对一道中考数学题解法的再探讨

对　一道高　一追局　考数学题解法的探讨及感悟　■蒋　健　２Ｏ１　２年浙江高考数学（理）第１７题：设ｎ∈Ｒ，若　＞Ｏ，均　有ｒ（“　１）　一１］（　一“　一１）≥ｏ，则ｎ一　．　我们审题后可以将题目理解成恒成立的问题．一般来说　这类题目难度系数比较大，但注意到题中条件，对任意　＞ｏ，　该不等式恒成立，那么可以尝试用特殊值法解决问题．　解（特殊值法）：因为当　＞ｏ时不等式恒成立，所以不妨　取　一１，由（“一２）（一ｎ）≥Ｏ　Ｏ≤“≤２，再取．ｉＦ一２。由（２ａ　３）　０　（一２ａ＋３）≥０．所以ｎ＝÷．　‘　反思：特殊值法简洁合理快捷，是解决选择题和填空题行　之有效的一种好方法，但若本题不是客观题，则又该如何解　决呢？　对于不等式问题，我们常常将其转化为函数问题，利用函　数思想解决不等式问题．　另解１：利用函数思想分类讨论．　设／（ｚ）＝（ａ一１）．７ｃ一１，ｇ（　）一　。一“　一１，则原问题即　为：当Ｊ’＞Ｏ时，＿，（　）ｇ（　）＞１０恒成立．　这两个函数都含有参数“，其中函数，（．２－）是一次型函数　不好确定，故首先考虑函数ｇ（ｚ）一ａＴ　一ｎ　一１．　因为其判别式△一“。＋４＞０，所以ｇ（．７Ｌ，）：０有两个异号　根，不妨设　．＜Ｏ＜　２，则当　∈（０，　２）时，必有ｇ（、ｒ）＜Ｏ．　而当“≤１时，有／（　）＜０，所以当　＞０使＿厂（　）＊　ｇ（　）≥０不恒成立．　所以“＞１，那么，（　）＝（“一１）　一１，当　＞０时，有个　零点．　１　２一÷　（．ｒ）一０时，有　１＋，７２２一ｎ，　ｌ・　２一一１．　“　１　１　则　１一一（Ⅱ一１），　２一÷．　“　１　１　所以由÷一（ｎ一１）一ｎ，得ｎ一＿昙Ｉ．　“　ｉ　Ｌ　反思：一个复杂函数往往是南若干个简单函数构成，　所以适当转化就能将一个复杂函数的函数问题转化为若　干个简单函数问题然后结合应用函数与方程的思想，数形　结合思想，化归思想，往往能巧妙合理地解决相关问题．而　这对学生的综合能力提出了更高的要求，对于本题是否还　有更为简洁的解法．　另解：分类讨论与数形结合．　高中数学学习中数形结合是解决问题的一种重要方法．　设ｌ，’（　）一ｊ　“　—ｌ，其△＞Ｏ，即．厂（　）一。必有两根．不　妨设　（　）一２Ｆ　一“　一１一（　）（．ｚ－一　。），则问题转化为　［（ａ一１）　一１］（　—ｉ’】）（　一，２－２）≥０．　令譬（　）一［（“　１）　—１］（　’一，２－１）（　Ｔ－　ｒ２）．　当ｎ一１为开口向下的抛物线．结论明显不成立．设　＜　Ｏ＜　２．　当ｎ＜１时图像为　砖　结论明显不成立．　当Ⅱ＞１时网像为＋，，＿　也无法使得不等式成立．所以　后续解法参照解法２．　相对于基础一般的学生来说比较容易想到了，入手点比　较低，但如果对题目的理解不够透彻，容易造成“无解”的错误　认识．　此时我们可以发现上面两种方法都可以处理本题．但相　对过程较为冗长，叙述较为烦琐，且易造成遗漏，因此笔者考　虑是否还有其他方法．　另解２：喧“兵”夺“主”．设“∈Ｒ，若　＞０，均有　ｒ（ｎ一１）　一１］（ｊ－　～“　一１）≥ｏ＝　“　一Ⅱ（３２。＋　）＋　＋　．２ｆ　一　・１≤０（＊）看作关于ａ的一个一元二次不等式．　当　＞０，由△：（　＋　。）　一４Ｘ　（　＋　。一＿丁一１）一　（．２ｆ一２）（　一３　＋２）一０．易知在　＞０下　一３　４－２＞０，　那么　’一２代入“一÷（＊）．如果计算能力较强还可以由原　式㈢［　ｎ一（　＋１）］［　“　（．２－　一１）］≤ｏ，南ｊ’＞ｏ且，２７　＞ｏ　所以关于ａ的不等式恒成立可知㈢　一Ｔ一２一Ｏ　一２．　对于有２个或２个　一　一　以上未知量的数学　问题，若能　ａ一÷突破字母（符号）的思维定势，讲已知范围　的变量作为主元，以“参数”反串“主元”常常可以回避讨论．　含参问题多出现在函数，导数，最值，不等式等问题中是　近年数学高考的一个热点和难点，大多数学生在遇到含参问　题事往往会一筹莫展，思路混乱，花费了很多时间和精力却无　功而返．那么在平时的教学过程中要如何的渗透．教师要意识　到不是题目讲的多就可以解决的，要的是对问题进行多角度　的思维理解和剖析或者同一思维方法用不同思维背景问题　重现．　（２０１１年浙江卷文）设函数厂（　）—“　ｌｎ　—　＋ｎ　，“＞Ｏ．　（１）求　（　）的单凋区间；（２）求所有的实数“，使得ｅ　ｌ≤　厂（－丁）≤ｅ　对［１，ｅ］恒成立．仅对本题第（２）小题作出解答．　（２）若“≤ｌ则在内递减［１，ｅ］有“。一ｅ。＋（２ｅ—ｆ（ｅ）≤　（　）≤厂（１）一ｎ一１．　由题意应满足【　ａｌｅ≤２－ｅ￣－　（２．。≥　１，　因此ｎ　一ｅ　＋ｎｅ≥ｅ一１＞０且“。一ｅ　＋“ｅ≤ｄ—ｌ＜０矛　盾，此类情况不合题意．　若１＜“＜ｅ，则　，（　）在［１，“］在内递增，在［“，ｅ］内递减，　从而ｌ厂（　）的最小值为ｌ，　（１）一“一ｌｆ（ｅ）一“　一ｅ　＋ａｅ．　若　，（１）为最小值，应满足＿，（１）一“一１≥ｅ　１，则有ｅ≤ｎ　与ｌ＜ｎ＜ｅ矛盾；若＿，（ｅ）为最小值，则　，（１）＞，（ｅ）＝ｅ一１，也　可得到ｅ≤ｎ与１＜ｎ＜ｅ矛盾，故此类情况不合题意．　若ｅ≤“，则厂（　）在［１，ｅ］内递增，从而“一１一ｌ厂（１）≤　（　）≤ｎ。一ｅ　＋ａｅ．　由题意得　解得“一ｅ．综所述，只有当“一ｅ时满足条件．　作者单位：湖南省道县一中　／，　￣　－ｎｇ：　

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对一道高考数学题解法的探讨及感悟

作者：蒋健

来源：《中学生数理化·学研版》2014年第02期

2012年浙江高考数学（理）第17题：设a∈R，若x>0，均有a-1x-1（x2-ax-1）≥0，则a=.

我们审题后可以将题目理解成恒成立的问题.一般来说这类题目难度系数比较大，但注意到题中条件，对任意x>0，该不等式恒成立，那么可以尝试用特殊值法解决问题.

解（特殊值法）：因为当x>0时不等式恒成立，所以不妨取x=1，由（a-2）（-a）≥00≤a≤2，再取x=2，由（2a-3）（-2a+3）≥0.所以a=32.

反思：特殊值法简洁合理快捷，是解决选择题和填空题行之有效的一种好方法，但若本题不是客观题，则又该如何解决呢？

对于不等式问题，我们常常将其转化为函数问题，利用函数思想解决不等式问题.

另解1：利用函数思想分类讨论.

设f（x）=（a-1）x-1，g（x）=x2-ax-1，则原问题即为：

当x>0时，f（x）g（x）≥0恒成立.

这两个函数都含有参数a，其中函数f（x）是一次型函数不好确定，故首先考虑函数g（x）=x2-ax-1.

因为其判别式Δ=a2+4>0，所以g（x）=0有两个异号根，不妨设x1

而当a≤1时，有f（x）0使f（x）*g（x）≥0不恒成立.

所以a>1，那么f（x）=a-1x-1，当x>0时，有个零点.

x2=1a-1g（x）=0时，有x1+x2=a，x1·x2=-1.

则x1=-（a-1），x2=1a-1.

所以由1a-1-（a-1）=a，得a=32.

反思：一个复杂函数往往是由若干个简单函数构成，所以适当转化就能将一个复杂函数的函数问题转化为若干个简单函数问题然后结合应用函数与方程的思想，数形结合思想，化归思龙源期刊网

中学数学杂志２００９年第１２期　Ａ々绶渤　炳‘躜毛　羁潞　

对一道中考数学试题的再思考　

山东省淄博市沂源县西里中学　２５６１０８　赵同娟　李德忠　

中考数学试题是命题者精雕细琢的产品，有些　

题目看上去平淡无奇，但仔细品味起来，真有点越品　

越“美”的之感．其解法之多，涵盖知识面之广，又　

可拓展变换，能衍生出许多新题，使其成为探究的重　

点．这对增强创新意识、提升了创新思维能力起着重　

要的作用．下面对淄博市２００９年中等学校招生考试　

数学试题Ａ卷第２２题作进一　

步的思考．　

题目　如图１，两个同心　

圆的圆心是Ｏ，大圆的半径为Ａ　

１３，小圆的半径为５，ＡＤ是大　

圆的直径．大圆的弦ＡＢ，ＢＥ分　

别与小圆相切于点Ｃ，Ｆ．ＡＤ，　

ＢＥ相交于点Ｇ，连结ＢＤ．　

（１）求ＢＤ的长；　图１　

（２）求ＬＡＢＥ＋２　ＬＤ的度数；　

Ｄ，１　（３）求　的值．　＾Ｌ，　１　解题思路探究　

巴兆彬、董林＿ｌ　老师给出了比较详细的解法，　

在此不再赘述．　

反思　从所考查知识点和数学思想方法上看，本　

题涉及到了三角形的中位线定理、垂径定理、切线的性　

质定理、切线长定理、等腰三角形的性质定理、圆周角　

定理的推论、勾股定理、相似三角形的判定性质等重要　

内容考查了学生的运算能力、逻辑思维能力和创新意　

识，渗透了数形结合、转化的数学思想方法．　

２　试题的拓展　

拓展１　弱化条件，改叙结论．如图１两个同心　

圆的圆心是Ｏ，ＡＤ是大圆的直径．大圆的弦ＡＢ，ＢＥ　

分别与小圆相切于点Ｃ，　ＡＤ，ＢＥ相交于点Ｇ，连结　

ＢＤ．　

求证：（１）ＬＡＢＥ＋２ＬＤ的值是一定值；　

（２）ＢＧ是ＡＧ、ＯＧ的比例中项．　

解法同原题类似．　

拓展２　当小圆的切线变成割线时，如图２，两　

个同心圆的圆心是０，大圆的弦ＡＢ、ＢＥ分别交小圆　

与Ｃ、Ｆ、　、Ⅳ，大圆的直径ＡＤ交ＢＥ于Ｇ，已知两圆　／　－、　。、　半径分别为１３、５，且ＣＦ＝ＭＮ，弦ＣＦ＝８，求原题中　

的三个问题．　

解析　（１）过点Ｄ作０Ｈ上　

对一道中考数学试题的再探究　

■王爱中　

一道立意新颖的中考试题，不仅能科学地检测学生的知　

识水平，发挥筛选升学的功能，还能对今后的数学教学起一个　

引领导向作用．如对一些经典的试题适当变形拓展作深入探　究，在类比推理过程中，引导学生从“变”的现象中发现“不变”　

的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，可以引导学生去　

思考、去创新，做到以点带线，以线及面，从而达到巩固知识、　

培养能力、提高学生的数学综合培养的目的．　

１．问题呈现　（２０１１年江苏省淮安市第２８　

题）：如图ｌ，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，　

Ｃ一９０　，ＡＣ＝８，ＢＣ＝６，点Ｐ在　

ＡＢ上，ＡＰ一２，点Ｅ、Ｆ同时从点　Ａ　Ｐ出发．分别沿ＰＡ、ＰＢ以每秒１　个单位长度的速度向点Ａ、Ｂ匀　图ｌ　

速运动，点Ｅ到达点Ａ后立刻以原速度沿ＡＢ向点Ｂ运动，　

点Ｆ运动到点Ｂ时停止，点Ｅ也随之停止．在点Ｅ、Ｆ运动过　

程中，以ＥＦ为边作正方形ＥＦＧＨ，使它与△ＡＢＣ在线段ＡＢ　

的同侧．设Ｅ、Ｆ运动的时间为ｔ（￡＞０）秒，正方形ＥＦＧＨ与　

△ＡＢＣ重叠部分面积为Ｓ．　

（１）当时ｔ一１时，正方形ＥＦＧＨ的边长是　．当　一３　

时，正方形ＥＦＧＨ的边长是　．　（２）当Ｏ＜ｔ≤２时，求Ｓ与ｔ的函数关系式；　

（３）直接答｝｝ｊ：在整个运动过程中，当ｔ为何值时，ｓ最大？　

最大面积是多少？　本试题是一道需进行分类讨论的几何动点的计算问题，　

涉及了相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定　

理；正方形的性质等相关知识．　

思路分析：（１）当ｔ＝１时，可得，ＥＰ一１，ＰＦ：１，ＥＦ一２，　

即为正方形ＥＦＧＨ的边长；　

当ｔ＝３时，ＰＥ＝ｌ，ＰＦ：３，即ＥＦ一４；　

（２）正方形ＥＦＧＨ与△ＡＢＣ重叠部分的形状，依次为正　

方形、五边形和梯形；可分二三段分别解答：①当０＜　≤　时；　

②当音＜ｆ≤号时；③当＿詈Ｉ＜　≤２时；依次求Ｓ与　的函数关　

系式；　

（３）当ｔ一５时，面积最大；　

解答：（１）当ｔ一１时，则ＰＥ＝１，ＰＦ一１，则正方形ＥＦＧＨ