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刚体转动惯量的测定【实验目的】1． 测定刚体的转动惯量。
2． 验证转动定律及平行移轴定理。
【实验仪器】1．JM-3 智能转动惯量实验仪。
2． 电脑毫秒计。
【实验原理】转动惯量是反映刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量及质量对轴的分布有关。
对于几何形状规则，质量分布均匀的物体，可以计算出转动惯量。
但对于几何形状不规则的物体，以及质量分布不均匀的物体，只能用实验方法来测量。
本实验是用转动惯量实验仪和通用电脑式毫秒计来测量几种刚体的转动惯量，并与计算结果加以比较。
转动惯量实验仪，是一架绕竖直轴转动的圆盘支架。
如图一和图二所示。
待测物体可以放 5 6 1. 承物台 2. 遮光细棒 3. 绕线塔轮4. 光电门5. 滑轮6. 砝码图一 刚体转动惯量实验仪 图二 承物台俯视图设转动惯量仪空载（不加任何试件）时的转动惯量为J 0。
我们称它为该系统的本底转动惯量，加试件后该系统的转动惯量用J 1表示，根据转动惯量的叠加原理，该试件的转动惯量J 2为：J 2=J 1－J 0 （1）如何测量J 0、J 1让我们从刚体动力学的理论来加以推导。
一、如果不给该系统加外力矩（即不加重力砝码），该系统在某一个初角速度的启动下转动，此时系统只受摩擦力矩的作用，根据转动定律则有。
－L 2= J 0β1 （2）（2）式中J 0为本底转动惯量，L 2为摩擦力矩，负号是因L 的方向与外力矩的方向相反，β1为角加速度，计算出β1值应为负值。
（即加适当的重力砝码），则该系统的受力分析如图三所示。
mg －T=ma （3） T ·r －L= J 0β2 （4）a=r β2 （5） 图三 示意图 β2是在外力矩与摩擦力矩的共同作用下，系统的角加速度，r 是 塔轮的半径， ⑵、⑶、⑷、⑸、式联立求解得：由于β1本身是负值所以计算时β2-（-β1）=β2+β1，则（6）应该为：同理加试件后，也可用同样的方法测出J 1……，然后代入（1）式减去本底转动惯量J 0即可得到试件的转动惯量。
刚体转动惯量的测定实验结论是：根据实验结果可以得出，刚体的转动惯量与其质量分布和形状有关。
具体而言，当刚体绕过质心轴旋转时，它的转动惯量可以表示为：
I = Σmr²
其中，I表示刚体的转动惯量，Σ表示对所有质点求和，m表示每个质点的质量，r表示每个质点相对于旋转轴的距离。
在实验中，通常会采用不同的方法来测定刚体的转动惯量。
以下是几种常见的实验方法和相应的结论：
1. 旋转法：通过将刚体悬挂在一个旋转轴上，测定刚体在旋转过程中的角加速度和悬挂质量等参数，计算得到转动惯量。
实验结果表明，转动惯量与刚体的质量和悬挂点的位置有关。
2. 挂轴法：将刚体固定在一个水平轴上，并允许其进行摆动。
通过测定刚体的周期和摆动轴的长度等参数，可以计算出转动惯量。
实验结果表明，转动惯量与刚体的质量和摆动轴的长度有关。
3. 转动台法：将刚体放置在一个转动台上，通过测定转动台的角加速度、刚体质量和转动台半径等参数，可以计算出转动惯量。
实验结果表明，转动惯量与刚体的质量和转动台半径有关。
需要注意的是，不同形状和质量分布的刚体的转动惯量会有所不同。
通过实验测定转动惯量可以帮助我们了解刚体的特性，并在物理学和工程学等领域中应用于相关计算和分析中。
实验1：刚体转动惯量的测定教师：徐永祥1．前言：转动惯量(Moment of inertia)是表征物体转动惯性大小的物理量，它与物体平动的质量是完全对应的。
转动惯量和物体的形状、大小、密度以及转轴的位置等因素有关，密度均匀形状规则的刚体（Rigid body），其转动惯量可以方便地计算出来，但不符合此条件的刚体的转动惯量一般需要通过实验的方法测出。
目前，测量转动惯量的方法有多种，如动力学法、扭摆法（三线扭摆法、单线摆法）及复摆法等等。
本实验采用动力学方法测量被测物体的转动惯量。
2．教学方式与时间安排教师讲解、示范及与学生互动相结合；总实验时间：120分钟左右。
3．实验基本要求1) 会通过转动惯量实验仪的操作测量规则物体的转动惯量，并与理论值比较进行误差分析;2) 学会用实验方法验证平行轴原理；3）学会用作图法处理数据，熟悉并掌握用作图法处理数据的基本要求。
4．实验仪器与部件转动惯量实验仪，电子毫秒计，可编程电子计算器，铝环，小钢柱等。
5．仪器介绍转动惯量实验仪的主体由十字形承物台和塔轮构成。
塔轮带有5个不同半径的绕线轮（半径r分别为15,20,25,30,35mm共5挡），使轻质细线通过滑轮连着砝码钩；砝码钩上挂着不同数量的砝码，以改变转动体系的动力矩。
承物台呈十字形，它沿半径方向等距离地排有三个小孔，这些孔离中心的距离分别为45,60,75,90,105mm，小孔中可以安插小钢珠，籍以改变体系的转动惯量。
承物台下方连有两个细棒，它们随承物台一起转动，到达光电门处产生遮光并通过脉冲电路引起脉冲触发信号，从而便于计算遮光次数及某两次遮光之间的时间间隔，并最终由数字毫秒计显示出来。
关于数字毫秒计使用方法，请参见本实验讲义P66“数字毫秒计”部分。
6. 实验原理1）转动惯量的测定由刚体转动的动力学定律得到：βJM=（1）式中，M为转动体系所受的合外力矩，包括细绳作用于塔轮的力矩以及阻力矩；J为系统绕竖直轴的转动惯量。
刚体转动惯量的测量1. 引言刚体转动惯量是描述刚体绕某一轴旋转时所表现出的惯性特性，它反映了刚体对旋转运动的抵抗能力。
测量刚体转动惯量对于研究物体的旋转运动和确定物体的物理特性具有重要意义。
本文将介绍刚体转动惯量的定义、测量方法以及实验步骤。
2. 刚体转动惯量的定义刚体转动惯量（或称为“转动惯性矩”）是描述刚体绕某一轴旋转时所表现出的抵抗力矩大小的物理量。
它与刚体质量分布和轴线位置相关，可以用数学公式表示为：I=∫r2⋅dm其中，I为刚体相对于旋转轴的转动惯量，r为质点到旋转轴的距离，dm为质点的微小质量。
3. 测量方法3.1 转动定律法利用牛顿第二定律和角加速度与力矩之间的关系，可以通过测定加速度和力矩来计算刚体的转动惯量。
具体步骤如下：1.将待测刚体固定在水平轴上，并使其能够绕该轴自由旋转。
2.在刚体上施加一个垂直于旋转轴的力矩，使刚体产生角加速度。
3.测量施加力矩前后刚体的角加速度，并计算力矩大小。
4.根据牛顿第二定律和角加速度与力矩之间的关系，计算出刚体的转动惯量。
3.2 定滑轮法利用滑轮原理，可以通过测量绕定滑轮旋转的物体的线速度、重物块质量以及滑轮半径来计算刚体的转动惯量。
具体步骤如下：1.将待测刚体固定在定滑轮上，并使其能够自由旋转。
2.在滑轮上挂一重物块，将其与刚体通过一根绳子相连。
3.调整重物块的高度，使得刚体开始自由旋转。
4.测量重物块下降的高度和旋转时间，并记录滑轮半径和重物块质量。
5.根据滑轮原理和动能定理，计算出刚体的转动惯量。
4. 实验步骤4.1 转动定律法实验步骤1.准备实验装置：水平轴、刚体、力矩测量仪器等。
2.将刚体固定在水平轴上，并保证其能够自由旋转。
3.在刚体上施加一个垂直于旋转轴的力矩，使其产生角加速度。
4.使用力矩测量仪器测量施加力矩前后的角加速度，并记录下来。
5.根据牛顿第二定律和角加速度与力矩之间的关系，计算出刚体的转动惯量。
4.2 定滑轮法实验步骤1.准备实验装置：定滑轮、刚体、重物块、绳子等。
第二单元实验1 用扭摆法测刚体转动惯量转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。
刚体的转动惯量与刚体的总质量、形状大小和转轴的位置有关。
对于形状较简单的刚体，可以通过数学方法算出它绕特定轴的转动惯量。
但是对于形状较复杂的刚体，应用数学方法计算它的转动惯量非常困难，故大都用实验方法测定。
刚体的转动惯量在机械动平衡方面有着广泛的应用，凡是涉及往复式直线运动与旋转运动的相互转换，都必须借助具有较大转动惯量的“飞轮”才能实现，其中典型的例子是蒸汽机和内燃机。
此外，为了让机械转动更平稳，最简单的方法就是在其转动轴上加上一个形状规则、质量分布均匀，且具有一定转动惯量的飞轮。
因此，学会刚体转动惯量的测定方法，具有重要的实际意义。
【实验目的】1. 了解ZG-2型转动惯量测定仪测刚体转动惯量的原理和方法。
2. 测定弹簧的扭转常数及几种不同形状刚体的转动惯量。
3. 验证刚体转动的平行轴定理。
【实验原理】1. 弹簧的扭转常数及刚体的转动惯量图1 ZG-2转动惯量测定仪将待测物体在水平面内转过一定角度θ后，在弹簧恢复力矩的作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。
忽略轴承的摩擦阻力矩，根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度θ成正比，即θK M -=（1）式中K 为弹簧的扭转常数。
根据转动定律βI M =式中I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由此可得θβIK -= （2）令ω2=IK，由(2)式得 -=-==θθβI Kdtd 22ω2θ上述微分方程表示转动惯量仪运动具有角谐振动的特性，即角加速度β与角位移θ成正比，并且方向相反。
此微分方程的解为：)cos(ϕωθ+=t A式中θ为角位移，Ａ为谐振动的角振幅， ϕ为初相位角，ω为圆频率。
此谐振动的周期为KI T πωπ22==则 224T I K π= （3）根据(3)式，只要测得转动惯量仪的摆动周期T ，在I 和K 中任何一个量已知时就可计算出另一个量。
刚体转动惯量的测定实验目的：1、 理解并掌握根据转动定律测转动惯量的方法；2、 熟悉电子毫秒计的使用。
实验仪器：刚体转动惯量实验仪、通用电脑式毫秒计。
实验原理：空实验台（仅有承物台）对于中垂轴OO ’ 的转动惯量用J o 表示，加上试样（被测物体）后的总转动惯量用J 表示，则试样的转动惯量J 1 ：J 1 = J –J o (1) 由刚体的转动定律可知：T r – M r = J (2) 其中M r 为摩擦力矩。
而 T = m(g -r ) (3) 其中 m —— 砝码质量 g —— 重力加速度 —— 角加速度 T —— 张力 1． 测量承物台的转动惯量J o未加试件，未加外力（m=0 , T=0）令其转动后，在M r 的作用下，体系将作匀减速转动，=1，有 -M r1 = J o 1 (4)加外力后，令 =2m(g –r 2)r –M r1 = J o 2(5)（4）（5）式联立得 J o =212212mr mgrααααα--- (6)测出 1 , 2，由（6）式即可得J o 。
2． 测量承物台放上试样后的总转动惯量J ，原理与1.相似。
加试样后，有 -M r2=J 3 (7) m(g –r 4)r –Mr 2= J 4 (8)∴ J =234434mr mgr ααααα--- (9)实验步骤：1、 按（图一）安装调试好仪器，细线的一端连结钩挂砝码6，另一端打一适当大小的结塞入塔轮3的缝中，绕线于塔轮时应单层逐次排列。
线的长度应使砝码触地前一点点脱离塔轮。
选取塔轮半径r = ×10-2m ，砝码质量m = ×10-2kg 当实验台离地面高度为h 时，有h =r k π22'⨯，式中k ，为每半圈记一次时间的数目，k’ = k –1 . 通过该式适当选取h ，使k ’≤10为加速；k ’>10为减速。
一般选k ’ > 13进行计算。
2、测量承物台的转动惯量J 0 o参阅[实验方法]中的说明及后面附录“HMS-2型通用电脑式毫秒计”使用说明。
刚体转动惯量的测定
转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量，它不仅取决于刚体的总质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。
对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量。
对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，用数学方法计算其转动惯量是相当困难的，通常要用实验的方法来测定其转动惯量。
因此，学会用实验的方法测定刚体的转动惯量具有重要的实际意义。
实验上测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过描述这种运动的特定物理量与转动惯量的关系来间接地测定刚体的转动惯量。
测定转动惯量的实验方法较多，如拉伸法、扭摆法、三线摆法等，本实验是利用“刚体转动惯量实验仪”来测定刚体的转动惯量。
为了便于与理论计算比较，实验中仍采用形状规则的刚体。
【实验目的】
1. １. 学习用转动惯量仪测定物体的转动惯量。
2. ２. 研究作用在刚体上的外力矩与刚体角加速度的关系，验证刚体转动定律和平行轴定理。
3. ３. 观测转动惯量随质量、质量分布及转动轴线的不同而改变的状况。
【实验仪器】
ZKY-ZS转动惯量实验仪及其附件（砝码，金属圆柱、圆盘及圆柱）, ZKY-J1通用电脑计时器.
图1 转动惯量测定装置实物图
【实验原理】
根据刚体的定轴转动定律
，
只要测定刚体转动时所受的合外力矩及该力矩作用下刚体转动的角加速度
，则可计算出该刚体的转动惯量，这是恒力矩转动法测定转动惯量的基本原理和设计思路。
一、转动惯量J的测量原理
砝码盘及其砝码是系统转动的动力。
分析转动系统受力如图2所示：
当砝码钩上放置一定的砝码时，若松开手，则在重力的作用下，砝码就会通过细绳带动塔轮加速转动。
当砝码绳脱离塔轮后，系统将只在摩擦力矩的作用下转动。
图2 转动系统受力图
本实验中待测试件放在实验台上，随同实验台一起做定轴转动。
设空实验台（未加试件）转动时，其转动惯量为
，加上被测刚体后的转动惯量为
，由转动惯量的叠加原理可知，则被测试件的转动惯量
为
或
实验时，先测出系统支架（空实验台）的转动惯量
，然后将待测物放在支架上，测量出转动惯量为
，利用上式可计算出待测物的转动惯量。
未加试件及外力时（
，
），即外力矩为零时，若使系统以某一初角速度开始转动，则系统将在摩擦力矩
的作用下，作匀减速转动，设角加速度为
，则由刚体的转动定律有
（1）
其中
（2）
加外力后（即有外力矩）时，设系统的角加速度为，则：
（3）
而
（4）
其中
—砝码质量，
—重力加速度，
—绳的张力
联立式（1），（2），（3）,（4）得：
（5）
测出
，以及加外力矩
后的
，由（5）式即可得
，以及将
代入（1）试附带可得出摩擦力矩。
同理，加试件后有
（6）
以上
、
是由摩擦力矩产生的角加速度，其值为负，因此（5）、（6）式中的分母实为相加。
测
的实验顺序可以是
、
、
、
，也可以是
、
、
、
，更可以是（
，
），再（
，
），测量方法见后。
二、角加速度
的测量原理
的测量采用如下方法：
实验中直接测量的是时间和角位移，可由下列计算间接得出。
设转动体系的初角速度为
，t=0时的角位置为0，则t时刻角位移
为
（7）
数字毫秒计从t=0开始计时，这时的计时次数为k=0, ;
时 k=1，
；t时刻，计时次数为k，角位移。
若测得与
相应的时间为
，计时次数为
，则：
（8）
（9）
联立式（8），（9）得：
即：
（
）（11）
可以选两组
值计算
的值，也可以选多组计算几个
值求平均；或者多次直接测量
值。
本实验采用配套的ZKY-J1通用电脑计时器，计时和记录角位移。
三、验证平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体,对过其质心c的某一转轴的转动惯量为，则刚体对平行于该轴、和它相距为d的另一转轴的转动惯量
为：
在上式等式两端都加上系统支架的转动惯量
，则有：
令
，
都为定值，则J与
呈线性关系，实验中若测得此关系，则验证了平行轴定理。
四、J的“理论”公式
设待测的圆盘（或圆柱）质量为
、半径为
，则圆盘、圆柱绕几何中心轴的转动惯量理论值为
待测的圆环质量为
，内外半径分别为
、
，圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为
【实验仪器介绍】
转动惯量仪：由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒和小滑轮组成,如图3所示。
承物台转动时固定在载物台边缘并随之转动的遮光细棒，每转动半圈（
）遮挡一次固定在底座圆周直径相对两端的光电门，即产生一个光电脉冲送入光电计时计数仪，计数器将计下时间和遮挡次数。
计数器从第一次挡光（第一个光电脉冲发生）开始计时、计数，并且可以连续记录，存储多个脉冲时间。
塔轮上有五个
不同半径的绕线轮，中间一个的半径为2.5cm，其余每相邻两个塔轮之间的半径相差0.5cm。
砝码钩上可以放置一定数量的砝码，重力矩作为外力矩，结构如图：
图3 转动惯量仪结构图
●仪器使用方法：
1、 1、用电缆线将光电门和通用电脑计时器相连，只接通一路（另一路备用）；
2、 2、接通电源，仪器进入自检状态。
a) a) 8位数码显示管同时点亮，否则本机出现错误；
b) b) 数码显示器显示
表明制式为每组脉冲由一个光电脉冲组成，共有80组脉冲（均为系统默认值）
3、 3、制式的调整方法：
a) a) 如无须对制式进行修改或已经修改完备，按“待测/+”进入工作等待状态；
b) b) 计时显示的前两位为每组光电脉冲数，后两位为记录组数。
对于闪烁的数码显示器位，直接键入数字，即可修改此位；如果需要修改下一位，则须按下“
/－”键，下一位数码显示器位闪烁，再键入数字即可进行修改，同时保留对其他位的修改值。
用“
/－”键能对所修改的四位数码显示器进行循环操作，记录组数最多为80。
4、按“待测/+”键进入工作等待状态：数码显示器显示
5、进入计时工作状态：输入的第一个光电脉冲后开始计时和计数。
6、计时结束：当测量组数超过设定的记录组数时，数码管显示为：
计时结束。
7、数据查询：每按一次“待测/+”键，则记录组数递增一位，每按一次“/－”键则递减一位。
8、电脑计时器复位，以便进行下一此测量。
【实验内容与步骤】
1、调节转动惯量仪底角螺钉，使仪器处于水平状态。
2、用电缆将光电门与仪器相连，只接通一路。
若用输入Ⅰ插孔输入，该通段开关接通，输入Ⅱ通段开关必须断开。
3、开启数字毫秒计，使其进入计数状态。
4、测量支架的转动惯量：
⑴给转台以初始角速度使其在摩擦力矩作用下做匀减速转动，记下此时的,由此计算只有摩擦力矩时的角加速度。
⑵将线绕在中间的塔轮上，调节滑轮位置使绕线与台面平行。
让砝码由静止下落，记下此时的
,由此计算在重力矩和摩擦力矩同时作用下的角加速度。
计算空台的转动惯量。
5、测量待测物的转动惯量：
加上圆盘，测量系统的转动惯量
；
加上圆环，测量系统的转动惯量。
6、已知支架的转动惯量
，从而可得出待测物的转动惯量。
7、将测量值与理论值相比较，得出测量误差。
8、验证平行轴定理：
将小圆柱分别放在离转轴5cm,7.5cm,10cm处，测得此时系统的转动惯量J，并将其与d2值相比较，从而验证平行轴定理。
【数据记录】
砝码的质量：m = g g＝ m/s2
塔轮中间一轮的半径： r= cm
圆盘半径： r= cm 质量 m= g
圆环内径： r= cm 外径 R= cm 质量 m= g
小圆柱质量： m= g
载物台上各孔中心距转轴的距离，由内到外分别为：
r= cm、 cm、 cm
有/无外力矩K=1 K=2 K=3 K=4 K=5
J
空台
有
无圆环
有
无
圆盘
有
无
圆柱
有
无
有
无
有
无【数据处理】
圆环的转动惯量＝
－
＝（测量值）理论值＝
圆盘的转动惯量＝
－
＝（测量值）理论值＝
比较理论值与测量值，计算相对误差。
验证平行轴定理：
【思考题】
1. 本实验方法为什么可以不考虑滑轮的质量及其转动惯量？
2. 本实验是如何检验转动定律和平行轴定理的？
3. 分析本实验产生误差的主要原因是什么？。
