解析几何复习题及参考答案

解析⼏何复习题及参考答案

解析⼏何复习题

（部分参考解答）

⼀.选择题)

45.3(,:.3.;

2.;

1.;

0.).(cos cos cos ,,,,,.1222-=++再利⽤弦函数先将余弦函数转化为正提⽰则时的夹⾓分别为与三坐标平⾯设向量D C B A C zoxyoz xoy a γβαγβα

2.||||b a b a -=+的充要条件是（ C ）.

A. 或；

B. ；

C. ；

D. 。 提⽰:向量和的三⾓形法则

与向量减法⼏何意义等。向量a+b ,a-b 是长⽅形图形的对⾓线. 3. 若向量满⾜条件,则必有关系（ D ）。 A .

； B .

； C .

或

； D .

。

提⽰:定理1.7.1和定理1.7.2的(1.7-5).

3,2,21.;1

0101.

;040

44.;23

3211.:

)(.4=+=+==-=+=--=--+=+=-z t y t x D z

y x C z x y x B z y x A D xoy 平⾯的是下列直线中平⾏于提⽰；利⽤(3.5-5)

5.向量a 在上的射影是( B ) 。提⽰利⽤(1.7-2) A.

|

|.

|||

|.

|

|b D a C b B a

2

.7.3.2

.

;3

.

;4

.

;6

.

).(,3

26:18

2511:.62121提⽰利⽤定理的夹⾓为与则与设直线π

π

π

π

D C B A C L L z y y x L z y x L =+=-+=--=-

7.过点(1,0,1)平⾏于直线=++-=+0

120

1--2z y x z y x 的直线⽅程是（ D ）。提⽰: 利⽤(3.4-3)

A.

； B.

；C. ；

D. 。 8.在空间直⾓坐标系下，⽅程表⽰（A ）.

提⽰:可参考§2.2节曲⾯概念A.圆柱⾯；

B.圆；

C.球⾯；

D.两相交直线.

9.设直线,0

31020123:=+--=+++z y x z y x L 平⾯

:2x+13y+18z+7=0，则直线与平⾯的

关系为（ A ）。提⽰: §3.5中的定理3.5.1等A.

； B.

； C.

； D. 斜交。.

.;.;.;.).

(0

28363:27272:1.10异⾯直线斜交但不垂直平⾏垂直的关系是与直线D C B A B z y x z y x L z y x z y x L =--=-+=++-=-+ 提⽰定理3.7.1等相关内容.

,1.7.3:.

3

5

.;45.;0.;1.)

(,11:1

2111:

.112121再求交点也可⽅求的参数⽅程代⼊或直线定理提⽰则相交于⼀点和空间直线t l l D C B A C z y x L z y x L -==-=+-=+=-λλ

提⽰2:或利⽤课本P38的习题2.(2)结论

.,,0:).

(3.;

.;

.;

.).(

,0,,.12作向量积两边分别与提⽰则满⾜关系设向量c b a c b a D C B A D a c c b b a c b a c b a =++=?+?+?=++

等

定理提⽰垂直于斜交于上在平⾏于平⾯则直线及平⾯设直线1.5.3:..;.;.;.).(,0224:031020

123:.13πππππD C B A D L z y x z y x z y x L =-+-?

=+--=+++ ⼆、填空题 1.球⾯的半径等于 。提⽰：化球⾯成标准⽅程

2.两平⾯

,间的距离为 .

提⽰:可⽤两平⾯之间距离公式3.球⾯的中⼼在点C(1,3,-2)，⽽且球⾯通过原点O ，则该球⾯的⽅程为

14)2()3()1(222=++-+-z y x 。提⽰:半径r=|OC|,两点间距离公式.

4.点P(1,2,3)关于坐标⾯yoz 的对称点的坐标为 .

的交点是与曲⾯曲线10sin cos )(.5222=++++=z y x k t t j t i t r ππ (-1,0,3) ,(-1,0,-3)

提⽰:利⽤曲线坐标式参数⽅程代⼊曲⾯⽅程求交点。 。 6.设原点与平⾯

相距个单位，则

的值是 .提⽰利⽤3.2-4=?=?==||,3,5||,1||.7b a b a b a 则已知 4 。提⽰:先利⽤(1.7-1)求两向量夹⾓的余

弦,再⽤(1.8-1)求|a ×b|。 8.设

是不共线的两向量, 如果

与

共⾯，则 利⽤定理1.4.2 9.如果向量},,{21Z Y X P P =的始点为，那么终点

的坐标为 .

利⽤定理1.5.110.平⾯x+y+z=1与坐标轴交于三点，以这三点为顶点的三⾓形的⾯积是 。提⽰可

⽤定理1.8.1等。11.过点(0,0,0)平⾏于直线

的直线⽅程是

提⽰:利⽤直线的标准⽅程3.4-3.12.通过点（1,3,5）且在三坐标轴上截距相等的平⾯⽅程为 提⽰：或利⽤(3.1-9) 13.通过点(2,-3,-5)且与平⾯6x-3y-5z+2=0垂直的直线坐标式

参数⽅程为 ??

--=--=+=55332

6t z t y t x 。提⽰:可先求标准⽅程,再化成坐标式参数⽅程

14.参数⽅程

对应的⼀般⽅程是 。

提⽰：利⽤三⾓函数关系消参数⾓t.1

.5.3:_____________,0118132:,0

31020

123:.15可⽤定理。提⽰直线在平⾯上的关系为平⾯与

则直线平⾯设直线ππL z y x z y x z y x L =+++=+--=+++ 16.以﹛3,5,－1﹜为法向量,且通过点(7,6,5)的平⾯⽅程为 .提⽰：利⽤(3.1-12)17.过原点与点P(1,1,1)的直线⽅程为 .提⽰：可利⽤两点式或直线的标准⽅程等。

18.直线与平⾯的位置关系是 .提⽰: 定理3.5.1

三.解答题1.设}2,1,1{},1,1,2{-=-=b a

，计算. (P36定理1.8.6)

2.试证直线在平⾯3533:=+-z y x π上．(P83定理

3.5.1)

3.证明如果++＝，那么×＝×＝×，并说明它的⼏何意义. 证明： 由, 有

, 但 ，

于是 +,

所以 .

同理 由, 有

从⽽ .

其⼏何意义是以三⾓形的任⼆边为邻边构成的平⾏四边形的⾯积相等。 4.求作两定点A （1，-2，1），B （0，1，3）等距离的点的轨迹. 提⽰:写出条件并列⽅程化简⽅程5.已知⊿ABC 的顶点分别是A(1,0,3),B(2,4,5),C(3,4,6),求: (1)⊿ABC 的⾯积; (2)AB 边上的⾼. 解: (1)

的⾯积S 为

⽽ }2,4,1{=AB ，}3,4,2{=AC所以

(2) .7

77711=边⾼为

AB 6.单位向量c b a ,,满⾜0=++c b a ,求a c c b b a ?+?+?之值. (提⽰: 5.10-=++两边平⽅化简得值为c b a ) 7.试⽤向量证明三⾓形的余弦定理.

证: 设在中 ,|， .

要证

记,,

,则有.

从⽽.

即.

8.已知三点M (1,1,1) 、A (2,2,1) 和B (2,1 ,2) ,求∠AMB .( P87定理3.7.2)

9.试⽤向量证明直径所对的圆周⾓是直⾓。

证:设AB 是圆O 直径，C 点在圆周上，则||||,OA OC OA OB =-=

因0||||))(())((22=-=+-=--=?OA OC OA OC OA OC OB OC OA OC BC AC 故AC ⊥BC , 即∠090=C .10.求与两平⾏平⾯6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且与其中之⼀相切于点M(5,-1,-1)的球⾯⽅程。

.

49)1()2()1().1,2,1(,7||:222=-+-++-=z y x ，MO ，

O ，M 于是球⾯⽅程⼼坐标利⽤中点坐标公式得球即得半径为两平⾯间距离的⼀半由为球⼼设数⽅程且垂直于平⾯的直线参先求过点分析 11.试验证直线2

1

111-=

-=-z y x 与平⾯2x+y-z-3=0相交，并求出它们的交点和交⾓。 提⽰:可化直线为参数⽅程后再与平⾯⽅程解交点，交⾓利⽤(3.5-4)可求.

.12341:0123:)2,0,0(..1210的⽅程相交的直线平⾏且与直线与平⾯求过点l z

y x l z y x M =

--=-=-+--π

,

4

72

2700

0}

47

,27,0{),41,27,0(,

3214.0)2(2)0(1)0(3:)2,0,0(:110+=-=-=-??

=+-=+==++-?---z y x l v l N l P t z t y t x l z y x P M 标准⽅程为所求直线⽅向向量所求直线的交点为与平⾯的参数⽅程⽽直线⽅程为的平⾯且平⾏于平⾯过点解π13.已知向量，不共线，试证明向量

与线性相关。

证法⼀： 由)31(33a b b a -+-

，

于是向量

与-=31

线性相关。

证法⼆:根据P16的例4结论得.

,.

0)1)(1(-31

33

11

-1-3线性相关所以=--?=

.0

4.142

2的参数⽅程求空间曲线=+=-z x z y )

)2(2,,4,(24

4222??

=-=-=-===t z t t y t x t x t y t z 或参数⽅程为则令