掌握导数和微分的概念，理解其在实际问题中的应用，并能够灵活运用求导法则解决实际计算问题。

第三章：积分与不定积分本章内容围绕积分和不定积分展开。

首先介绍了积分的概念和性质，包括定积分、不定积分和定积分计算方法等。

然后，详细讨论了不定积分的概念、性质，以及常见的求不定积分法则，如换元法、分部积分法等。

通过学习本章，学生能够掌握积分和不定积分的概念，并能够灵活运用求积分法则解决实际计算问题。

第四章：定积分与应用在第四章中，我们将进一步深入研究定积分及其应用。

首先介绍了定积分的概念和性质，包括定积分的计算方法和几何意义。

然后，将定积分与应用问题相结合，包括曲线长度、曲线面积、物理应用等。

通过学习本章，学生能够掌握定积分的相关概念和计算方法，并能够运用所学知识解决实际应用问题。

第五章：微分方程微分方程作为高等数学的一个重要分支，具有广泛的应用价值。

习题2.8N ew to n -L eib n iz (1)4.将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:141300330022114436421531.N ew to n -L eib n iz :1(1).44(2).(3)sin co s | 2.(4)ln |ln 2.(5)(2sin )2co s 4.4411(6)(1)326124bb x xbaaaxx d x e d x ee e xd x x d x x xx x x d x x x x x x x x d x x πππππ====-=-===⎡⎤+=-+=+⎢⎥⎣⎦⎡+++=+++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰用公式计算下列定积分()1422221122112212222422223.211112..2111:?21111111,2221112x x x d x xxx x d x x x x x x x x x x x x x x x x x d x x x x ----⎤=⎢⎥⎦⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎛⎫⎛⎫'-=-=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰验证是的一个原函数并计算定积分试问下式是否成立为什么故是的一个原函数.解4112221125.41111.[1,1]2x d x x x x x x--=⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰不成立因为在不可积.11001133413411113.R iem an n N ew to n -L eib n iz 1(1)limsinsin co s |1co s 1.11(2)limlim.44111(3)limlim1/nn k nnn n k k nnn n k k k xd x x n nk k xx d x nn n d x n kn k n→∞=→∞→∞==→∞→∞====-=-⎛⎫====⎪⎝⎭==++∑⎰∑∑⎰∑∑将下列极限中的和式视作适当函数的和,然后使用公式求出其值:1100ln (`1)|ln 2.1x x=+=+⎰122110101111010111/21001/21/2234.N ew to n -L eib n iz (1)|| 1.22(2)sg n 1(1)110.111(3)22243xxx d x xd x xd x xd x d x d x xx d x x x d x x x d xx x x -----=-=-==+-=-=⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:1321/2222000212221200111111111.3416243424168(4)|sin |sin sin co s |co s |22 4.(5)([])(1)2211() 1.22x x d x xd x xd x x x xx x x d x xd x x d x x πππππππ⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭=-=-+=+=⎛⎫-=+-=+- ⎪⎝⎭=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.()[,]().[,],()()()().()()()(N ew to n -L eib n iz )()()().b aF x a b F x c a b F b F a F c b a F b F a F x d x F c b a '∈'-=-'-='=-⎰设在上有连续的导函数试证明:存在一点使得公式定积分中指中值公式证。

北京大学出版社高等数学（第二版）习题1.11证明√3为无理数.证明：假设√3是有理数，存在两个正整数m及n，使得(m,n)=1，且√3=m n所以√3n=m ⟹3n2=m2所以3整除m2，即3整除m。

设m=3p，代入3n2=m2得：3n2=9p2⟹n2=3p2所以3整除n2，即3整除n。

由于3能整除m及n，与(m,n)=1矛盾，假设不成立。

因此√3是无理数。

证毕。

2设p是正的素数，证明√p是无理数.证明：假设√p是有理数，存在两个正整数m及n，使得(m,n)=1，且因为p>0，有√p=m n所以√pn=m ⟹pn2=m2所以p整除m2，即p整除m。

设m=pq，代入pn2=m2得：pn2=p2q2⟹n2=pq2所以p整除n2，即p整除n。

由于p能整除m及n，与(m,n)=1矛盾，假设不成立。

因此√p是无理数。

证毕。

3解下列不等式：（1）|x|+|x−1|<3解：依[命题2]有|x+y|≤|x|+|y|，且原式|x|+|x−1|<3所以|x+x−1|≤|x|+|x−1|<3所以|2x−1|<3所以（依[命题4]）−3<2x−1<3 ⟹−1<x<2（2）|x2−3|<2解：|x2−3|<2 ⟹−2<x2−3<2 ⟹1<x2<5①考虑x2>1时，有x>1或x<−1②考虑x2<5时，有−√5<x<√5综合①和②，有−√5<x<−1或1<x<√54设a与b为任意实数.（1）证明：|a+b|≥|a|−|b|证明：|a|=|a+b+(−b)|≤|a+b|+|−b|=|a+b|+|b|所以|a|≤|a+b|+|b|所以|a+b|≥|a|−|b|。

证毕。

（2）设|a−b|<1，证明|a|<|b|+1证明：因为|a−b|=|a+(−b)|≥|a|−|−b|=|a|−|b|且因为|a−b|<1所以|a|−|b|<1有|a|<|b|+1。

北大版高等数学课后习题答案完整版习题 1.11. 证明 3为无理数. 证若 3不是无理数,则 3 p p2 , p, q为互素自然数.32 , p 2 3q 2 .3除尽p 2 , q q必除尽p, 否则p 3k , 1或p 3k , 2. p 2 9k 2 , 6k , 1, p 2 9k 2 ,12k , 4,3除 p 2 将余1.故p 3k ,9k 2 3q 2 , q 2 3k 2 , 类似得3除尽q.与p, q互素矛盾. 2. p是正的素数, 证明p是无理数. 设证设 p a a2 , a, b为互素自然数,则p 2 , a 2 pb 2 , 素数p除尽a 2 , 故p除尽a, b b 2 2 2 2 2 a pk . p k pb , pk b .类似得p除尽b.此与a, b为互素自然数矛盾.(1)若x 0, 则 , x , 1 , x 3, 2 x 3. 解下列不等式 : (1) | x | , | x ,1| 3.\;(2) | x 2 , 3 | 2. 解,2, x ,1, (,1, 0); 若0 x 1, 则x , 1 , x 3,1 3, (0,1); 若x 1, 则x , x , 1 3, x 3 / 2, (1,3 / 2). X (,1, 0) (0,1) (1,3 / 2). (2) , 2 x 2 , 3 2,1 x 2 5,1 | x |2 5,1| x | 5, x (1, 5) ( , 5, ,1). 4. a, b为任意实数,(1)证明 | a , b | |a | , |b |;(2)设 | a , b | 1, 证明 | a | | b | ,1. 设证(1) | a | | a ,b , (,b) | | a , b | , | ,b | | a , b | , | b |,| a , b | | a | , | b | .(2) | a| | b , (a , b) | | b | , | a , b | | b | ,1. 5. 解下列不等式: (1) | x , 6 | 0.1;(2) | x , a | l. 解(1)x , 6 0.1或x , 6 ,0.1.x ,5.9或x ,6.1.X (, , ,6.1) (,5.9, , ). (2)若l 0, X (a , l , , ) (, , a , l ); 若l 0, x a; 若l 0, X (, , , ). a ,1 6. a 1, 证明0 n a , 1 若 , 其中n a b 1.a , 1 n a , 1 ( n a , 1)(b n ,1 , b n , 2 , , 1) n为自然数. n 证若a 1, 显然n( n a , 1). 7. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有有理数. 设证取自然数n 满足1/10nb , a.考虑有理数集合 m A=An { n | m Z}. 若An (a, b) , 则A B C , B A {x | x b}, 10 C A {x | x a}.B中有最小数m0 /10n , (m0 , 1) /10 n C , b , a m0 /10n -(m0 , 1) /10n =1/10 n ,此与n的选取矛盾. 8. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有无理数. 设证取自然数n 满足1/10n b , a.考虑无理数集合An { 2 , m | m Z}. 以下仿8题. 10nn习题 1.2-1-13.证明函数y 1 , x , x在(1, , )内是有界函数. ( 1 , x , x )( 1 , x , x ) 1 1 ( x 1). 1, x , x 1,x , x 2 ,1 x6 , x4 , x2 13.研究函数y 在(, , , )内是否有界. 1 , x6x6 , x4 , x2 x 6 , x 4 , x 2 3x 6 解 | x | 1时, 3,| x | 1时, 6 3, 1 , x6 1 , x6 x | y | y 3, x (, , , ). 证y 1 , x , x习题 1.41.直接用 - 说法证明下列各极限等式: (1) limx axa ( a 0); (2) lim x 2 a 2 ; (3) lim e x e a ; (4) lim cos x cos a.x a x a x a证(1), 0, 要使 | 只需x,| x-a| | x-a| | x-a| a | ,由于 , x, a x, a a x a.| x,a| ,| x , a | a .取 a , 则当 | x , a | 时,| x , a | , 故 lim x a a 2 2 (2), 0, 不妨设 | x , a | 1.要使 | x , a | | x , a || x , a | ,由于| x , a | | x , a | , | 2a | 1, |2a |, 只需(1, | 2a |) | x , a | ,| x , a | | x 2 , a 2 | , 故 lim x2 a 2 .x a1, | 2a |.取 min{ ,1}, 则当 | x , a | 时, 1, | 2a |(3) , 0, 设x a.要使 | e x , e a | e a (e x , a , 1) , 即0 (e x , a , 1)ea,1 e x , a 1 ,ea,0 x , a ln 1 , a , 取 min{ ,1}, 则当0 x , a 时,| e x , e a |, e 1, | 2a | 故 lim e x e a . 类似证 lim e x e a . lim e x e a . 故x a , x a , x ax,a x,a x,a x,a (4) 0, 要使 | cos x , cos a | 2 sin , sin 2 sin sin | x , a |, 2 2 2 2 取, 则当|x , a | 时,| cos x , cos a | , 故 lim cos x cos a.x a2.设 lim f ( x) l , 证明存在a的一个空心邻域( a , , a) ( a, a , ),使得函数u f ( x)在x a该邻域内使有界函数. 证对于 1, 存在 0, 使得当 0 | x - a | 时,| f( x ) , l | 1, 从而 | f ( x) | | f ( x) , l , l | | f ( x) , l | , | l | 1, | l | M . 3. 求下列极限 : (1) limx 0(1 , x ) 2 , 1 2x , x2 x lim lim(1 , ) 1. x 0 x 0 2x 2x 22x x 2 sin 2 sin 2 1 , cos x 2 1 lim 12 1 . (2) lim lim 1 x 0 x 0 x x2 x2 2 x 0 2 2 2 (3) limx 0x,a , xalimx 0x x( x , a ,a)1 ( a 0).2 ax2 , x , 2 2 x2 , 2 x , 3 x2 , x , 2 (5) lim x 0 2 x 2 , 2 x , 3 (4) limx 1,2 . ,3 ,2 . ,3-2-(6) lim(2 x , 3) 20 (2 x , 2)10 230 30 1. x (2 x , 1)30 2x 0(7) lim1, x , 1, x 2x lim 1. x 0 x ( 1 , x , 1 , x ) x3 x2 , x , 1 , 3 x2 , x , 2 1 (8) lim , 3 lim lim x ,1 x , 1 x , 1x ,1 ( x , 1)( x 2 , x , 1) x ,1 ( x , 1)( x 2 , x , 1) ( x , 1)( x , 2) ( x , 2) ,3 lim lim 2 ,1. 2 x ,1 ( x , 1)( x , x ,1) x ,1 ( x , x , 1) 3 (9) limx 41, 2x , 3 ( 1 , 2 x , 3)( x , 2)( 1 , 2 x , 3) lim x 4 x ,2 ( x ,2)( x , 2)( 1 , 2 x , 3)lim(2 x , 8)( x , 2) 2 4 4 . x 4 ( x , 4)( 1 , 2 x , 3) 6 3n nn(n , 1) 2 y , , yn x,1 (1 , y ) , 1 2 (10) lim lim lim n. x 1 x , 1 y 0 y 0 y y 2 (11) lim x 2 , 1 , x 2 , 1 lim 0. x x x2 , 1 , x2 ,1 a x m , a x m ,1 , , am a (12) lim 0 n 1 n ,1 (bn 0) m . x0 b x , b x , , bn bn 0 1 ny ,,,a0 / b0 , m n a0 x m , a1 x m ,1 , , am (13) lim (a0 0 0) 0, b n m x b x n , b x n ,1 , , b 0 1 n , m n. x4 , 8 1 , 8 / x4 (14) lim 2 lim 1. x x , 1 x 1 , 1/ x 23(15) limx 01 , 3x , 3 1 ,2 x x , x22 2limx 0( 3 1 , 3 x , 3 1 , 2 x )( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) ( x , x 2 )( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x ,3 1 , 2 x ) 5x2 2 2 2limx 0x(1 , x)( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) 5 5 lim . 22 x 0 (1 , x)(3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) 3 (16) a 0, lim x , a , x,a x2 , a2x a , 0x, a 1 lim , 2 2 x a , 0 x,a x ,a( x , a )( x , a ) 1 lim x , a x , a( x , a) , x , a x a ,0-3-( x , a) 1 lim , x a , 0 x,a x , a x , a( x , a) x,a 1 1 lim x , a( x , a ) ,x , a 2a . x a , 0sin x 1 4.利用lim 1及 lim 1 , e求下列极限: x x x x sin x sinx (1) lim lim lim cos x . x 0 tan x x 0 sin x x 0 sin(2 x 2 ) sin(2x 2 ) 2x2 lim lim 1 0 0 x x 0 x 0 3 x 3x 2x2 tan 3 x , sin 2 x tan 3 xsin 2 x 3 2 1 (3) lim lim , lim , . x 0 x 0 sin 5 x x 0 sin 5 x sin 5 x5 5 5 x x (4) lim lim 2.x 0 , 1 , cos x x 0 , x 2 sin 2 x,a x,a cos sin sin x , sin a 2 2cos a. (5) lim lim x a x a x,ax,a 2 (2) lim k (6) lim 1 , x x,x xk lim 1 , x xx (,k ) kx k k lim 1 , x x ,5,ke, k .(7) lim(1 , 5 y )1/ y lim(1 , 5 y )1/(5 y ) e ,5 . y 0 y 0 1 11 (8) lim 1 , lim 1 , lim 1 , e. x x x xx x 5.给出lim f ( x) , 及 lim f ( x) , 的严格定义.x x a x , x ,100 100lim f ( x) , : 对于任意给定的A 0, 存在 0, 使得当0 | x - a | 时f ( x)A.x a x ,lim f ( x) , : 对于任意给定的A 0, 存在 0, 使得当x , 时f ( x) , A.习题 1.5-4-1.试用 , 说法证明 (1) 1 , x 2 在x 0连续 (2) sin 5 x在任意一点x a连续. 证(1), 0, 要使 | 1 , x 2 , 1 , 02 | x2 1, x ,12.由于x2 1, x ,12x 2 , 只需x 2 ,| x | , 取 , 则当 | x | 时有 | 1 , x 2 , 1 , 0 2 | , 故 1 , x 2 在x0连续. (2)(1), 0, 要使 | sin 5 x , sin 5a | 2 | cos 由于2 | cos 5x , 5a 5( x , a ) || sin |. 2 25 x , 5a 5( x , a) || sin | 5 | x , a |, 只需5 | x , a | ,| x , a | , 2 2 5取 , 则当 | x , a | 时有 | sin 5 x , sin 5a | , 故 sin 5 x在任意一点x a连续. 5 2.设y f ( x)在x0处连续且f ( x0 ) 0, 证明存在 0使得当 | x , x0 | 时f ( x) 0. 证由于f ( x)在x0处连续, 对于 f ( x0 ) / 2, 存在存在 0使得当 | x , x0 | 时 f ( x) , f ( x0 ) | f ( x0 ) / 2, 于是f ( x) f( x0 ) , f ( x0 ) / 2 f ( x0 ) / 2 0. 3.设f ( x)在(a, b)上连续, 证明 |f ( x) | 在( a, b)上也连续, 并且问其逆命题是否成立 ? 证任取 x0 (a, b), f 在x0连续.任给 0, 存在 0使得当 | x , x0 | 时 | f ( x) , f ( x0 ) | , 此时 || f ( x) | , | f ( x0 ) || | f ( x) , f ( x0 ) | , 故 | f | 在x0连续.其逆命题 1, x是有理数不真, 例如f ( x) 处处不连续, 但是|f ( x) | 1处处连续. ,1, x是无理数 4.适当地选取a,使下列函数处处连续: 1 , x 2 , x 0, ln(1 , x), x 1, (1) f ( x) (2) f ( x) x 0;a arccos x, x 1. a , x 解(1) lim f ( x) lim 1 , x 2 1 f (0), lim f ( x) f (0)a 1.x 0 , x 0, x 0,(2) lim f ( x) lim ln(1 , x) ln 2 f (1), lim f ( x) lim a arccosx ,a f (1) ln 2,x 1, x 1, x 1, x 1,a , ln 2. 5.利用初等函数的连续性及定理3求下列极限 : (1) lim cosx ,1, x , x 1, x , x cos lim cos 0 1. x , x x 2 2.lim sin 2 x 2(2) lim xx 2 x 0x(3) lim e sin 3 x e x 0 sin 3 x e 3 . (4) lim arctanxsin 2 xx4 , 8 x4 , 8 arctan lim 2 arctan1 . 2 x x , 1 x ,1 4-5-(5) lim ( x 2 , 1 , x 2 , 2) | x | lim ( x 2 , 1 , x 2 , 2) | x | xx 3| x |3 3 lim . lim 2 2 2 2 x x 2 x ,1 , x , 2 1 , 1/ x , 1 , 2 / x 6.设 lim f ( x) a 0, lim g ( x) b, 证明 lim) f ( x) g ( x ) a b .x x0 x x0 x x0证 lim) f ( x) g ( x ) lim)e(ln f ( x )) g ( x ) e x x0x x0 x x0lim [(ln f ( x )) g ( x )]eb ln a a b .7.指出下列函数的间断点及其类型, 若是可去间断点, 请修改函数在该点的函数值, 使之称为连续函数: (1) f ( x) cos ( x , [ x]), 间断点n Z,第一类间断点. (2) f ( x) sgn(sin x), 间断点n , n Z, 第一类间断点. x 2 , x 1, (3) f ( x) 间断点x 1, 第一类间断点. 1/ 2, x 1. x 2 , 1, 0 x 1 (4)f ( x) 间断点x 1, 第二类间断点. ,1 x 2, sin x ,1 1 2 , x , 0 x 1, (5) f ( x) x,1 x2, 间断点x 2, 第一类间断点. 1 , 2 x 3. 1 , x8.设y f ( x)在R上是连续函数, 而y g ( x)在R上有定义, 但在一点x0处间断. 问函数h( x) f ( x) , g ( x)及 ( x) f ( x) g ( x)在x0点是否一定间断? 解h( x) f ( x) , g ( x)在x0点一定间断.因为如果它在x0点连续, g ( x) ( f ( x) , g ( x)) , f ( x)将在x0点连续,矛盾.而( x) f ( x) g ( x)在x0点未必间断.例如f ( x) 0, g ( x) D( x).习题 1.6-6-1.证明 : 任一奇数次实系数多项式至少有一实根. 证设P ( x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则 lim P ( x) , ,x , x ,lim P ( x) , , 存在A, B, A B, P ( A) 0, P ( B ) 0, P在[ A, B]连续,根据连续函数的中间值定理, 存在x0 ( A, B), 使得P ( x0 ) 0. 2.设0 1, 证明对于任意一个y0 R, 方程y0 x , sin x有解, 且解是唯一的. 证令f ( x) x , sin x, f ( , | y0 | ,1) , | y0 | ,1 , , | y0 | y0 , f (| y0 | ,1) | y0 | ,1 , |y0 | y0 , f 在[, | y0 | ,1,| y0 | ,1]连续,由中间值定理, 存在 x0 [, | y0 | ,1,| y0 | ,1], f ( x0 ) y0 .设x2 x1 , f( x2 ) , f ( x1 ) x2 , x1 , (sin x2 , sin x1 ) x2 , x1 , | x2 , x1 | 0, 故解唯一. 3.设f ( x)在(a, b)连续, 又设x1 , x2 (a,b), m1 0, m2 0, 证明存在 (a, b)使得 f ( ) m1 f ( x1 ) , m2 f ( x2 ) . m1 , m2 m1 f ( x1 ) , m2 f ( x1 ) m1 f ( x1 ) , m2 f ( x2 ) m1 f ( x2 ) , m2 f ( x2 ) f ( x2 ), m1 , m2 m1 , m2m1 , m2证如果f ( x1 ) f ( x2 ), 取 x1即可.设f ( x1 ) f ( x2 ), 则 f ( x1 ) 在[ x1 , x2 ]上利用连续函数的中间值定理即可. 4.设y f ( x)在[0,1]上连续且0 f ( x)1, ,x [0,1].证明在存在一点t [0,1]使得 f (t ) t. 证g (t ) f (t ) ,t , g (0) f (0) 0, g (1) f (1) , 1 0.如果有一个等号成立, 取t为0 或1.如果等号都不成立, 则由连续函数的中间值定理, 存在t (0,1), 使得g (t ) 0, 即f (t ) t. 5.设y f ( x)在[0, 2]上连续, 且f(0) f (2).证明在[0, 2]存在两点x1与x2 , 使得 | x1 , x2 | 1, 且f( x1 ) f ( x2 ). 证令g ( x)f ( x , 1) , f ( x), x [0,1].g (0) f (1) , f (0), g (1) f (2) , f(1) f (0), f (1) , g (0).如果g (0) 0, 则 f (1) f (0), 取x1 0, x2 1.如果g (0) 0, 则g (0), g(1)异号,由连续函数的中间值定理, 存在 (0,1)使得g ( ) f ( , 1) , f ( ) 0, 取x1, x2 , 1.第一章总练习题-7-1.求解下列不等式 : 5x , 8 () 12. 3 | 5x , 8 | 14 2 解 2. | 5 x , 8| 6,5 x , 8 6或5 x , 8,6, x 或x . 3 5 5 2 (2) x , 3 3, 5 2 解 , 3 x , 3 3, 0 x 15. 5 (3) | x , 1| | x , 2 | 1 解( x , 1) 2 ( x , 2) 2 , 2 x , 1 ,4 x , 4, x . 2 2.y 2 x , | 2 , x |, 试将x表示成y的函数. 设1 解当x 2时, y x , 2, y 4, x y , 2;当x 2时, y 3x , 2, y 4, x ( y ,2). 3 y , 2, y 4 x 1 3 ( y , 2), y 4. 1 3.求出满足不等式 1 , x 1 , x的全部x. 2 解x ,1.2 1 , x x , 2, 4(1 , x) x 2 , 4 x , 4, x 2 0.x ,1, x 0. 4.用数学归纳法证明下列等式 : 1 23 n n,2 (1) , 2 , 3 , , n 2 , n . 2 2 2 2 2 1, 2 1 证当n 1时,2- 1 , 等式成立.设等式对于n成立,则 2 2 1 2 3 n ,1 1 2 3 n n ,1 , 2 , 3 , , n ,1 , 2 , 3 , , n ,n ,1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n , 2 n ,1 2n , 4 , (n ,1) (n , 1) , 3 2 , n , n ,1 2 , 2, , n ,1 2 2 2 2n ,1 即等式对于n , 1也成立.故等式对于任意正整数皆成立. (2)1 , 2 x , 3 x , , nx2 n ,11 , (n , 1) x n , nx n ,1 ( x 1). (1 , x) 21 , (1 , 1) x n , 1x1,1 (1 , x)2 证当n 1时, 1, 等式成立. (1 , x) 2 (1 , x) 2 设等式对于n成立,则 1 , 2 x , 3 x 2 , , nx n ,1 , (n , 1) x n 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , (n , 1) x n 2 (1 , x)-8-1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , (1 , x)2 (n , 1) x n (1 , x) 2 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , (1 , 2 x , x 2 )( n , 1) x n (1 , x) 21 , (n , 1) x n , nx n ,1 , ( x n ,2 x n ,1 , x n , 2 )(n , 1) (1 , x) 2 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , ( x n , 2 x n ,1 , x n ,2 )(n , 1) (1 , x) 2 1 , (n , 2) x n ,1 , (n , 1) x n , 2 , (1 , x) 2即等式对于n , 1成立.由归纳原理, 等式对于所有正整数都成立. 5.设f ( x) | 2 , x | , | x | ,2 x (1)求f (,4), f (,1), f (,2), f (2)的值; (2)将f ( x)表成分段函数; (3)当x 0时f ( x)是否有极限: (4)当x ,2时是否有极限? 解(1) f (,4) 2,4,2 1 ,1 , 2 ,2 , 2 4,2,2 ,1, f (,1) 2, f (,2) 2, f (2)0. ,4 ,1 ,2 2 ,4 / x, x ,2; (2) f ( x) 2, ,2 x 0; 0, x 0. (3)无因为lim f( x) 2, lim f ( x) 0 lim f ( x). .x 0 , x 0, x 0,(4)有. lim f ( x)lim ( ,4 / x) 2, lim f ( x) lim 2 2 lim f ( x), lim f ( x) 2.x ,2 , x ,2 , x ,2 , 2 x ,2 , x ,2 , x ,26.设f ( x) [ x , 14], 即f ( x)是不超过x , 14的最大整数.23 (1)求f (0), f , f ( 2)的值; 2 (2) f ( x)在x 0处是否连续 ? (3) f ( x)在x2处是否连续 ? 1 3 9 解(1) f (0) [ ,14] ,14, f , 14 ,6 ,,7. f ( 2) [ ,12] ,12. 4 2 4 (2)连续因为 lim f ( x) lim[ y , 14] ,14f (0). .x 0 y 0 ,(3)不连续因为 lim f ( x) ,12, lim f ( x) ,11. .x 2 , x 2 ,7.设两常数a, b满足0 a b, 对一切自然数n, 证明 : (1) b n ,1 , a n ,1b n ,1 , a n ,1 (n , 1)b n ;(2)( n , 1) a n . b,a b,a-9-证b n ,1 , a n ,1 (b , a )(b n , b n ,1a , , a n ) b n , b n ,1b , , b n (n , 1)b n , b,a b,a b n ,1 , a n ,1类似有 (n , 1)a n . b,an n ,11 1 8.对n 1, 2,3, , 令an 1 , , bn 1 , . n n 证明 : 序列{an }单调上升, 而序列{bn }单调下降,并且.an bn . 证令a = 1 , 1 1 , n n ,11 1 , b 1 , , 则由7题中的不等式, n ,1 nn ,11 , 1 , n ,1 1 1 , n n ,1 1 , 1 , n ,1n1 (n , 1) 1 , , n 1 1 (n , 1) 1 , n n(n , 1)n ,1 nn1 1 , n 1 1 , nn ,1n ,1n ,11 1 1 , 1 , 1 , n n n ,1n ,1,1 1 1 , 1 , n n ,1n.n ,1 n ,11 1 n 1 , , 1 , 1 n n ,1 (n , 1) 1 , 1 1 n ,1 , n n ,11 1 1 (n , 1) 1 , 1 , n , 1 n(n , 1) n 1 1 1 1 ,1 , n ,1 n nn n n ,1 n n ,11 , 1 , n ,1n ,1n ,11 , 1 , n ,1n ,11 1 1 1 1 , ,1, 1 , n ,1 n n ,1 n2.1 1 1 我们证明 , 1 , 1 , . n n ,1 n ,1 1 12 1 ,1, 1, , n n ,1 n , 1 (n , 1) 2 1 1.最后不等式显然成立. n(n , 1) (n , 1) 2 1 1 当n 时, 1 , e, 1 ,n n9.求极限- 10 n n ,11 1 e, 故 1 , e 1 , n nnn ,1.1 1 1 1 lim 1 ,2 1 , 2 1 , 21 ,2 n 234 n 1 1 1 1 解 1 , 21 ,2 1 , 2 1 , 2 234 n 1 3 2 4 35 n n ,1 1 n ,1 1(n ). 2 2 3 34 4 n n n 2 2 nx 10.作函数f ( x) lim 2 ( a 0)的图形.n nx , a 0, x 0; nx 解f ( x) lim 2 n nx , a 1/ x, x 0.11.在 ? 关于有界函数的定义下, 证明函数f ( x)在区间[ a, b]上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数M 使得 | f ( x) | M , ,x [a, b]. 证设存在常数M 1 , N 使得M1 f ( x)N , ,x [a, b], 取M max{| M 1 |,| N |} , 1, 则有 | f ( x) | M , ,x [ a, b]. 反之, 若存在一个正的常数M 使得 | f ( x) | M , ,x [ a, b], 则 , M f ( x) M , ,x [a, b]. 12.证明 :若函数y f ( x)及y g ( x)在[a, b]上均为有界函数, 则f ( x) , g ( x )及f ( x ) g ( x ) 也都是[a, b]上的有界函数. 证存在M 1 , M 2 ,| f ( x) | M 1 ,| g ( x) | M 2 , ,x [ a, b]. | f ( x) , g ( x)| | f ( x) | , | g ( x) | M 1 , M 2 , | f ( x) g ( x) | | f ( x) || g ( x) | M 1M 2 , ,x [ a, b]. 13.证明 : f ( x) 1 cos 在x 0的任一邻域内都是无界的, 但当x 0时f ( x )不是无穷大量.x x 1 1 证任取一个邻域(, , ), 0和M 0, 取正整数n, 满足和n M , 则f ( ) n M , n n 1 故f ( x)在(, , )无界.但是xn 0, f ( xn ) (2n , 1/2) cos(2n , 1/ 2) 0 , 2n , 1/ 2 故当x 0时f ( x )不是无穷大量.- 11 -14.证明 lim n( x n , 1) ln x( x 0).n 1 1 ln x 证令x , 1 yn , 则 ln x ln(1 , y ), n .lim yn lim x n , 1 0. n nln(1 , y ) n 1 n1ln(1 , y ) 注意到 lim lim ln(1 , y ) y ln lim(1 , y ) y ln e 1, y 0 y 0 y 0 y1 1我们有n( x n , 1)1yn ln x ln x(n ). ln(1 , yn )15.设f ( x)及g ( x)在实轴上有定义且连续.证明 : 若f ( x)与g ( x)在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等. 证任取一个无理数x0 , 取有理数序列xn x0 , f ( x0 ) lim f ( xn ) lim g ( xn ) g ( x0 ).n n16.证明 lim1 , cos x 1 . x 0 x2 2 2sin 2x 2 2 2 lim 2sin y 1 lim sin y 1 2 1 . 1 y 0 x2 4 y2 2 y 0 y2 2 x,a x ln(1 , y ) e ,e 17.证明 : (1) lim 1;(2) lim ea . y 0 x 0 y x 1 , cos x 证 lim lim x 0 x 0 x2 ln(1 , y ) 证(1) lim lim ln(1 , y ) y ln lim(1 , y ) y ln e 1. y 0 y 0 y0 y1 1e x , a , ea e a (e x , 1) ex ,1 a y 1 lim e a lim e lim ea x 0 x 0 x 0 y 0 ln(1 , y ) ln(1 , y ) x x x lim y 0 y 1 ea ea . 1 18.设y f ( x)在a点附近有定义且有极限 lim f ( x) 0, 又设y g ( x)在a点附近有 (2) limx a定义,且是有界函数.证明 lim f ( x) g ( x) 0.x a证设 | g ( x) | M , 0 | x , a | 0 .对于任意 0, 存在 1 0, 使得当0 | x , a |1时 | f ( x) | / M .令 min{ 1 , 0 }, 则0 | x , a | 时,| f ( x) g ( x) | | f ( x) || g ( x) |MM , 故 lim f ( x) g ( x) 0.x a19.设y f ( x)在(, , , )中连续, 又设c为正的常数, 定义g ( x)如下 f ( x) 当 | f ( x) | c g ( x ) c 当f ( x) c ,c 当f ( x) ,c 试画出g ( x)的略图, 并证明 g ( x)在(, , , )上连续.- 12 -证(一)若 | f ( x0 ) | c, 则存在 0 0, 当 | x , x0 | 0时|f(x)|&lt;c,g(x)=f(x),x x0lim g ( x) lim f ( x) f ( x0 ) g ( x0 ).x x0若f ( x0 ) c, 则存在 0 0,当 | x , x0 | 0时f ( x) c,g(x)=c,x x0lim g ( x) lim c c g ( x0 ).x x0若f ( x0 ) c, 则g ( x0 ) c.对于任意 0, 不妨设 c, 存在 0, 使得当 |x , x0 | 时 | f ( x) , c | .设 | x , x0 | .若f ( x) c, 则g ( x) f( x),| g ( x) , g ( x0 ) | | f ( x) , c | , 若f ( x) c, 则g ( x) c,| g ( x) - g ( x0 ) | 0 . 证(二)利用g ( x)min{ f ( x), c} , max{ f ( x), ,c} , f ( x). max{ f1 ( x), f 2 ( x)} (| f1 ( x) , f 2 ( x) | , f1 ( x) , f 2( x)) / 2. min{ f1 ( x), f 2 ( x)} (, | f1 ( x) , f 2 ( x) | ,( f1 ( x) , f 2 ( x)) / 2. 1 20.设f ( x)在[a, b]上连续, 又设 [ f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 )], 3 其中x1 , x2 , x3 [a, b].证明存在一点c [a, b], 使得f (c) . 证若f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ), 则 f ( x1 ), 取c x1即可. 否则设f ( x1 ) min{ f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 )}, f ( x3 ) min{ f( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 )}, f ( x1 )f ( x3 ), f 在[ x1 , x3 ]连续, 根据连续函数的中间值定理, 存在一点c [a, b], 使得f (c). 21.设 y f ( x)在点x0连续而g ( x)在点x0附近有定义, 但在x0不连续问kf ( x) , l g( x ) 是否在x0连续, 其中k , l为常数. 解如果l 0,kf( x) , l g( x)在x0连续;如果l 0,kf ( x) , l g( x )在x0不连续,因否则 g ( x) [[kf ( x) , lg( x)] , kf ( x)] / l 将在x0连续. 22.证明Dirichlet函数处处不连续. 证任意取x0 .取有理数列xn x0 , 则D( xn ) 1; 取无理数列xn x0 , 则D( xn ) 0; 故 lim D( x)不存在, D( x)在x0不连续.x x023.求下列极限: 1 1, x (1) lim 0;(2) xlim (arctan x) sin 0 0; x 1 ,2 x , x 2 tan 5 x tan 5 x / x 5 (3) lim lim 5. 2 2 2 x 0 ln(1 , x ) , sin x x 0x[[ln(1 , x )] / x ] , sinx / x 1| x|(4) lim( x )x 11 x ,1lim(1 , y )1/ y e.y 024.设函数y f ( x)在[0, , )内连续, 且满足0 f ( x) x.设a1 0是一任意数, 并假定 a2 f (a1 ), a3 f (a2 ), , 一般地an ,1 f (an ).试证明{an }单调递减, 且极限 lim an 存在.n若l lim an , 则l是方程f ( x) x的根,即f (l ) l.n证an ,1 f (an ) an ,{an }单调递减.又an ,1 f (an ) 0(n 1, 2, ),{an }单调递减有下界,- 13 -故an有极限.设l lim an , 则l lim an ,1 lim f (an ) f (lim an ) f(l ).n n n n25.设函数y E ( x)在(, , , )内有定义且处处连续, 并且满足下列条件 : E (0) 1, E (1)e, E ( x , y ) E ( x) E ( y ). 证明E ( x) e x (,x (, , , )). 证用数学归纳法易得E ( x1 ,, xn ) E ( x1 ) E ( xn ).于是E (nx) E ( x) n . 设n是正整数, 则E (n) E (1 , , 1) E (1) n e n . 1 E (0) E (n , (, n)) E ( n) E ( , n) e n E ( , n), E ( ,n) e , n .于对于任意整数 E ( n) e n .1 1 1 1 1 对于任意整数n, E (1) E (n ) E (n) E ( ) e n E ( ), E ( ) e n . n n nn m 1 m 1 1 n E ( ) E (m ) E ( ) e e n .即对于所有有理数r , E (r ) e r . n n n 对于无理数x, 取有理数列xn x,由E ( x)的连续性, m mE ( x) lim E ( xn ) lim e xn e n (e x的连续性) e x .n nlim xn习题 2.11.设一物质细杆的长为l , 其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点O, 杆所在直线为x轴设从左端点到 . . 细杆上任一点x之间那一段的质量为m( x) 2 x 2 (0 x l ) (1)给自变量x一个增量 x, 求的相应增量 m; m ,问它的物理意义是什么? x m (3)求极限 lim ,问它的物理意义是什么? x 0 x (2)求比值解(1) m 2( x , x) 2 , 2 x 2 2( x 2 , 2 x x , x 2 ) , 2 x 2 2(2 x x , x 2 ). m 2(2x x , x 2 ) m 2(2 x , x). 是x到x , x那段细杆的平均线密度. x x x m m (3) lim lim 2(2 x , x) 4 x. lim 是细杆在点x的线密度. x 0 x x 0 x0 x (2)- 14 -2.根据定义, 求下列函数的导函数 : (1) y ax3 ;(2) y 2 px , p 0;(3) y sin 5 x. 解(1) y lim a( x , x)3 , ax3 x 0 x 3 2 ( x , 3x x , 3x x 2 , x 3 ) , x 3 a lim a lim(3x 2 , 3x x , x 2 ) 3ax 2 . x 0 x 0 xx 0(2) y lim 2 p lim 2 p lim2 p( x , x) , 2 px x , x , x 2 p lim x 0 x x( x , x , x )( x , x , x ) x 2 p lim x 0 x 0 x ( x, x , x( x , x , x ) x)x 02p 1 . x , x , x 2 x5(2 x , x) 5 x 2 cos sin sin 5( x , x) , sin 5 x 2 2 (3) y lim lim x 0 x 0 xx 5 5(2 x , x) 5 x 5 x 2 cos sin sin 5(2 x , x) 2 2 5 lim cos 2 5cos 5 x. lim 2lim x 0 x 0 x 0 5 x 5 x 2 2 23.求下列曲线y f ( x)在指定点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线方程 : (1) y 2 x , M (0,1); (2) yx 2 , 2, B(3,11). 解(1) y 2 x ln 2, y (0) ln 2, 切线方程y , 1 ln2( x - 0), y (ln 2) x , 1. (2) y 2 x, y (3) 6, 切线方程 : y , 11 6( x , 3). 4.试求抛物线y 2 2 px( p 0)上任一点M ( x, y )( x 0, y 0)处的切线斜率, p 并证明:从抛物线的焦点F , 0 发射光线时, 其反射线一定平行于x轴. 2 - 15 -证y 2 px , y2p p p , 过点M 的切线PMN 方程:Y , y ( X , x). y 2 2 px yp y2 切线与x轴交点N(X 0 ,0),, y ( X 0 , x), X 0 x , , x. y p p p p FN , x,FM x , , y 2 x , , 2 px 2 2 2 p p p x 2 , px , x ,x , FN , 故 FNM FMN . 2 2 2 过M 作PQ平行于x轴, 则 PMQFNM FMN .5.曲线y x 2 , 2 x , 3上哪一点的切线与直线y 4 x , 1平行, 并求曲线在该点的切线和法线方程. 解 y 2 x , 2 4, x0 1, y0 6, k 4 1 25 1 切线方程:y , 6 4( x , 1), y4 x , 2.法线方程 : y , 6 , ( x , 1), y , x , . 4 4 46.离地球中心r处的重力加速度g是r的函数, 其表达式为 GMr R 3 , r R;g (r )其中R是地球的半径, M 是地球的质量, G是引力常数. GM , r R r2 (1)问g (r )是否为r的连续函数 : (2)作g (r )的草图; (3) g (r )是否是r的可导函数. 解明显地,r R时g (r )连续.lim g (r ) limr R, r R, r R,2222GMr GM 2 , R3 Rlim g (r ) limr R,GM GM 2 lim g (r ), g (r )在r R连续. r R, r2 R(2)(3)r R时g (r )可导. g , ( R) GM 2GM , g , ( R) , 3 g , ( R), g (r )在r R不可导. 3 R R- 16 -7.求二次函数P( x),已知 : 点(1,3)在曲线y P ( x)上, 且P (0) 3, P (2) 1. a , b , c3 解P ( x) ax , bx , c, P ( x) 2ax , b. b 3 4a , b 121 1 1 1 b 3, a , , c 3 , (a , b) , P( x) , x2 ,3 x , . 2 2 2 28.求下列函数的导函数 : (1) y 8 x3 , x , 7, y 24 x 2 , 1. (2) y (5 x , 3)(6 x 2 , 2), y5(6 x 2 , 2) , 12 x(5 x , 3) 90 x 2 , 36 x , 10. (3) y ( x , 1)( x , 1) tan x ( x 2 , 1) tan x, y (2x) tan x, ( x 2 , 1) sec 2 x. 9 x , x2 (9 , 2 x)(5 x , 6) , 5(9 x , x 2 ) 5x 2 , 12 x , 54 , y . 5x , 6 (5 x , 6) 2(5 x , 6) 2 1, x 2 2 (5) y ,1 , ( x 1), y . 1, x 1, x (1 , x) 2 (4)y2 ,6 x 2 ( x 1), y3 . x3 , 1 ( x , 1) 2(6) y (7) yx2 , x , 1 (2 x , 1)e x , e x ( x 2 , x , 1) , x 2 , x , 1 , y . exe2 x ex (8) y x x , y 10 x ,x x ln10 10 x (1 , x ln10). 10 10 sin x x cos x , sin x , y cos x ,x sin x , . x x2 (10) y e xsin x, y e x sin x , e x cos x e x (sin x , cos x). (9) y x cos x ,9.定义 : 若多项式P( x)可表为P( x) ( x , x0 ) m g ( x), g ( x0 ) 0则称x0是P ( x)的m重根.今若已知x0是P ( x)的k重根,证明x0是P ( x)的(k , 1)重根 (k 2). 证P ( x) ( x , x0 )k g ( x), g ( x0 ) 0 P ( x) k ( x , x0 ) k ,1 g ( x) , ( x , x0 ) kg ( x) ( x , x0 ) k ,1 (kg ( x) ,( x , x0 ) g ( x)) ( x , x0 ) k ,1 h( x), h( x0 ) kg (0 x) 0,由定义x0是P ( x)的(k , 1)重根.- 17 -10.若f ( x)在( ,a, a)中有定义, 且满足f ( , x) f ( x), 则称f ( x)为偶函数.设f ( x) 是偶函数,且f (0)存在, 试证明f (0) 0. f ( x) , f (0) f (, x) , f (0) f ( ,x) , f (0) lim , lim , f (0), f (0) 0. x 0 x 0 x x ,x f ( x0 , x) , f ( x0 , x) 11.设f ( x)在x0处可导, 证明 lim 2 f( x0 ). x 0 2 x f ( x0 , x) , f ( x0 , x) 1 f ( x0 , x) , f ( x0 ) f ( x0 , x) , f ( x0 ) 证 lim lim , x 0 2 x 2 x 0 x x 证f (0) = lim x 01 f ( x0 , x) , f ( x0 ) f ( x0 , x) , f ( x0 ) lim ,2 x 0 x , x f ( x0 , x) , f ( x0 ) f ( x0 , x) , f ( x0 ) 1 1 lim , lim x 0 2 [ f( x0 ) , f ( x0 )] f( x0 ). x 0 2 x , x12.一质点沿曲线y x 2 运动, 且已知时刻t (0 t / 2)时质点所在位置 P(t )( x(t ), y (t ))满足 : 直线OP与x轴的夹角恰为t.求时刻t时质点的位置速度及加速度.y (t ) x 2 (t ) 解 x(t ) tan t , y (t ) tan 2 t , x(t ) x(t ) 位置(tan t , tan 2 t ), v (t )(sec2 t , 2 tan t sec 2 t ), v (t ) (2sec2 t tan t , 2sec 4 t , 4tan 2 t sec 2 t ) 2sec2 t (sec2 t , 2tan 2 t ).y=x2- 18 -13.求函数 x ,x 0 f ( x) 1 , e1/ x 0, x 0 在x 0的左右导数. x x 1/ x1/ x 1 1 解f - (0) lim 1 , e lim 1, f + (0) lim 1 , e lim 0. 1/ x x 0 ,x 0 , 1 , e x0 , x 0 , 1 , e1/ x x x 14.设f ( x) | x , a | ( x), 其中 ( x)在x a处连续且 (a) 0.证明f ( x)在x a不可导. (a , x) (x) ( x , a) ( x) 证f , (a) lim , (a), f+ (a) lim ( a) f - ( a). x a , x a , x,a x,a习题 2.2- 19 -1.下列各题的计算是否正确, 指出错误并加以改正 : (1)(cos x ) , sin x , 错.(cos x ) , sin x x , (2)[ln(1 , x)] (3) x 2 sin x . 2 x1 1 1 , 错.[ln(1 , x)] (1 , x) . 1, x 1, x x ,1 x 1 , x2 , x 2 , 1 , x 2 2 x , 错.1 , x2,,x 2 1 , x 2 , x 2 , 2x 1 , x2 , x3,1 , x2 , , x2 , 2 x , 3x3,,1 , x2, 2 x 1 , x2, x2x 1 , x2. 1 , x2 1 (4) ln | x , 2sin 2 x | x , 2sin 2 x (1 , 4sin x) cos x, 错. 1 ln | x , 2sin 2 x | x , 2sin 2 x (1 , 4sin x cos x). 2.记f ( g( x)) f (u ) |u g ( x ) .现设f ( x)x 2 , 1. 1 , x2 (1)求f ( x), f (0), f ( x 2 ), f (sin x); d d (2)求f ( x 2 ), f (sin x); dx dx (3) f( g ( x))与 f ( g ( x)) 是否相同 ? 指出两者的关系. 解(1) f ( x) 2 x, f (0) 0, f ( x 2 ) 2 x 2 , f (sin x) 2sin x. (2) d f ( x 2 ) f ( x 2 ) , x 2 , 2 x 2 2 x 4x 3 . dxd f (sin x) f (sin x)(sin x) 2sin x cos x sin 2 x. dx (3) f ( g ( x))与 f ( g ( x))不同, f ( g ( x)) f ( g ( x)) g ( x).3.求下列函数的导函数: (1) y 2 2 x 2 3 6 x2 , y , , . 2 2 3 3 x3 , 1 , x , 1, , x , 1,(2) y sec x, y , (cos x) ,1 , ,(cos x) ,2 (cos x) ,(cos x) ,2 ( ,sin x) tan x sec x. (3)y sin 3 x , cos 5 x, y 3cos 3 x , 5sin 5 x. (4) y sin 3 x cos 3x, y3sin 2 x cos x cos3x , 3sin 3 x sin 3 x 3sin 2 x(cos x cos 3x , sin x sin 3x) 3sin 2 x cos 4 x.- 20 -1 , sin2 x 2sin x cos x cos x 2 , (1 , sin 2 x)( , sin x 2 )2 x (5) y ,y cos x 2 cos 2 x 2 sin 2 x cos x 2 , 2 x(1 , sin 2 x)(sin x 2 ) .cos 2 x 2 1 (6) y tan 3 x , tan x , x, y tan 2 x sec 2 x , sec 2 x , 1 3 2 tan x sec 2 x , tan 2 x tan 2 x(sec 2 x , 1) tan 4 x.(7) y e ax sin bx, y ae ax sin bx , be ax cos bx e ax (a sin bx , b cos bx). x (8) y cos5 1 , x 2 , y 5cos 4 1 , x 2 ( , sin 1 , x 2 ) 1 , x2 , 5 x cos 4 1 , x 2 sin 1 , x 2 1 , x2 .1 1 x x (9) y ln tan , , y sec2 , 2 x 2 4 2 4tan , 2 4 1 1 1 1 2 x x x x tan , cos 2 ,2sin , cos , 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 sec x. cos x sin( x , ) 2 1x,a 1 x , a ( x , a) , ( x , a) 1 (10) y ln (a 0, xa ), y 2 . 2 2a x , a 2a x , a ( x , a) x , a24.求下列函数的导函数 : x (1) y arcsin (a 0), y a 1 1 . 2 a2 , x2 x a 1,a 1 x 1 1 1 1 (2) y arctan (a 0), y 2 . 2 a a a x a a , x2 1, ax2 2 2 x arccos x , (3) y x arccos x(| x | 1), y . 1 , x2 1 1 ,1 1 (4) y arctan , y , . 1 x2 x 1 , x2 1, 2 x 2 x 2 a x (5) y a , x 2 , arcsin ( a 0), 2 2 a 1- 21 -y1 2 x ,2 x a2 a , x2 , , 2 2 a2 , x2 21 2 x a 1, a11 2 x2 a2 2 a ,x , , a2 , x2 . 2 2 2 2 2 a ,x a ,x x 2 a2 x , x2 ,a2 2 (6) y x , a , ln (a 0) 2 2 aa2 1 x , 1 , 2 x2 , a2 2 x , x2 , a2 x , a2 1 2 x2 a2 x , a2 , , x2 , a2 . 2 2 2 2 2 2 x ,a2 x ,a 2x (7) y arcsin 2 , x 1. x ,1 1 2( x 2 , 1) , 2 x 2 x 1 1 , x 2 2sgn(1 , x 2 ) y 2 2. 2 ( x 2 , 1) 2 x2 , 1 x ,1 x ,1 4x2 1, 2 ( x , 1) 2 y 1 2 x x ,a2 , 2 2 x (8) y y a ,b x arctan tan ( a b 0). a,b 2 a 2 , b2 2 22 21 a ,b x 1 sec2 2 2 a , b 1 , a , b tan 2 x a , b a,b 2 1 x 1 sec 2 x 2 ( a , b) cos 2 x , ( a , b) sin 2 x a , b , (a , b) tan 2 2 2 2 1 .a ,b cos x (9) y (1 , x )(1 , 2 x )(1 , 3 x ), ln y ln(1 ,x ) , ln(1 , 2 x ) , ln(1 , 3 x ) y / y 1 2(1 , x ) x , 2 3 , , 2(1 , 2 x ) 2 x 2(1 , 3 x ) 3 x1 2 3 y y , , . 2(1 , x ) x 2(1 , 2 x ) 2 x 2(1 , 3 x ) 3 x 1, 4x (10) y 1 , x , 2 x 2 , y . 2 1 , x , 2 x2 x (11) y x 2 , a 2 , y . x2 , a2 ,x (12) y a 2 , x 2 , y . a2 , x2- 22 -x 1 . 1 , 2 x , x2 , a2 x , a2 x2 , a2 2 1 (14) y ( x , 1) 3 (3 x , 1) 2 (2 , x).ln yln( x , 1) , ln(3 x , 1) , ln(2 , x), 3 3 y 1 2 1 ,1 , , y x , 1 3x , 1 3 2 , x (13) y ln( x , x 2 , a 2 ), y1 2 1 ,1 1 y y , , . x , 1 3x , 1 3 2 , x (15) y e x , ee , y e x ,ee e xe x (1 , e e ).x x x(16) y x a , a x , a a (a 0).a a xy a a x a aa xaaa,1, a x ln a (ax a ,1 ) , a a ln aa x ln aa x a x,1, a ln aa x x a ,1 , a a a x ln 2 a.5.一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s2垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角 (t )的变化速率是多少? 1 x(t ) t 2 解x(t ) 2 4t 2 , tan (t ) 8t , 2 400 100t2 1 t 1 10 (t ) arctan , (t ) , (10) 0.1(弧度 / s). 2 2 2 2 50 100 t 50 10 1, 1, 100 100 6.在图示的装置中, 飞轮的半径为2m且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为 = 时,活塞向右移动的速率是多少? 2- 23 -解x(t ) 2 cos8 t , 36 , 4sin 2 8 t , ,8sin 8 t cos8 t (8 ) x(t ) ,16 sin 8 t , , 236 , 4sin 2 8 t 1 1 (t ) 8 t ,, t0 , x ( ) ,16 . 2 16 16 活塞向右移动的速率是16 m/s.习题 2.3- 24 -1.当x 0时, 下列各函数是x的几阶无穷小量 ? (1) y x , 10 x 2 , 100 x 3 .1阶. (2) y ( x , 2 , 2) sin x x sin x , 2阶. x,2, 2x (3) y x(1 , cos x) x 2sin 2 , 2阶. 2 2.已知 : 当x 0时, ( x) o( x 2 ).试证明( x) o( x). ( x) ( x) 证 2 x o(1) x o(1). x x 3.设 ( x) o( x)( x 0), ( x)o( x)( x 0).试证明: ( x) , ( x) o( x)( x 0). o(1) , o(1) o(1). x x x 上述结果有时可以写成o( x) , o( x) o( x). 证 4.计算下列函数在指定点x0处的微分: 11 (1) y x sin x, x0 / 4. y sin x , x cos x, y 1 , , dy 1 ,dx. 2 4 2 4 4 (2) y (1 , x) ( 0是常数). y (1 , x) ,1 , y (0), dy dx. 5.求下列各函数的微分: (1) y 1, x 2 2 2dx ,1 , , y , , dy , .2 1, x 1, x(1 , x) (1 , x) 2( x) , ( x)( x),( x)(2) y xe x , y e x , xe x e x (1 , x ).dy e x (1 , x )dx. 2 6.设y( x 1), 计算当x由3变到3.001时, 函数的增量和向相应的微分. x ,1 2 1 解 y = , y(3) , . 2 (x -1) 2 2 0.001 0.001 y ,1 , , dy , . 2.001 2.001 2 7.试计算5 32.16的近似值. 1 .16 解 5 32.162 5 1 , .16 / 32 2 (1 , ) 2.002. 5 32 8.求下列方程所确定的隐函数的导函数 : 1 ,1 1 ,1y 3 (1) x , y a ( a 0). x 3 , y 3 y 0, y , . 3 3 x2 3 2 3 2 3 1。

习题2.120 1.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x ∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解 33303223322200002.,:(1);(2)2,0;(3)sin 5.()(1)lim(33)lim lim (33)3.2()2(2)lim 2lim(2lim x x x x x x y ax y px p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax xp x x px x x xy p xx p ∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆+∆-+∆'==∆+∆=根据定义求下列函数的导函数解00000)()2lim()()22lim25(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x x x x p x x x x x x x x p p x x x xx x xx x xy xxx x x x x x x →→∆→∆→∆→∆→∆→-+∆+=∆+∆+∆+∆+==+∆++∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴20002222222,,().22(),.,2222,.222,.p py px y M PMN Y y X x yy px p y x N X y X x X x x y p p p p FN x FM x y x pxp p p x px x x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++=+=+=∠=∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解32322 6.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R r g r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导 227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e e y x y x x x x x xy x x y x x x x xy e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x e x x x x e e f f x e x ef x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-fy =x 2习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:11(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.2112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22xx x xyx xxxy a bxyxx xab a b a b ab--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==222222222311(13)ln(),1.21(14)(1)(31)(2).ln ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e x y x x a y x x a x a x ay x x x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'=++=+= ⎪++++⎝⎭=-+-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8(8)()16sin8,811()8,,,()16.2161616m/s.x t t t x t t t t t t x ππππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos )2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--222222222(3)arctan ,,,.1(4)sin cos()0sin cos sin()(1)0,cos sin().sin()sin 9.(1)2yxy y x yy xy y x yy x y x x xy y x yy y x y x y x y x y y x y x x y y x y x x y y y x x y y x y xM y ='-+'''+-++'''==-=+=+++-⎛⎫+ ⎪⎝⎭--=''++--=+-'=---求下列隐函数在指定的点的导数:222222222422240,(3,7)17319222220,,(3).73420(2)50,,.10202010()1050,,0.51051010010.()xyxyxy xy xy x x My x yy y xy xy y y x e e x y M e e xy ye e e e y xy xy x y y y e e xe x e y f x -+-=+-+-''''---+====--⎛⎫-= ⎪⎝⎭-⎛⎫-''''+--==== ⎪-⎝⎭-=设由下列参数方2322:2(1)3333(1).(1).222ln (2),1/.ln 1(3)1t tdyy dxx t t y t t dy t t t dx t x t t dy e t e dx t y e x y dy t dxtt '=⎧=-⎪⎨=-⎪⎩-==+≠-=⎧=≠⎨+=⎩⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=+程给出,求sgn(),0.t t =≠220002211.1(,),.x y M x y a bM +=试求椭圆周上一点处的切线方程与法线方程.并证明:从椭圆的一个焦点向椭圆周上任一点发射的光线其反射线必通过椭圆的另一个焦点 222220000022202222200000002022,.(), 1.(),()x yy b x y a b a yb x x x y y y y x x a y a b a y y y x x a y x b x y a b x y b x ''+=-⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭切线方程：法线方程：22221102000112200200222200000222220020000200222022200(,0),(,0),().0..,.()tan 1()1()b x F c F c c a b a b y k a y y yMF k MF k x c x cb x ya y x cb x xc a y k k F MQ b x y kk a y x c b x y a y x c a b b cx a b x y a -=->≠=-==+-----+-∠===-+-----=---焦点设切线斜率的斜率的斜率2222200222000000020022220000011222001000020022222220022222000000()();()()tan 1()1()(()b a cx b a cx b cy c x y a cy cy a cx cy b x y a y x c b x x c a y k kPMF b x y kk a y x c b x y a y x ca b b cx b a cx b a a b x y a cy c x y a cy --=-==--++++-∠===-++--++++===-++2022*******)tan .(),,.22cx b F MQ cy a cx cy PMF F MQ PMF F MQ ππ==∠+⎛⎫∠∠-∠=∠ ⎪⎝⎭和都在区间故习题2.4()()1()11()11(1),!.(2),.1(1)!(3)(1)(1).(1)(11)(11)(1).1(1)11111(4),(1)!.(1)1(1)n n x n n n n nn n n n n ny x y n y e y e n y x x y n x x x y y n x x x x xx ---+++====-==+≠-=-----++=++⎛⎫==-=-- ⎪+++⎝⎭2.()cos ,220.cos sin (cos sin ),(cos sin )(sin cos )(2sin ),22(2sin )2(cos sin )2cos 0,x x x x x x x x x x y x e x y y y e x e x e x x y e x x e x x e x y y y e x e x x e x '''=-+='-=-''=-+--=-'''-+=---+=设证明证y =2232243433.(4),2(1).4377141,,.44(4)(4)98714982,(1)2.(4)4(4)(4)x y x y y y x x y y y x x x x y y y y x x x x -'''=≠-=-+-'''==-==-++++⎛⎫⎛⎫''''=-=--== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭设证明证23(6)(7)(6)(7)22234.(1)(21)(31),,.6!(108),0.5.0(,),?,,()0,0,0.6.x x x x x y x x x y y y y y e y py qy p q y e y e y py qy p q e e p q t λλλλλλλλλλλλλθθ=-+-=-='''=++=''''''==++=++=≠++==-设求要使满足方程其中为常数该取哪些值该取方程的根飞轮绕一定轴转动,转过的角度与时间t的关系为解解22()()()231343,6 4.17.(),,(),(1)1()(1),()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1),(0)(1)((1)k nn k n k knk n kt t t t t f x n f x k x f x x f x n n n k x x n n n k f n n n x θθ---++-'''=-+=-=-==-=-----+---++-==+-,求飞轮转动的角速度与角加速度.角速度角加速度设其中为一个正整数求为一个正整数.解解1).k +-2(50)8.ln(1),.Leibniz y x x y =+设求由公式,解()()()()()()(50)(49)(48)(50)2(49)(48)(47)2111250495049ln(1)50(2)ln(1)2ln(1)25049(1)50(2)(1)2(1)2(1)(2)(1491)(1)100(1)(2)(1481)(1)2450(1)(2)(1471)(1y x x x x x x x x x x x x x x -----=+++++=+++++=----+++----+++----+482504948250)247!49!(1)10048!(1)245047!(1)(501225).(1)x x x x x x x x ----+-=-+++-+=+++12122212121212221212129.()()0.,(),()()()()0.1ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx y C e C e C C y a b y aby y C e C e C ae C be y C ae C be C a e C b e y a b y aby C a e C b e a b C ae C be ab C e C e '''=+-++='''''++=+=+'''-++=+-++++=验证函数其中与为任意常数是微分方程的解证=()=()212121211211222112112122211210.()()20.()()(),()()(2),2(2)2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax y C x C e C C y ay a y y C x C e C e a C x C e e aC x C aC y e a aC x C aC e aC e a C x a C aC y ay a ye a C x a C aC ae '''=+-+=''+=++=++''=+++=++'''-+=++-验证函数其中与为任意常数是微分方程的解证=211212212121222221212()()0.cos sin ()0.sin cos ,cos sin (cos sin ).ax aC x C aC a C x C e y C t C t C C y y y C t C t y C t C t C t C t y ωωωωωωωωωωωωωωω++++=''=++='''+=--=-+=-验证函数其中与为任意常数是微分方程的解证=-习题2.55/3223/22222222222:91.32.5412.(1(1).323.sec tan.4.tan(sec1)tan.5.cot(csc1)cot1.326.111b b Cdx x Cx xdx x dx x x x Ca xdx a x Cxdx x dx x x Cd d Cxdxx xϕϕϕϕϕ-+=+++=+=+++=+=-=-+=-=--++⎛=+++⎝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列不定积分2225/43/27/423222arctan.7.4arcsin.8.(1cos)sec(sec1)tan.4249.(1)5371232610.ln||.(1)11.dx x x Cdx x Cx xdx x dx x x Cdx x x x x Cdx x Cx x x x xxx⎫=++⎪⎭⎛⎫=++=+=++=+=++++⎛⎫++=--+⎪⎝⎭-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()24/31/32/34/331/32/35/3223/21/21/2225/23/222122333.512.(2cosh sinh)2sinh cosh.31113.321243.53114.sin cosx xdx dx x x x dxxxx x x Cx x dx x x Cxdx x x x dxx xx x x Cxx-----+==-+=--++-=-+⎛-⎛⎫+=-+++⎪⎝⎭⎝=++++⎰⎰⎰⎰⎰2212222211cot tan.sin cos2311115.263921112/ln3/ln2.392111116.arctan.(1)1x xx xxx xdx dx x x Cx xdx dxCdx dx x Cx x x x x+-⎛⎫=+=-++⎪⎝⎭⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-=--+⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰121122234317.()(,).(),1().218.()()()1,().1(())1,()1,41()1.4x x x x x y x a be a b a be dx ax be C yax be C dx ax be C x C f x xf x f x x f x xf x x xf x x dx x x C C f x x x -----''=+'+=-+=-+=+++'+=+'=+=+=++=++⎰⎰⎰求解微分方程为常数设满足方程求解y =解习题2.6122112222121.(1)lim lim ()().()()(2)lim ()lim(())11(1)()()lim()()()lim 2()()li nbi a i nnn n i i n n n i kdx k x k b a k b a i b a b a b a a a b a i n n n n n a b a b a i a b a b a n n a b a b a λλ→→=→∞→∞==→∞→∞==∆=-=----+=-++=-+-=-+-=-+-∑⎰∑∑∑根据定积分的定义直接求下列积分:222(11/)()m ().2222.()[,]()0.(),,;0,()[,],()(),()(),(),().n dbcan b a b a a b a x y c d y x y y c y d y c x y c d y dy x dx y x x y a c b b ϕϕϕϕϕψψϕϕϕ→∞+--=-+==>===≥=+====⎰⎰设函数在上连续且试用定积分表示曲线及轴所围的图形的面积又设函数在上严格递增试求积分和其中是的反函数()()dbcay dy x ϕψ+⎰⎰解221230203.[0,1]Riemann .Riemann 111111(1)(21)12().6634..,0,0,1, 1.2,31i n n i y x n n i s n n n n nn n n n x y x y x y ξ-==→∞⎛⎫⎛⎫==--=--→→∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭======∑⎰⎰写出函数在区间上的和,其中分割为等分,中间点为分割小区间的左端点求出当时和的极限.]求定积分当时当时由题解解y =12/2/2/2/2/20212121.335.(1)(1sin ).2(1sin )(1).(1sin )(2).23.22(1)(2)0,1, 2.(,1/2),y dy x dx x dx dx x dx dx x x x x x x x πππππππππ-=-=<+<+>=+<=<<+-=+-==-=∈-∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明下列不等式当时证证21100/2/22200100.(1/2,)3.26.:(1).(2)(sin).(3).7.()[,],().x xxe dx e dxx dx x dxxdxy f x a b y f xππ∈+∞=<<=>><==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当时判断下列各题中两个积分值之大小设函数在上有定义并且假定在任何闭子区间上有最大值和最小值对于012111()()11()0()01::()[,],()[,]()[,]lim lim.()[,]lim lim(n ni i i i i in ni i i iT Ti ini i iT Ti iT x a x x x x b m f x x x M f x x xy f x a b m x M x y f x a b m x fλλλλξ---→→==→→==<<<<<==∆∆=∆=∑∑∑任意一个分割记为在中的最小值为在中的最大值.证明在上可积的充要条件是极限与存在并且相等设在上可积,则证1()0()011()0()011111()01)(),lim lim()().lim lim,(),lim().n bi an n bi i i i aT Ti in ni i iT Ti in n ni i i i ii i ini iTix f x dx M x f x f x dxm x M x Im x f x M xf x Iλλλλληξξ=→→==→→=====→=∆=∆=∆=∆=∆=∆≤∆≤∆∆=∑⎰∑∑⎰∑∑∑∑∑∑设则由夹挤定理,习题2.72222222211222012201.1(1)(),().11(2)()sin ,()2sin(1).(3)()cos ,()cos .(4)(),()2.2.()[,].()()x x xx t x x xxadt F x F x t x G x t dt G x x x H x t tdt H x x x L x e dt L x xe e y f x a b F x f t +---'==++'==+'==-'==-==⎰⎰⎰⎰求下列变上(下)限积分所定义的函数的导函数:设在上连续证明00,()().()()11()()()()()(0)()().a x a dt a F a f a F a x F a f t dt f x a a x x x xf f a x F a f a ξξξ++∆+'=+∆-==∆≤≤+∆∆∆∆'=→∆→+=⎰⎰在处有右导数且故证3.()[,].()()(()0.()().().()0,,()().()(),()0.(()())()()()()0,()(),[,].()()0,xaxax a b f x F x F a a x b F x f t dt f t dt G a G x f x F x f x F a G x F x G x F x f x f x G x F x C x a b C F a G a =≤≤=''===='''-=-=-=-=∈=-=⎰⎰设f 在上连续假定有一个原函数且证明当时由变上限积分求导定理证G(x)=()()(),[,].xa F x G x f t dt x ab ==∈⎰()11111124.:(0,),ln .11ln ,,(0,),ln10,ln .5.()[,]|()|,([,]),.()()[,]Lipschiz :|()(xx x xadt x x dt tdt dt dt x dt x dt x dt x t xt t y f x a b f x L x a b uqz L F x f t dt a b F x F x ∈+∞='⎛⎫'==∈+∞=== ⎪⎝⎭=≤∀∈=-⎰⎰⎰⎰⎰证明当时由于故设在上可积,且其中为常数证明变上限积分在上满足条件证2122211112121212210)|||,(,[,]).,|()()|()()()().6.()sin .()sin ,()sin sin (1cos )x x x x x a ax x x x t tx x x x L x x x x a b x x F x F x f t dt f t dt f t dt f t dt Ldt x x G x ezdzdt G x e zdz G x zdz e x x e ≤-∈<-=-=≤≤==='''==+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰不妨设求函数的二阶导数x x 证解e e sin .x x习题2.814130033002211443064215301.Newton-Leibniz :1(1).44(2).(3)sin cos | 2.(4)ln |ln 2.(5)(2sin )2cos 4.4411(6)(1)326124bb xx b a aa x x dx e dx ee e xdx x dx x xx x x dx x x x x x x x dx x πππππ====-=-===⎡⎤+=-+=+⎢⎥⎣⎦⎡+++=+++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰用公式计算下列定积分()10422221122112212222422223.211112..2111:?21111111,2221112x x x dx x x x x dx x x x x x x x x x x x x x x x x dx x x x ----⎤=⎢⎥⎦⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎛⎫⎛⎫'-=-=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰验证是的一个原函数并计算定积分试问下式是否成立为什么故是的一个原函数.解4112221125.41111.[1,1]2x dx x x x x x --=⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰不成立因为在不可积.1100113341340110113.Riemann Newton-Leibniz 1(1)lim sin sin cos |1cos1.11(2)lim lim .44111(3)lim lim 1/nn k nn n n k k nn n n k k kxdx x n n k k x x dx n n n dx n k n k n →∞=→∞→∞==→∞→∞====-=-⎛⎫==== ⎪⎝⎭==++∑⎰∑∑⎰∑∑将下列极限中的和式视作适当函数的和,然后使用公式求出其值:1100ln(`1)|ln 2.1x x =+=+⎰1221110111110111/21001/21/22304.Newton-Leibniz (1)|| 1.22(2)sgn 1(1)110.111(3)22243x x x dx xdx xdx xdx dx dx x x dx x x dx x x dxx x x -----=-=-==+-=-=⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:1321/22220021222121011111111.3416243424168(4)|sin |sin sin cos |cos |22 4.(5)([])(1)2211() 1.22x x dx xdx xdx x x x x x x dx xdx x dx x πππππππ⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭=-=-+=+=⎛⎫-=+-=+- ⎪⎝⎭=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.()[,]().[,],()()()().()()()(Newton-Leibniz )()()().ba F x ab F xc a b F b F a F c b a F b F a F x dx F c b a '∈'-=-'-='=-⎰设在上有连续的导函数试证明:存在一点使得公式定积分中指中值公式证第二章总练习题2211211|3| 11.().313,14243131()(10)lim 2;424(10)lim |3|2(10)(1),1.313(1)(3)|1,(1)4242x x x x x x f x x x x x x f x f x f x f f f x x x f x f x →→+=-=-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩⎛⎫≠-=-+= ⎪⎝⎭+-==-=='⎛⎫'''=-=-=-+= ⎪⎝⎭时讨论函数的连续性和可导性时时可导.=在连续解132131(1),(1) 1.212 2 12.(), 1157 1,,,,()(,).(10)lim(2x x f f f x x x f x Ax Bx Cx D x x x A B C D f x f x +=→-⎛⎫''-=-==- ⎪⎝⎭=-<-⎧⎪=+++-≤≤⎨⎪+>⎩-∞+∞--在可导.时设函数时时试确定常数的值使在可导解=3211212)4(1).(1)(22)|2(1)()|(32)|32.(10)(10)12,(1)32(1) 5.43221232 5.{ x x x f A B C D f x f Ax Bx Cx D Ax Bx C A B C f A B C D f f A B C f A B C D A B C A B C D A B C A -=-+=-=--+-=-=-=-+-+''''-=-==-=+++=++=-+-=+++=+=''=++==-+-+=-⎧⎪-+=⎪⎨+++=⎪⎪++=⎩= -9/4, 3/4, 41/4, 13/4}.B C D ===223.()(sin 2)(),()0.()0,,(0).()(0)()sin 222(0)(0),(0)2(0).2sin cos 4.?()() 1.5,.()[1,1],g x x f x f x x g x x g g x g f x xf xg f x x xf xg x f x ==='∆-∆∆'=→∆→=∆∆+--=-222设函数其中在连续问在是否可导若可导求出x 问函数f(x)=与g(x)=为什么有相同得导数1+x 1+x因为设函数在上有定义解x解22(),[1,1]. 1.(0)0,(0)0.0,()(0)()11(00),(0)1,(0)1,(0) 1.x f x x x x f f x f x f f x x xx x f f x x x f +-≤≤+∈-≤≤=∆>∆-∆∆+∆''=≤=∆+→∆→+==∆∆∆'=且满足证明存在且等于类似故证02222222222236.()|4|,().||2,()4,()2.(2)(4)|4,(2)(4)|4,(2),(2)1,.12241,,.1(1)(1)8.()(,),x x f x x f x x f x x f x x f x f x f f x d yy x dxdy d y y x dx x dx x f x +=-='=-'''>=-==-=''''=-=--+=-+==-----∞+∞设求时不存在同理不存在.7.设求设函数在上有定义且满足下解 解=-2:(1)()()()(,);(2)(0)1;(3)0.:(,)()(0)().()()()()()(0)()(0)()(0)()(0),()(0)().1/2, 1/2,9.()0n n f a b f a f b a b f x x f x f f x f x x f x f x f x f x f x x f x f f x f f x x f x f f x x x f x +===''∈-∞+∞=+∆-∆-=∆∆∆-'''=→∆→=∆==列性质为任意实数在处可导证明对于任意都有设证1201/2, 1/2,(1,2,);()(1,2,);, 1/20, 1/2()0?()0?(1/2)(0)1/210(),1/21/22()(0)()(0)00(1/2,0).lim 0,(0)n nn nn n n nn n x x n g x n x x f x x g x x f f n f x f f x f x x f x x+→⎧⎧=⎪⎪===⎨⎨≠≠⎪⎪⎩⎩==-==→→∞--'=→≠→=问在处是否可导在处是否可导解()()102222220.(1/2)(0)1/211(),1/21/222()(0)()(0)00(1/2,0),lim .(0).10.()()[,],()()()().[()()]()2()n n n nn x bb baaabbaa g g n g x g g x g x x g x xy f x y g x a b f x g x dxf x dxg xdx f x tg x dx g x dx t f x g +→=-==→→∞--'=→≠→==≤+=+⎰⎰⎰⎰⎰不存在设及在上连续证明:证()()()()222222222()()0(*),()0,()0,[,],0.()0,2()()4()()0,()()()().bbaab aba bbbaaabbbaaax dx t f x dx g x dx g g x x a b g x dx f x g x dx g x dx f x dx f x g x dx f x dx g xdx +≥==∈>-≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰如果则由的连续性不等式两端都是如果(*)左端的二次函数恒非负,故其判别式非正,2212122111.111()222/2(/2)1,()(),(1),1/2222.222122(),(1).22222/2(/2)(),1/2(1/2(1)(/2)()nn n n n n n n n f x x x x x x x f x f x f x n n n nf x x x f x x f x x n x f x +-+=+++-'==-++++=-''=+++=+++-=--+'=求出函数在点的导数再将函数写成的形式再求由此证明下列等式:1212证121121122(1/2))(1/2)(1/2)(/2(/2)),(1/2)(1/2(1)(1/2))(1/2)(1/2)(1/21/2)(1)1/22(1(1)/2)11/22.21(1)12.(1).(1)n n n n n n n n n n nx x x x n f n n n x nx nx x x x x x ++++--+---++-'=+=-++-=--++++=≠-+++2由类似上题的办法证明1+2x+3x 由等比级数求和公式证111122110011000,1(1(1))(1)()1(1)(1).(1)(1)1113.()[0,1]().()()1().()n n n n n n x x xnx n x x x x n x nx x x x y f x f x dx f x f x dxdx f x dx dx f x +-++-=-++-+-+--++==≠--=≥=≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰2两端求导得1+2x+3x 设在连续且>0证明10证1=1111111/11/11/11114.ln 111()ln 1(0)11111111()ln 1;()1.23231111(1)ln 1.111/1nnn n n n dtx t a n n n nb nc e e n n n dt dtdt n n n t n-++++=⎛⎫<+<> ⎪+⎝⎭⎛⎫+++<<++++<+< ⎪-⎝⎭⎛⎫=+=<= ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰证231111(2)ln lnln 111,12112n n n n n⎛⎫⎛⎫==++++<+++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭111ln 11111111ln ln 11.121(3)1.nn nn n n n n n e een ⎛⎫+- ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫=++++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+=>= ⎪⎝⎭。