动量守恒定律及其应用

- 1 - 动量守恒定律及其应用

知识点一 系统 内力和外力

1.系统：相互作用的 组成的一个整体.

2.内力：系统

物体间的相互作用力.

3.外力：系统 的物体对系统 的物体的作用力.

答案：1.两个或多个物体 2.内部 3.以外 以内

知识点二 动量守恒定律

1.内容：如果一个系统

，或者

为0，这个系统的总动量

.

2.成立条件(具备下列条件之一)

(1)系统 .

(2)系统所受外力的矢量和为

.

3.表达式

(1)p＝p′

含义：系统相互作用前总动量p等于

总动量p′.

(2)Δp1＝－Δp2

含义：相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量 、 .

(3)Δp＝0

含义：系统 为零.

(4)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′

含义：相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量之和等于 .

答案：1.不受外力 所受外力的矢量和 保持不变 2.(1)不受外力 (2)0 3.(1)相互作用后 (2)大小相等 方向相反 (3)总动量增量 (4)作用后的动量之和

考点 对动量守恒条件的理解

1.系统不受外力或系统所受外力的合力为零.

2.系统所受外力的合力虽不为零，但比系统内力小很多.

3.系统所受外力的合力虽不为零，但系统在某一个方向上不受外力或受到的合外力为零，则系统在该方向上的动量守恒.

[典例1] (多选)如图所示，A、B两物体质量之比mA∶mB＝3∶2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，水平地面光滑.当弹簧突然释放后，则(

)

- 2 - A.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统动量守恒

B.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统动量守恒

C.若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统动量守恒

D.若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统动量守恒

[解析] 要判断A、B组成的系统动量是否守恒，要先分析A、B组成的系统受到的合外力与A、B之间相互作用的内力，看合外力之和是否为零，或者内力是否远远大于合外力.

[答案] BCD

[变式1]如图所示，小车与木箱紧挨着静止放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推木箱.关于上述过程，下列说法中正确的是(

)

A.男孩与木箱组成的系统动量守恒

B.小车与木箱组成的系统动量守恒

C.男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒

D.木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量相同

答案：C 解析：如果一个系统不受外力或所受

外力的矢量和为0，那么这个系统的总动量保持不变.选项A中，男孩与木箱组成的系统受到小车对系统的摩擦力的作用；选项B中，小车与木箱组成的系统受到人对系统的力的作用；动量、动量的改变量均为矢量，选项D中，木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量大小相等、方向相反.故选C.

考点 对动量守恒定律的理解和应用

1.矢量性：动量守恒方程是一个矢量方程.对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的情况，应选取统一的正方向.凡是与选取正方向相同的动量为正，相反为负.若方向未知，可设为与正方向相同列动量守恒方程，通过解得的结果的正负，判定未知量的方向.

2.瞬时性：动量是一个瞬时量，动量守恒指的是系统任一瞬时的动量恒定.列方程m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2时，等号左侧是作用前(或某一时刻)各物体的动量和，等号右侧是作用后(或另一时刻)各物体的动量和.不同时刻的动量不能相加.

3.相对性：由于动量大小与参考系的选取有关，所以应用动量守恒定律时，应注意各物体的速度必须是相对同一惯性系的速度.一般以地面为参考系.

4.系统性：研究的对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统，而不是其中的一个物体.

5.普适性：它不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统.

- 3 - 考向1 动量守恒定律的基本应用

[典例2] 人和冰车的总质量为m总，另有一质量为m的木球，m总∶m＝31∶2，人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度v(相对于地面)将原来静止的木球沿冰面推向正前方的固定挡板，不计一切摩擦.设球与挡板碰撞时无机械能损失，人接住球后再以同样的速度v(相对于地面)将球沿冰面向正前方推向挡板，求人推多少次后才不再能接到球.

[解析] 人在接球和推球的过程中均满足动量守恒的条件，以推球的方向为正方向

第一次推球，0＝mv－m总v1，v1＝mvm总(人后退速度)

球碰挡板后速度变为－v，又被以v1后退的人接到

－m总v1－mv＝－(m总＋m)v′1

人接球后后退速度为v′1＝2mvm总＋m

第二次推球，－(m总＋m)v′1＝mv－m总v2

v2＝3mvm总

第二次接球，－m总v2－mv＝－(m总＋m)v′2

人第二次接球后后退速度v′2＝4mvm总＋m

第三次推球，－(m总＋m)v′2＝mv－m总v3

v3＝5mvm总

第三次接球，－m总v3－mv＝－(m总＋m)v′3

人第三次接球后后退速度v′3＝6mvm总＋m

综上所述，人第n次推球后，后退速度为vn＝（2n－1）mvm总，球碰挡板后又以此速度滑向人，若人不再能接球，必须有vn≥v，即（2n－1）mvm总≥v

得出n≥1＋m总m2，即n≥121＋312＝8.25

所以人推9次后将不再接到球.

[答案] 9次

考向2 应用动量守恒定律解决人船模型问题

[典例3] 如图所示，物体A和B质量分别为m2和m1，其水平直角边长分别为a和b.A、B之间存在摩擦，B与水平地面无摩擦.可视为质点的m2与地面间的高度差为h，当A由B顶端从静止开始滑到B的底端时. - 4 -

(1)B的水平位移是多少？

(2)m2滑到斜面底端时速度为v2，此时m1的速度为v1.则在m2下滑过程中，m2损失的机械能为多少？

[解析] (1)设向右为正方向，下滑过程中A的速度为－v2，B的速度为v1，对A和B组成的系统，水平方向上不受任何外力，故水平方向的动量守恒，

则每时每刻都有m1v1－m2v2＝0，

则有m1x1－m2x2＝0，

由题意可知x1＋x2＝b－a，

联立可得x1＝m2（b－a）m1＋m2.

(2)根据能量守恒定律，m2损失的机械能为m2gh－12m2v22－12m1v21.

[答案] (1)m2（b－a）m1＋m2 (2)m2gh－12m2v22－12m1v21

考点 碰撞现象的特点和规律

1.弹性碰撞的规律

两物体发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒.

假设质量为m1的物体，以速度v1与原来静止的质量为m2的物体发生弹性正碰，碰撞后它们的速度分别为v′1和v′2.根据动量守恒定律得m1v1＝m1v′1＋m2v′2

根据机械能守恒定律得12m1v21＝12m1v′21＋12m2v′22

解得v′1＝m1－m2m1＋m2v1 ①，v′2＝2m1m1＋m2v1 ②

结论：

(1)当m1＝m2时，即两物体的质量相等时，由①②两式得v′1＝0，v′2＝v1，即两者的速度互换.

(2)当m1≫m2时，即第一个物体的质量比第二个物体的质量大得多时，m1－m2≈m1，m1＋m2≈m1，由①②两式得v′1＝v1，v′2＝2v1.

(3)当m1≪m2时，即第一个物体的质量比第二个物体的质量小得多时，m1－m2≈－m2，m1＋m2≈m2，2m1m1＋m2≈0，由①②两式得v′1＝－v1，v′2＝0. - 5 - 2.完全非弹性碰撞的规律

设质量分别为m1、m2的两物体碰撞前的速度分别为v1、0，碰撞后的共同速度为v′，则系统的动量和能量具有如下关系.

动量关系：m1v1＝(m1＋m2)v′

能量关系：12m1v21＝12(m1＋m2)v′2＋ΔE，ΔE为碰撞过程中损失的动能.

考向1 动量守恒与弹性碰撞

[典例4] (2015·新课标全国卷Ⅰ)如图所示，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间.A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态.现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞.设物体间的碰撞都是弹性的.

[解析] A向右运动与C发生第一次碰撞，碰撞过程中，系统的动量守恒、机械能守恒.设速度方向向右为正，开始时A的速度为v0，第一次碰撞后C的速度为vC1，A的速度为vA1，由动量守恒定律和机械能守恒定律得

mv0＝mvA1＋MvC1 ①

12mv20＝12mv2A1＋12Mv2C1 ②

联立①②式得

vA1＝m－Mm＋Mv0 ③

vC1＝2mm＋Mv0 ④

如果m>M，第一次碰撞后，A与C速度同向，且A的速度小于C的速度，不可能与B发生碰撞；如果m＝M，第一次碰撞后，A停止，C以A碰前的速度向右运动，A不可能与B发生碰撞；所以只需考虑m

第一次碰撞后，A反向运动与B发生碰撞.设与B发生碰撞后，A的速度为vA2，B的速度为vB1，同样有

vA2＝m－Mm＋MvA1＝m－Mm＋M2v0 ⑤

根据题意，要求A只与B、C各发生一次碰撞，应有

vA2≤vC1 ⑥

联立④⑤⑥式得m2＋4mM－M2≥0 ⑦

解得m≥(5－2)M ⑧

另一个解m≤－(5＋2)M舍去 - 6 - 所以，m和M应满足的条件为(5－2)M≤m

[答案] (5－2)M≤m

考向2 动量守恒与非弹性碰撞

[典例5] 如图所示，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O.让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平.从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°.忽略空气阻力，求：

(1)两球a、b的质量之比；

(2)两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比.

[解析] (1)设球b的质量为m2，细线长为L，球b下落至最低点，但未与球a相碰时的速率为v，由机械能守恒定律得

m2gL＝12m2v2①

式中g是重力加速度的大小.设球a的质量为m1；在两球碰后的瞬间，两球共同速度为v′，以向左为正.由动量守恒定律得

m2v＝(m1＋m2)v′②

设两球共同向左运动到最高处时，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定律得

12(m1＋m2)v′2＝(m1＋m2)gL(1－cos θ)③

联立①②③式得

m1m2＝11－cos θ－1④

代入题给数据得

m1m2＝2－1.⑤

(2)两球在碰撞过程中的机械能损失是

Q＝m2gL－(m1＋m2)gL(1－cos θ)⑥

联立①⑥式，Q与碰前球b的最大动能EkEk＝12m2v2之比为QEk＝1－m1＋m2m2(1－cos θ)⑦

联立⑤⑦式，并代入题给数据得

QEk＝1－22.⑧